r4.08.01 Calcul de la déformation thermique

Résumé

Ce document est consacré à la présentation du calcul de la déformation thermique. On y indique les informations nécessaires au calcul de la déformation thermique et les diverses possibilités de définition de ces informations par l’utilisateur.

Calcul du coefficient de dilatation thermique

A partir de la température de référence

Les valeurs du coefficient de dilatation thermique ont été déterminées par des essais de dilatométrie effectués à partir de la température \({T}_{\mathit{ref}}\) . Dans ce cas, le mot clé TEMP_DEF_ALPHA ne doit pas être spécifié dans la commande DEFI_MATERIAU [u4.23.01]. L’équation se simplifie, puisque \({\epsilon}_{m}^{\mathit{th}}\left({T}_{\mathit{ref}}\right)=0\) . D’où:

(1458)\[{\epsilon}^{\mathit{th}}\left(T\right)=\widehat{\alpha}\left(T\right)\left(T-{T}_{\mathit{ref}}\right)\]

Où les valeurs du coefficient de dilatation \(\widehat{\alpha}\left(T\right)\) sont renseignées sous le mot clé ALPHA(ou ALPHA_* ) dans DEFI_MATERIAU.

A partir d’une température différente de la température de référence

Les valeurs du coefficient de dilatation thermique ont été déterminées par des essais de dilatométrie qui ont eu lieu à partir d’une température \({T}_{\text{def}}\) différente de la température de référence \({T}_{\mathit{ref}}\) .

En effet, en général on dispose des valeurs du coefficient de dilatation défini par rapport à la température ambiante, \(0°C\) ou plus généralement \(20°C\) , et certaines études nécessitent de prendre une température de référence différente de la température ambiante.

Il faut alors effectuer un changement de repère (par l’équation ). Dans ce cas, l’utilisateur renseigne sous le mot clé TEMP_DEF_ALPHA de la commande DEFI_MATERIAU, la valeur de la température \({T}_{\text{def}}\) , et sous le mot clé ALPHA (ou ALPHA_* ) les valeurs du coefficient de dilatation \(\alpha \left(T\right)\) (défini par rapport à la température \({T}_{\text{def}}\) ). Dans la commande AFFE_MATERIAU sous le mot clé TEMP_REF, il indique la valeur de la température de référence \({T}_{\mathit{ref}}\) . Le calcul de \({\epsilon}^{\mathit{th}}\left(T\right)\) se fait en utilisant la formule:

(1459)\[{\epsilon}^{\mathit{th}}\left(T\right)=\alpha \left(T\right)\left(T-{T}_{\text{def}}\right)-\alpha \left({T}_{\mathit{ref}}\right)\left({T}_{\mathit{ref}}-{T}_{\text{def}}\right)=\widehat{\alpha}\left(T\right)\left(T-{T}_{\mathit{ref}}\right)\]

Le calcul de \({\epsilon}^{\mathit{th}}\left(T\right)\) nécessite le calcul préalable des valeurs de la fonction \(\widehat{\alpha}\left(T\right)\) .

La fonction \(\widehat{\alpha}\left(T\right)\) reste définie (ou renseignée) pour les mêmes valeurs de \(T\) que \(\alpha \left(T\right)\) et garde les mêmes attributs (même type d’interpolation (“LIN”, “LOG”) et même type de prolongement (“CONSTANT”, “LINEAIRE”, “EXCLUS”).

Calcul à des températures différentes de la référence (à une précision près)

On obtient l’expression de \(\widehat{\alpha}({T}_{i})\) en utilisant l’équation .

(1460)\[\widehat{\alpha}\left(T_{i}\right) = \frac{\alpha\left(T_{i}\right)\left(T_{i} - T_{\text{def}}\right) - \alpha\left(T_{\mathit{ref}}\right)\left(T_{\mathit{ref}} - T_{\text{def}}\right)}{T_{i} - T_{\mathit{ref}}} \quad \forall i \text{ tel que } T_{i} - T_{\mathit{ref}} \ge \text{Prec}\]

La valeur de la précision est :

• soit spécifiée par l’utilisateur sous le mot clé PRECISION du mot clé facteur ELAS_FO (commande DEFI_MATERIAU [u4.23.01]),

• soit égale à \(1.\) : valeur par défaut.

