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v6.03.123 SSNP123 - Plaque entaillée en élastoplasticité#
Résumé:
Ce test en déformations planes quasi-statique permet d’illustrer les questions relatives à l’incompressibilité lors de l’utilisation d’une loi de comportement élastoplastique: quand le taux de plasticité devient important, des oscillations non physiques de contraintes peuvent apparaître. On montre que l’utilisation d’éléments QUAD4 et HEXA8 sous intégrés peut permettre de pallier ce problème.
Il s’agit d’une plaque rectangulaire entaillée constituée d’un matériau élastoplastique avec écrouissage isotrope qui est soumise à une traction à ses extrémités. On s’intéresse à la solution élastoplastique en charge.
La modélisation A correspond à l’utilisation des éléments QUAD4 sous intégrés stabilisés par la méthode «assumed strain».
La modélisation B correspond à l’utilisation des éléments QUAD8 incompressibles qui permettent d’obtenir une solution de référence pour la modélisation A.
La modélisation C correspond à l’utilisation des éléments HEXA8 sous intégrés stabilisés par la méthode «assumed strain».
La modélisation D correspond à l’utilisation des éléments HEXA20 incompressibles qui permettent d’obtenir une solution de référence pour la modélisation C.
Par ailleurs, les modélisations E à M vérifient les éléments HHO et leur robustesse à la limite incompressible.
Solution de référence#
La solution de référence de la modélisation A (respectivement modélisation C) est donnée par la modélisation B (respectivement modélisation D) réalisée avec des éléments quasi‑incompressibles.
Modélisation A#
Caractéristiques de la modélisation#
Modélisation C_PLAN avec des éléments QUAD4 sous intégrés stabilisés par la méthode assumed strain.
Caractéristiques du maillage#
Nombre de nœuds : 527
Nombre de mailles : 582
SEG2: 102
QUAD4: 480
Grandeurs testées et résultats#
On teste la coordonnée \(\mathit{SIYY}\) du tenseur des contraintes en différents points du chemin \(\mathit{IJ}\)
B
On teste par rapport à la modélisation B (AUTRE_ASTER):
Abscisse Curviligne |
Référence |
Précision |
Test |
0.0 |
234.174 |
\(4\times {10}^{-3}\) |
AUTRE_ASTER |
1.0 |
241.964 |
\(8\times {10}^{-3}\) |
AUTRE_ASTER |
3.0 |
298.027 |
\(4\times {10}^{-3}\) |
AUTRE_ASTER |
Par ailleurs, on teste (en non-régression):
ERME_ELEM et ERME_ELNO (erreur en résidu)
La contrainte SIXX et SIYY au nœud B
Modélisation B#
Caractéristiques de la modélisation#
On reprend le maillage précédent que l’on passe en éléments quadratiques dans le but d’utiliser la modélisation D_PLAN_INCO_UPG (éléments adaptés aux problèmes incompressibles).
Caractéristiques du maillage#
Nombre de nœuds : 1533
Nombre de mailles : 582
SEG3: 102
QUAD8: 480
Grandeurs testées et résultats#
On teste la coordonnée \(\mathit{SIYY}\) du tenseur des contraintes en différents points du chemin \(\mathit{IJ}\) en non régression.
Abscisse Curviligne |
Référence |
0.0 |
234.174 |
1.0 |
241.964 |
3.0 |
298.027 |
Par ailleurs, on teste (en non-régression):
ERME_ELEM et ERME_ELNO (erreur en résidu)
La contrainte SIXX et SIYY au nœud B
Modélisation C#
Caractéristiques de la modélisation#
On utilise une modélisation 3D_SI avec des éléments HEXA8 sous intégrés stabilisés par la méthode assumed strain. Le maillage utilisé est une extrusion du maillage de la modélisation A sur une hauteur de \(0,1m\) avec un seul élément dans l’épaisseur. Tous les degrés de liberté sont bloqués selon \(Z\) afin de se rapprocher de l’hypothèse des déformations planes utilisée dans les modélisations A et B.
