v6.06.103 SSNX103 - Comportements SP_* pour les éléments 3D_INTERF_POU#

Résumé:

Ce test met en œuvre une simulation d’un trajet de chargement en efforts et déplacements relatifs aux points de Gauss d’un élément 3D_INTERF_POU [R7.01.49]. Le chargement est choisi de sorte à ce qu’il soit identique en chacun des points de Gauss. Les sorties de l’intégration numérique sont vérifiées à l’échelle du point de Gauss. Sont vérifiés : l’effort et la matrice tangente restitués par la loi de comportement. La loi est uniquement vérifiée en 3D, car compatible uniquement avec l’élément 3D_INTERF_POU.

Deux lois de comportement sont testées. La première est la loi élasto-plastique à écrouissage cinématique linéaire INTERF_POU_CINE [R7.01.50], et la seconde est sa version purement élastique INTERF_POU_ELAS.

  • Modélisation A : cette modélisation permet de valider le modèle INTERF_POU_CINE en 3D.

  • Modélisation B : cette modélisation permet de valider le modèle INTERF_POU_ELAS en 3D.

Solution de référence#

\[\DeclareMathOperator{\sgn}{sgn}\]

La solution de référence est analytique.

Par ailleurs, le chargement et la réponse étant uni-directionnels, l’écriture est simplifiée en omettant les indices de la direction.

Aspects généraux#

Pression d’interaction#

Soit \(F_{nd}\) la force nodale appliquée aux deux noeuds de la poutre dans la direction d’intérêt, \(\sigma\) la pression d’interaction renvoyée par la loi de comportement, \(L = 2\) la longueur de l’interface et \(B = 1\) son épaisseur dans la direction d’intérêt. La somme des efforts appliqués aux noeuds de la poutre dans la direction d’intérêt est donc :

(4991)#\[\begin{split}\begin{align} & \sum_{1}^{2} F_{nd} = \int_{L} - B \sigma \, dL \\ \Leftrightarrow \quad & 2 F_{nd} = - L B \sigma \\ \Leftrightarrow \quad & \boxed{ F_{nd} = - \sigma } \end{align}\end{split}\]

Note

Le signe « \(-\) » dans le second membre provient du fait que la pression en sortie de la loi est du même signe que \(\vector{\varepsilon}\), le déplacement relatif entre matrice (\(\vector{\varepsilon}_s\)) et renforcement (\(\vector{\varepsilon}_p\)). Or celui-ci est défini tel que :

\[\vector{\varepsilon} = \vector{\varepsilon}_s - \vector{\varepsilon}_p\]

Matrice tangente de raideur d’interaction#

Rappelons que dans le cadre de ce cas test : \(G = \frac{K}{3}\).

Dans la direction de chargement (unidirectionnel), la raideur tangente peut-être exprimée simplement :

\[C^t = K - \frac{K^2}{K + G} = K - \frac{K^2}{K + \frac{K}{3}} = \left( 1 - \frac{3}{4} \right) K \boxed{ = \frac{K}{4}}\]

Déplacement plastique#

Notons \(F_{Y} = \sigma_y\).

Soit la surface de charge (en régime uni-directionnel)

\[f \left( \sigma, r \right) = {\left( \frac{\sigma - r}{\sigma_y} \right)}^2 - 1 = 0\]

où

\[r = G \varepsilon^{pl}\]

Note

La règle d’écrouissage définit

\[\dot{r} = G \dot{\varepsilon}^{pl}\]

Associée à des conditions initiales nulles, cela revient bien à

\[r = G \varepsilon^{pl}\]

En régime plastique [1], nous avons donc :

(4992)#\[\begin{split}\begin{align} & {\left( \frac{\sigma - r}{\sigma_y} \right)}^2 - 1 = 0 \\ \Leftrightarrow \quad & \valeAbs{\frac{\sigma - r}{\sigma_y}} = 1 \\ \Leftrightarrow \quad & \valeAbs{\sigma - r} = \sigma_y \\ \Leftrightarrow \quad & \sgn \left( \sigma - r \right) \; \left( \sigma - r \right) = \sigma_y \\ \Leftrightarrow \quad & \sigma = \sgn \left( \sigma - r \right) \sigma_y + r \\ \Leftrightarrow \quad & \boxed{ \sigma = \sgn \left( \sigma - G \varepsilon^{pl} \right) \sigma_y + G \varepsilon^{pl} } \end{align}\end{split}\]

Solution au point de chargement A#

En chacun des points de chargement, les grandeurs vérifiées sont :

  • le déplacement relatif,

  • le déplacement relatif plastique.

En A, l’effort nodal appliqué en chacun des deux noeuds de la poutre vaut \(F_{nd} = - F_Y\). D’après, l’équation (4991), le matériau atteint donc sa limite d’élasticité \(F_Y\).

