u2.02.01 Notice d’utilisation des éléments plaques, coques, grilles et membranes

Résumé :

Ce document est une notice d’utilisation pour les modélisations plaques, coques, grilles et membranes.

Les éléments de coques et de plaques interviennent dans la modélisation numérique des structures minces à surface moyenne, plane (modélisation plaque) ou courbe (modélisation coques). Les modélisations de grilles interviennent pour la modélisation numérique des armatures et des câbles de précontrainte dans les structures en béton armé. La modélisation de membrane permet de modéliser des structures minces dont la rigidité de flexion est négligeable.

Mécanique :

Les modèles DKT sont les plus complets car ils sont capables pour des structures minces ou légèrement épaisses (\(h/L<1/20\) ) de représenter un large éventail de phénomènes mécaniques linéaires ou non linéaires tout en restant performants. Pour des problèmes de grandes transformations avec pression suiveuse et pas de prise en compte du contact, il vaut mieux préférer les modèles de COQUE_3D. Si en plus de l’aspect coque et des phénomènes non-linéaires (contact, pression suiveuse), on ne s’intéresse pas à la partie flexion (ballon gonflable par exemple) , il vaut mieux utiliser les modèles de MEMBRANE en grandes transformations. Dans le cas où la structure est épaisse et qu’on a besoin de traiter proprement le cisaillement transverse et le pincement il vaut mieux préférer les modèles de DST en mécanique linéaire et préférer le modèle 3D en non-linéaire. Enfin, pour une géométrie de révolution et avec un chargement restant de révolution, il vaut mieux préférer COQUE_AXIS en linéaire comme en non-linéaire.

Thermique :

Il existe trois modèles de coque dans code_aster capables de traiter la thermique: COQUE (surfacique) COQUE_PLAN et COQUE_AXIS (1D).

Table des matières

Mécanique

Capacités de modélisation

Rappel des formulations

Géométrie des éléments plaque et coques

Pour les éléments plaques et coques on définit une surface de référence, ou surface moyenne, plane (plan \(xy\) par exemple) ou courbe (\(x\) et \(y\) définissent un ensemble de coordonnées curvilignes) et une épaisseur \(h(x,y)\) . Cette épaisseur doit être petite par rapport aux autres dimensions de la structure à modéliser. La figure ci-dessous illustre ces différentes configurations.

Figure 2.1.1.1-a: Hypothèse en théorie des plaques et des coques

On attache à la surface moyenne \(\omega\) un repère local \(\mathit{Oxyz}\) différent du repère global \(\mathit{OXYZ}\) . La position des points de la plaque ou de la coque est donnée par les coordonnées curvilignes \(({\xi}_{1,}{\xi}_{2})\) de la surface moyenne et l’élévation \({\xi}_{3}\) par rapport à cette surface. Pour les plaques le système de coordonnées curvilignes est un système de coordonnées cartésiennes locales.

Figure 2.1.1.1-b: Définition d’une surface moyenne

Pour représenter des coques à symétrie de révolution autour d’un axe (COQUE_AXIS), la connaissance de la section de révolution ou de la trace de la surface moyenne est suffisante, comme la figure [Figure 2.1.2.1-a] nous le montre. Ces coques s’appuient sur un maillage linéique et en un point \(m\) de la surface moyenne on définit un repère local \((n,t,{e}_{z})\) par:

\(t=\frac{{\mathrm{Om}}_{,s}}{∥{\mathrm{Om}}_{,s}∥}\) , \(n\mathrm{\wedge }t={e}_{z}\)

Lorsque l’on souhaite modéliser un solide de forme quelconque (non plan), on peut utiliser des éléments de coques pour rendre compte de la courbure, ou bien des éléments de plaques. Dans ce dernier cas, la géométrie est approximée par un réseau de facettes.

Figure 2.1.1.1-c: Modélisation d’un solide 3D quelconque par des éléments de plaques ou coques

Pour la définition du repère intrinsèque, on renvoie à [U4.74.01] paragraphe 3.4.

Formulation des éléments plaque, coques et coques volumiques

Formulation en linéaire géométrique

Dans cette formulation, on suppose que les déplacements sont petits, on peut donc superposer la géométrie initiale et la géométrie déformée. Ces éléments reposent sur la théorie des coques selon laquelle:

• les sections droites qui sont les sections perpendiculaires à la surface de référence restent droites; les points matériels situés sur une normale à la surface moyenne non déformée restent sur une droite dans la configuration déformée. Il résulte de cette approche que les champs de déplacement varient linéairement dans l’épaisseur de la plaque ou de la coque . Si l’on désigne par \(u\) , \(v\) et \(w\) les déplacements d’un point \(q(x,y,z)\) suivant \(x\) , \(y\) et \(z\) , on a ainsi:

\(\left\lbrace \begin{array}{c}u(x,y,z)\\ v(x,y,z)\\ w(x,y,z)\end{array}\right\rbrace =\left\lbrace \begin{array}{c}u(x,y)\\ v(x,y)\\ w(x,y)\end{array}\right\rbrace +z\left\lbrace \begin{array}{c}{\beta}_{x}(x,y)\\ {\beta}_{y}(x,y)\\ 0\end{array}\right\rbrace\)

Le tenseur de déformation associé s’écrit alors: \(\varepsilon (x,y,z)=e(x,y)+\gamma (x,y)+\mathit{z.}\chi (x,y)\) .

Le premier terme \(e\) comprend les déformations de membrane (pour un élément de plaque ce sont les déformations dans le plan de l’élément), le second \(\gamma\) celles de cisaillement transversal, et le troisième \(z.\chi\) les déformations de flexion, associées au tenseur de courbure \(\chi\) . Pour les plaques ou les coques épaisses les cisaillements transverses \(\gamma\) sont pris en compte suivant la formulation proposée par Reissner, Hencky, Bollé, Mindlin. Cette formulation englobe l’approche sans cisaillement transverse, où le tenseur \(\gamma\) est nul, développée par Kirchhoff pour les plaques ou les coques minces selon laquelle les points matériels situés sur une normale \(n\) à la surface moyenne non déformée restent sur la normale à la surface déformée.

• La contrainte transversale \({\sigma}_{zz}\) est nulle car considérée comme négligeable par rapport aux autres composantes du tenseur des contraintes (hypothèse des contraintes planes).

• On ne décrit pas la variation de l’épaisseur ni celle de la déformation transversale \({\varepsilon}_{zz}\) que l’on peut calculer en utilisant l’hypothèse précédente de contraintes planes.

• La prise en compte du cisaillement transverse dépend de facteurs de correction déterminés a priori par des équivalences énergétiques avec des modèles 3D, de façon à ce que la rigidité en cisaillement transverse du modèle de plaque soit la plus proche possible de celle définie par la théorie de l’élasticité tridimensionnelle. Pour les plaques homogènes, le facteur de correction de cisaillement transverse basé sur cette méthode est \(k=5/6\) .

• Les contraintes de cisaillement des éléments de plaque (DKT/Q,DST/Q, Q/T3G) tiennent compte de l’excentrement possible des éléments (hypothèse de bord libre notamment et répartition quadratique dans l’épaisseur). Toutefois, pour deux plaques identiques du point de vue matériau et collées l’une sur l’autre avec excentrement de leurs démi-épaisseurs, l’hypothèse de calcul des contraintes de cisaillement ne permet pas de comparer la solution en cisaillement avec un modèle composé d’une seule plaque. En effet, dans le cas de la plaque seule, on obtiendra une parabole dans l’épaisseur s’annulant aux extrémités, dans le cas des deux plaques on aura deux paraboles, s’annulant aux extrémités de chaque plaque. Pour comparer deux plaques collées avec une seule plaque, un recours à DEFI_COMPOSITE sera nécessaire.

Remarque:

La détermination des facteurs de correction repose pour Mindlin sur des équivalences de fréquence propre associée au mode de vibration par cisaillement transverse. On obtient alors \(k={\pi}^{2}/12\) , valeur très proche de \(5/6\) .

Ces éléments font intervenir localement :

• Cinq variables cinématiques pour les éléments plaques et coques quelconques ; les déplacements de membrane \(u\) et \(v\) dans le plan de référence \(z=0\) , le déplacement transversal \(w\) et les rotations \({\beta}_{x}\) et \({\beta}_{y}\) de la normale à la surface moyenne dans les plans \(yz\) et \(xz\) respectivement.

• Trois variables cinématiques pour les éléments linéiques ; les déplacements \(u\) et \(v\) dans le plan de référence \(z=0\) et la rotation \({\beta}_{n}\) de la normale à la surface moyenne dans le plan \(xy\) .

Figure 2.1.2.1-a : Variables cinématiques pour les différents éléments de plaques et de coques

• Trois efforts résultants de membrane notés \(\mathit{Nxx},\mathit{Nyy},\mathit{Nxy}\) et trois moments de flexion notés \(\mathit{Mxx},\mathit{Myy},\mathit{Mxy}\) quel que soit l’élément de plaque ou de coque ; deux efforts tranchants notés \(\mathit{Vx}\) et \(\mathit{Vy}\) dans le cas des éléments de plaques et de coques quelconques.

Figure 2.1.2.1-b : Efforts résultants pour un élément de plaque ou de coque

Formulation en non-linéaire géométrique, flambement d’Euler

Dans la formulation en non-linéaire géométrique , on est en présence de grands déplacements et de grandes rotations, on ne peut pas superposer la géométrie initiale et la géométrie déformée.

La formulation, décrite dans la documentation de référence [R3.07.05], est basée sur une approche de milieu continu 3D, dégénérée par l’introduction de la cinématique de coque de type Hencky‑Mindlin‑Naghdi en contraintes planes dans la formulation faible de l’équilibre. La mesure des déformations retenues est celle de Green-Lagrange, énergiquement conjuguées aux contraintes de Piola-Kirchhoff de deuxième espèce. La formulation de l’équilibre est donc une formulation Lagrangienne totale. Le cisaillement transverse est traité de la même manière que dans le cas linéaire [R3.07.04].

L’élément retenu en non-linéaire est un élément de coque volumique (COQUE_3D) de surface moyenne courbe tel que présenté au paragraphe précédent, dont les mailles supports sont des QUAD9 et des TRIA7.

Il est possible d’appliquer sur ces éléments des pressions suiveuses, dont la formulation est décrite dans le document de référence [R3.03.07]. Ce chargement à la particularité de suivre la géométrie de la structure au cours de sa déformation (par exemple, la pression hydrostatique reste toujours perpendiculaire à la géométrie déformée).

Le flambement linéaire appelé aussi flambement d’Euler , décrit dans les documentations de référence [R3.07.05] et [R3.07.03], se présente comme un cas particulier du problème non-linéaire géométrique. Il est basé sur une dépendance linéaire des champs de déplacements, de déformations et de contraintes par rapport au niveau de charge.

Les élément retenus en flambement linéaire sont :

• l’élément de plaque (DKT) de surface moyenne plane tel que présenté au paragraphe précédent, dont les mailles supports sont des QUAD4 et des TRIA3.

• l’élément de coque volumique (COQUE_3D) de surface moyenne courbe tel que présenté au paragraphe précédent, dont les mailles supports sont des QUAD9 et des TRIA7.

Comparaison entre les éléments

Les différences entre les éléments plaques et coques

Les éléments de coque sont des éléments courbes alors que les éléments de plaques sont plans. La variation de métrique de la géométrie (c’est-à-dire son rayon de courbure) en fonction de son épaisseur est prise en compte pour les éléments de coques mais pas pour les éléments de plaques. Cette variation de métrique implique un couplage entre les effets de membrane et de flexion pour des structures non planes qui ne peut pas être observé avec des éléments de plaque plan pour un matériau homogène (voir [bib1]).

Le choix des fonctions de forme pour la discrétisation de ces éléments est différent car les éléments de coques courbes ont un nombre de degrés de liberté plus important. Ainsi, les éléments de plaques sont des éléments linéaires en membrane alors que les éléments de coques sont quadratiques.

