v7.22.102 HSNV102 - Thermo-métallo-plasticité couplée en traction simple#
Résumé:
On traite la détermination de l’évolution mécanique d’un barreau cylindrique soumis à des évolutions thermique \(T(t)\) et métallurgique \(Z(t)\) connues et uniformes (la transformation métallurgique est de type martensitique).
Les éléments utilisés sont des éléments axisymétriques.
Pour les modélisations A et B, la relation de comportement est de la plasticité de VonMises avec écrouissage isotrope. Pour la modélisationB, on tient également compte de la plasticité de transformation.
Dans la modélisation C, un comportement viscoplastique avec écrouissage isotrope linéaire est considéré et la plasticité de transformation n’est pas prise en compte.
La limite élastique et la pente de la courbe de traction dépendent de la température et de la composition métallurgique.
Le coefficient de dilatation \(\alpha\) dépend de la composition métallurgique.
Les transformations métallurgiques ont lieu à \({\dot{\epsilon}}^{p}\ne 0\) (c’est en ce sens que le test couple la plasticité de transformation de la plasticité classique).
Solution de référence#
Méthode de calcul utilisée pour la solution de référence#
Avant transformation , solution thermo-élastique pour \(t<{\tau}_{1}\) (pas de transformation métallurgique \(\dot{Z}=0\) ).
\(\lbrace \begin{array}{c}{\epsilon}_{zz}(t)={\epsilon}_{zz}^{e}(t)+{\epsilon}_{zz}^{\mathit{th}}(t)\\ {\sigma}_{zz}(t)={p}_{0}t\\ {\epsilon}_{zz}^{e}(t)=\frac{{\sigma}_{zz}(t)}{E}\\ {\epsilon}_{zz}^{\mathit{th}}(t)={\alpha}_{\mathit{aust}}(T-{T}^{0})\end{array}\)
La limite élastique est atteinte pour:
\({\tau}_{1}=\frac{{\sigma}_{0}^{\mathit{aust}}}{{p}_{0}-{s}^{\mathit{aust}}\mu }\)
Pendant la transformation , solution thermo-métallo-élasto-plastique, pour \({\tau}_{1}\le t\le {\tau}_{2}\) , \({\tau}_{\mathrm{2 }}=\mathrm{40 }s\) .
