v3.03.141 SSLS141 – Plaque en Flexion et cisaillement#
Résumé:
L’objectif de ce test est de valider la réponse en cisaillement des éléments coques DST (QUAD4) et Q4G (QUAD4).
Mod_lisation_C Mod_lisation_D 1 Mod_lisation_E 2 Mod_lisation_F 3 Synth_se_des_r_sultats
Solution de référence#
Grandeurs et résultats de référence#
Modèle analytique de la plaque#
On considère que la réponse de la plaque correspond à la réponse d’une poutre en console (car \(\nu =0\) ). Dans ce cas, le déplacement de la plaque est donné par les déplacements de chaque section de plaque, suivant la direction \(x(u)\) , \(z(w)\) et leur rotation par rapport à l’axe \(y({\theta}_{y})\) .
\({U}_{x}(x,z)=u(x)+z{\theta}_{y}(x)\) \({U}_{z}(x,z)=w(x)\)
En tout point , les déformations sont:
\({\varepsilon}_{xx}(x,z)=u'+z{\theta}_{y}'\) et \(2{\varepsilon}_{xz}(x,z)={\theta}_{y}+w'={\gamma}_{z}\)
La poutre est encastrée en \(x=0\) et soumis à une force verticale \(F\) en \(x=L\) .
La résolution (principe des travaux virtuels et l’équilibre des forces) donne l’expression des efforts généralisés dans le cas d’une réponse linéaire élastique: \(N\) est la force axiale, \({M}_{y}\) le moment suivant l’axe \(y\) et \(T\) l’effort tranchant.
\(N(x)=EAu'(x)\) et \(>\)
\({M}_{y}(x)=EI{\theta}_{y}'(x)\) \(>\)
\(T(x)=GkA{\gamma}_{z}\) \(>\)
où le paramètre \(k\) est le facteur de correction en cisaillement
avec les conditions aux limites, on en déduit les déplacements \(u,w\mathit{et}{\theta}_{y}\) :
\(>\) , \(>\) , \({\theta}_{y}(x)=\frac{F}{EI}\frac{x(x-2L)}{2}\)
Les déformations et contraintes sont:
\({\varepsilon}_{xx}=z\frac{-F}{EI}(L-x)\) et \({\sigma}_{xx}=z\frac{-F}{I}(L-x)\)
\(2{\varepsilon}_{xz}=\frac{F}{GkA}={\gamma}_{z}\) et \({\sigma}_{xz}=\frac{-F}{A}6({z}^{2}/{h}^{2}-1/4)\)
où \(h\) est la hauteur de la plaque. La distribution des contraintes en cisaillement est parabolique dans l’épaisseur de la plaque pour respecter les conditions de surface libre
( \({\sigma}_{xz}(z=h/2)={\sigma}_{xz}(z=-h/2)=0\) ).
La réponse verticale en déplacement du point \(x=L\) est:
\({U}_{z}(L)=\frac{F}{3EI}{L}^{3}+\frac{FL}{GkA}\)
Incertitudes sur la solution#
La solution de référence est analytique. Il n’y a donc pas d’incertitude.
Modélisation A#
Caractéristiques de la modélisation#
Le modèle est constitué de 1 plaque avec une couche.
Les éléments utilisés sont des éléments de plaque DST.
Caractéristiques du maillage#
Le maillage est régulier. On a 10 subdivisions selon \(x\) et 5 subdivisions selon \(y\) ; soit au total 50 mailles DSQ (QUAD4) et 66 nœuds.
