v6.03.159 SSNP159 – Energie élastique en grandes déformations plastiques d’un barreau en traction#
Résumé:
Ce test mécanique quasi-statique consiste soumettre à une traction simple un barreau de section rectangulaire (\(\mathrm{3D}\) ) ou cylindrique (\(\mathrm{2D}\) axisymétrique). L’objet est de valider le calcul des énergies élastiques dans trois formalismes de déformation: “PETIT”, “GDEF_LOG” et “SIMO_MIEHE”, avec la commande POST_ELEM.
De plus, la modélisation B de ce cas test, propose de tester le mot-clef facteur ETAT_INIT proposé par la commande STAT_NON_LINE, avec GDEF_LOG. L’utilisateur désirant imposer un état de contrainte initial avec le formalismeGDEF_LOG trouvera les informations nécessaires.
Le barreau est modélisé par un élément volumique (HEXA20, modélisationA) ou quadrangulaire (QUAD4, pour une modélisation axisymétrique, modélisationB).
La solution est analytique.
Solution de référence#
La solution analytique de SIMO_MIEHE permet de définir le chargement à appliquer pour obtenir une contrainte de Kirchhoff de \(\mathrm{1500MPa}\) . Ce chargement est ensuite appliqué aux autres modèles.
Résultat générique aux formalismes#
Pour un essai de traction uniaxial suivant la direction \(x\) , les tenseurs de contrainte de Kirchhoff \(\tau\) et de Cauchy \(\sigma\) sont de la forme:
\(\sigma =\left[\begin{array}{ccc}\sigma & 0& 0\\ 0& 0& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right],\tau =J\sigma =\left[\begin{array}{ccc}\tau & 0& 0\\ 0& 0& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right]\) ,
Les tenseurs gradients de la transformation \(F\) et \(\stackrel{ˉ}{F}\) s’expriment:
\(F=\left[\begin{array}{ccc}F& 0& 0\\ 0& {F}_{y}& 0\\ 0& 0& {F}_{y}\end{array}\right],\stackrel{ˉ}{F}={J}^{\frac{-1}{3}}=\left[\begin{array}{ccc}\stackrel{ˉ}{F}& 0& 0\\ 0& \stackrel{ˉ}{{F}_{y}}& 0\\ 0& 0& \stackrel{ˉ}{{F}_{y}}\end{array}\right]\)
Le déplacement vérifie:
\(F=1+\frac{{u}^{\mathit{meca}}}{{l}_{0}}\)
La fonction d’écrouissage isotrope linéaire s’écrit:
\(R(p)=\frac{E{E}_{T}}{E-{E}_{T}}\)
Résultats pour Simo_Miehe#
Le tenseur isochore de déformations plastiques \({G}^{P}\) est de la forme:
\({G}^{P}=\left[\begin{array}{ccc}{G}^{P}& 0& 0\\ 0& {G}_{y}^{P}& 0\\ 0& 0& {G}_{y}^{P}\end{array}\right]\) , avec \({G}_{y}^{P}=\frac{1}{\sqrt{{G}^{P}}}\) car \(det({G}^{P})=1\)
La loi de comportement (partie hydrostatique) s’écrit :
\(\mathit{tr}(\tau )=\frac{\mathrm{3K}}{2}({J}^{2}-1)\mathrm{\Rightarrow }{J}^{2}=\frac{2\tau }{\mathrm{3K}}+1\)
La fonction seuil de plasticité s’écrit:
\(f=0=\tau -R(p)-{\sigma}_{y}\mathrm{\Rightarrow }p=\frac{E-{E}_{T}}{E{E}_{T}}(\tau -{\sigma}_{y})\)
La loi d’écoulement plastique s’écrit:
