v3.01.121 SSLL121 – Poutres : Calcul des contraintes aux noeuds SIPO_ELNO#

Résumé:

L’objectif de ce test est de vérifier le calcul des contraintes SIPO_ELNO en présence de spécification de coefficients de flexibilité et d’intensification de contraintes sur les poutres.

Solution de référence#

Moment d’inertie d’une section tubulaire#

En définissant :

  • \(d_{ext} = 2R\) : diamètre extérieur,

  • \(d_{int} = d_{ext} - 2e_p\) : diamètre intérieur,

le moment d’inertie d’une section circulaire creuse est donné par :

\[I = \frac{\pi}{64} \left( d_{ext}^4 - d_{int}^4 \right) .\]

Calcul de la flèche#

La flèche en extrémité d’une poutre tubulaire encastrée soumise à une force F est donnée par :

\[\delta = \frac{F \cdot L^3}{3 \cdot E \cdot I}\]

Nota : en présence d’une poutre de Timoshenko, cette solution est approximative, car la flèche ne dépend pas que du moment fléchissant mais aussi de l’effort de cisaillement.

En présence d’un coefficient de flexibilité \({c_{flex}}\), la flèche est amplifiée d’autant que :

\[ \begin{align}\begin{aligned}I_{c_{flex}} = \frac{I}{c_{flex}},\\\delta = \frac{F \cdot L^3}{3 \cdot E \cdot I_{c_{flex}}}.\end{aligned}\end{align} \]

Calcul des contraintes SIPO#

Les contraintes SIPO dues à un moment fléchissant \(M_f = -F \cdot L\) sont définies par :

\[\sigma = \frac{M_f}{I} \cdot R,\]

Avec \(R\) le rayon extérieur de la poutre tubulaire.

Elles sont amplifiées le cas échéant par le coefficient d’intensification de contraintes \(sif\).

\[\sigma = sif \cdot \frac{M_f}{I} \cdot R\]

Nota : Le calcul des contraintes se fait avec le moment d’inertie « vrai », non modifié par le coefficient de flexibilité.

Modélisation A#

Caractéristiques du maillage#

Le maillage est constitué de deux mailles SEG2 d’égale longueur.

Caractéristiques de la modélisation#

La poutre est modélisée par des poutres de Timoshenko avec des éléments POU_D_T.

Conditions aux limites et chargements#

La poutre est encastrée au niveau du groupe de noeud FIXA avec DDL_IMPO.

La force est appliquée à l’autre extrémité de la poutre au niveau du groupe de noeud TIPA avec FORCE_NODALE.

Grandeurs testées et résultats#

Les valeurs testées sont les contraintes SIPO_NOEU au niveau de l’ancrage (groupe de noeud FIXA) ainsi que les flèches au niveau de l’extrémité libre (groupe de noeud TIPA).

Les expressions analytiques sont dans le fichier de commandes et servent à tester toutes les valeurs calculées et toutes les valeurs de référence dans les TEST_RESU.

Synthèse des résultats#

Pour chaque modélisation traitée, les résultats correspondent à la solution analytique.

À noter que la précision en termes de flèche a été légèrement relaxée, la flèche des poutres de Timoschenko dépendant aussi des efforts de cisaillement, négligés ici.