Caractéristiques du maillage#
Nombre de nœuds : 1054
Nombre de mailles : 1731
QUAD4: 1052
HEXA8: 480
Grandeurs testées et résultats#
On teste la coordonnée \(\mathit{SIYY}\) du tenseur des contraintes en différents points du chemin \(\mathit{IJ}\) par rapport à la modélisation D (AUTRE_ASTER):
Abscisse Curviligne |
Référence |
Précision |
Test |
0.0 |
234.122 |
\(1\times {10}^{-2}\) |
AUTRE_ASTER |
1.53224 |
256.988 |
\(1\times {10}^{-2}\) |
AUTRE_ASTER |
3.26890 |
300.287 |
\(1\times {10}^{-2}\) |
AUTRE_ASTER |
3.80797 |
267.555 |
\(1\times {10}^{-2}\) |
AUTRE_ASTER |
4.40378 |
183.498 |
\(1\times {10}^{-2}\) |
AUTRE_ASTER |
Par ailleurs, on teste (en non-régression):
ERME_ELEM et ERME_ELNO (erreur en résidu)
La contrainte SIXX et SIYY au nœud B
Modélisation D#
Caractéristiques de la modélisation#
On reprend le maillage précédent que l’on passe en éléments quadratiques dans le but d’utiliser la modélisation 3D_INCO_UPG (éléments adaptés aux problèmes incompressibles).
Caractéristiques du maillage#
Nombre de nœuds : 1054
Nombre de mailles : 1731
SEG3: 199
QUAD8: 1052
HEXA20: 480
Grandeurs testées et résultats#
On teste la coordonnée \(\mathit{SIYY}\) du tenseur des contraintes en différents points du chemin \(\mathit{IJ}\) en non régression.
Abscisse Curviligne |
Référence |
Test |
0.0 |
234.122 |
NON_REGRESSION |
1.53224 |
256.988 |
NON_REGRESSION |
3.26890 |
300.287 |
NON_REGRESSION |
3.80797 |
267.555 |
NON_REGRESSION |
4.40378 |
183.498 |
NON_REGRESSION |
Par ailleurs, on teste (en non-régression):
ERME_ELEM et ERME_ELNO (erreur en résidu)
La contrainte SIXX et SIYY au nœud B
Modélisation E#
Caractéristiques de la modélisation#
On reprend le maillage précédent que l’on passe en éléments quadratiques dans le but d’utiliser la modélisation D_PLAN_HHO_121 (éléments adaptés aux problèmes incompressibles).
Caractéristiques du maillage#
Nombre de nœuds : 1533
Nombre de mailles : 582
SEG3: 102
QUAD8: 480
Grandeurs testées et résultats#
On teste par rapport à la modélisation B (AUTRE_ASTER):
Abscisse Curviligne |
Référence |
Précision |
Test |
0.0 |
234.174 |
\(4\times {10}^{-3}\) |
AUTRE_ASTER |
1.0 |
241.964 |
\(7\times {10}^{-3}\) |
AUTRE_ASTER |
3.0 |
298.027 |
\(4\times {10}^{-3}\) |
AUTRE_ASTER |
Par ailleurs, on teste (en non-régression):
La contrainte SIXX et SIYY au nœud B
Modélisation F#
Caractéristiques de la modélisation#
On utilise une modélisation 3D_HHO_121 avec des éléments HEXA27. Le maillage utilisé est une extrusion du maillage de la modélisation A sur une hauteur de \(0,1m\) avec un seul élément dans l’épaisseur. Tous les degrés de liberté sont bloqués selon \(Z\) afin de se rapprocher de l’hypothèse des déformations planes utilisée dans les modélisations A et B.
Caractéristiques du maillage#
Nombre de mailles : 1731
QUAD9: 1052
HEXA27: 480
Grandeurs testées et résultats#
On teste la coordonnée \(\mathrm{SIYY}\) du tenseur des contraintes en différents points du chemin \(\mathrm{IJ}\) par rapport à la modélisation B.
Abscisse Curviligne |
Référence |
Précision |
Test |
0.0 |
234.122 |
\(3\times {10}^{-2}\) |
AUTRE_ASTER |
1.53224 |
256.988 |
\(2\times {10}^{-2}\) |
AUTRE_ASTER |
3.26890 |
300.287 |
\(1\times {10}^{-2}\) |
AUTRE_ASTER |
3.80797 |
267.555 |
\(1\times {10}^{-2}\) |
AUTRE_ASTER |
4.40378 |
183.498 |
\(0,33\) |
AUTRE_ASTER |
Par ailleurs, on teste (en non-régression):
La contrainte SIXX et SIYY au nœud B
Modélisation G#
Caractéristiques de la modélisation#
On reprend le maillage précédent que l’on passe en éléments quadratiques dans le but d’utiliser la modélisation D_PLAN_HHO_121 (éléments adaptés aux problèmes incompressibles). Le comportement est GDEF_LOG.