Grandeurs testées et résultats#
Identification |
Type de référence |
Valeurs de référence |
Tolérance |
DZ ( \(\mathit{A3}\) ) |
“ANALYTIQUE” |
-3.92125E-05 |
0.001 |
MXX(\(\mathit{A1}\) ) |
“ANALYTIQUE” |
10000 |
0.001 |
QX(\(\mathit{A1}\) ) |
“ANALYTIQUE” |
-1000 |
0.001 |
SIXX(\(\mathit{M1},\mathit{PT1},\mathit{SSPT2}\) ) |
“ANALYTIQUE” |
0.0 |
1.0E-8 |
SIXX(\(\mathit{M1},\mathit{PT1},\mathit{SSPT3}\) ) |
“ANALYTIQUE” |
1981.17 |
0.001 |
SIXZ(\(\mathit{M1},\mathit{PT1},\mathit{SSPT2}\) ) |
“ANALYTIQUE” |
-1875.0 |
0.001 |
SIXZ(\(\mathit{M1},\mathit{PT1},\mathit{SSPT3}\) ) |
“ANALYTIQUE” |
0.0 |
1.0E-8 |
SIXX(\(\mathit{M50},\mathit{PT2},\mathit{SSPT2}\) ) |
“ANALYTIQUE” |
0.0 |
1.0E-8 |
SIXX(\(\mathit{M50},\mathit{PT2},\mathit{SSPT3}\) ) |
“ANALYTIQUE” |
91768.83 |
0.001 |
SIXZ(\(\mathit{M50},\mathit{PT2},\mathit{SSPT2}\) ) |
“ANALYTIQUE” |
-1875.0 |
0.001 |
SIXZ(\(\mathit{M50},\mathit{PT2},\mathit{SSPT3}\) ) |
“ANALYTIQUE” |
0.0 |
1.0E-8 |
EPXX(\(\mathit{M50},\mathit{PT2},\mathit{SSPT2}\) ) |
“ANALYTIQUE” |
0.0 |
1.0E-8 |
EPXX(\(\mathit{M50},\mathit{PT2},\mathit{SSPT3}\) ) |
“ANALYTIQUE” |
4.58844E-07 |
0.001 |
EPXZ(\(\mathit{M50},\mathit{PT2},\mathit{SSPT2}\) ) |
“ANALYTIQUE” |
-7.5E-09 |
0.001 |
EPXZ(\(\mathit{M50},\mathit{PT2},\mathit{SSPT3}\) ) |
“ANALYTIQUE” |
-7.5E-09 |
0.001 |
Tableau 3.3-1
Modélisation B#
Caractéristiques de la modélisation#
Le modèle est constitué de 1 plaque avec 2 couches.
Les éléments utilisés sont des éléments de plaque DST.
Caractéristiques du maillage#
Le maillage est régulier. On a 10 subdivisions selon \(x\) et 5 subdivisions selon \(y\) ; soit au total 50 mailles DST (QUAD4) et 66 nœuds.
Grandeurs testées et résultats#
Identification |
Type de référence |
Valeurs de référence |
Tolérance |
DZ ( \(\mathit{A3}\) ) |
“ANALYTIQUE” |
-3.92125E-05 |
0.001 |
MXX(\(\mathit{A1}\) ) |
“ANALYTIQUE” |
10000 |
0.001 |
QX(\(\mathit{A1}\) ) |
“ANALYTIQUE” |
-1000 |
0.001 |
SIXX(\(\mathit{M1},\mathit{PT1},\mathit{SSPT3}\) ) |
“ANALYTIQUE” |
1.0E-8 |
|
SIXX(\(>\) ) |
“ANALYTIQUE” |
1981.17 |
0.001 |
SIXZ(\(>\) ) |
“ANALYTIQUE” |
-1875.0 |
0.001 |
SIXZ(\(>\) ) |
“ANALYTIQUE” |
0.0 |
1.0E-8 |
SIXX(\(>\) ) |
“ANALYTIQUE” |
0.0 |
1.0E-8 |
SIXX(\(>\) ) |
“ANALYTIQUE” |
91768.83 |
0.001 |
SIXZ(\(>\) ) |
“ANALYTIQUE” |
-1875.0 |
0.001 |
SIXZ(\(>\) ) |
“ANALYTIQUE” |
0.0 |
1.0E-8 |
EPXX(\(>\) ) |
“ANALYTIQUE” |
0.0 |
1.0E-8 |
EPXX(\(>\) ) |
“ANALYTIQUE” |
4.58844E-07 |
0.001 |
EPXZ(\(>\) ) |
“ANALYTIQUE” |
-7.5E-09 |
0.001 |
EPXZ(\(>\) ) |
“ANALYTIQUE” |
-7.5E-09 |
0.001 |
Tableau 4.3-1