\(\lbrace \begin{array}{c}{\epsilon}_{zz}(t)={\epsilon}_{zz}^{e}(t)+{\epsilon}_{zz}^{\mathit{th}}(t)+{\epsilon}_{zz}^{p}(t)+{\epsilon}_{zz}^{\mathit{pt}}(t)\\ {\sigma}_{zz}(t)={p}_{0}t\\ {\epsilon}_{zz}^{e}(t)=\frac{{\sigma}_{zz}(t)}{E}\\ {\epsilon}_{zz}^{\mathit{th}}(t)={Z}_{\mathit{aust}}{\alpha}_{\mathit{aust}}(T-{T}^{0})+{Z}_{\mathit{fbm}}\left({\alpha}_{\mathit{fbm}}(T-{T}^{0})+\Delta {\epsilon}_{f\gamma }^{{T}_{\mathit{ref}}}\right)\\ {\epsilon}_{zz}^{p}=\frac{{\sigma}_{zz}(t)-({Z}_{\mathit{aust}}{\sigma}_{y}^{\mathit{aust}}(T)+{Z}_{\mathit{fbm}}{\sigma}_{y}^{\mathit{fbm}}(T))}{{Z}_{\mathit{aust}}{H}^{\mathit{aust}}(T)+{Z}_{\mathit{fbm}}{H}^{\mathit{fbm}}(T)}\\ {\epsilon}_{zz}^{\mathit{pt}}(t)={k}^{\mathit{fbm}}\left({\sigma}_{zz}({\tau}_{1})-\frac{{p}_{0}}{2\lambda \varphi }\right)-{k}^{\mathit{fbm}}\left({\sigma}_{zz}(t)-\frac{{p}_{0}}{2\lambda \varphi }\right){(1-{Z}_{\mathit{fbm}})}^{2}\end{array}\)
Après transformation , solution thermo-élasto-plastique, pour \(t\ge {\tau}_{2}\)
\(\lbrace \begin{array}{c}{\epsilon}_{zz}(t)={\epsilon}_{zz}^{e}(t)+{\epsilon}_{zz}^{\mathit{th}}(t)+{\epsilon}_{zz}^{p}(t)+{\epsilon}_{zz}^{\mathit{pt}}({\tau}_{2})\\ {\sigma}_{zz}(t)={p}_{0}t\\ {\epsilon}_{zz}^{e}(t)=\frac{{\sigma}_{zz}(t)}{E}\\ {\epsilon}_{zz}^{\mathit{th}}(t)={\alpha}_{\mathit{fbm}}(T-{T}^{0})+\Delta {\epsilon}_{f\gamma }^{{T}_{\mathit{ref}}}\\ {\epsilon}_{zz}^{p}(t)=\frac{{\sigma}_{zz}(t)-({\sigma}_{0}^{\mathit{fbm}}+{s}^{\mathit{fbm}}\mu t)}{{H}_{0}^{\mathit{fbm}}+{\lambda}^{\mathit{fbm}}\mu t}\end{array}\)
Résultats de référence#
\({\sigma}_{zz}^{}\) , \({\epsilon}_{zz}^{}\) , \({\epsilon}_{zz}^{p}\) , \({\epsilon}_{zz}^{\mathit{th}}\) , \({\epsilon}_{zz}^{\mathit{meca}}\) , \({\epsilon}_{zz}^{\mathit{plas}}\) et \(\chi\) à \(\mathrm{24 }s\) , \(\mathrm{26 }s\) , \(\mathrm{40 }s\) et \(\mathrm{90 }s\) .
avec:
\({\epsilon}^{\mathit{meca}}\) : déformations mécaniques
\({\epsilon}^{\mathit{plas}}\) : déformations plastiques (incluant la plasticité de transformation)
Modélisation A#
Caractéristiques de la modélisation#
\(A=\mathit{N4}\) , \(B=\mathit{N5}\) , \(C=\mathit{N13}\) , \(D=\mathit{N12}\) .
Caractéristiques du maillage#
Nombre de nœuds: 13
Nombre de mailles et types: 2 mailles QUAD8, 6mailles SEG3
Résultats de la modélisation A#
Valeurs testées#
On teste les paramètres de la structure de données résultats:
Identification |
Référence |
INSTpour NUME_ORDRE=27 |
90 |
ITER_GLOB pour NUME_ORDRE=27 |