Caractéristiques du maillage#
Nombre de nœuds : 1533
Nombre de mailles : 582
SEG3: 102
QUAD8: 480
Grandeurs testées et résultats#
On teste par rapport à la modélisation B (AUTRE_ASTER):
Abscisse Curviligne |
Référence |
Précision |
Test |
0.0 |
234.174 |
\(0,022\) |
AUTRE_ASTER |
1.0 |
241.964 |
\(0,02\) |
AUTRE_ASTER |
3.0 |
298.027 |
\(0,01\) |
AUTRE_ASTER |
Par ailleurs, on teste (en non-régression):
La contrainte SIXX et SIYY au nœud B
Modélisation H#
Caractéristiques de la modélisation#
On utilise une modélisation 3D_HHO_121 avec des éléments HEXA27. Le maillage utilisé est une extrusion du maillage de la modélisation \(A\) sur une hauteur de \(0,1m\) avec un seul élément dans l’épaisseur. Tous les degrés de liberté sont bloqués selon \(Z\) afin de se rapprocher de l’hypothèse des déformations planes utilisée dans les modélisations \(A\) et \(B\) . Le comportement est GDEF_LOG.
Caractéristiques du maillage#
Nombre de mailles : 1731
QUAD9: 1052
HEXA27: 480
Grandeurs testées et résultats#
On teste la coordonnée \(\mathit{SIYY}\) du tenseur des contraintes en différents points du chemin \(\mathit{IJ}\) . On teste par rapport à la modélisation \(B\) (AUTRE_ASTER).
Abscisse Curviligne |
Référence |
Précision |
Test |
0.0 |
234.122 |
\(3\times {10}^{-2}\) |
AUTRE_ASTER |
1.53224 |
256.988 |
\(2\times {10}^{-2}\) |
AUTRE_ASTER |
3.26890 |
300.287 |
\(2\times {10}^{-2}\) |
AUTRE_ASTER |
3.80797 |
267.555 |
\(1\times {10}^{-2}\) |
AUTRE_ASTER |
4.40378 |
183.498 |
\(1\times {10}^{-1}\) |
AUTRE_ASTER |
Par ailleurs, on teste (en non-régression):
La contrainte SIXX et SIYY au nœud B
Modélisation I#
Caractéristiques de la modélisation#
On reprend le maillage précédent que l’on passe en éléments quadratiques dans le but d’utiliser la modélisation D_PLAN_HHO_121 (éléments adaptés aux problèmes incompressibles). Le comportement est GDEF_LOG.
Caractéristiques du maillage#
Nombre de mailles : 690 TRIA6
Grandeurs testées et résultats#
On teste la coordonnée \(\mathrm{SIYY}\) du tenseur des contraintes en différents points du chemin \(\mathrm{IJ}\) en non régression. On teste par rapport à la modélisation \(B\) (AUTRE_ASTER):
Abscisse Curviligne |
Référence |
Précision |
Test |
0.0 |
234.174 |
\(0,004\) |
AUTRE_ASTER |
1.0 |
241.964 |
\(0,004\) |
AUTRE_ASTER |
3.0 |
298.027 |
\(0,004\) |
AUTRE_ASTER |
Par ailleurs, on teste (en non-régression):
La contrainte SIXX et SIYY au nœud B
Modélisation J#
Caractéristiques de la modélisation#
On reprend le maillage précédent que l’on passe en éléments quadratiques dans le but d’utiliser la modélisation D_PLAN_HHO_222 (éléments adaptés aux problèmes incompressibles). Le comportement est GDEF_LOG.
Caractéristiques du maillage#
Nombre de mailles : 690 TRIA6
Grandeurs testées et résultats#
On teste la coordonnée \(\mathit{SIYY}\) du tenseur des contraintes en différents points du chemin \(\mathit{IJ}\) en non régression. On teste par rapport à la modélisation \(B\) (AUTRE_ASTER):
Abscisse Curviligne |
Référence |
Précision |
Test |
0.0 |
234.174 |
\(0,004\) |
AUTRE_ASTER |
1.0 |
241.964 |
\(0,004\) |
AUTRE_ASTER |
3.0 |
298.027 |
\(0,004\) |
AUTRE_ASTER |
Par ailleurs, on teste (en non-régression):
La contrainte SIXX et SIYY au nœud B
Modélisation K#
Caractéristiques de la modélisation#
On reprend le maillage précédent que l’on passe en éléments quadratiques dans le but d’utiliser la modélisation D_PLAN_HHO_222 (éléments adaptés aux problèmes incompressibles).