Les différences entre les éléments plaques

On distingue les éléments avec cisaillement transversal (DST, DSQ et Q4G) des éléments sans cisaillement transversal (DKT et DKQ). Les éléments DST et DKT ont des mailles support triangulaires à 3 nœuds (\(3\times 5=15\) degrés de liberté) et les éléments DKQ, DSQ et Q4G des mailles supports quadrangulaires à 4 nœuds (\(4\times 5=20\) degrés de liberté).

Remarque importante :

Pour les éléments de plaque à 4 nœuds (DSQ, DKQet Q4G), les 4 nœuds doivent être coplanaires pour que la théorie des plaques puisse être validée. Cette vérification est effectuée systématiquement par Code_Aster, et l’utilisateur est alarmé dans le cas où l’un des éléments du maillage ne respecte pas cette condition.

Dans le cas des éléments avec cisaillement transversal, pour éviter le blocage des éléments en cisaillement transverse (surestimation de la rigidité pour des épaisseurs très faibles), une méthode consiste à construire des champs de cisaillement de substitution constants sur les bords de l’élément, dont la valeur est l’intégrale du cisaillement sur le bord en question. Dans Code_Aster , les éléments de plaque et coque avec du cisaillement transverse utilisent cette méthode de façon à ne pas bloquer en cisaillement transverse. Ce blocage en cisaillement vient du fait que l’énergie élastique de cisaillement est un terme proportionnel à \(h\) (\(h\) étant l’épaisseur de la plaque ou de la coque) bien plus grand que le terme d’énergie élastique de flexion qui est proportionnel en \({h}^{3}\) . Quand l’épaisseur devient faible devant la longueur caractéristique (le rapport \(h/L\) est inférieur à \(1/20\) ), pour certaines fonctions de forme, la minimisation du terme prépondérant en \(h\) conduit à une mauvaise représentation des modes de flexion pure, pour lesquels la flèche n’est plus calculée correctement (voir [bib1] page 295 avec \(h/L=0.01\) ).

L’élément Q4G est un élément quadrilatéral à quatre nœuds sans blocage en cisaillement transverse, avec des fonctions de forme bilinéaires en \(x\) et \(y\) pour représenter \(w\) , \({\beta}_{x}\) et \({\beta}_{y}\) .

La principale différence entre la modélisation Q4G et DST vient du fait que l’on utilise pour cette dernière des fonctions de forme incluant un terme quadratique pour discrétiser les rotations \({\beta}_{s}\) où \(s=(x,y)\) .

La conséquence pour l’élément Q4G est une approximation constante par morceaux des courbures qui implique de mailler suffisamment fin dans les directions sollicitées en flexion.

Remarque sur l’élément DST :

Des problèmes ont été mis en évidence sur l’élément triangulaire DST dans le cas de chargement en flexion. Les résultats à maillage équivalent sont nettement moins bons que ceux du DSQ etdépendent fortement de la nature du maillage (voir cas-test ssls141 modélisations E et F V3.03.141). On conseille aux utilisateurs:

• de préférer l’élément DSQà l’élément DST

• sur les DST de préférer les maillages libres aux maillages réglés (résultats meilleurs)

• d’éviter les maillages disymétriques par rapport au chargement (s’il existe des symétries)

Remarque sur l’élément PLAQ_MITC : L’élément PLAQ_MITC a été implémenté à partir d’une librairie Fenics. Il s’agit d’un élément de plaque sans prise en compte d’effet de membrane, basé sur une théorie de Reissner-Mindlin.

Les différences entre les éléments coques

On distingue les éléments de coques axisymétrique COQUE_AXIS des éléments de COQUE_3D.

Les premiers sont utilisés pour modéliser des structures de révolution d’axe \(\mathit{Oy}\) et les seconds dans tous les autres cas. Pour ces éléments de coques, les mailles supports sont linéiques à 3 nœuds. Le nombre de degrés de liberté de ces éléments est de 9.

Les éléments de coques quelconques COQUE_3D ont des mailles support triangulaires à 7 nœuds ou quadrangulaires à 9 nœuds:

• Dans le cas de mailles triangulaires, le nombre de degrés de liberté pour les translations est 6 (les inconnues sont les déplacements aux nœuds sommets et sur les milieux des côtés du triangle) et celui des rotations est 7 (les inconnues sont les 3 rotations aux points précédents et au centre du triangle). Le nombre de degrés de liberté total de l’élément est donc de \(\mathit{Nddle}=3\times 6+3\times 7=39\) .

• Dans le cas de mailles quadrangulaires à 9 nœuds, le nombre de degrés de liberté pour les translations est 8 (les inconnues sont les déplacements aux nœuds sommets et sur les milieux des côtés du quadrangle) et celui des rotations est 9 (les inconnues sont les 3 rotations aux points précédents et au centre du quadrangle). Le nombre de degrés de liberté total de l’élément est donc de \(\mathit{Nddle}=3\times 8+3\times 9=51\) . Ces éléments ont donc à peu près deux fois plus de degrés de liberté que les éléments de plaque de la famille DKT correspondants. Leur coût en temps, à nombre égal, dans un calcul sera donc plus important.

Les éléments de COQUE_3D prennent en compte automatiquement la correction de métrique entre la surface moyenne et les surfaces supérieure et inférieure. Pour les éléments linéiques, cette correction doit être activée par l’utilisateur (voir le paragraphe 13 ). La correction de métrique apporte une contribution en \(h/L\) à la contrainte et en \({(h/L)}^{2}\) en déplacement (voir [V7.90.03]). Pour les plaques cette correction est sans objet.

Pour les éléments de coques le coefficient de correction de cisaillement \(k\) en comportement isotrope peut être modifié par l’utilisateur. Ce coefficient de correction de cisaillement est donné dans AFFE_CARA_ELEM sous le mot-clé A_CIS. Par défaut, si l’utilisateur ne précise rien dans AFFE_CARA_ELEM cela revient à utiliser la théorie avec cisaillement de REISSNER ; le coefficient de cisaillement est alors mis à \(k=5/6\) . Si le coefficient de cisaillement \(k\) vaut 1 on se place dans le cadre de la théorie de HENCKY-MINDLIN-NAGHDI et s’il devient très grand (\(k>{10}^{6.}h/L\) ) on se rapproche de la théorie de LOVE-KIRCHHOFF.

En pratique il est conseillé de ne pas changer ce coefficient. En effet, ces éléments fournissent une solution physiquement correcte, que la coque soit épaisse ou mince, avec le coefficient \(k=5/6\) .

Tous les éléments de coque présents dans Code_Aster sont protégés contre le verrouillage en cisaillement comme les éléments de plaques (voir § 2.1.3.2 ). On utilise pour cela une intégration sélective [R3.07.03].

Cependant cette propriété est perdue si l’on projette un champ de déplacement sur un élément de coque à partir d’un calcul sur un élément de plaque (avec la commande PROJ_CHAMP). Il ne faut pas s’étonner des contraintes de cisaillement obtenues ensuite par un calcul linéaire à partir des déplacements (pour de faibles épaisseurs).

Commandes à utiliser

Discrétisation spatiale et affectation d’une modélisation : opérateur AFFE_MODELE

Dans cette partie, on décrit le choix et l’affectation d’une des modélisations plaque ou coque ainsi que les degrés de liberté et les mailles associées. La plupart des informations décrites sont extraites des documentations d’utilisation des modélisations ([U3.12.01] : Modélisation DKT - DST - Q4G, [U3.12.02] : Modélisations COQUE_AXIS).

Degrés de libertés

Les degrés de liberté de discrétisation sont en chaque nœud de la maille support les composantes de déplacement aux nœuds de la maille support, sauf indication.

Modélisation	Degrés de liberté (à chaque nœud)	Remarques
COQUE_3D	DX DY DZ DRX DRY DRZ DRX DRY DRZau nœud central	Les nœuds appartiennent au feuillet moyen de la coque
DKT, DKTG	DX DY DZ DRX DRY DRZ	Les nœuds appartiennent à la facette tangente au feuillet moyen de la coque
DST	DX DY DZ DRX DRY DRZ	Les nœuds appartiennent à la facette tangente au feuillet moyen de la coque
Q4G	DX DY DZ DRX DRY DRZ	Les nœuds appartiennent à la facette tangente au feuillet moyen de la coque
Q4GG	DX DY DZ DRX DRY DRZ	Les nœuds appartiennent à la facette tangente au feuillet moyen de la coque
PLAQ_MITC	DX DY DZ DRX DRY DRZ	Les nœuds appartiennent à la facette tangente au feuillet moyen de la coque
COQUE_AXIS	DX DY DRZ	Les nœuds appartiennent à la surface moyenne de la coque
GRILLE_EXCENTRE	DX DY DZ DRX DRY DRZ	Les nœuds appartiennent à la facette tangente au feuillet moyen de la coque.
GRILLE_MEMBRANE	DX DY DZ	Degré de liberté à tous les nœuds.
MEMBRANE	DX DY DZ	Degré de liberté à tous les nœuds.

Mailles support des matrices de rigidité

Modélisation	Maille	Élément fini	Remarques
COQUE_3D	TRIA7 QUAD9	MEC3TR7H MEC3QU9H	Mailles non supposées planes
DKT, DKTG	TRIA3 QUAD4	MEDKTR3 MEDKQU4	Mailles planes
DST	TRIA3 QUAD4	MEDSTR3 MEDSQU4	Mailles planes
Q4G,	QUAD4	MEQ4QU4	Mailles planes
Q4GG	QUAD4 TRIA3	MEQ4GG4 MET3GG3	Mailles planes
COQUE_AXIS	SEG3	MECXSE3	Mailles non supposées planes
GRILLE_EXCENTRE	TRIA3, QUAD4	MEGCTR3 MEGCQU4	Mailles planes
GRILLE_MEMBRANE	TRIA3, QUAD4, TRIA6, QUAD8	MEGMTR3 MEGMQU4 MEGMTR6 MEGMQU8	Mailles surfaciques quelconques
MEMBRANE	TRIA3, QUAD4, TRIA6, QUAD8, TRIA7, QUAD9	MEMBTR3 MEMBQU4 MEMBTR6 MEMBQU8 MEMBTR7 MEMBQU9	Mailles surfaciques quelconques

La modélisation GRILLE_EXCENTRE utilisée pour modéliser les structures en béton armé a les mêmes caractéristiques de maillage que la modélisation DKT

Remarque:

Dans un maillage, pour transformer des mailles TRIA6en mailles TRIA7, ou QUAD8en mailles QUAD9, on peut utiliser l’opérateur MODI_MAILLAGE.

Mailles support des chargements

Tous les chargements applicables aux facettes des éléments utilisés ici sont traités par discrétisation directe sur la maille support de l’élément en formulation déplacement. La pression et les autres forces surfaciques ainsi que la pesanteur sont des exemples de chargements s’appliquant directement sur les facettes. Aucune maille spéciale de chargement n’est donc nécessaire pour les faces des éléments de plaques, de coques.

Pour les chargements applicables sur les bords des éléments, on a:

Modélisation	Maille	Élément fini	Remarques
COQUE_3D	SEG3	MEBOCQ3
DKT, DKTG	SEG2	MEBODKT
DST	SEG2	MEBODST
Q4G	SEG2	MEBOQ4G
Q4GG	SEG2	MEBOQ4G
COQUE_AXIS	POI1		Mailles supports réduites à 1 point
GRILLE_EXCENTRE, GRILLE_MEMBRANE, MEMBRANE			Pas d’élément de bord affecté par ces modélisations.

Les forces réparties, linéiques, de traction, de cisaillement, les moments fléchissant appliqués sur les bords de structures coque entrent dans cette catégorie de chargements.

Modèle : AFFE_MODELE

L’affectation de la modélisation passe par l’opérateur AFFE_MODELE [U4.41.01].

