v2.03.201 SDLP201 – Utilisation de la méthode CALM pour la modélisation de la propagation d’une onde de compression dans un barreau élastique#
Résumé:
Ce test compare l’efficacité d’absorption des éléments de frontière absorbants dans un cadre de propagation d’onde de compression dans un barreau élastique avec la méthode CALM [bib1].
Problème de référence#
Il s’agit de déterminer la réponse monodirectionnelle d’un barreau élastique à une onde de compression pour évaluer l’efficacité de la méthode CALM dans l’absorption d’une onde élastique sur une frontière du domaine. On cherche donc à évaluer la capacité de la méthode CALM à modéliser un amortissement radiatif. Pour cela, on se compare également à la capacité d’absorption des frontières absorbantes.
Géométrie#
On considère un barreau élastique orienté selon l’axe globale \(X\). Dans la Fig. 488 on montre la géométrie du barreau:
\(L_1\) est la longueur du barreau
\(L_2\) est la longueur de la couche CALM
\(H\) est la hauteur du barreau
\(A\) est le noeud de post-traitement, qui est positionné au milieu du barreau
Fig. 488 Géométrie du barreau élastique#
Dans le Tableau 116 on fournit les mesures géométriques du barreau.
Mesure géométrique |
Valeur [m] |
|---|---|
\(L_1\) |
\(800\) |
\(L_2\) |
\(200\) |
\(H\) |
\(4\) |
En plus de la configuration géométrique présentée dans la Fig. 488, on étudie une deuxième configuration présentée dans la Fig. 489.
Fig. 489 Géométrie du barreau élastique avec une extrémité inclinée#
Il est connu que les frontières absorbantes diminuent progressivement leur capacité à absorber les ondes élastiques dès que l’incidence de l’onde n’est plus orthogonale par rapport à la frontière. En particulier, dès qu’on dépasse un angle d’incidence de \(30°\), la capacité d’absorption diminue drastiquement. Cette configuration nous est utile pour évaluer l’efficacité de la méthode CALM par rapport aux frontière absorbante. La configuration géométrique considérée présente un angle \(\phi=70°\).
Propriétés des matériaux#
Le barreau est composé d’un matériau élastique avec des caractéristiques qui sont résumées dans le Tableau 117, où:
\(E\) est le module d’Young
\(\rho\) est la densité volumique
\(\nu\) est le coefficient de Poisson
Caractéristique matériau |
Valeur |
|---|---|
\(E\) [\(MPa\)] |
\(80\) |
\(\rho\) [\(kg/m^3\)] |
\(2000\) |
\(\nu\) [\(-\)] |
\(0\) |
Modélisation et conditions aux limites#
Le barreau élastique est modélisé en déformations planes (D_PLAN) avec un maillage linéaire composé des éléments QUA4 carrés de taille \(l_{ef}=1\) m. Pour simuler une propagation monodirectionnelle on impose tous les degrés de liberté en direction \(Y\) nuls.
Chargement#
Le signal transitoire est imposé de deux façon différentes:
Pour les modélisation A, B, C et D on impose un déplacement \(d_{impo}\) sur le bord \(BC\) (Fig. 488)
Pour les modélisation E et F on impose une onde plane en direction \(-X\) sur la frontière DE (Fig. 488). On rappelle que l’onde plane est imposé dans code_aster via une frontière absorbante et en particulier via une fonction temporelle de vitesse. On intègre donc le signal utilisé dans les modélisation A,B,C et D
Le chargement imposé est une ondelette de Ricker, qui peut être écrit sous la forme suivante:
où:
\(t_0=0.6\) s
\(f=3\) Hz
Le pas de temps considéré est \(\Delta t=0.002\) s. Dans la Fig. 490 on montre l’ondelette de Ricker utilisée dans cette modélisation.
Fig. 490 Representation de l’ondelette de Ricker imposée#
La modélisation de la couche CALM#
L’idée principale de la méthode CALM est de modéliser un amortissement qui monte progressivement tout au long de la couche pour absorber les ondes et sans générer un contraste trop élevé qui puisse générer des réflexions parasites. Pour faire cela, dans code_aster on peut définir des caractéristiques matériaux qui sont fonction de la géométrie. On définit donc l’amortissement en deux étapes:
La première étape est définir un amortissement de Rayleigh constant dans le barreau élastique. Pour cela, on recale un amortissement \(\xi_0=0.2\%\) entre \(1\) et \(10\) Hz
Ensuite, dans la couche CALM, on fait évoluer un amortissement de Rayleigh qui vaut \(\xi_0\%\) pour \(x=L_1\) et qui vaut \(\xi_{max}=400\%\) pour \(x=L_1+L_2\) avec une progression parabolique dépendante de la coordonnée \(x\)
Note
Dans la configuration géométrique du barreau avec frontière inclinée (Fig. 489) on aura également une dependance de la coordonnée \(y\).
Modélisation A#
Caractéristiques de la modélisation#
La modélisation A sert à tester l’efficacité de la frontière absorbante placée dans le bord DE (Fig. 488). L’ondelette de Ricker est imposée sur le bord BC.
Grandeurs testées et résultats#
Sur cette première modélisation on va effectuer un test de non-regression sur la valeur de pic du déplacement DX à l’instant \(t = 2.598\) s.