\(\stackrel{ˉ}{F}.\dot{{G}^{P}}.\stackrel{ˉ}{{F}^{T}}=-3\dot{p}\frac{1}{{\tau}_{\mathit{eq}}}\mathit{dev}(\tau ).(\stackrel{ˉ}{F}.{G}^{P}.\stackrel{ˉ}{{F}^{T}})\)
En prenant la première composante, on obtient:
\(\frac{\dot{{G}^{P}}}{{G}^{P}}=-2\dot{p}\mathrm{\Rightarrow }{G}^{p}={e}^{-\mathrm{2p}}\) car \({G}^{P}(0)=1\)
Pour conclure le problème, on utilise la première composante de la partie déviatorique de la contrainte:
\(\mathit{dev}(\tau )=\mu \mathit{dev}(\stackrel{ˉ}{{b}^{e}})\mathrm{\Rightarrow }\tau =\mu (\stackrel{ˉ}{{F}^{2}}{G}^{P}-\stackrel{ˉ}{{F}_{y}^{2}}{G}_{y}^{P})\mathrm{\Rightarrow }\stackrel{ˉ}{{F}^{3}}-\stackrel{ˉ}{F}\frac{\tau}{\mu {G}^{P}}-\frac{1}{{({G}^{P})}^{(3/2)}}=0\) ,
car \(\stackrel{ˉ}{{b}^{e}}=\stackrel{ˉ}{F}.{G}^{P}.\stackrel{ˉ}{{F}^{T}}\)
L’énergie élastique s’écrit alors:
\({\psi}_{\mathrm{SM}}^{\mathrm{elas}}=\frac{K}{2}\left[\frac{{J}^{2}-1}{2}-lnJ\right]+\frac{\mu}{2}\left[\mathrm{tr}\stackrel{ˉ}{{b}^{e}}-3\right]=\frac{K}{2}\left[\frac{{J}^{2}-1}{2}-lnJ\right]+\frac{\mu}{2}\left[\stackrel{ˉ}{{F}^{2}}{G}^{P}+\frac{2}{\stackrel{ˉ}{F}\sqrt{{G}^{P}}}-3\right]\)
Pour une contrainte de Kirchhoff de 1500MPa, peut alors successivement déterminer:
\(J=1,003\)
\(\sigma =1495\mathit{MPa}\)
\(p=0,2475\)
\({G}^{p}=0,6096\)
\(\stackrel{ˉ}{F}=1,289\)
\(F=1,290\)
\({u}^{\mathit{meca}}=290\mathit{mm}\)
\({\psi}_{\mathrm{SM}}^{\mathrm{elas}}=5,63\mathrm{MPa}\) au point matériel.
Le déplacement appliqué pour les deux modélisations et les 3 formalismes sera donc \({u}^{\mathit{meca}}=290\mathit{mm}\) .
Résultats pour GDEF_LOG#
La déformation logarithmique s’écrit:
\({E}_{\log}=\frac{1}{2}\ln[C]=\frac{1}{2}\ln[{F}^{T}.F]=\left[\begin{array}{ccc}lnF& 0& 0\\ 0& ln{F}_{y}& 0\\ 0& 0& ln{F}_{y}\end{array}\right]\)
Le quart supérieur gauche du projecteur lagragien s’en déduit, en notation de Voigt:
\(P=2\frac{\partial {E}_{\log}}{\partial C}=\frac{1}{2}\left[\begin{array}{ccc}\frac{2}{{F}^{2}}& 0& 0\\ 0& \frac{2}{{F}_{y}^{2}}& 0\\ 0& 0& \frac{2}{{F}_{y}^{2}}\end{array}\right]\)
Et du fait de l’expression de la deuxième contrainte de Piola-Kirchhoff:
\(S=T:P={F}^{-1}.\tau .{F}^{-T}\mathrm{\Rightarrow }T=\tau\)
La loi de comportement s’écrit:
\(T=E(lnF-p)\)
Du fait du seuil de plasticité:
\(f=0=T-R(p)-{\sigma}_{y}\mathrm{\Rightarrow }p=\frac{E-{E}_{T}}{E{E}_{T}}(T-{\sigma}_{y})=\frac{ElnF-{\sigma}_{y}}{E+\frac{E{E}_{T}}{E-{E}_{T}}}\) ,
L’énergie élastique de ce formalisme s’écrit donc:
\({\psi}_{\log}^{\mathit{elas}}=\frac{1}{2}\frac{{T}^{2}}{E}\)
Du déplacement imposé \({u}^{\mathit{meca}}=290\mathit{mm}\) , on déduit:
\(F=1,290\)
\(lnF=0,255\)
\(p=0,2475\)
\(T=\mathrm{1500MPa}\)
\(\sigma =\mathrm{1495MPa}\)
\({\psi}_{\log}^{\mathit{elas}}=5,625\mathit{MPa}\) au point matériel.
