v3.04.131 SSLV131 - Orthotropie dans un repère quelconque#
Résumé
Ce cas test valide les modélisations relatives à l’élasticité linéaire qui mettent en œuvre des matériaux orthotropes dont les propriétés sont connues dans un repère défini par l’utilisateur différent du repère global.
Solution de référence#
Méthode de calcul#
Le calcul est analytique.
On a utilisé le programme de calcul formel Mathématica pour le réaliser.
On sait que le champ de déplacement est:
\(\mathrm{dX}=\mathrm{2x}+\mathrm{3y}+\mathrm{4z}\)
\(\mathrm{dY}=\mathrm{3x}+\mathrm{5y}+\mathrm{6z}\)
\(\mathrm{dZ}=\mathrm{4x}+\mathrm{6y}+\mathrm{7z}\)
Le champ de déformations \({\varepsilon}_{G}\) dans le repère global est donc constant et égal à:
Soit \(P\) la matrice de passage permettant de faire passer un vecteur du repère global \((A,X,Y,Z)\) au repère local \((A,L,N,T)\) .
Soit
le tenseur de déformation dans le repère local. On a: \({\varepsilon}_{L}=P\cdot {\varepsilon}_{G}\cdot {P}^{T}\)
Le tenseur de Hooke
est connu dans le repère local, soit
le tenseur des contraintes dans ce repère. On a:
On obtient le tenseur
des contraintes dans le repère global par:
Dans le cas où on applique un champ de température, les équations ci-dessus sont modifiées comme suit:
Le champ de déformations
dans le repère global est toujours le même:
Soit
le tenseur de déformation dans le repère local. On a:
Le tenseur des déformations mécaniques dans le repère local vaut donc:
avec
, les autres composantes étant nulles
Le tenseur de Hooke
est connu dans le repère local. Soit
le tenseur des contraintes dans ce repère. On a:
On obtient le tenseur
des contraintes dans le repère global par:
Résultats de référence#
Ils sont obtenus en effectuant les opérations décrites ci-dessus avec Mathematica.
Incertitudes sur la solution#
L’incertitude est nulle car la solution est analytique.
Références bibliographiques#
Pour la description des matrices de Hooke pour des matériaux isotrope transverse et orthotrope pour les modélisations 3D, contraintes planes et déformations planes, la référence choisie a été:
‘Matrice de Hooke pour les matériaux orthotropes ‘. Rapport interne applications en Mécanique n°79‑018 de Jean-Claude Masson CISI.
Modélisation A#
Caractéristiques de la modélisation#
La modélisation 3D est mise en œuvre. On teste les matériaux isotrope transverse et orthotrope (avec éventuellement prise en compte de déformations d’origines thermiques)
Remarques:
L’isotropie transverse n’est pas testée pour les contraintes planes car ce cas correspond à l’isotropie.
Pour le cas axisymétrique le champ de contraintes dépend du point de calcul.
Ce point est choisi au point d’intégration du triangle (i.e. c’est le centre de gravité du triangle).
On rappelle que l’orthotropie dans un repère quelconque n’est pas disponible pour la modélisation en Fourier car il y a alors couplage de toutes les composantes du tenseur de contraintes:
La mise en œuvre actuelle permet de n’utiliser que les composantes symétriques à partir desquelles on peut retrouver les composantes antisymétriques mais pour que ce soit possible, il ne faut pas que les glissements induisent des contraintes de traction.
Caractéristiques du maillage#
On a un élément tétraèdre à 4 nœuds \(\mathrm{ABCD}\) .
Valeurs testées#
Identification |
Référence |
Cas de l’isotropie transverse 3D |
|
nom du résultat: \(\mathit{Mest1}\) |
|
champ de déplacement |
|
\(\mathit{dy}(c)\) |
21 |
champ EPSI_ELGA |
|
\(\mathit{EPXY}\) |
3 |
\(\mathit{EPXZ}\) |
4 |
\(\mathit{EPYZ}\) |
6 |
champ SIEF_ELGA |
|
\(\mathit{SIXX}\) |
43310.760 |
\(\mathit{SIYY}\) |
72798.710 |
\(\mathit{SIZZ}\) |
62459.356 |
\(\mathit{SIXY}\) |
39567.891 |
\(\mathit{SIXZ}\) |
31078.597 |
\(\mathit{SIYZ}\) |
84049.301 |
champ SIGM_ELNO |
|
\(\mathit{SIXX}\) |
43310.760 |
champ emel–elga Ep |
1.19123 E6 |
Champ emel–elno–elga Ep |
1.19123 E6 |
Cas de l’orthotropie 3D |
|
nom du résultat: \(\mathit{Mest2}\) |
|
champ de déplacement |
|
\(\mathit{dy}(c)\) |
21 |
champ EPSI_ELGA |
|
\(\mathit{EPXY}\) |
3 |
\(\mathit{EPXZ}\) |
4 |
\(\mathit{EPYZ}\) |
6 |
champ SIEF_ELGA |
|
\(\mathit{SIXX}\) |
601.8754 |
\(\mathit{SIYY}\) |
80053.665 |
\(\mathit{SIZZ}\) |
78596.607 |
\(\mathit{SIXY}\) |
83948.263 |
\(\mathit{SIXZ}\) |
17339.093 |
\(\mathit{SIYZ}\) |
126571.71 |
champ enel–elga \(\mathit{Ep}\) |
1.55286.106 |
champ enel–elno–elga \(\mathit{Ep}\) |
1.55286.106 |
Cas de l’orthotropie avec prise en compte des déformations thermiques (commande STAT_NON_LINE ) |
|
nom du résultat: \(\mathit{Mest3}\) |
|
champ de déplacement |
|
\(\mathit{dy}(c)\) |
21 |
Identification |
Référence |
champ EPSI_ELGA |
|
\(\mathit{EPXY}\) |
3 |
\(\mathit{EPXZ}\) |
4 |
\(\mathit{EPYZ}\) |
6 |
champ SIEF_ELGA |
|
\(\mathit{SIXX}\) |
1226.2014 |
\(\mathit{SIYY}\) |
78597.064 |
\(\mathit{SIZZ}\) |
76585.792 |
\(\mathit{SIXY}\) |
83710.907 |
\(\mathit{SIXZ}\) |
17255.703 |
\(\mathit{SIYZ}\) |
126657.367 |
Cas de l’orthotropie avec prise en compte des déformations thermiques (commande MECA_STATIQUE ) |
|
nom du résultat: \(\mathit{Mest4}\) |
|
champ de déplacement |
|
\(\mathit{dy}(c)\) |
21 |
champ EPSI_ELGA |
|
\(\mathit{EPXY}\) |
3 |
\(\mathit{EPXZ}\) |
4 |
\(\mathit{EPYZ}\) |
6 |
champ SIEF_ELGA |
|
\(\mathit{SIXX}\) |
1226.2014 |
\(\mathit{SIYY}\) |
78597.064 |
\(\mathit{SIZZ}\) |
76585.792 |
\(\mathit{SIXY}\) |
83710.907 |
\(\mathit{SIXZ}\) |
17255.703 |
\(\mathit{SIYZ}\) |
126657.367 |
Synthèse des résultats#
Les résultats fournis par Mathématica et Aster sont identiques pour toutes les modélisations utilisables avec des matériaux isotrope transverse et orthotrope.