v7.31.152 WTNV152 - Diffusion de la vapeur d’eau dans un mélange gazeux#

Résumé :

On considère ici un problème à température et saturation constante. La perméabilité est négligeable de façon à se ramener à un problème purement diffusif. Par des conditions aux limites appropriées, on impose une pression de gaz et une pression d’eau liquide constantes en imposant une pression capillaire sur un bord du domaine (flux nuls de l’autre coté). Seule la pression de vapeur d’eau évolue. Ce problème se ramène en à équation en pression de vapeur d’eau de type «équation de la chaleur». La solution de référence sera alors un calcul thermique ASTER.

Modélisation A :

  • Modélisations D_PLAN_HH2MD, D_PLAN_THH2MD, _PLAN_HH2D, (modélisations planes et lumpées)

La mécanique et la thermique sont bloquées partout.

  • Couplage: loi LIQU_AD_GAZ_VAPE

Modélisation B :

  • Modélisations AXIS_HH2MD, AXIS_THH2MD, _AXIS_HH2D, (modélisations axisymétriques et lumpées)

La mécanique et la thermique sont bloquées partout.

  • Couplage: loi LIQU_AD_GAZ_VAPE

Modélisation C :

  • Modélisations 3D_HH2MD, 3D_THH2MD, _3D_HH2D, (modélisations 3D et lumpées)

La mécanique et la thermique sont bloquées partout.

  • Couplage: loi LIQU_AD_GAZ_VAPE

Modélisation D :

  • Modélisations D_PLAN_HHMD, D_PLAN_THHMD, _PLAN_HHD, (modélisations planes et lumpées)

La mécanique est ici bloquée partout.

  • Couplage: loi LIQU_VAPE_GAZ

Solution de référence#

Méthode de calcul#

Calcul de la conservation de la masse d’eau

La conservation de la masse d’eau \({\mathit{m}}_{\text{eau}}\) s’écrit:

(4955)#\[\frac{dm_{\text{eau}}}{dt} + Div (M_{w} + M_{}v) = 0\]

Avec \({\mathit{M}}_{\text{w}}\) et \({\mathit{M}}_{\text{v}}\) les flux d’eau liquide et de vapeur d’eau respectivement.

On écrit que l’apport de masse totale d’eau est égale à celui de la masse de la vapeur d’eau (du fait de l’incompressibilité de l’eau) et on obtient:

(4956)#\[dm_{\text{eau}} = (1-\mathit{S}){\phi}d{\rho}_{\text{v}} =(1-\mathit{S})\frac{{M}_{\text{v}}^{\text{ol}}}{RT}{\phi}{d{p}_{\text{v}}}\]

Comme la perméabilité est négligeable, on a :

(4957)#\[M_{w}=0\]

Concernant le flux de vapeur d’eau, on l’écrit sous la forme:

(4958)#\[M_{v}= {{\rho}_{\text{v}}}{{\lambda}_{\text{gz}}}(-\nabla{{p}_{\text{gz}}})-{{\mathit{F}}_{\text{v}}}{{\rho}_{\text{gz}}}{\nabla{\frac{{\rho}_{\text{v}}}{{\rho}_{\text{gz}}}}}\]

Avec \({\lambda}_{\text{gz}}\) la conductivité au gaz, \({\rho}_{\text{gz}}\) la densité du gaz, \({\rho}_{\text{v}}\) la densité de la vapeur d’eau et \({\mathit{F}}_{\text{v}}\) le coefficient de diffusion de Fick pour la vapeur d’eau

Etant donné que la pression de gaz (et sa densité du fait que les 2 composants ont la même masse molaire) est constante, on peut écrire l’équation (4958) sous la forme:

(4959)#\[M_{v}= -{{\mathit{F}}_{\text{v}}}{\nabla{{\rho}_{\text{v}}}} = -{{\mathit{F}}_{\text{v}}}\frac{{M}_{\text{v}}^{\text{ol}}}{RT}(\nabla{{p}_{\text{v}}})\]

L’équation (4955) pourra alors s’écrire sous la forme:

(4960)#\[(1-\mathit{S}){\phi}\frac{d{p}_{\text{v}}}{dt}= {{\mathit{F}}_{\text{v}}}(\nabla{{p}_{\text{v}}})\]

L’équation (4960) peut alors se simplifier et s’écrire sous la forme suivante:

(4961)#\[{C}\frac{d{p}_{\text{v}}}{dt}= {L}(\nabla{{p}_{\text{v}}})\]

Equation de la chaleur que l’on traite par un calcul thermique Aster en considérant \(C = (1-\mathit{S}){\phi} = 0.6\) (avec \({\phi} = 1\) et \({\mathit{S}} = 0.4\)) et \(L={{\mathit{F}}_{\text{v}}}= FV = 10^{-12}{m}^{2}.{s}^{-1}\)

Modélisation A#

Caractéristiques de la modélisation#

Modélisation en déformations planes.

Modèles testés: D_PLAN_HH2MD/D_PLAN_THH2MD/D_PLAN_HH2D.

Loi hydraulique: LIQU_AD_GAZ_VAPE.

Caractéristiques du maillage#

20 éléments QUAD8.

Grandeurs testées et résultats#

On rappelle que la température issue du calcul thermique correspond à une pression de vapeur de notre calcul thermo-hydro-mécanique. Cette valeur de pression de vapeur (température) est convertie en une pression capillaire de référence \(\mathit{Pc_{REF}}\) par la loi de Kelvin 1.3-1 et est comparée à la pression capillaire \(\mathit{PRE1}\) issue du calcul avec le modèle THM.