Caractéristiques du maillage#
Nombre de nœuds : 1533
Nombre de mailles : 582
SEG3: 102
QUAD8: 480
Grandeurs testées et résultats#
On teste par rapport à la modélisation B (AUTRE_ASTER):
Abscisse Curviligne |
Référence |
Précision |
Test |
0.0 |
234.174 |
\(4\times {10}^{-3}\) |
AUTRE_ASTER |
1.0 |
241.964 |
\(7\times {10}^{-3}\) |
AUTRE_ASTER |
3.0 |
298.027 |
\(4\times {10}^{-3}\) |
AUTRE_ASTER |
Par ailleurs, on teste (en non-régression):
La contrainte SIXX et SIYY au nœud B
Modélisation L#
Caractéristiques de la modélisation#
On reprend le maillage précédent que l’on passe en éléments quadratiques dans le but d’utiliser la modélisation D_PLAN_HHO_222 (éléments adaptés aux problèmes incompressibles). Le comportement est GDEF_LOG.
Caractéristiques du maillage#
Nombre de nœuds : 1533
Nombre de mailles : 582
SEG3: 102
QUAD8: 480
Grandeurs testées et résultats#
On teste par rapport à la modélisation B (AUTRE_ASTER):
Abscisse Curviligne |
Référence |
Précision |
Test |
0.0 |
234.174 |
\(0,022\) |
AUTRE_ASTER |
1.0 |
241.964 |
\(0,02\) |
AUTRE_ASTER |
3.0 |
298.027 |
\(0,01\) |
AUTRE_ASTER |
Par ailleurs, on teste (en non-régression):
La contrainte SIXX et SIYY au nœud B
Modélisation M#
Caractéristiques de la modélisation#
On utilise une modélisation 3D_HHO_222 avec des éléments HEXA27. Le maillage utilisé est une extrusion du maillage de la modélisation \(A\) sur une hauteur de \(0,1m\) avec un seul élément dans l’épaisseur. Tous les degrés de liberté sont bloqués selon \(Z\) afin de se rapprocher de l’hypothèse des déformations planes utilisée dans les modélisations \(A\) et \(B\) . Le comportement est GDEF_LOG.
Caractéristiques du maillage#
Nombre de mailles : 1731
QUAD9: 1052
HEXA27: 480
Grandeurs testées et résultats#
On teste la coordonnée \(\mathrm{SIYY}\) du tenseur des contraintes en différents points du chemin \(\mathrm{IJ}\) . On teste par rapport à la modélisation \(B\) (AUTRE_ASTER).
Abscisse Curviligne |
Référence |
Précision |
Test |
0.0 |
234.122 |
\(3\times {10}^{-2}\) |
AUTRE_ASTER |
1.53224 |
256.988 |
\(2\times {10}^{-2}\) |
AUTRE_ASTER |
3.26890 |
300.287 |
\(2\times {10}^{-2}\) |
AUTRE_ASTER |
3.80797 |
267.555 |
\(1\times {10}^{-2}\) |
AUTRE_ASTER |
4.40378 |
183.498 |
\(1\times {10}^{-1}\) |
AUTRE_ASTER |
Par ailleurs, on teste (en non-régression):
La contrainte SIXX et SIYY au nœud B
Synthèse des résultats#
Les résultats obtenus à l’aide des différents éléments sous intégrés stabilisés par la méthode «assumed strain» sont très proches des résultats fournis par les éléments quadratiques incompressibles, comme on peut le constater sur le graphe ci-dessous. Ce graphe rassemble les résultats pour différents éléments:
HEXA8 |
éléments HEXA8classiques |
QUAD4 |
éléments QUAD4classiques |
HEXA20 |
éléments HEXA20quadratiques |
HEXS20 |
éléments HEXA20quadratiques incompressibles |
HEXS8 |
éléments HEXA8sous intégrés |
QUAD8 |
éléments QUAD8quadratiques |
QUAS8 |
éléments QUAD8quadratiques incompressibles |
QUAS4 |
éléments QUAD4sous intégrés |
On constate ainsi la bonne qualité de la solution donnée par les éléments sous intégrés et la disparition des oscillations de contraintes données par les éléments classiques linéaires.
Par ailleurs, les modélisations HHO donnent d’excellents résultats, sans aucun verrouillage