Résultats en petites déformations#
En petites déformations, le résultat est classique.
Déformation axiale:
\({\varepsilon}_{x}=\frac{{u}^{\mathit{meca}}}{{l}_{0}}\)
Comportement:
\(\sigma =E({\varepsilon}_{x}-p)\)
Fonction seuil:
\(\sigma -R(p)-{\sigma}_{y}=0\)
D’où:
\(\begin{array}{c}p=\frac{E{\varepsilon}_{x}-{\sigma}_{y}}{E+\frac{E{E}_{T}}{E-{E}_{T}}}\\ \sigma =E({\varepsilon}_{x}-p)\end{array}\)
Energie élastique:
\({\psi}_{\mathit{HPP}}^{\mathit{elas}}=\frac{{\sigma}^{2}}{2E}\)
Du déplacement imposé \({u}^{\mathit{meca}}=290\mathit{mm}\) , on déduit:
\({\varepsilon}_{x}=0,029\)
\(p=0,281\)
\(\sigma =\mathrm{1570MPa}\)
\({\psi}_{\log}^{\mathit{elas}}=6,16\mathit{MPa}\) au point matériel.
Tests effectués#
Pour chacun des formalismes et chacune des modélisations, on teste les valeurs du déplacement imposé, de la contrainte de Cauchy \(\sigma\) , de la déformation plastique cumulée \(p\) et de l’énergie élastique.
Attention, l’énergie élastique testée est la valeur pour le barreau (pas du point matériel). Pour la modélisation axisymétrique, il faut donc multiplié la valeur de l’énergie élastique du point matériel par \(\frac{\pi {R}^{2}}{2\pi }\) .
Modélisation A#
Caractéristiques de la modélisation#
Modélisation volumique: |
1 maille HEXA20 1 maille QUAD8 |
Fig. 643 Maillage de la modélisation A#
Conditions aux limites:
\(\mathit{N2}\) : \(\mathit{N1}\) : \(\mathit{N6}\) : |
\({U}_{x}={U}_{y}={U}_{z}=0\) \({U}_{x}={U}_{z}=0\) \({U}_{x}={U}_{y}=0\) |
\(\mathit{N9}\) , \(\mathit{N13}\) , \(\mathit{N14}\) , \(\mathit{N5}\) , \(\mathit{N17}\) : \({U}_{x}=0\) |
Charge: Traction sur la face \([3,4,8,7,11,16,19,15]\)
Le nombre total d’incréments est de 20 (20 incréments entre \(t=\mathrm{0s}\) et \(\mathrm{2s}\) )
La convergence est réalisée si le résidu RESI_GLOB_RELA est inférieur ou égal à 10–6.
