v5.02.138 SDNL138 - Fréquences et modes propres de vibration d’un cadre auto-contraint#
Résumé:
L’objectif de ce test est de valider le calcul des fréquences et modes de vibrations d’un cadre auto-contraint. Les efforts dans la structure sont uniquement générés par la mise en tension des câbles. Le principe du cas test est de :
réaliser un calcul non-linéaire,
récupérer les différents champs à un instant donné,
calculer les matrices de raideur et de masse,
calculer les fréquences et modes de vibrations.
Plusieurs modélisations sont réalisées :
calcul avec STAT_NON_LINE, utilisation des opérateurs CALC_MATR_ELEM, ASSE_MATRICE et COMB_MATR_ASSE pour l’assemblage des matrices. Ensuite calcul des fréquences et modes de vibrations avec l’opérateur CALC_MODES.
calcul avec DYNA_NON_LINE et l’option MODE_VIBR.
calcul avec STAT_NON_LINE, détermination de la matrice de raideur à l’aide de l’opérateur CALCUL. Ensuite calcul des fréquences et modes de vibrations avec l’opérateur CALC_MODES.
Les résultats sont comparés à une solution théorique.
Solution de référence#
Méthode de calcul#
La solution de référence retenue est celle obtenue en résolvant l’équation des cordes vibrantes :
L’équation des cordes vibrantes est :
\(\frac{{\partial}^{2}y}{\partial {t}^{2}}=\frac{{F}_{0}}{\rho S}\frac{{\partial}^{2}y}{\partial {x}^{2}}\)
avec :
\({F}_{0}\) : tension dans la corde,
\(\rho\) : masse volumique,
\(S\) : section de la corde.
Pour une corde de longueur \(L\) , fixée à ces 2 extrémités, la nième fréquence propre de vibration est:
\(f=\frac{n}{2L}\sqrt{\frac{{F}_{0}}{\rho S}}\)
Grandeurs et résultats de référence#
Les grandeurs testées sont les fréquences propres de vibrations des câbles pour 2 instants de calcul, qui correspondent à 2 tensions différentes.
Pas |
Tension des câbles |
Fréquence |
10 |
\(6171.050459855N\) |
\(62.73227096292042\mathit{Hz}\) |
20 |
\(12345.2954376N\) |
\(88.72830898253936\mathit{Hz}\) |
Incertitudes sur la solution#
La solution de l’équation des cordes vibrantes est obtenue sous les hypothèses suivantes :
les mouvements de la corde autour de sa position d’équilibre restent petits.
les variations de l’angle \(\alpha\) restent petits.
la variation de la tension de la corde en mouvement reste petite.
Sous ces hypothèses, la solution de référence est sans incertitudes.
Modélisation A#
Caractéristiques de la modélisation#
Modélisation avec des éléments de BARRE et de CABLE.
Caractéristiques du maillage#
Le maillage contient :
2 éléments de type BARRE.
60 éléments de type CABLE. (15 éléments par câbles).
Grandeurs testées et résultats#
On teste la valeur de la 1ère fréquence propre de vibration des câbles. Comme les 4 câbles ont la même tension, il existe donc des modes de vibration multiples. Six modes multiples sont testés, pour chacun des pas.
Pas |
Type de référence |
Mode |
Valeur de référence |
Tolérance |
10 |
“ANALYTIQUE” |
Valeur identique pour les 6 premiers modes multiples |
\(62.732270963\mathit{Hz}\) |
\(0.5\text{\%}\) |
“NON_REGRESSION” |
1 |
\(62.7962\mathit{Hz}\) |
défaut |
|
“NON_REGRESSION” |
2 |
\(62.9083\mathit{Hz}\) |
défaut |
|
“NON_REGRESSION” |
3 |
\(62.9458\mathit{Hz}\) |
défaut |
|
“NON_REGRESSION” |
4 |
\(62.9626\mathit{Hz}\) |
défaut |
|
“NON_REGRESSION” |
5 |
\(62.9626\mathit{Hz}\) |
défaut |
|
“NON_REGRESSION” |
6 |
\(62.9626\mathit{Hz}\) |
défaut |
|
20 |
“ANALYTIQUE” |
Valeur identique pour les 6 premiers modes multiples |
\(88.728308982\mathit{Hz}\) |
\(0.5\text{\%}\) |
“NON_REGRESSION” |
1 |
\(88.5701\mathit{Hz}\) |
défaut |
|
“NON_REGRESSION” |
2 |
\(88.8995\mathit{Hz}\) |
défaut |
|
“NON_REGRESSION” |
3 |
\(89.0065\mathit{Hz}\) |
défaut |
|
“NON_REGRESSION” |
4 |
\(89.0541\mathit{Hz}\) |
défaut |
|
“NON_REGRESSION” |
5 |
\(89.0541\mathit{Hz}\) |
défaut |
|
“NON_REGRESSION” |
6 |
\(89.0541\mathit{Hz}\) |
défaut |
Remarques#
Le calcul est réalisé avec l’opérateur STAT_NON_LINE, puis les opérateurs CALC_MATR_ELEM, ASSE_MATRICE et COMB_MATR_ASSE pour l’assemblage des matrices. Le calcul des fréquences et modes de vibration est réalisé avec l’opérateur CALC_MODES.