Calcul à des températures proches de la référence (à une précision près)

On ne peut pas utiliser l’équation directement. On dérive l’équation par rapport à la température:

(1461)\[\frac{\partial {\epsilon}^{\mathit{th}}}{\partial T}=\alpha '(T)(T-{T}_{\text{def}})+\alpha (T)=\widehat{\alpha}'(T)(T-{T}_{\mathit{ref}})+\widehat{\alpha}(T)\]

On prend la valeur de la dérivée à la température \({T}_{\mathit{ref}}\) , on obtient:

(1462)\[\widehat{\alpha}({T}_{\mathit{ref}})=\alpha '({T}_{\mathit{ref}})({T}_{\mathit{ref}}-{T}_{\text{def}})+\alpha ({T}_{\mathit{ref}})\]

On considère que:

(1463)\[\widehat{\alpha}(T_{i}) = \widehat{\alpha}(T_{\mathit{ref}}) \quad \forall i \text{ tel que } T_{i} - T_{\mathit{ref}} \ge \text{Prec}\]

La valeur de la précision est:

• soit spécifiée par l’utilisateur sous le mot clé PRECISION du mot clé facteur ELAS_FO (commande DEFI_MATERIAU [u4.23.01]),

• soit égale à \(1.\) : valeur par défaut.

Aussi, pour calculer \(\widehat{\alpha}({T}_{i})\) il faut au préalable calculer \(\alpha '({T}_{\mathit{ref}})\) .

Calcul de la dérivée du coefficient de la dilatation thermique

Le calcul de la dérivée du coefficient de la dilatation thermique se fait par un algorithme qui traite trois cas.

Premier cas:

(1464)\[ \begin{align}\begin{aligned}\forall i\phantom{\rule{2em}{0ex}}\text{tel que}\phantom{\rule{2em}{0ex}}|{T}_{i}-{T}_{\mathit{ref}}|\phantom{\rule{2em}{0ex}}<\phantom{\rule{2em}{0ex}}\text{Prec}\text{avec}i\ne 1,i\ne N\\\alpha '({T}_{\mathit{ref}})=\frac{1}{2}\left(\frac{\alpha ({T}_{i+1})-\alpha ({T}_{\mathit{ref}})}{{T}_{i+1}-{T}_{\mathit{ref}}}+\frac{\alpha ({T}_{\mathit{ref}})-\alpha ({T}_{i-1})}{{T}_{\mathit{ref}}-{T}_{i-1}}\right)\end{aligned}\end{align} \]

Deuxième cas:

(1465)\[ \begin{align}\begin{aligned}\forall i\phantom{\rule{2em}{0ex}}\text{tel que}\phantom{\rule{2em}{0ex}}|{T}_{i}-{T}_{\mathit{ref}}|\phantom{\rule{2em}{0ex}}<\phantom{\rule{2em}{0ex}}\text{Prec}\text{avec}i=N\\\alpha '({T}_{\mathit{ref}})=\frac{\alpha ({T}_{\mathit{ref}})-\alpha ({T}_{i-1})}{{T}_{\mathit{ref}}-{T}_{i-1}}\end{aligned}\end{align} \]

Troisième cas:

(1466)\[ \begin{align}\begin{aligned}\forall i \quad \text{tel que} \quad \left| T_{i} - T_{\mathit{ref}} \right| < \text{Prec} \quad \text{avec } i = 1\\\alpha'(T_{\mathit{ref}}) = \frac{\alpha(T_{i+1}) - \alpha(T_{\mathit{ref}})}{T_{i+1} - T_{\mathit{ref}}}\end{aligned}\end{align} \]