AFFE_MODELE		Remarques
AFFE
PHENOMENE	“MECANIQUE”
MODELISATION	“COQUE_3D”
	“DKT”
	“DST”
	“DKTG”
	“Q4G”
	“Q4GG”
	“COQUE_AXIS”
	“GRILLE_MEMBRANE”
	“GRILLE_EXCENTRE”
	“MEMBRANE”

Remarque:

Il est prudent de vérifier le nombre d’éléments affectés.

Caractéristiques élémentaires : AFFE_CARA_ELEM

Dans cette partie, les opérandes caractéristiques des éléments de plaques et de coques sont décrites. La documentation d’utilisation de l’opérateur AFFE_CARA_ELEM est [U4.42.01].

AFFE_CARA_ELEM		COQUE_3D	DKT	DKTG	DST	Q4G	Q4GG	COQUE_AXIS
COQUE
	EPAIS
	/ ANGL_REP / VECTEUR
	A_CIS
	COEF_RIGI_DRZ
	EXCENTREMENT
	INER_ROTA
	MODI_METRIQUE
	COQUE_NCOU

AFFE_CARA_ELEM		GRILLE_EXCENTRE	GRILLE_MEMBRANE
GRILLE
	SECTION
	/ ANGL_REP / AXE, ORIG_AXE
	EXCENTREMENT
	COEF_RIGI_DRZ

AFFE_CARA_ELEM		MEMBRANE
MEMBRANE
	EPAIS
	/ ANGL_REP / AXE, ORIG_AXE
	N_INIT

Les caractéristiques pouvant être affectées sur les éléments de plaque ou de coque sont:

• L’épaisseur EPAIS constante sur chaque maille, puisque le maillage ne représente que le feuillet moyen.

• Le coefficient de correction du cisaillement transverse A_CIS pour les coques courbes isotropes.

• La prise en compte de la correction de métrique MODI_METRIQUE entre la surface moyenne et les surfaces supérieure et inférieure (effective uniquement pour les COQUE_AXIS).

• Une direction de référence permettant de définir un repère local dans le plan tangent en tout point d’une coque. La construction du repère local se fait soit à l’aide des deux angles «nautiques» \(\alpha\) et \(\beta\) (fournis en degrés) qui définissent un vecteur \(v\) dont la projection sur le plan tangent à la coque fixe la direction \({x}_{l}\) . soit , si le mot clef VECTEUR est présent, par les 3 composantes du vecteur \(v\) On peut définir un unique vecteur \(V\) pour toute la structure, ou bien un par zone (mots clés GROUP_MA / MAILLE). La construction du repère local est définie dans AFFE_CARA_ELEM [U4.42.01]. On appellera par la suite ce repère local repère utilisateur .

La définition de cet axe de référence est utile également pour définir l’orientation des fibres d’une coque multicouche ou orthotrope (Cf. opérateur DEFI_COMPOSITE [U4.42.03]).

• Le nombre de couches COQUE_NCOU utilisées pour l’intégration dans l’épaisseur de la coque, dans les opérateurs STAT_NON_LINE et DYNA_NON_LINE (modélisations DKT, COQUE_3D, COQUE_AXIS).

• Une fonctionnalité de DEFI_GROUP permet de créer automatiquement un groupe de mailles dont la normale est comprise dans un angle solide donné, d’axe la direction de référence.

Cette commande peut être utilisée en pré-traitement pour affecter des données matériau non isotropes ou en post-traitement après un calcul de coque.

• L’excentrement (constant pour tous les nœuds de la maille) EXCENTREMENT de chacune d’elles par rapport à la maille support. Cette distance est mesurée sur la normale de la maille support. Dans le cas excentré les inerties de rotation sont obligatoirement prises en compte et INER_ROTA est mis à OUI.

• COEF_RIGI_DRZ définit un coefficient de rigidité fictive (nécessairement petit) sur le degré de liberté de rotation autour de la normale à la coque. Il est nécessaire pour empêcher que la matrice de rigidité soit singulière, mais doit être choisi le plus petit possible. Pour les DKT, si on choisit COEF_RIGI_DRZ négatif, on renforce par une écriture variationnelle la cinématique de rotation de l’élément plaque autour de sa normale. On conseille une valeur de \({10}^{-8}\) .

Figure 2.2.2-a: Repère global et plan tangent

Pour les modélisations GRILLE_EXCENTRE et GRILLE_MEMBRANE,

Les données géométriques suivantes sont nécessaires pour modéliser la nappe d’armatures :

• SECTION= \({S}_{1}\) : section des armatures dans la direction 1. La section est donnée par mètre linéaire. Elle correspond donc à la section cumulée sur une largeur de 1 mètre. S’il y a une section \(s\) tous les \(\mathrm{20.0cm}\) , la section cumulée est \(\mathrm{5.s}\) .

• L’orientation des armatures est définie soit par

• ANGL_REP, pour définir un vecteur projeté sur l’élément

• soit dans le cas d’une coque cylindrique, par ORIG_AXE, AXE pour définir l’angle des armatures, constant dans un repère cylindrique.

• L’excentrement (constant pour tous les nœuds de la maille) de la nappe d’armatures par rapport à la maille support (distance mesurée sur la normale de la maille support), (modélisation GRILLE_EXCENTRE uniquement).

Pour définir une grille ou si la section des armatures dans le sens longitudinal et dans le transversal sont différents, il faut créer deux couches d’éléments (commande crea_maillage, mot clé crea_group_ma), une couche d’élément pour la direction longitudinale et une deuxième couche d’éléments pour la direction transversale :

Pour la modélisation MEMBRANE en linéaire, seule l’orientation du comportement de la membrane est nécessaire. Elle est définie soit par :

• ANGL_REP, pour définir un vecteur projeté sur l’élément

• dans le cas d’une coque cylindrique, par ORIG_AXE, pour définir l’angle des armatures, constant dans un repère cylindrique.

Si la modélisation MEMBRANE est utilisée en non linéaire, il faut alors renseigner :

• EPAIS, l’épaisseur de la membrane.

• ANGL_REP, le repère d’expression des contraintes (seul un comportement isotrope est possible).

• N_INIT, une prétension initiale de dimension effort par unité de longueur qui disparaît après les itérations de Newton du premier pas de temps. Cette prétension n’est utile que pour la convergence du premier pas de temps.

Remarque importante :

Le sens des normales à chaque élément est un problème récurrent concernant l’utilisation de ce type d’élément, par exemple lorsque l’on applique des chargements de type pression, ou bien pour définir un excentrement ou un repère local.

Par défaut pour les éléments surfaciques l’orientation est donnée par le produit vectoriel 12^13 pour un triangle numéroté 123 (DKT,…) ou 1234567 (COQUE_3D) et 12^14 pour un quadrangle numéroté 1234(DKQ,…) ou 123456789 (COQUE_3D). Pour les coques linéiques \(n\) est donnée par la formule du paragraphe Error: Reference source not found avec \(t\) orienté dans le sens de parcours de la maille au niveau du maillage.

Généralement, ces données sont accessibles en regardant dans le fichier de maillage, ce qui n’est pas très pratique pour l’utilisateur. En outre, il faut qu’il vérifie la cohérence de son maillage et s’assurer que toutes les mailles ont bien la même orientation.

L’utilisateur peut modifier automatiquement l’orientation des éléments du maillage en imposant une direction de normale, pour un maillage ou une partie de maillage utilisant des modélisations de coque et quelle que soit le type de modélisation. La réorientation des éléments se fait par le biais de l’opérateur ORIE_NORM_COQU de la commande MODI_MAILLAGE [U4.12.05]. Le principe est le suivant: on définit sous ORIE_NORM_COQU une direction par le biais d’un vecteur et un nœud appartenant au groupe de mailles à réorienter. Si le vecteur introduit n’est pas dans le plan de la maille sélectionnée par MODI_MAILLAGE, on en déduit automatiquement une direction de normale obtenue comme le vecteur donné moins sa projection sur le plan de la maille. Toutes les mailles du groupe connexes à celles initialement sélectionnée auront alors la même orientation de normale automatiquement. Par ailleurs une vérification automatique de la même orientation des mailles connexes est effectuée par le biais de l’opérateur VERI_NORM de la commande AFFE_CHAR_MECA [U4.25.01].

Matériaux : DEFI_MATERIAU

La définition du comportement d’un matériau s’effectue à l’aide de l’opérateur DEFI_MATERIAU [U4.43.01].

DEFI_MATERIAU	COQUE_3D	DKT, DST, Q4G	DKTG, Q4GG	COQUE_AXIS	GRILLE_EXCENTRE, GRILLE_MEMBRANE	MEMBRANE
ELASTICITE . LINEAIRE
ELAS
ELAS_ORTH ELAS_ISTR
ELAS_COQUE
ELAS_MEMBRANE

DEFI_MATERIAU	COQUE_3D	DKT	DST Q4G	DKTG	Q4GG	COQUE_AXIS	GRILLE_EXCENTRE GRILLE_MEMBRANE	MEMBRANE
PAR COUCHE
comportements disponibles en C_PLAN
comportements disponibles en 1D
GLRC_DAMAGE
GLRC_DM, KIT_DDI

La MEMBRANE en linéaire est utilisée avec ELAS_MEMBRANE et en non linéaire avec ELAS.

Les matériaux utilisés avec l’ensemble des éléments plaques ou coques peuvent avoir des comportements élastiques en contraintes planes dont les caractéristiques linéaires sont constantes ou fonctions de la température.

Tous les comportements non linéaires en contraintes planes (soit directement, soit par la méthode de De Borst [R5.03.03]) sont disponibles pour les modélisations DKT et coques. Pour plus d’informations sur ces non linéarités on peut se reporter au paragraphe [§ 23 ].

Tous les comportements non linéaires en 1D (soit directement, soit par la méthode de De Borst) sont disponibles pour les modélisations GRILLE_EXCENTRE et GRILLE_MEMBRANE.

Les structures minces en matériaux composites ne peuvent être traitées actuellement que par les modélisations plaques, en utilisant DEFI_COMPOSITE avec des caractéristiques de matériaux homogénéisés. On peut aussi introduire directement les coefficients de rigidité des matrices de membrane, flexion et cisaillement avec ELAS_COQUE. Ces coefficients sont donnés dans le repère utilisateur de l’élément défini par ANGL_REP. Il est à noter que les termes de cisaillement ne sont pris en compte avec le comportement ELAS_COQUE que pour les éléments DST et Q4G. Ils ne sont pas pris en compte avec les éléments DKT.

Afin de faciliter la compréhension, nous avons représenté sur la figure ci-dessous les différents repères utilisés.

Figure 2.2.3-a: Repères utilisés pour la définition du matériau

L’exemple suivant est extrait du cas-test SSLS117B et illustre la syntaxe de DEFI_COMPOSITE:

MU2=DEFI_COMPOSITE(COUCHE=_F(EPAIS=0.2,

MATER=MAT1B,

ORIENTATION=0.0,),);

Dans cet exemple, on définit un composite multicouche d’épaisseur \(0.2\) , le matériau étant définit par MAT1B, et l’angle de la 1ère direction d’orthotropie (sens longitudinal ou sens des fibres) étant nul. On se reportera à la documentation [U4.42.03] pour plus de détails concernant l’utilisation de DEFI_COMPOSITE. (voir aussi [R4.01.01].

Chargements et conditions limites : AFFE_CHAR_MECA et AFFE_CHAR_MECA_F

L’affectation des chargements et des conditions aux limites sur un modèle mécanique s’effectue à l’aide de l’opérateur AFFE_CHAR_MECA, si les chargements et les conditions aux limites mécaniques sur un système sont des valeurs réelles ne dépendant d’aucun paramètre, ou bien AFFE_CHAR_MECA_F, si ces valeurs sont fonctions de la position ou de l’incrément de chargement.

La documentation d’utilisation d’AFFE_CHAR_MECA et AFFE_CHAR_MECA_F est [U4.44.01].