Modélisation B#
Caractéristiques de la modélisation#
Modélisation avec des éléments de BARRE et de CABLE.
Caractéristiques du maillage#
Le maillage contient :
2 éléments de type BARRE.
60 éléments de type CABLE. (15 éléments par câbles).
Grandeurs testées et résultats#
On teste la 1ère fréquence propre de vibration des câbles. L’opérateur DYNA_NON_LINE avec l’option MODE_VIBR ne permet pas de connaître les suivantes. C’est un test de non régression.
Pas |
Type de référence |
Valeur calculée |
Tolérance |
10 |
“NON_REGRESSION” |
\(62.7962\mathit{Hz}\) |
défaut |
20 |
“NON_REGRESSION” |
\(88.5701\mathit{Hz}\) |
défaut |
Remarque : Pour mémoire, les fréquences de vibrations de références sont : \(62.732270963\mathit{Hz}\) et \(88.728308982\mathit{Hz}\)
Remarques#
Le calcul est réalisé avec l’opérateur DYNA_NON_LINE, avec le mot clef facteur MODE_VIBR. L’opérateur ne permet de connaître qu’une seule fréquence qui est affichée dans le fichier message et mémorisé dans le paramètre FREQ de la structure de donnée produite par l’opérateur. C’est pourquoi c’est un test de non régression.
Modélisation C#
Caractéristiques de la modélisation#
Modélisation avec des éléments de BARRE et de CABLE.
Caractéristiques du maillage#
Le maillage contient :
2 éléments de type BARRE.
60 éléments de type CABLE. (15 éléments par câbles).
Grandeurs testées et résultats#
On teste la 1ère fréquence propre de vibration des câbles au dernier pas du calcul, PAS=20. Comme les 4 câbles ont la même tension, il existe donc des modes de vibration multiples. Six modes multiples sont testés. C’est un test de non régression.
Fréquence |
Type de référence |
Valeur calculée |
Tolérance |
1 |
“NON_REGRESSION” |
\(88.5312\) |
défaut |
2 |
“NON_REGRESSION” |
\(88.8603\) |
défaut |
3 |
“NON_REGRESSION” |
\(88.9670\) |
défaut |
4 |
“NON_REGRESSION” |
\(89.0146\) |
défaut |
5 |
“NON_REGRESSION” |
\(89.0146\) |
défaut |
6 |
“NON_REGRESSION” |
\(89.0146\) |
défaut |
Remarque :
Pour mémoire la fréquence de référence est \(88.728308982\mathit{Hz}\) .
Remarques#
Le 1er calcul est réalisé avec l’opérateur STAT_NON_LINE. L’opérateur CALCUL qui a comme entrées les champs de déplacement, de contrainte, de variables internes ainsi qu’un incrément des déplacements permet de connaître la matrice de raideur du système. Le calcul des fréquences et modes de vibrations est réalisé avec l’opérateur CALC_MODES en utilisant la matrice de raideur qui provient de l’opérateur CALCUL.
L’opérateur CALCULfait l’hypothèse de linéarité des champs en fonction de l’incrément des déplacements. Or, dans le cas des câbles cette hypothèse n’est pas tout à fait “juste”. Cet incrément de déplacement doit permettre d’approximer la matrice la tangente, il doit donc être “petit”. Il est déterminé par une étude de sensibilité. C’est la raison pour laquelle cette modélisation est un test de non régression.
Synthèse des résultats#
Les résultats des modélisations A, B et C sont en bonne adéquation avec la solution de référence.
Les résultats de la modélisation C (à but uniquement pédagogique) nécessite une étude de sensibilité pour trouver l’incrément de déplacement qui permet d’approximer la matrice tangente et de s’approcher de la solution de référence. Cela est dû à l’hypothèse de linéarité de l’opérateur CALCUL.