2 |
Identification |
Référence |
Test |
Tolérance |
\({\epsilon}_{zz}^{p}\) \(t=24s\) |
0 |
ANALYTIQUE |
1.0E-6 (absolu) |
\(\chi\) \(t=24s\) |
0 |
ANALYTIQUE |
1.0E-6 (absolu) |
\({\sigma}_{zz}^{}\) \(t=24s\) |
|
ANALYTIQUE |
0.1% |
\({\epsilon}_{zz}^{}\) \(t=24s\) |
-0.00384 |
ANALYTIQUE |
0.1% |
\({\epsilon}_{zz}^{\mathit{th}}\) \(t=24s\) |
-0.005640 |
ANALYTIQUE |
0.1% |
\({\epsilon}_{zz}^{\mathit{meca}}\) \(t=24s\) |
0.018 |
ANALYTIQUE |
0.1% |
\({\epsilon}_{zz}^{\mathit{plas}}\) \(t=24s\) |
0 |
ANALYTIQUE |
1.0E-6 (absolu) |
\({\epsilon}_{zz}^{p}\) \(t=26s\) |
0.0372 |
ANALYTIQUE |
0.4% |
\(\chi\) \(t=26s\) |
1 |
ANALYTIQUE |
0.1% |
\({\sigma}_{zz}^{}\) \(t=26s\) |
|
ANALYTIQUE |
0.1% |
\({\epsilon}_{zz}^{}\) \(t=26s\) |
0.03428 |
ANALYTIQUE |
0.4% |
\({\epsilon}_{zz}^{\mathit{th}}\) \(t=26s\) |
-0.004884 |
ANALYTIQUE |
0.1% |
\({\epsilon}_{zz}^{\mathit{meca}}\) \(t=26s\) |
0.039164 |
ANALYTIQUE |
0.1% |
\({\epsilon}_{zz}^{\mathit{plas}}\) \(t=26s\) |
0.0372 |
ANALYTIQUE |
0.1% |
\({\epsilon}_{zz}^{p}\) \(t=40s\) |
0.0625 |
ANALYTIQUE |
0.04% |
\(\chi\) \(t=40s\) |
1 |
ANALYTIQUE |
0.1% |
\({\sigma}_{zz}^{}\) \(t=40s\) |
|
ANALYTIQUE |
0.1% |
\({\epsilon}_{zz}^{}\) \(t=40s\) |
0.06198 |
ANALYTIQUE |
0.07% |
\({\epsilon}_{zz}^{\mathit{th}}\) \(t=40s\) |
-0.003546 |
ANALYTIQUE |
0.1% |
\({\epsilon}_{zz}^{\mathit{meca}}\) \(t=40s\) |
0.065526 |
ANALYTIQUE |
0.1% |
\({\epsilon}_{zz}^{\mathit{plas}}\) \(t=40s\) |
0.0625 |
ANALYTIQUE |
0.1% |
\({\epsilon}_{zz}^{p}\) \(t=90s\) |
0.0741 |
ANALYTIQUE |
0.08% |
\(\chi\) \(t=90s\) |
1 |
ANALYTIQUE |
0.1% |
\({\sigma}_{zz}^{}\) \(t=90s\) |
|
ANALYTIQUE |
0.1% |
\({\epsilon}_{zz}^{}\) \(t=90s\) |
0.069844 |
ANALYTIQUE |
0.03% |
\({\epsilon}_{zz}^{\mathit{th}}\) \(t=90s\) |
-0.011 |
ANALYTIQUE |
0.4% |
\({\epsilon}_{zz}^{\mathit{meca}}\) \(t=90s\) |
0.08085 |
ANALYTIQUE |
0.1% |
\({\epsilon}_{zz}^{\mathit{plas}}\) \(t=90s\) |
0.0741 |
ANALYTIQUE |
0.1% |
Remarques#
Dans cette modélisation:
\({\epsilon}^{\mathit{pt}}(T,Z)=0\)
Modélisation B#
Caractéristiques de la modélisation#
\(A=\mathit{N4}\) , \(B=\mathit{N5}\) , \(C=\mathit{N13}\) , \(D=\mathit{N12}\) .