Liste des mot-clés facteur d’AFFE_CHAR_MECA

AFFE_CHAR_MECA	COQUE_3D	DKT, DKTG	DST	Q4G, Q4GG	COQUE_AXIS	GRILLE_*
DDL_IMPO
FACE_IMPO
LIAISON_DDL
LIAISON_OBLIQUE
LIAISON_GROUP
CONTACT
LIAISON_UNIF
LIAISON_SOLIDE
LIAISON_ELEM
LIAISON_COQUE
FORCE_NODALE

DDL_IMPO	Mot clé facteur utilisable pour imposer, à des nœuds ou à des groupes de nœuds, une ou plusieurs valeurs de déplacement.
FACE_IMPO	Mot clé facteur utilisable pour imposer, à tous les nœuds d’une face définie par une maille ou un groupe de mailles, une ou plusieurs valeurs de déplacements (ou de certaines grandeurs associées).
LIAISON_DDL	Mot clé facteur utilisable pour définir une relation linéaire entre des degrés de liberté de deux ou plusieurs nœuds.
LIAISON_OBLIQUE	Mot clé facteur utilisable pour appliquer, à des nœuds ou des groupes de nœuds, la même valeur de déplacement définie composante par composante dans un repère oblique quelconque.
LIAISON_GROUP	Mot clé facteur utilisable pour définir des relations linéaires entre certains degrés de liberté de couples de nœuds, ces couples de nœuds étant obtenus en mettant en vis-à-vis deux listes de mailles ou de nœuds.
CONTACT	Mot clé facteur utilisable pour notifier des conditions de contact et de frottement entre deux ensembles de mailles.
LIAISON_UNIF	Mot clé facteur permettant d’imposer une même valeur (inconnue) à des degrés de liberté d’un ensemble de nœuds.
LIAISON_SOLIDE	Mot clé facteur permettant de modéliser une partie indéformable d’une structure.
LIAISON_ELEM	Mot clé facteur qui permet de modéliser les raccords d’une partie coque avec une partie poutre ou d’une partie coque avec une partie tuyau (voir paragraphe 2.2.4.5 ).
LIAISON_COQUE	Mot clé facteur permettant de représenter le raccord entre des coques au moyen de relations linéaires.
FORCE_NODALE	Mot clé facteur utilisable pour appliquer, à des nœuds ou des groupes de nœuds, des forces nodales, définies composante par composante dans le repère GLOBALou dans un repère oblique défini par 3 angles nautiques.

AFFE_CHAR_MECA particuliers	COQUE_3D	DKT, DKTG	DST, Q4G	Q4GG	COQUE_AXIS	GRILLE_*
FORCE_ARETE
FORCE_COQUE global pres local tangent
PESANTEUR
PRES_REP
ROTATION
PRE_EPSI

FORCE_ARETE	Mot clé facteur utilisable pour appliquer des forces linéiques sur une arête d’un élément de coque. Pour les éléments linéiques l’équivalent revient à appliquer une force nodale aux nœuds supports de l’élément. Il n’y a donc pas de terme dédié particulier. En revanche, il nécessite des éléments de bords.
FORCE_COQUE	Mot clé facteur utilisable pour appliquer des efforts surfaciques (pression par exemple) sur des éléments définis sur tout le maillage ou sur une ou plusieurs mailles ou des groupes de mailles. Ces efforts peuvent être donnés dans le repère global ou dans un repère de référence défini sur chaque maille ou groupe de mailles; ce repère est construit autour de la normale à l’élément de coque et d’une direction fixe (voir paragraphe 2.2.2 ).
PESANTEUR	Mot clé facteur utilisable pour un chargement de type pesanteur.
PRES_REP	Mot clé facteur utilisable pour appliquer une pression sur une ou plusieurs mailles, ou des groupes de mailles.
ROTATION	Mot clé facteur utilisable pour calculer le chargement dû à la rotation de la structure.
PRE_EPSI	Mot clé facteur utilisable pour appliquer un chargement de déformation initiale.

Remarque:

Les efforts de pression s’exerçant sur les éléments de plaques peuvent s’appliquer soit par FORCE_COQUE(pres) soit par PRES_REP. L’utilisateur devra donc faire attention à ne pas appliquer deux fois le chargement de pression pour les éléments concernés, surtout dans les cas où les modélisations de plaques seraient mélangées avec d’autres modélisations utilisant PRES_REP.

Par ailleurs il faut noter que les efforts de pression, que ce soit avec FORCE_COQUE (pres) ou PRES_REP sont tels qu’une pression positive agit dans le sens contraire à celui de la normale à l’élément. Par défaut, cette normale est dépendante du sens de parcours des nœuds d’un élément, ce qui n’est pas toujours très facile pour l’utilisateur.

En outre il faut que celui-ci s’assure que tous ces éléments sont orientés de la même manière. On conseille donc d’imposer l’orientation de ces éléments par le biais de l’opérateur ORIE_NORM_COQU de la commande MODI_MAILLAGE (voir paragraphe[§2.2.2]).

Liste des mot-clés facteur d’AFFE_CHAR_MECA_F

Les mot-clés facteur généraux de l’opérateur AFFE_CHAR_MECA_F sont identiques à ceux de l’opérateur AFFE_CHAR_MECA présentés ci-dessus.

AFFE_CHAR_MECA_F particuliers	COQUE_3D	DKT, DKTG	DST	Q4G, Q4GG	COQUE_AXIS
FORCE_ARETE
FORCE_COQUE global pres local tangent

Les chargements de pression fonctions de la géométrie peuvent être renseignés par le biais de FORCE_COQUE(pres).

Application d’une pression : mot-clé FORCE_COQUE

Le mot-clé facteur FORCE_COQUE permet d’appliquer des efforts surfaciques sur des éléments de type coque (DKT, DST, Q4G, …) définis sur tout le maillage ou sur une ou plusieurs mailles ou des groupes de mailles. Suivant le nom de l’opérateur appelé, les valeurs sont fournies directement (AFFE_CHAR_MECA) ou par l’intermédiaire d’un concept fonction (AFFE_CHAR_MECA_F).

	AFFE_CHAR_MECA AFFE_CHAR_MECA_F			Remarques
	FORCE_COQUE :
Repère global		TOUT: “OUI” MAILLE GROUP_MA		Lieu d’application du chargement
		FX FY FZ MX MY MZ		Fourni directement pour AFFE_CHAR_MECA, sous forme de fonctionpour AFFE_CHAR_MECA_F
	PLAN	“MOY” “INF” “SUP” “MAIL”		Permet de définir un torseur d’efforts sur le plan moyen, inférieur, supérieur ou du maillage (éléments DKTet DST)
Repère local	PRES	F1 F2 F3 MF1 MF2		Fourni directement pour AFFE_CHAR_MECA, sous forme de fonctionpour AFFE_CHAR_MECA_F

Nous renvoyons au paragraphe correspondant au mot-clé FORCE_COQUE du document d’utilisation des opérateurs AFFE_CHAR_MECA et AFFE_CHAR_MECA_F.

Conditions limites : mots-clés DDL_IMPOet LIAISON_*

Le mot-clé facteur DDL_IMPO permet d’imposer, à des nœuds introduits par un (au moins) des mots clés : TOUT, NOEUD, GROUP_NO, MAILLE, GROUP_MA, une ou plusieurs valeurs de déplacement (ou de certaines grandeurs associées). Suivant le nom de l’opérateur appelé, les valeurs sont fournies directement (AFFE_CHAR_MECA) ou par l’intermédiaire d’un concept fonction (AFFE_CHAR_MECA_F).

Les opérandes disponibles pour DDL_IMPO, sont listés ci-dessous:

DX DY DZ	Blocage sur la composante de déplacement en translation
DRX DRY DRZ	Blocage sur la composante de déplacement en rotation

Raccords coques avec autres éléments mécaniques

Ces raccords doivent satisfaire les exigences établies dans [bib4] et que l’on retrouve en particulier dans le raccord 3D-POUTRE en [R3.03.03].

Les raccords disponibles avec les éléments de plaques et de coques sont les suivants :

• Raccord Poutre-Coque : il s’agit d’établir la liaison entre un nœud extrémité d’un élément de poutre et un groupe de mailles de bord d’éléments de coques. Les théories de poutre et de plaque ne connaissent que des coupures normales à la fibre ou à la surface moyenne. Les raccords ne peuvent avoir lieu que suivant ces fibres ou surfaces moyennes. Le raccord poutre-coque est **réalisable pour des poutres dont la fibre neutre est orthogonale aux normales aux facettes des plaques ou des coques.* L’étendre à d’autres configurations (une poutre arrivant perpendiculairement au plan d’une plaque par exemple) demande une étude de faisabilité car les éléments de plaque ou de coque n’ont pas de rigidité associée à une rotation dans le plan perpendiculaire à la normale à la surface moyenne. Le raccord est utilisable en utilisant le mot-clé LIAISON_ELEM: (OPTION: ‘COQ_POU’) de AFFE_CHAR_MECA.

• Raccord Coque-Tuyau : il s’agit d’établir la liaison entre un nœud extrémité d’un élément de tuyau et un groupe de maille de bord d’éléments de coques. La formulation du raccord coques-tuyaux est présenté dans le document de référence [R3.08.06]. Les théories de tuyau et de plaque, ne connaissent que des coupures normales à la fibre ou à la surface moyenne. Les raccords ne peuvent avoir lieu que suivant ces fibres ou surfaces moyennes. Le raccord coque-tuyau est réalisable pour des tuyaux dont la fibre neutre est orthogonale aux normales aux facettes des plaques ou des coques. Le raccord est utilisable en utilisant le mot-clé LIAISON_ELEM: (OPTION: ‘COQ_TUYAU’) de AFFE_CHAR_MECA.

Figure 2.2.4.5-a: Raccords coques avec autres éléments mécaniques

• Raccord Coque – 3D massif : le raccord coque-3D massif est à l’étude mais il sera limité dans un premier temps aux cas où la normale au solide est orthogonale à la normale à l’une des facettes de l’élément de plaque ou de coque (voir [bib4]).

• Raccord entre éléments de Coques : pour raccorder deux éléments de coques entre eux, on utilise le mot-clé LIAISON_COQUE d’AFFE_CHAR_MECA(_F) (documentation [U4.44.01]). Ce raccord est effectué au moyen de relations linéaires. L’approche classique admet que 2 plans maillés en coques se coupent selon une droite qui appartient au maillage de la structure. Afin d’éviter que le volume qui est l’intersection des deux coques soit compté deux fois, on arrête le maillage d’une coque perpendiculaire à une coque donnée au niveau de la peau supérieure ou inférieure de cette dernière. Sur la [Figure 2.2.4.5-b], la liaison entre les 2 coques se fait par des liaisons de corps solide entre les nœuds en vis-à-vis des segments \({A}_{1}{A}_{2}\) et \({B}_{1}{B}_{2}\) .

Figure 2.2.4.5-b: Raccord entre éléments de coques

Des cas-tests permettant de valider ces raccords sont disponibles dans la section exemples.

Variables de commandes

Les variables de commandes prises en compte par les différentes modélisations sont listées ici :

Variables de commandes	COQUE_3D	DKT, DST, Q4G	DKTG	Q4GG	COQUE_AXIS	GRILLE_MEMBRANE GRILLE_EXCENTRE MEMBRANE
TEMP
autres : SECH, HYDR, etc..

Résolution

Calculs linéaires : MECA_STATIQUE et autres opérateurs linéaires

Les calculs linéaires s’effectuent en petites déformations. Plusieurs opérateurs de résolution linéaires sont disponibles:

MECA_STATIQUE:	résolution d’un problème de mécanique statique linéaire ([U4.51.01]);
MACRO_ELAS_MULT:	calcule des réponses statiques linéaires pour différents cas de charges ou modes de Fourier. ([U4.51.02]).
CALC_MODES:	calcul des valeurs et vecteurs propres par des méthodes de sous-espaces ou d’itérations inverses. ([U4.52.02]).
MODE_ITER_CYCL:	calcul des modes propres d’une structure à symétrie cyclique ([U4.52.05]);
DYNA_LINE_TRAN :	calcul de la réponse dynamique transitoire à une excitation temporelle quelconque ([U4.53.02]);
DYNA_TRAN_MODAL:	calcul est effectué par superposition modale ou par sous-structuration ([U4.53.21]);

Calculs non linéaires : STAT_NON_LINEet DYNA_NON_LINE

Comportements et hypothèses de déformations disponibles

Les informations suivantes sont extraites de la documentation d’utilisation de l’opérateur STAT_NON_LINE: [U4.51.03].