Caractéristiques du maillage#
Nombre de nœuds: 20
Nombre de mailles: 2
1 HEXA20
1 QUAD8
Grandeurs testées et résultats#
Identification |
Référence |
Tolérance |
||
SIMO_MIEHE |
GDEF_LOG |
HPP |
||
\(t=2\) Déplacement \(\mathit{DX}\) (\(\mathit{N8}\) ) |
290 |
290 |
290 |
1.00% |
\(t=2\) Contraintes \(\mathit{SIGXX}\) (\(\mathit{PG1}\) ) |
1495 |
1495 |
1570 |
1.00% |
\(t=2\) Variable \(\mathit{P VARI}\) (\(\mathit{PG1}\) ) |
0,2475 |
0,2475 |
0,282 |
1.50% |
\(t=2\) ENER_ELAS, TOTALE |
5.63E+009 |
5,625E9 |
6,16E+9 |
5.00% |
Modélisation B#
Caractéristiques de la modélisation#
Fig. 644 Maillage de la modélisation B#
Conditions aux limites:
\(\mathit{N1}\) : \(\mathit{N2}\) : |
\({U}_{y}=0\) \({U}_{y}=0\) |
Chargement:
Traction sur la face \([3,4]\) (maille SEG2)
Le nombre total d’incréments est de 20 (20 incréments entre \(t=\mathrm{0s}\) et \(\mathrm{2s}\) )
La convergence est réalisée si le résidu RESI_GLOB_RELA est inférieur ou égal à 10–6.
Caractéristiques du maillage#
Nombre de nœuds: 4
Nombre de mailles: 2
1 QUAD4
1 SEG2
Grandeurs testées et résultats#
Identification |
Référence |
Tolérance |
||
SIMO_MIEHE |
GDEF_LOG |
HPP |
||
\(t=2\) Déplacement \(\mathit{DX}\) (\(\mathit{N8}\) ) |
290 |
290 |
290 |
1.00% |
\(t=2\) Contraintes \(\mathit{SIGXX}\) (\(\mathit{PG1}\) ) |
1495 |
1495 |
1570 |
1.00% |
\(t=2\) Variable \(\mathit{P VARI}\) (\(\mathit{PG1}\) ) |
0,2475 |
0,2475 |
0,282 |
1.50% |
\(t=2\) ENER_ELAS, TOTALE |
2.82E+009 |
2,81 E9 |
3,08 E9 |
5.00% |
GDEF_LOG avec ETAT_INIT#
Pour imposer un champ de contrainte initial en grandes déformations avec le formalisme GDEF_LOG, l’utilisateur doit donner en entrée le tenseur de contrainte défini dans l’espace logarithmique \(T\) (et non celui de Cauchy \(\sigma\) ). Les composantes de ce dernier, étant stockées en tant que variables internes, il faut utiliser les opérandes VARI et DEPL du mot-clé facteur ETAT_INIT de la commande STAT_NON_LINE comme indiqué ci-dessous (ces champs peuvent par exemple être obtenus par la commande CREA_CHAMP).
On récupère le champ de variables internes (pour obtenir \(T\) ) et également le champ de déplacement correspondant:
VAR_LOG1=CREA_CHAMP(INFO=2,
TYPE_CHAM='ELGA_VARI_R',
OPERATION='EXTR',
RESULTAT=LOG1,
NOM_CHAM='VARI_ELGA',
INST=1.0,);
DEP_LOG1=CREA_CHAMP(INFO=2,
TYPE_CHAM='NOEU_DEPL_R',
OPERATION='EXTR',
RESULTAT=LOG1,
NOM_CHAM='DEPL',
INST=1.0,);
puis on renseigne dans STAT_NON_LINE, l’état de contrainte initial :
ETAT_INIT=_F(VARI=VAR_LOG1,
DEPL=DEP_LOG1).
Synthèse des résultats#
Les résultats trouvés en terme d’énergie élastique avec code_aster sont très satisfaisants en petites déformations et en déformations logarithmiques, avec des écarts à l’analytique inférieurs à 0,1%, et corrects en déformation de SIMO_MIEHE, avec un écart à l’analytique de 3% environ, dû au terme \(\mathit{tr}(\stackrel{ˉ}{{b}^{e}})\) , sur lequel la cinquième décimale joue un rôle significatif.