Caractéristiques du maillage#
Nombre de nœuds: 13
Nombre de mailles et types: 2 mailles QUAD8, 6mailles SEG3
Résultats de la modélisation B#
Valeurs testées#
Identification |
Référence |
Test |
Tolérance |
\({\epsilon}_{zz}^{p}\) \(t=24s\) |
0 |
ANALYTIQUE |
1.0E-6 (absolu) |
\(\chi\) \(t=24s\) |
0 |
ANALYTIQUE |
1.0E-6 (absolu) |
\({\sigma}_{zz}^{}\) \(t=24s\) |
|
ANALYTIQUE |
0.1% |
\({\epsilon}_{zz}^{}\) \(t=24s\) |
–3.84 10-3 |
ANALYTIQUE |
0.1% |
\({\epsilon}_{zz}^{\mathit{th}}\) \(t=24s\) |
-0.005640 |
ANALYTIQUE |
0.1% |
\({\epsilon}_{zz}^{\mathit{meca}}\) \(t=24s\) |
0.018 |
ANALYTIQUE |
0.1% |
\({\epsilon}_{zz}^{\mathit{plas}}\) \(t=24s\) |
0 |
ANALYTIQUE |
1.0E-6 (absolu) |
\({\epsilon}_{zz}^{p}\) \(t=26s\) |
0.037217 |
ANALYTIQUE |
0.1% |
\(\chi\) \(t=26s\) |
1 |
ANALYTIQUE |
0.1% |
\({\sigma}_{zz}^{}\) \(t=26s\) |
|
ANALYTIQUE |
0.1% |
\({\epsilon}_{zz}^{}\) \(t=26s\) |
0.051507 |
ANALYTIQUE |
1.1% |
\({\epsilon}_{zz}^{\mathit{th}}\) \(t=26s\) |
-0.004884 |
ANALYTIQUE |
0.1% |
\({\epsilon}_{zz}^{\mathit{meca}}\) \(t=26s\) |
0.05639 |
ANALYTIQUE |
1.0% |
\({\epsilon}_{zz}^{\mathit{plas}}\) \(t=26s\) |
0.05444 |
ANALYTIQUE |
1.0% |
\({\epsilon}_{zz}^{p}\) \(t=40s\) |
0.062523 |
ANALYTIQUE |
0.1% |
\(\chi\) \(t=40s\) |
1 |
ANALYTIQUE |
0.1% |
\({\sigma}_{zz}^{}\) \(t=40s\) |
|
ANALYTIQUE |
0.1% |
\({\epsilon}_{zz}^{}\) \(t=40s\) |
0.10197 |
ANALYTIQUE |
1.1% |
\({\epsilon}_{zz}^{\mathit{th}}\) \(t=40s\) |
-0.003546 |
ANALYTIQUE |
0.1% |
\({\epsilon}_{zz}^{\mathit{meca}}\) \(t=40s\) |
0.01055 |
ANALYTIQUE |
1.1% |
\({\epsilon}_{zz}^{\mathit{plas}}\) \(t=40s\) |
0.01025 |
ANALYTIQUE |
1.1% |
\({\epsilon}_{zz}^{p}\) \(t=90s\) |
0.0741 |
ANALYTIQUE |
0.1% |
\(\chi\) \(t=90s\) |
1 |
ANALYTIQUE |
0.1% |
\({\sigma}_{zz}^{}\) \(t=90s\) |
|
ANALYTIQUE |
0.1% |
\({\epsilon}_{zz}^{}\) \(t=90s\) |
0.10984 |
ANALYTIQUE |
1.0% |
\({\epsilon}_{zz}^{\mathit{th}}\) \(t=90s\) |
-0.01098 |
ANALYTIQUE |
0.6% |
\({\epsilon}_{zz}^{\mathit{meca}}\) \(t=90s\) |
0.012082 |
ANALYTIQUE |
1.1% |
\({\epsilon}_{zz}^{\mathit{plas}}\) \(t=90s\) |
0.011407 |
ANALYTIQUE |
1.1% |
Remarques#
Dans cette modélisation, on prend en compte le terme dû à la plasticité de transformation:
\({\dot{\epsilon}}^{\mathit{pt}}(T,Z)\ne 0\) lorsque \(\dot{Z}\mathrm{\ne }0\)
Modélisation C#
Caractéristiques de la modélisation#
\(A=\mathit{N4}\) , \(B=\mathit{N5}\) , \(C=\mathit{N13}\) , \(D=\mathit{N12}\) .