				COQUE_3D	DKT	DKTG	DST, Q4G	DKTG	Q4GG	GRILLE_*	COQUE_AXIS
COMPORTEMENT (petites déformations)	RELATION	Toutes les relations disponibles en contraintes planes
		Les relations 3D en utilisant la méthode de De Borst
		Toutes les relations disponibles en 1D
	DEFORMATION: “GROT_GDEP”	Coque_3Den grands déplacements et grandes rotations disponible avec comportements incrémentaux non linéaires, mais en petites déformations
	DEFORMATION: “PETIT” (ou GROT_GDEP)	En petits ou grands déplacements disponible avec comportements incrémentaux non linéaires, mais en rotations faibles et en petites déformations
	DEFORMATION : PETIT ou GROT_GDEP	En petits ou grands déplacements
	RELATION	GLRC_DAMAGE
	RELATION	GLRC_DM, KIT_DDI
COMPORTEMENT (grands déplacements, grandes rotations)	RELATION	ELAS
	DEFORMATION:”GROT_GDEP”
	TYPE_CHARGE:”SUIV”	Pression suiveuse

Tous les comportements non linéaires mécaniques de contraintes planes du code sont accessibles. La relation de comportement relie les taux de déformation aux taux de contraintes.

Pour les modélisations GRILLE_EXCENTRE et GRILLE_MEMBRANE, pour des structures en béton armé, les comportements non linéaires 1D correspondent à des comportements incrémentaux particuliers dans STAT_NON_LINE(COMPORTEMENT):

• GRILLE_ISOT_LINE pour la plasticité à écrouissage isotrope,

• GRILLE_ISOT_CINE pour la plasticité à écrouissage cinématique bi linéaire,

La modélisation MEMBRANEest implémentée pour descomportementsélastiquesen petites déformations et petits déplacements, utilisable avec COMPORTEMENT=”PETIT’et RELATION=”ELAS”, mais aussi pour des comportementshyper-élastiques en grandes déformations et grands déplacements avec DEFORMATION=”GROT_GDEP’et RELATION=”ELAS_MEMBRANE_SV” ou RELATION= “ELAS_MEMBRANE_NH”.

Les comportements 3D peuvent également être utilisésà l’aide de la méthode de De Borst [R5.03.09].

Lorsque les éléments de type plaque ou coques deviennent coplanaires, il convient de contrôler le problème de rigidité autour de la normale. En effet, par construction, ces éléments n’ont pas de rigidité dans cette direction: DRZ est un ddl fictif qui évite la singularité des matrices DKT en repère global.

Le coefficient COEF_RIGI_DRZ dans l’opérateur AFFE_CARA_ELEM permet de modifier cette valeur. La valeur par défaut est suffisante dans la plupart des cas, mais, dans certaines situations comme:

• des éléments de plaques minces utilisés avec une grande épaisseur (DKT par exemple);

• un calcul non-linéaire (STAT_NON_LINE ou DYNA_NON_LINE);

• des éléments de type DKT sur des quadrangles vrillés en général ;

• COQUE_3D avec des cinématiques de grandes transformations;

• Plaque soumise à une rotation autour de sa normale.

Conseil pour le DKT sur COEF_RIGI_DRZ : Une mauvaise valeur pénalise la convergence des calculs. Le résultat, s’il est convergé, reste juste , mais la vitesse de convergence est diminuée. Par exemple, un calcul linéaire élastique demande plus d’une itération de Newton pour converger. Il faut alors changer la valeur de COEF_RIGI_DRZ et la diminuer. Néanmoins, attention au choix de ce coefficient car une valeur trop faible peut rendre la matrice singulière. Il est également possible d’enrichir les modèles DKT avec la prise en compte de la rigidité suivant DRZ. Pour ce faire, il suffit de prendre COEF_RIGI_DRZ négatif. Dans ce dernier cas, on précise qu’on a pas tout a fait un modèle de DKT tel qu’il est formulé dans la littérature mais on a un modèle de DKT enrichi par une cinématique en DRZ: DRZ devient ddl physique .

Conseil pour le COQUE_3D: A contrario pour le COQUE_3D, il vaut mieux privilégier COEF_RIGI_DRZ de plus en plus grand pour éviter les matrices singulières.

Le concept RESULTAT de STAT_NON_LINE/DYNA_NON_LINE contient des champs de déplacements, de contraintes et de variables internes aux points d’intégration toujours calculées aux points de gauss:

• DEPL: champs de déplacements.

• SIEF_ELGA: Tenseur des contraintes par élément aux points d’intégration (COQUE_3D et DKT) dans le repère utilisateur. Pour chaque couche, on stocke dans l’épaisseur et pour chaque épaisseur sur les points d’intégration surfacique. Ainsi si on veut des informations sur une contrainte pour la couche NC, au niveau NCN (NCN = -1 si inférieur, NCN = 0 si milieu, NCN = +1 si supérieur) pour le point d’intégration surfacique NG, il faudra regarder la valeur donnée par le point défini dans l’option POINT tel que: NP = 3*(NC-1)*NPG+(NCN+1)*NPG+NG où NPG est le nombre total de points d’intégration surfacique de l’élément de COQUE_3D (7 pour le triangle et 9 pour le quadrangle) et de l’élément DKT. Pour les modélisations GRILLE_EXCENTRE,GRILLE_MEMBRANE, on stocke simplement une valeur par point d’intégration : la composante SIXX dans la direction des armatures. Pour les modélisations DKTG et Q4GG, SIEF_ELGA contient les 6 efforts généralisés (efforts membranaires, moments fléchissants, efforts tranchants) par point de Gauss. Dans le cas général, SIEF_ELGA est un champ de contraintes de Cauchy mais pour les COQUE_3D, il s’agit d’un champ de contrainte de type Piola-Kirchoff de deuxième espèce.

• VARI_ELGA: Champ de variables internes (DKT et COQUE_3D) par élément aux points d’intégration surfacique. Pour chaque point d’intégration surfacique, on stocke les informations sur les couches en commençant par la première, niveau ‘INF’. Le nombre de variables représentées vaut donc 2*NCOU*NBVARI où NBVARI représente le nombre de variables internes.

Il peut être enrichit des champs suivants, calculés en post-traitement par l’opérateur CALC_CHAMP:

• EFGE_ELNO: active le calcul du tenseur des efforts généralisés par élément aux nœuds (efforts membranaires, moments fléchissants, efforts tranchants), dans le repère utilisateur (défini au paragraphe [§2.2.2]).

• VARI_ELNO: active le calcul du champ de variables internes par élément aux nœuds dans l’épaisseur (par couche SUP/MOY/INF dans l’épaisseur sauf indication).

Détail sur les points d’intégration

La numérotation des points de Gauss surfaciques pour les éléments COQUE_3D est donnée en R3.07.04 §4.7.1. Attention à l’ordre des points de Gauss pour la formule à 9 points, qui n’est pas le même que celui adopté pour les éléments isoparamétriques.

Pour les modélisations DKT, COQUE_3D, COQUE_AXIS, dans le cas des calculs non-linéaires, la méthode d’intégration pour les éléments de plaque et de coques est une méthode d’intégration par couches , dont le nombre est défini par l’utilisateur. Pour chaque couche, sauf modélisation GRILLE, on utilise une méthode de Simpson à trois points d’intégration, au milieu de la couche et en peaux supérieure et inférieure de couche. Pour \(N\) couches le nombre de points d’intégration dans l’épaisseur est de \(\mathrm{2N}+1\) .

Pour traiter les non-linéarités matériau, on conseille d’utiliser de 3 à 5 couches dans l’épaisseur pour un nombre de points d’intégration valant 7, 9 et 11 respectivement. Pour la rigidité tangente, on calcule pour chaque couche, en contraintes planes, la contribution aux matrices de rigidité de membrane, de flexion et de couplage membrane-flexion. Ces contributions sont ajoutées et assemblées pour obtenir la matrice de rigidité tangente totale. Pour chaque couche, on calcule l’état des contraintes et l’ensemble des variables internes, au milieu de la couche et en peaux supérieure et inférieure de couche. Ces informations sont disponibles dans VARI_ELGA et SIEF_ELGA. On peut en post-traitement accéder aux valeurs de contrainte et de déformation de cisaillement transverse obtenues à partir de la dérivée des moments. Pour ce faire on assume même en non linéaire une relation élastique sur le comportement transverse.

Pour les modélisations GRILLE_EXCENTRE et GRILLE_MEMBRANE des structures en béton armé, il n’y a qu’un point d’intégration par couche.

Comportement non-linéaire géométrique

Les calculs en non-linéaire géométrique (grands déplacements et grandes rotations), disponibles avec la modélisation COQUE_3D, sont réalisées à l’aide de l’opérateur STAT_NON_LINE, en utilisant, sous le mot‑clé COMPORTEMENT, DEFORMATION = “GROT_GDEP”.

Les calculs en non-linéaire géométrique (grands déplacements et grandes rotations), disponibles avec la modélisation MEMBRANE, sont réalisées à l’aide de l’opérateur STAT_NON_LINE, en utilisant, sous le mot‑clé COMPORTEMENT, DEFORMATION = “GROT_GDEP”.

Les calculs en non-linéaire géométrique (grands déplacements et petites déformations), disponibles avec la modélisation exce , sont réalisées à l’aide de l’opérateur STAT_NON_LINE , en utilisant, sous le mot‑clé COMPORTEMENT , DEFORMATION = “GROT_GDEP”.

Il est possible d’appliquer sur les éléments de COQUE_3D des pressions suiveuses. Ce chargement a la particularité de suivre la géométrie de la structure au cours de sa déformation (par exemple : la pression hydrostatique reste toujours perpendiculaire à la géométrie déformée). Pour prendre en compte ce type de chargement, il faut préciser dans l’opérateur STAT_NON_LINE les informations suivantes :

STAT_NON_LINE (

EXCIT =_F( CHARGE = pres

TYPE_CHARGE = “SUIV” )

)

Le comportement non-linéaire géométrique des structures peut présenter des instabilités (flambement, snap‑through/snap-back…). La détermination et le passage de ces points limites, ne peuvent pas être obtenus en imposant le chargement, cependant les options de pilotage du chargement ‘DDL_IMPO’ou ‘LONG_ARC’de l’opérateur STAT_NON_LINEpermettent de franchir ces points critiques.

L’utilisation de l’élément MEMBRANEen non-linéaire géométrique peut être délicate du fait des fortes non-linéarités et de son absence de rigidité à la flexion. On retiendra les points suivants:

• Utilisation de la prétension: l’utilisation d’une prétension initiale via N_INITdans l’opérateur AFFE_CARA_ELEM [U4.42.01]est une particularité propre aux éléments de structure sans résistance à la flexion, on la retrouve dans code_aster pour les éléments de câble. En effet, une membrane soumise à une force perpendiculaire à sa surface initiale, comme c’est le cas avec une pression, va subir un mouvement de corps rigide ce qui entraîne l’arrêt du calcul. Un moyen de contourner ce problème est de créer une rigidité initiale, dite « géométrique », pour permettre la convergence du premier incrément. Il est alors normal que le temps de convergence de ce premier pas de temps soit assez long, il ne faut donc pas hésiter à permettre un nombre d’itérations de Newton élevé (>100) et à jouer sur la valeur de la tension initiale N_INIT. La prétension est un effort généralisé et s’écrit sous la forme \({N}_{\mathit{init}}={h\sigma }_{0}\) avec \(h\) l’épaisseur et \({\sigma}_{0}\) la précontrainte, on conseil de commencer par prendre une valeur de précontrainte faible (par exemple \(1.E-3\) ) puis d’augmenter cette valeur en la multipliant par 10 jusqu’à obtenir la convergence. On préférerad’ailleurs prendre \(h\) et comme paramètres indépendants puis rentrer \({h\sigma }_{0}\) comme argument sous le mot clé N_INIT. La valeur \({\sigma}_{0}\) est parfois difficile à trouver mais elle n’est utile que pour le premier pas de temps, on peut donc la tester rapidement.