Nous avons donc :

\[\begin{split}\begin{align} & \sigma = K \varepsilon \\ \Leftrightarrow \quad & \varepsilon = \frac{\sigma}{K} = \frac{F_{Y}}{F_{Y}} \boxed{ = 1} \end{align}\end{split}\]

La valeur du déplacement relatif plastique n’est pas vérifiée directement. Elle est vérifiée au sein de l’égalité (4992), pour des raisons de commodité liées à la fonction \(\sgn\).

Nous avons donc :

\[\begin{split}\begin{align} & \sgn \left( \sigma - G \varepsilon^{pl} \right) \sigma_y + G \varepsilon^{pl} = \sigma \\ \Leftrightarrow \quad & \sgn \left( F_{Y} - G \varepsilon^{pl} \right) F_{Y} + G \varepsilon^{pl} = F_{Y} \boxed{ = 5} \\ \end{align}\end{split}\]

Solution au point de chargement B#

En B, l’effort nodal appliqué en chacun des deux noeuds de la poutre vaut \(F_{nd} = - 1,25 F_Y\). Sachant par ailleurs, qu’entre A et B, le matériau s’écrouit, la variation de déplacement relatif entre A et B vaut :

\[\Delta \varepsilon_B = \frac{\Delta \sigma_B}{C^t} = \frac{\frac{F_{Y}}{4}}{\frac{F_{Y}}{4}} = 1\]

Le déplacement relatif total vaut :

\[\varepsilon_B = \varepsilon_A + \Delta \varepsilon_B = 1 + 1 \boxed{ = 2}\]

L’égalité sur le déplacement relatif plastique vaut :

\[\sgn \left( \sigma - G \varepsilon^{pl} \right) \sigma_y + G \varepsilon^{pl} = 1,25 F_Y \boxed{ = 6,25}\]

Solution au point de chargement C#

En C, l’effort nodal appliqué en chacun des deux noeuds de la poutre vaut \(F_{nd} = 0,75 F_Y\). Sachant par ailleurs, qu’entre B et C, le matériau subit un décharge élastique, la variation de déplacement relatif entre B et C vaut :

\[\Delta \varepsilon_C = \frac{\Delta \sigma_C}{K} = \frac{-2 F_Y}{F_Y} = - 2\]

Le déplacement relatif total vaut :

\[\varepsilon_C = \varepsilon_B + \Delta \varepsilon_C = 2 - 2 \boxed{ = 0}\]

En C, le matériau atteint à nouveau sa limite d’élasticité. On peut donc à nouveau vérifier l’égalité sur le déplacement relatif plastique :

\[\sgn \left( \sigma - G \varepsilon^{pl} \right) \sigma_y + G \varepsilon^{pl} = - 0,75 F_Y \boxed{ = - 3,75}\]

Solution au point de chargement D#

En D, l’effort nodal appliqué en chacun des deux noeuds de la poutre vaut \(F_{nd} = F_Y\). De façon similaire au cas du point B :

\[\Delta \varepsilon_D = \frac{\Delta \sigma_D}{C^t} = \frac{ - \frac{F_{Y}}{4}}{\frac{F_{Y}}{4}} = - 1\]

d’où

\[\varepsilon_D = \varepsilon_C + \Delta \varepsilon_D = 0 - 1 \boxed{ = - 1}\]

L’égalité sur le déplacement relatif plastique vaut :

\[\sgn \left( \sigma - G \varepsilon^{pl} \right) \sigma_y + G \varepsilon^{pl} = - F_Y \boxed{ = - 5}\]

Récapitulatif des solutions#

Les solutions de référence pour chacun des points de chargement sont rappelées dans le tableau suivant :

Tableau 171 Solutions de référence pour les différents points de chargement#

Point de chargement

\(\varepsilon\)

\(\sgn \left( \sigma - G \varepsilon^{pl} \right) \sigma_y + G \varepsilon^{pl}\)

A

1,00

5,00

B

2,00

6,25

C

0,00

-3,75

D

-1,00

-5,00

Le trajet de réponse de référence est représenté schématiquement dans la figure ci-dessous :

../../../../_images/reponse_chargement_ref.svg

Fig. 720 Schéma du trajet de réponse de référence#

Footnotes

Modélisation A#

\[\DeclareMathOperator{\sgn}{sgn}\]

Caractéristiques de la modélisation#

Le comportement testé est INTERF_POU_CINE.

Grandeurs testées et résultats#

Tableau 172 Ecarts (%) par rapport à la référence#

Point de chargement

\(\varepsilon\) (%)

\(\sgn \left( \sigma - g \varepsilon^{pl} \right) \sigma_y + g \varepsilon^{pl}\) (%)

A

0,00

0,00

B

0,00

0,00

C

0,00

0,00

D

0,00

0,00

Modélisation B#

Caractéristiques de la modélisation#

Le comportement testé est INTERF_POU_ELAS.

Grandeurs testées et résultats#

Tableau 173 Ecarts (%) par rapport à la référence#

Point de chargement

\(\varepsilon\) (%)

A

0,00

Synthèse#

Les deux lois (INTERF_POU_CINE et INTERF_POU_ELAS) sont validées.