Caractéristiques du maillage#
Nombre de nœuds: 13
Nombre de mailles et types: 2 mailles QUAD8, 6mailles SEG3
Résultats de la modélisation C#
Valeurs testées#
On teste les paramètres de la structure de données résultats:
Identification |
Référence |
INSTpour NUME_ORDRE=27 |
90 |
ITER_GLOB pour NUME_ORDRE=27 |
2 |
Identification |
Référence |
Test |
Tolérance |
\({\epsilon}_{zz}^{p}\) \(t=24s\) |
0 |
ANALYTIQUE |
1.0E-6 (absolu) |
\(\chi\) \(t=24s\) |
0 |
ANALYTIQUE |
1.0E-6 (absolu) |
\({\sigma}_{zz}^{}\) \(t=24s\) |
|
ANALYTIQUE |
0.1% |
\({\epsilon}_{zz}^{}\) \(t=24s\) |
-0.00384 |
ANALYTIQUE |
0.1% |
\({\epsilon}_{zz}^{\mathit{th}}\) \(t=24s\) |
-0.005640 |
ANALYTIQUE |
0.1% |
\({\epsilon}_{zz}^{\mathit{meca}}\) \(t=24s\) |
0.018 |
ANALYTIQUE |
0.1% |
\({\epsilon}_{zz}^{\mathit{plas}}\) \(t=24s\) |
0 |
ANALYTIQUE |
1.0E-6 (absolu) |
\({\epsilon}_{zz}^{p}\) \(t=26s\) |
0.0372 |
ANALYTIQUE |
0.1% |
\(\chi\) \(t=26s\) |
1 |
ANALYTIQUE |
0.1% |
\({\sigma}_{zz}^{}\) \(t=26s\) |
|
ANALYTIQUE |
0.1% |
\({\epsilon}_{zz}^{}\) \(t=26s\) |
0.03428 |
ANALYTIQUE |
0.1% |
\({\epsilon}_{zz}^{\mathit{th}}\) \(t=26s\) |
-0.004884 |
ANALYTIQUE |
0.1% |
\({\epsilon}_{zz}^{\mathit{meca}}\) \(t=26s\) |
0.039164 |
ANALYTIQUE |
0.1% |
\({\epsilon}_{zz}^{\mathit{plas}}\) \(t=26s\) |
0.0372 |
ANALYTIQUE |
0.1% |
\({\epsilon}_{zz}^{p}\) \(t=40s\) |
0.0625 |
ANALYTIQUE |
0.1% |
\(\chi\) \(t=40s\) |
1 |
ANALYTIQUE |
0.1% |
\({\sigma}_{zz}^{}\) \(t=40s\) |
|
ANALYTIQUE |
0.1% |
\({\epsilon}_{zz}^{}\) \(t=40s\) |
0.06198 |
ANALYTIQUE |
0.1% |
\({\epsilon}_{zz}^{\mathit{th}}\) \(t=40s\) |
-0.003546 |
ANALYTIQUE |
0.1% |
\({\epsilon}_{zz}^{\mathit{meca}}\) \(t=40s\) |
0.065526 |
ANALYTIQUE |
0.1% |
\({\epsilon}_{zz}^{\mathit{plas}}\) \(t=40s\) |
0.0625 |
ANALYTIQUE |
0.1% |
\({\epsilon}_{zz}^{p}\) \(t=90s\) |
0.0741 |
ANALYTIQUE |
0.1% |
\(\chi\) \(t=90s\) |
1 |
ANALYTIQUE |
0.1% |
\({\sigma}_{zz}^{}\) \(t=90s\) |
|
ANALYTIQUE |
0.1% |
\({\epsilon}_{zz}^{}\) \(t=90s\) |
0.069844 |
ANALYTIQUE |
0.1% |
\({\epsilon}_{zz}^{\mathit{th}}\) \(t=90s\) |
-0.011 |
ANALYTIQUE |
0.4% |
\({\epsilon}_{zz}^{\mathit{meca}}\) \(t=90s\) |
0.08085 |
ANALYTIQUE |
0.1% |
\({\epsilon}_{zz}^{\mathit{plas}}\) \(t=90s\) |
0.0741 |
ANALYTIQUE |
0.1% |
Synthèse des résultats#
Les trois modélisations donnent de très bonnes approximations de la solution de référence.