• Force initiale et rigidité: la très forte non-linéarité de l’élément implique que la convergence puisse être mauvaise lorsque la force appliquée est trop faible par rapport à la rigidité du matériau. Il est difficile de quantifier ce rapport mais l’utilisateur ne doit pas hésiter à mettre une force élevée au premier pas de temps, quitte à activer le découpage du pas de temps via la commande DEFI_LIST_INST. Cette remarque est particulièrement vraie lorsque l’on applique une pression.

• Recherche linéaire (et contact): un moyen d’améliorer de manière notable la convergence est d’activer la recherche linéaire (mot clé RECH_LINEAIRE dans la commande STAT_NON_LINE [U4.51.03]). Celle-ci est parfois indispensable à la convergence des calculs, notamment lors des premiers pas de temps. La recherche linéaire n’est malheureusement pas compatible avec les problèmes de contact dans code_aster, cela peut amener à devoir découper les problèmes en deux parties: une première sans contact avec la recherche linéaire et une deuxième avec seulement le contact.

• Pilotage: si après avoir fait varier la valeur de la tension initiale et la valeur de la force initiale on n’arrive pas à faire converger le calcul au premier incrément, il est aussi possible d’utiliser le pilotage (mot clé PILOTAGEdans STAT_NON_LINE [U4.51.03]). Le pilotage est lui aussi incompatible avec le contact.

Flambement linéaire

Les calculs en flambement linéaire sont similaires à la recherche de fréquences propres et de modes de vibration. Le problème a résoudre s’exprime sous la forme:

Trouver \((\lambda ,X)\in (\mathrm{ℝ},{\mathrm{ℝ}}^{N})\) tels que \(\mathit{AX}=\lambda \mathit{BX}\)

où	\(A\)	est la matrice de rigidité
	\(B\)	est la matrice de rigidité géométrique (calculée avec l’option RIGI_GEOMde CALC_MATR_ELEM), disponible pour les modélisations DKT, DKTG, COQUE_3D
	\(\lambda\)	est la charge critique
	\(X\)	est le mode de flambement associé a la charge critique

L’opérateur CALC_MODES[U4.52.02] est utilisé pour déterminer la charge critique et le mode de flambement associé.

Calculs supplémentaires et post-traitements

Calculs de matrices élémentaires : opérateur CALC_MATR_ELEM

L’opérateur CALC_MATR_ELEM (documentation [U4.61.01]) permet de calculer des matrices élémentaires, qui sont ensuite assemblables par la commande ASSE_MATRICE (documentation [U4.61.22]).

Les options élémentaires de l’opérateur CALC_MATR_ELEM sont décrites ci-dessous:

CALC_MATR_ELEM	COQUE_3D	DKT, DKTG	DST	Q4G, Q4GG	COQUE_AXIS	GRILLE_*
‘AMOR_MECA’
‘MASS_MECA’
“MASS_INER”
‘RIGI_GEOM’
‘RIGI_MECA’
‘RIGI_MECA_HYST’

• AMOR_MECA: Matrice d’amortissement des éléments calculée par combinaison linéaire de la rigidité et de la masse.

• MASS_MECA: Matrice de masse.

• MASS_INER: calcul des caractéristiques inertielles (masse, centre de gravité)

• RIGI_GEOM: Matrice de rigidité géométrique ( pour les grands déplacements).

• RIGI_MECA: Matrice de rigidité des éléments.

• RIGI_MECA_HYST: Rigidité hystérétique (complexe) calculée par le produit par un coefficient complexe d’amortissement structural de la rigidité simple.

Calculs par éléments  : opérateurs CALC_CHAMP et POST_CHAMP

On présente ci-après les options de post-traitement pour les éléments de plaques et de coques. Elles correspondent aux résultats que peut obtenir un utilisateur après un calcul thermomécanique (contraintes, déplacements, déformations, variables internes, etc…). Pour les structures modélisées par des éléments de coques ou de poutres, il est particulièrement important de savoir comment sont présentés les résultats de contraintes de façon à pouvoir les interpréter correctement. L’approche adoptée dans Code_Aster consiste à calculer les contraintes dans le repère «utilisateur» défini dans l’opérateur AFFE_CARA_ELEM.

Si l’on souhaite dépouiller ses résultats dans un autre repère que le repère utilisateur, il faut utiliser la commande MODI_REPERE.

Lorsqu’un post-traitement ne concerne qu’un «sous-point», l’utilisateur dispose des mots-clés NUME_COUCHE et NIVE_COUCHE du mot clé facteur EXTR_COQUE de la commande POST_CHAMP.

Les mots-clés sous EXTR_COQUE sont décrits dans le tableau suivant :

OPTIONS	COQUE_3D	DKT	DST, Q4G	DKTG,Q4GG	COQUE_AXIS	GRILLE_*
NUME_COUCHE
NIVE_COUCHE

• Plus précisément, dans le cas d’un matériau multicouche (coque multicouche définie par DEFI_COMPOSITE), ou d’un élément de structure avec comportement non linéaire local, intégré par couches, NUME_COUCHE est la valeur entière comprise entre 1 et le nombre de couches, nécessaire pour préciser la couche où l’on désire effectuer le calcul élémentaire. Par convention, la couche 1 est la couche inférieure (dans le sens de la normale) dans le cas des éléments de coque.

• Pour la couche nume définie par NUME_COUCHE, permet de préciser l’ordonnée où l’on désire effectuer le calcul élémentaire: INF / MOY / SUP correspondent aux point d’intégration situés en peau interne / moyenne / externe de la couche.

Le mot clé facteur COQU_EXCENT permet de modifier le plan de calcul des efforts généralisés ( options EFGE_ELNO et EFGE_ELGA) pour un modèle avec des éléments de plaques (DKT, DST, Q4G, DKTG) en tenant compte de l’excentrement (MODI_PLAN=”OUI”).

Les options de post-traitement disponibles sont :

OPTIONS	COQUE_3D	DKT	DST, Q4G	DKTG, Q4GG	COQUE_AXIS	GRILLE_*
“ENEL_ELGA” “ENEL_ELNO” “ENEL_ELEM”
“ENER_ELAS”
“EPSI_ELGA”
“SIEQ_ELGA”
‘DEGE_ELGA’
‘DEGE_ELNO’
‘ECIN_ELEM’
‘EFGE_ELGA’
‘EFGE_ELNO’
‘EPOT_ELEM’
‘EPSI_ELNO’
‘SIEQ_ELNO’
‘SIEF_ELGA’
‘SIEF_ELNO’
‘SIGM_ELNO’
‘VARI_ELNO’

• SIEF_ELGA: Calcul des efforts généralisés par élément aux points d’intégration de l’élément à partir des déplacements (utilisation uniquement en élasticité). Repère utilisateur.

• SIGM_ELNO: Calcul des contraintes par élément aux nœuds. Repère utilisateur. Il s’agit des contraintes de Cauchy.

• SIEQ_ELNO: Contraintes équivalentes aux nœuds, calculées en un point de l’épaisseur à partir de SIGM_ELNO:

VMIS: Contraintes de von Mises.

VMIS_SG: Contraintes de von Mises signées par la trace des contraintes.

PRIN_1, PRIN_2, PRIN_3: Contraintes principales.

Ces contraintes sont indépendantes du repère.

• EFGE_ELGA: Calcul des efforts généralisés par élément aux points d’intégration de l’élément à partir des déplacements (utilisation uniquement en élasticité). Repère utilisateur.

• EFGE_ELNO: Calcul des efforts généralisés par élément aux nœuds à partir des déplacements (utilisation uniquement en élasticité). Repère utilisateur.

• EPSI_ELNO: Calcul des déformations par élément aux nœuds à partir des déplacements, en un point de l’épaisseur (utilisation uniquement en élasticité). Repère utilisateur.

• EPSI_ELGA: Calcul des déformations par élément aux points d’intégration à partir des déplacements, en un point de l’épaisseur (utilisation uniquement en élasticité). Repère intrinsèque.

• DEGE_ELGA: Calcul des déformations généralisées par élément aux points d’intégration de l’élément à partir des déplacements. Repère utilisateur.

• DEGE_ELNO:Calcul des déformations généralisées par élément aux nœuds à partir des déplacements. Repère utilisateur.

• EPOT_ELEM: Calcul de l’énergie élastique linéaire de déformation par élément à partir des déplacements.

• ENER_TOTALE : calcul de l’énergie de déformation totale intégrée sur l’élément

• ENER_ELAS : calcul de l’énergie de déformation élastique intégrée sur l’élément

• ENEL_ELGA / ENEL_ELNO : énergie élastique aux points d’intégration ou aux nœuds

• ENEL_ELEM: énergie élastique sur l’élément

• ECIN_ELEM: Calcul de l’énergie cinétique par élément.

• EFGE_ELNO: Option d’activation du calcul du tenseur des efforts généralisés (voir paragraphe [§ Calculs non linéaires: STAT_NON_LINE et DYNA_NON_LINE ]) par élément aux nœuds, dans le repère utilisateur, par intégration des contraintes SIEF_ELGA (en non-linéaire).

• EFGE_ELGA: Option d’activation du calcul du tenseur des efforts généralisés (voir paragraphe [§ Calculs non linéaires: STAT_NON_LINE et DYNA_NON_LINE ]) par élément aux points de gauss de l’élément, dans le repère utilisateur, par intégration des contraintes SIEF_ELGA (en non-linéaire).

• VARI_ELNO: Option d’activation du calcul du champ de variables internes par élément et par couche aux nœuds. Pour chaque point d’intégration surfacique, on stocke les informations sur les couches en commençant par la première, niveau ‘INF’. Le nombre de variables représentées vaut donc 3 *NCOU*NBVARI où NBVARI représente le nombre de variables internes.

• NUME_COUCHE : Dans le cas d’un matériau multicouche (composite ou coque en plasticité), valeur entière comprise entre 1 et le nombre de couches, nécessaire pour préciser la couche où l’on veut effectuer le calcul élémentaire.

• NIVE_COUCHE: Pour la couche \(n\) , on peut préciser l’ordonnée où l’on désire effectuer le calcul élémentaire. Un calcul en peau interne est indiqué par ‘INF’, en peau externe par ‘SUP’ et sur le feuillet moyen par ‘MOY’ (suivant le sens de la normale).

Calculs aux nœuds : opérateur CALC_CHAMP

OPTIONS	COQUE_3D	DKT	DST	Q4G	COQUE_AXIS	GRILLE
‘FORC_NODA’
‘REAC_NODA’
_NOEU

Pour les éléments de plaques et coques, l’opérateur CALC_CHAMP (documentation [U4.81.04]) permet uniquement le calcul des forces et réactions (calcul des champs aux nœuds par moyennation, option _NOEU):

• à partir des contraintes, l’équilibre : FORC_NODA (calcul des forces nodales à partir des contraintes aux points d’intégration, élément par élément),

• puis en enlevant le chargement appliqué : REAC_NODA (calcul des forces nodales de réaction aux nœuds, à partir des contraintes aux points d’intégration, élément par élément):

• REAC_NODA = FORC_NODA - chargements appliqués ,

• utiles pour vérification du chargement et pour calculs de résultantes, moments, etc.

Calculs de quantités sur tout ou partie de la structure : opérateur POST_ELEM

L’opérateur POST_ELEM (documentation [U4.81.22]) permet de calculer des quantités sur tout ou partie de la structure. Les quantités calculées correspondent à des options de calcul particulières de la modélisation affectée.