Le calcul est réalisé sur 10 pas de temps avec la modélisation D_PLAN_HH2MD :

\(X\) ( \(m\) )

Numéro d’ordre ( - )

\(\mathit{PRE1}\)

\(\mathit{Pc_{REF}}\)

ECART ( \(\text{%}\) )

0,2

1

317.54e6

315.62e6

0.61

0,2

10

402.08e6

400.87e6

0.30

La même vérification a été faite sur un pas de temps pour la modélisation en D_PLAN_THH2MD (tout en bloquant la température partout) et en D_PLAN_HH2D, les résultats sont quasiment identiques :

\(X\) ( \(m\) )

Numéro d’ordre ( - )

\(\mathit{PRE1}\)

\(\mathit{Pc_{REF}}\)

ECART ( \(\text{%}\) )

0,2

1

317.56e4

315.62e6

0.61

Modélisation B#

Caractéristiques de la modélisation#

Même modélisation que A en AXIS.

Modèles testés: AXIS_HH2MD/AXIS_THH2MD/AXIS_HH2D.

Loi hydraulique: LIQU_AD_GAZ_VAPE.

Caractéristiques du maillage#

20 éléments QUAD8.

Grandeurs testées et résultats#

On rappelle que la température issue du calcul thermique correspond à une pression de vapeur de notre calcul thermo-hydro-mécanique. Cette valeur de pression de vapeur (température) est convertie en une pression capillaire de référence \(\mathit{Pc_{REF}}\) par la loi de Kelvin 1.3-1 et est comparée à la pression capillaire \(\mathit{PRE1}\) issue du calcul avec le modèle THM. Le calcul est réalisé sur 10 pas de temps avec la modélisation AXIS_HH2MD :

\(X\) ( \(m\) )

Numéro d’ordre ( - )

\(\mathit{PRE1}\)

\(\mathit{Pc_{REF}}\)

ECART ( \(\text{%}\) )

0,2

1

312.4e6

310.98e6

0.46

0,2

10

340.71e6

337.14e6

1.06

La même vérification a été faite sur un pas de temps pour la modélisation en AXIS_THH2MD (tout en bloquant la température partout) et en AXIS_HH2D, les résultats sont quasiment identiques :

\(X\) ( \(m\) )

Numéro d’ordre ( - )

\(\mathit{PRE1}\)

\(\mathit{Pc_{REF}}\)

ECART ( \(\text{%}\) )

0,2

1

312e6

310.98e6

0.33

Modélisation C#

Caractéristiques de la modélisation#

Même modélisation qu’en A en 3D.

Modèles testés: 3D_HH2MD/3D_THH2MD/3D_HH2D.

Loi hydraulique: LIQU_AD_GAZ_VAPE.

Caractéristiques du maillage#

203 éléments TETRA10.

Grandeurs testées et résultats#

On rappelle que la température issue du calcul thermique correspond à une pression de vapeur de notre calcul thermo-hydro-mécanique. Cette valeur de pression de vapeur (température) est convertie en une pression capillaire de référence \(\mathit{Pc_{REF}}\) par la loi de Kelvin 1.3-1 et est comparée à la pression capillaire \(\mathit{PRE1}\) issue du calcul avec le modèle THM. Le calcul est réalisé sur 10 pas de temps avec la modélisation 3D_HH2MD :

\(X\) ( \(m\) )

Numéro d’ordre ( - )

\(\mathit{PRE1}\)

\(\mathit{Pc_{REF}}\)

ECART ( \(\text{%}\) )

0,2

1

317.4e6

315.61e6

0.57

0,2

10

401.88e6

400.76e6

0.28

La même vérification a été faite sur un pas de temps pour la modélisation en 3D_THH2MD (tout en bloquant la température partout) et en 3D_HH2D, les résultats sont quasiment identiques :

\(X\) ( \(m\) )

Numéro d’ordre ( - )

\(\mathit{PRE1}\)

\(\mathit{Pc_{REF}}\)

ECART ( \(\text{%}\) )

0,2

1

317.42e6

315.62e6

0.57

Modélisation D#

Caractéristiques de la modélisation#

Même modélisation qu’en A.

Modèles testés: D_PLAN_HHMD/D_PLAN_THHMD/D_PLAN_HHD.

Loi hydraulique: LIQU_VAPE_GAZ.

Caractéristiques du maillage#

20 éléments QUAD8.

Grandeurs testées et résultats#

On rappelle que la température issue du calcul thermique correspond à une pression de vapeur de notre calcul thermo-hydro-mécanique. Cette valeur de pression de vapeur (température) est convertie en une pression capillaire de référence \(\mathit{Pc_{REF}}\) par la loi de Kelvin 1.3-1 et est comparée à la pression capillaire \(\mathit{PRE1}\) issue du calcul avec le modèle THM :

\(X\) ( \(m\) )

Numéro d’ordre ( - )

\(\mathit{PRE1}\)

\(\mathit{Pc_{REF}}\)

ECART ( \(\text{%}\) )

0,2

1

317.54e6

315.61e6

0.61

0,2

10

400.87e6

402.08e6

0.30

La même vérification a été faite pour la modélisation en D_PLAN_THHMD (tout en bloquant la température partout) et en D_PLAN_HHD, les résultats sont quasiment identiques :

\(X\) ( \(m\) )

Numéro d’ordre ( - )

\(\mathit{PRE1}\)

\(\mathit{Pc_{REF}}\)

ECART ( \(\text{%}\) )

0,2

1

317.5e4

315.6e6

0.61

Synthèse des résultats#

Les résultats sont en très bon accord avec la solution semi-analytique.