Modélisation B#
Caractéristiques de la modélisation#
La modélisation B est identique à la modélisation A mais sert à tester l’efficacité de la frontière absorbante sur la configuration géométrique avec frontière inclinée (Fig. 489).
Grandeurs testées et résultats#
Sur cette modélisation on va effectuer un test de non-regression sur la valeur de pic du déplacement DX à l’instant \(t = 2.598\) s et on compare aussi cette valeur avec celle de la modélisation A.
Modélisation C#
Caractéristiques de la modélisation#
La modélisation C sert à tester l’efficacité de la couche CALM placée après le bord le bord DE (Fig. 488). L’ondelette de Ricker est imposée sur le bord BC.
Grandeurs testées et résultats#
Sur cette modélisation on va effectuer un test de non-regression sur la valeur de pic du déplacement DX à l’instant \(t = 2.598\) s et on compare aussi cette valeur avec celle de la modélisation A.
Modélisation D#
Caractéristiques de la modélisation#
La modélisation D est identique à la modélisation C mais sert à tester l’efficacité de la couche CALM sur la configuration géométrique avec frontière inclinée (Fig. 489).
Grandeurs testées et résultats#
Sur cette modélisation on va effectuer un test de non-regression sur la valeur de pic du déplacement DX à l’instant \(t = 2.598\) s et on compare aussi cette valeur avec celle de la modélisation A.
Modélisation E#
Caractéristiques de la modélisation#
La modélisation E sert à tester l’efficacité de la couche CALM en ajoutant en parallèle une frontière absorbante sur le bord DE pour imposer l’onde plane \(v_{impo}\) en direction \(-X\) (Fig. 488). Pour cela il faut éviter de créer un double contraste créé par la couche CALM et la frontière absorbante. Comme on veut s’en servir de la frontière absorbante exclusivement pour introduire le chargement onde plane, on appliquera un coefficient de reduction sur les caractéristiques élastiques de la frontière qui sera ensuite re-appliqué sur le signal temporel.
Grandeurs testées et résultats#
Sur cette modélisation on va effectuer un test de non-regression sur la valeur de pic du déplacement DX à l’instant \(t = 2.598\) s.
Modélisation F#
Caractéristiques de la modélisation#
La modélisation F est identique à la modélisation E et sert à tester la condensation de la couche CALM sur le bord DE (Fig. 488).
Grandeurs testées et résultats#
Sur cette modélisation on va effectuer un test de non-regression sur la valeur de pic du déplacement DX à l’instant \(t = 2.598\) s et on compare aussi cette valeur avec celle de la modélisation E.
Analyse des résultats#
Dans ce chapitre on fournira une analyse critique sur la capacité d’absorber les ondes élastique en fonction de la modélisation choisie. Pour cela on va imposer l’ondelette de Ricker pour un temps suffisamment long pour voir une éventuelle réflexion parasite au centre du barreau élastique (le point \(A\) dans la Fig. 488).
Dans la Fig. 491 on teste la capacité des éléments de frontière absorbante à atténuer les ondes élastiques sans générer d’ondes parasites. On voit que dans le cas d’une incidente orthogonale l’efficacité est maximale (modélisation A) alors que dans le cas d’une incidence non orthogonale l’efficacité se dégrade en générant une onde parasite de réflexion non négligeable (modélisation B).
Fig. 491 Comparaison du déplacement au centre du barreau entre la modélisation d’une frontière absorbante orthogonale à la direction d’incidence (modélisation A) et la modélisation d’une frontière absorbante non orthogonale à la direction d’incidence (modélisation B)#
Dans la Fig. 492 on teste la capacité de la méthode CALM à atténuer les ondes élastiques sans générer des ondes parasites. On voit que dans le cas d’une incidente orthogonale l’efficacité est maximale (modélisation C) mais également dans le cas d’une incidence non orthogonale l’efficacité ne diminue pas (modélisation D). Aucune onde parasite n’est générée.
Fig. 492 Comparaison du déplacement au centre du barreau entre la modélisation d’une couche CALM orthogonale à la direction d’incidence (modélisation C) et la modélisation d’une couche CALM non orthogonale à la direction d’incidence (modélisation D)#
Dans la Fig. 493 on teste la possibilité d’imposer une onde plane via une frontière absorbante avec une couche CALM qui absorbe l’onde plane (modélisation E) et on se compare à la même modélisation en rajoutant la condensation de la couche CALM (modélisation F). Les résultats sont identiques. On remarque que l’onde est réfléchie par le bord BC et est ensuite absorbée par la couche CALM.
Fig. 493 Comparaison du déplacement au centre du barreau entre la modélisation d’une couche CALM complète (modélisation E) et la modélisation d’une couche CALM condensé (modélisation F)#
Bibliographie#
Semblat, J. F. & Pecker, A. (2009). Waves and Vibrations in Soils: Earthquakes, Traffic, Shocks, Construction works. IUSS Press.
Christensen, R. M. , Theory of Viscoelasticity: An Introduction, Academic Press Inc, 1971.
Zienkiewicz, O. C. , Bando, K., Bettes, P., Emson, C., and Chiam, T. C., “Mapped infinite elements for exterior wave problems,” International Journal for Numerical Methods in Engineering, vol. 21, no. 7, pp. 1229-1251, 1985.