OPTIONS	Opérateur	COQUE_3D	DKT	DST	Q4G	COQUE_AXIS	GRILLE
‘MASS_INER’	POST_ELEM
‘ENER_POT’	POST_ELEM
‘ENER_CIN’	POST_ELEM
‘ENER_ELAS’	POST_ELEM

• MASS_INER: calcul des caractéristiques géométriques (volume, centre de gravité, matrice d’inertie) pour les éléments plaques et courbes.

• ENER_POT: calcul de l’énergie potentielle de déformation à l’équilibre à partir des déplacements en mécanique linéaire des milieux continus (2D et 3D) et en mécanique linéaire pour les éléments de structures, ou bien l’énergie dissipée thermiquement à l’équilibre en thermique linéaire à partir des températures (cham_no_TEMP_R).

• ENER_CIN: calcul de l’énergie cinétique à partir d’un champ de vitesse ou à partir d’un champ de déplacement et d’une fréquence (uniquement pour les éléments de structure et les éléments 3D).

• ENER_ELAS: calcul de l’énergie de déformation élastique.

Valeurs de composantes de champs de grandeurs : opérateur POST_RELEVE_T

L’opérateur POST_RELEVE_T (documentation [U4.81.21]) permet, sur un groupe de nœuds, d’extraire des valeurs ou effectuer des calculs:

• d’extraire des valeurs de composantes de champs de grandeurs;

• d’effectuer des calculs de moyennes et d’invariants:

• Moyennes,

• Résultantes et moments de champs vectoriels,

• Invariants de champs tensoriels,

• Trace directionnelle de champs,

• D’expression dans les repères GLOBAL, LOCAL, POLAIRE, UTILISATEUR ou CYLINDRIQUE

Le concept produit est de type table.

Pour utiliser POST_RELEVE_T, il est nécessaire de définir trois concepts:

• un lieu : l’option NŒUD (exemple: N01 N045) ou bien l’option GROUP_NO (exemple: APPUI);

• un objet : au choix, l’option RESULTAT (SD résultat : EVOL_ELAS,…) ou bien l’option CHAM_GD (CHAM_NO: DEPL, … ou CHAM_ELEM: SIGM_ELNO, …);

• une nature : au choix, l’option ‘EXTRACTION’ (valeur, …) ou bien l’option ‘MOYENNE’ (moyenne, maxi, mini, …).

Remarque importante:

Si on vient d’une interface avec un mailleur , les nœuds sont rangés par ordre numérique. Il faut réordonner les nœuds le long de la ligne de dépouillement. La solution est d’utiliser l’opérateur DEFI_GROUP avec l’option NOEU_ORDO. Cette option permet de créer un GROUP_NOordonné contenant les nœuds d’un ensemble de mailles formés de segments (SEG2ou SEG3).

Un exemple d’extraction de composante est donné dans le cas-test SSNL503 (voir la description au paragraphe [§2.5.3] page 36 ):

TAB_DRZ=POST_RELEVE_T( ACTION=_F(

GROUP_NO = “D”,

INTITULE = “TB_DRZ”,

RESULTAT = RESUL,

NOM_CHAM = “DEPL”,

NOM_CMP = “DRZ”,

TOUT_ORDRE = “OUI”,

OPERATION = “EXTRACTION”

)

)

Cette syntaxe a pour but:

d’extraire:	OPERATION = “EXTRACTION”
sur le groupe de nœuds \(D\) :	GROUP_NO = “D”
la composante \(\mathit{DRZ}\) du déplacement:	NOM_CHAM = “DEPL”, NOM_CMP = “DRZ”,
pour tous les instants de calcul:	TOUT_ORDRE = “OUI”

Impression des résultats : opérateur IMPR_RESU

L’opérateur IMPR_RESU permet d’écrire le maillage et/ou les résultats d’un calcul sur listing au format ‘RESULTAT’ ou sur un fichier dans un format visualisable par des outils de post-traitement externes à Aster: format RESULTAT et ASTER (documentation [U4.91.01]), format CASTEM (documentation [U7.05.11]), format IDEAS (documentation [U7.05.01]), format MED (documentation [U7.05.21]) ou format GMSH (documentation [U7.05.32]).

Cette procédure permet d’écrire au choix:

• un maillage,

• des champs aux nœuds (de déplacements, de températures, de modes propres, de modes statiques, …),

• des champs par éléments aux nœuds ou aux points de GAUSS (de contraintes, d’efforts généralisés, de variables internes…).

Les éléments de plaque et coque étant traités de la même manière que les autres éléments finis, nous renvoyons le lecteur aux notes d’utilisation correspondant au format de sortie qu’il souhaite utiliser.

Exemples

Les cas-tests retenus ici sont des cas-tests classiques issus de la littérature et qui sont couramment utilisés pour valider ce type d’éléments.

On rappelle que les modélisations DKT correspondent à la théorie de Love-Kirchhoff et les modélisations DST, Q4G à la théorie avec énergie de cisaillement transverse (Reissner). Les résultats pour la modélisation COQUE_3D ne sont présentés que pour une théorie avec énergie de cisaillement transverse.

Analyse statique linéaire

SSLS20

Titre: : Coque cylindrique pincée à bords libres Documentation V: [V3.03.020] Modélisations: SSLS20A DKT SSLS20B COQUE_3D MEC3QU9H SSLS20C COQUE_3D MEC3TR7H

SSLS100

Titre: Plaque circulaire encastrée soumise à une pression uniforme. Documentation V: [V3.03.100] Modélisations: SSLS100K COQUE_3D MEC3QU9H SSLS100L COQUE_3D MEC3TR7H SSLS100B DKT SSLS100E DKQ SSLS100F DST SSLS100G DSQ SSLS100H Q4G SSLS100I,J COQUE_AXIS

SSLS101

Titre: Plaque circulaire posée soumise à une pression uniforme. Documentation V: [V3.03.101] Modélisations: SSLS101J COQUE_3D MEC3QU9H SSLS101I COQUE_3D MEC3TR7H SSLS101B DKT SSLS101E DKQ SSLS101F DST SSLS101G DSQ SSLS101H Q4G

SSLS104

Titre: Coque cylindrique pincée avec diaphragme. Documentation V: [V3.03.104] Modélisations: SSLS104B COQUE_3D MEC3QU9H SSLS104C COQUE_3D MEC3TR7H SSLS104A DKT

SSLS105

Titre: Hémisphère doublement pincé. Documentation V: [V3.03.105] Modélisations: SSLS105A DKT SSLS105B COQUE_3D MEC3QU9H

SSLS107

Titre: Panneau cylindrique soumis à son propre poids. Documentation V: [V3.03.107] Modélisations: .. code-block:: text SSLS107A COQUE_3D MEC3QU9H SSLS107B COQUE_3D MEC3TR7H

SSLS108	Titre: Coque hélicoïdale sous charges concentrées. Documentation V: [V3.03.108] Modélisations: SSLS108A COQUE_3D MEC3QU9H SSLS108B COQUE_3D MEC3TR7H Remarques: Utilisation déconseillée avec des DKT/DKQ, sans cisaillements transverses.
Ssls120: cylindre sous pression	Ce test démontre que les maillages triangles sont beaucoup plus sensibles que les maillages quadrangles. Maillage triangles avec une déformée amplifiée Maillage quadrangles avec une déformée amplifiée

D’autres cas-tests sont décrits plus brièvement dans le tableau suivant:

Nom	Modélisation	Remarques
hpla100a hpla100b hpla100c hpla100d hpla100e hpla100f	2D_AXIS COQUE_AXIS COQUE_3D COQUE_3D COQUE COQUE	Titre: Cylindre creux thermoélastique pesant en rotation uniforme. Documentation V: [V7.01.100] Ce test a pour but d’éprouver les seconds membres correspondants aux effets de pesanteur et à une accélération due à une rotation uniforme. Les solutions analytiques pour les COQUE_3Dincluent la variation de métrique dans l’épaisseur de la coque. Les solutions analytiques pour les plaques sont sans correction de métrique
hsls01a hsls01b	DKT/DST/Q4G COQUE_3D	Titre: Plaque mince encastrée soumise à un gradient thermique dans l’épaisseur. Documentation V: [V7.11.001]
hsns100a hsns100b	COQUE_3D/DKT COQUE_3D/DKT	Titre: Plaque soumise à un gradient de température dans l’épaisseur. Documentation V: [V7.23.100] Ce cas-test permet de tester deux façons d’imposer le champ thermique. Les résultats obtenus en a et b doivent être identiques, mais les solutions de référence obtenues sont numériques.
ssls114a ssls114b ssls114c ssls114d ssls114i	COQUE_3D COQUE_3D DKT/DST DKQ/DSQ COQUE_AXIS	Titre: Mise sous pression d’un quart de virole cylindrique. Documentation V: [V3.03.114] Solution de référence analytique. Permet de tester le terme de pression et l’orientation des normales. On teste les résultats en déplacement radial et en contraintes radiales.

Analyse modale en dynamique

Nom	Modélisation	Remarques
sdls01a sdls01b sdls01c sdls01d sdls01e sdls01f sdls01g sdls01h	DKT DKT DKT DKT COQUE_3D COQUE_3D COQUE_3D COQUE_3D	Titre: Plaque carrée mince libre ou encastrée sur un bord Documentation V: [V2.03.001] Il s’agit d’un calcul modal et d’un calcul de réponse harmonique. Pour le calcul modal, il s’agit de calculer les modes propres de flexion d’une plaque carrée mince libre ou encastrée sur un bord. a - Arêtes de la plaque orientées selon les axes du repère. b - Orientation quelconque de la plaque et réponse harmonique pour la plaque encastrée. c - Calcul modal par sous-structuration dynamique classique et cyclique. d - Calcul modal suite à une sous-structuration de Guyan. e - Arêtes de la plaque orientées selon les axes du repère. f - Arêtes de la plaque orientées selon les axes du repère. g - Orientation quelconque de la plaque et réponse harmonique pour la plaque encastrée. h - Orientation quelconque de la plaque et réponse harmonique pour la plaque encastrée. * Pour a et b la précision sur les fréquences propres est inférieure à 1% jusqu’au sixième mode de flexion * Pour c en sous-structuration, la qualité des résultats peut être améliorée par l’utilisation d’un maillage de sous-structure plus fin. * Pour d, il est nécessaire afin d’obtenir une précision de 1% sur les fréquences propres de condenser aussi sur les nœuds milieu des bords. * Pour e, f, g et h, la précision sur les fréquences propres est inférieure à 1% jusqu’au sixième mode de flexion pour les éléments quadrangle et inférieure à 2% pour les éléments triangles. L’élément de coque MEC3QU9Hest performant comparé à l’élément DKTqui est lui-même plus performant que l’élément MEC3TR7H.
sdls109a sdls109b,c sdls109d,e	DKQ (MEDKQU4) et DSQ (MEDSQU4) DKT(MEDKTR3) etDST(MEDSTR3) COQUE_3D (MEC3QU9H et MEC3TR7H)	Titre: Fréquences propres d’un anneau cylindrique épais. Documentation V: [V2.03.109] Ce test est inspiré d’une étude vibratoire réalisée sur le collecteur VVP des tranches N4. Ce collecteur est épais et présente un rapport maximum épaisseur sur rayon moyen de 0,13. Cette valeur, pouvant être typique d’une structure industrielle, est légèrement supérieure à la valeur limite de validité habituellement reconnue pour les plaques et coques. Dans cette étude, la modélisation du collecteur en coques est alors évaluée par comparaison avec un modèle volumique sur un anneau. Ce test permet d’évaluer l’algorithme de recherche de valeurs propres CALC_MODES[U4.52.02] avec les matrices de rigidité et de masse.

Analyse statique non linéaire matériau

SSNL501

Titre: Poutre encastrée soumise à une pression uniforme. Documentation V: [V6.02.501] Modélisations: .. code-block:: text SSNL501E COQUE_3D MEC3QU9H SSNL501D COQUE_3D MEC3TR7H SSNL501B DKT SSNL501C DKQ

D’autres cas-tests sont décrits plus brièvement dans le tableau suivant:

Nom	Modélisation	Remarques
ssnp15a ssnp15b ssnp15c ssnp15d	3D C_PLAN DKT COQUE_3D	Titre: Plaque carrée en traction-cisaillement - Von Misès (écrouissage isotrope). Documentation V: [V6.03.015] Une plaque, constituée d’un matériau plastique à écrouissage isotrope linéaire, est soumise à un effort de traction et un effort de cisaillement. Même si le test valide plutôt la loi de comportement que les éléments sur lesquels elle s’applique, il permet de tester les valeurs des contraintes, des efforts et des déformations dans le repère défini par l’utilisateur (ANGL_REP).
ssnv115a ssnv115b ssnv115c ssnv115d ssnv115e	D_PLAN DKT DKT COQUE_3D COQUE_3D	Titre: Tôle ondulée en comportement non linéaire. Documentation V: [V6.04.115] Ce test valide les comportements non linéaires dans les modélisations de plaques ou de coques minces. La modélisation A (2DD_PLAN) sert de référence. Les valeurs des déplacements sont testées.

Analyse statique non linéaire géométrique

SSNV138

Titre: Plaque cantilever en grandes rotations soumise à un moment. Documentation V: [V6.04.138] Modélisations: .. code-block:: text SSNV138 COQUE_3D MEC3QU9H SSNV138 COQUE_3D MEC3TR7H Remarque: La plus grande rotation atteinte est légèrement inférieure à  . Les résultats obtenus sont très satisfaisants, l’écart maximum est inférieur à 0.01%. Il est nécessaire d’augmenter la valeur de COEF_RIGI_DRZ(10E-5 par défaut) à 0.001 de façon à pouvoir augmenter la valeur de l’angle de rotation que l’on peut atteindre.

SSNV139

Titre: Plaque biaise. Documentation V: [V6.04.139] Modélisations: .. code-block:: text SSNV139 COQUE_3D MEC3QU9H SSNV139 COQUE_3D MEC3TR7H

SSNL502

Titre: Poutre en flambement. Documentation V: [V6.02.502] Modélisations: .. code-block:: text SSNL502 COQUE_3D MEC3QU9H SSNL502 COQUE_3D MEC3TR7H

SSNS501

Titre: Grands déplacements d’un panneau cylindrique. Documentation V: [V6.05.501] Modélisations: .. code-block:: text SSNS501 COQUE_3D MEC3QU9H SSNS501 COQUE_3D MEC3TR7H

D’autres cas-tests sont décrits plus brièvement dans le tableau suivant:

Nom	Modélisation	Remarques
ssnv140a ssnv140b	COQUE_3D COQUE_3D	Titre: Panneau cylindrique encastré soumis à une force surfacique. Documentation V: [V6.04.140] Cette force est constante pour la modélisation a et suiveuse dans la modélisation b. Le but de ce cas-test est de vérifier la modélisation COQUE_3Dnon-linéaire géométrique en utilisant l’algorithme de mise à jour des grande rotations 3D GROT_GDEPde STAT_NON_LINEet de vérifier le traitement des pressions suiveuses. Les données de ce problème correspondent à une coque mince \(h/L=0.625\text{\%}\) ce qui est sévère pour l’élément fini triangle MECQTR7H(cas de blocage au cisaillement transverse).
ssnv141a	COQUE_3D	Titre: Calotte sphérique pincée. Documentation V: [V6.04.141] Les données de ce problème correspondent à une coque mince \(h/L=0.4\text{\%}\) ce qui est sévère pour l’élément fini triangle MECQTR7H(cas de blocage au cisaillement transverse). Il est nécessaire d’augmenter la valeur du COEF_RIGI_DRZqui attribue une rigidité autour de la normale des éléments de coque qui vaut par défaut \({10}^{-5}\) la plus petite rigidité de flexion autour des directions dans le plan de la coque de façon à pouvoir augmenter la valeur de l’angle de rotation que l’on peut atteindre. Des valeurs de ce coefficient jusqu’à \({10}^{-3}\) restent licites.
ssnv144a	COQUE_3D	Titre: Coude en flexion plane, élastique, encastré sur un coté et soumis à une force linéique équivalente à un moment de flexion. Documentation V: [V6.04.144] Le but de ce cas-test est de vérifier que, pour les éléments COQUE_3D, les solutions quasi-statiques en linéaire géométrique (VMIS_ISOT_LINEdans STAT_NON_LINE) et en non linéaire géométrique ( GROT_GDEPdans STAT_NON_LINE) sont proches de la solution statique linéaire (MECA_STATIQUE) dans le domaine des petites perturbations.
ssnv145a ssnv145b	COQUE_3D COQUE_3D	Titre: Plaque cantilever en grandes rotations soumise a une pression suiveuse. Documentation V: [V6.04.145] Le but de ce cas-test est de vérifier la modélisation COQUE_3D(maille TRIA7, QUAD9) en présence d’une pression de type suiveuse.

Analyse en flambement d’Euler

SSLS110

Titre: Stabilité d’une plaque carrée comprimée. Documentation V: [V3.03.110] Modélisations: .. code-block:: text SSLS110 COQUE_3D MEC3QU9H SSLS110 COQUE_3D MEC3TR7H SSLS110 DKT MEDKQU4 SSLS110 DKT MEDKTR3

SDLS504

Titre: Flambement latéral d’une poutre (déversement). Documentation V : [V2.03.504] Modélisations : .. code-block:: text SDLS504 COQUE_3D MEC3QU9H SDLS504 COQUE_3D MEC3TR7H

SDLS505

Titre: Flambement d’une enveloppe cylindrique sous pression externe. Documentation V: [V2.03.505] Modélisations: .. code-block:: text SDLS505 COQUE_3D MEC3QU9H SDLS505 COQUE_3D MEC3TR7H SDLS505 DKT MEDKTR3 SDLS505 DKT MEDKQU4

Raccords coques et autres éléments mécaniques

SSLX100

Titre: Mélange 3D-Coque-Poutre en flexion. Documentation V: [V3.05.100] Modélisations: SSLX100A 3D 1 MECA_HEXA20 DKT 4 MEDKTR3 POU_D_E 2 POU_D_E SSLX100B 3D 1 MECA_HEXA20 DKT 4 MEDKTR3 POU_D_E 2 POU_D_E On teste les flèches, contraintes, déformations axiales et moments fléchissants en 4 points de l’axe de la poutre.

SSLX102	Titre: Tuyauterie coudée en flexion. Documentation V: [V3.05.102] Modélisations: SSLX102A DKT et TUYAU (liaison COQUE_TUYAU) SSLX102D COQUE et POUTRE
SSLX101A	Titre: Tuyau droit modélisé en coques et en poutres [V3.05.101]. Documentation V: [V3.05.101] Modélisations: SSLX101A DIS_TR POI1 DKT MEDKQU4 POU_D_E 2 SEG2 Encastrement de la coque sur le bord \(\mathit{P1}\) . Flexion et traction en \(\mathit{x1}\) . Écart de 3 à 5% sur les déplacements et rotations en \(\mathit{P2}\) avec la solution analytique, dû au maillage coque avec des éléments plans. SSLX101B DKT MEDKQU4, METUSEG3 TUYAU METUSEG3, MEDKQU4 DIS_TR POI1 Cette modélisation a pour objectif de tester la liaison coque tuyau en présence de chargements unitaires: traction, flexion et de torsion. La solution de référence est analytique (RDM). L’écart avec la solution numérique s’explique par le fait que le maillage en coques est en réalité constitué d’éléments plans (facettes). La géométrie du tuyau est donc elle-même approchée. SSLX102A DKT MEDKQU4, METUSEG3 TUYAU MEDKQU4, METUSEG3 La modélisation A fait intervenir la liaison coque_tuyau, la solution obtenue (\(2.7\text{\%}\) d’écart en flexion plane, et \(0.4\text{\%}\) en flexion hors plan, par rapport à la référence: maillage tout coques (modélisation D) permet de tester le bon fonctionnement du raccordement entre coque et tuyau.
Ssns115a	Gonflement d’une membrane souple L’objectif de ce test est de valider le fonctionnement de l’élément MEMBRANE en grandes déformations pour deux lois de comportement hyperélastiques et différents types de mailles (linéaire, quadratique et bi- quadratique). On considère donc le gonflement d’un disque soumis à une pression suiveuse et on compare les résultats à des solutions tirées de la littérature.
Ssls108	Test avec prise en compte d’une rotation physique autour de la normale COEF_RIGI_DRZ=-1.E-8.

Thermique

Pour la résolution de problèmes thermomécaniques chaînés, on doit utiliser pour le calcul thermique des éléments finis de coque thermique [R3.11.01]. Ces éléments sont des éléments plaques, ou linéiques dans le cas de structures de révolution ou de structures invariantes suivant un axe. La courbure de la structure n’est pas prise en compte en elle-même. La métrique du plan tangent de chaque élément est calculée en supposant que tous les sommets sont coplanaires. Ces éléments supposent une répartition a priori parabolique de température dans l’épaisseur, qui résulte d’un développement asymptotique en thermique linéaire pour une épaisseur de coque faible, lorsque les variations de températures ne sont pas trop importantes. Il est à noter qu’un modèle basé sur un développement du champ de température plus riche dans l’épaisseur voit ses termes d’ordre supérieur à deux converger vers zéro lorsque la coque est mince. On ne peut donc pas traiter les problèmes de chocs thermiques avec forte variation du profil de température dans l’épaisseur avec ces coques. Les modalités d’utilisation de ces éléments sont présentées en [U1.22.01].

Définition du problème

Discrétisation spatiale et affectation d’une modélisation : opérateur AFFE_MODELE

Degrés de libertés

Les degrés de liberté sont les températures TEMP_MIL (température sur la surface moyenne de la coque), TEMP_INF (température sur la surface inférieure de la coque), et TEMP_SUP (température sur la surface supérieure de la coque).

Mailles support des matrices de rigidité

Modélisation	Maille	Nature de la maille	Élément fini	Remarques
COQUE	QUAD9 QUAD8 QUAD4 TRIA7 TRIA6 TRIA3	plane plane plane plane plane plane	THCOQU9 THCOQU8 THCOQU4 THCOTR7 THCOTR6 THCOTR3	nœuds à 3 coordonnées \(x,y,z\)
COQUE_PLAN	SEG3	non supposée plane	THCPSE3	nœuds à 2 coordonnées \(x,y\)
COQUE_AXIS	SEG3	non supposée plane	THCASE3	nœuds à 2 coordonnées \(x,y\)

Pour les THCOTRi, seuls les trois sommets sont exploités pour définir la géométrie locale (plan tangent, normale). Pour les THCOQUi, on considère que l’élément est plan et son plan tangent est défini par défaut par 3 des 4 sommets de l’élément.

Mailles support des chargements

Modélisation	Maille	Elément fini	Remarques
COQUE	SEG2	THCOSE2	avec TRIA3 et QUAD4
COQUE	SEG3	THCOSE3	avec TRIA6,7 et QUAD8,9

Tous les chargements applicables aux facettes des éléments de coque sont traités par discrétisation directe sur la maille support de l’élément en formulation température. Aucune maille de chargement n’est donc nécessaire pour les faces des éléments de coques.

Pour les chargements applicables sur les bords des éléments de coque, une maille support de type SEG2 (élément THCOSE2) ou SEG3 (élément THCOSE3) doit être utilisée.

Pour les températures imposées les mailles support sont des mailles réduites à un point.

Modèle : AFFE_MODELE

L’affectation de la modélisation passe par l’opérateur AFFE_MODELE [U4.41.01].

AFFE_MODELE		Remarques
AFFE
PHENOMENE :	“THERMIQUE”
MODELISATION	“COQUE”
	“COQUE_PLAN”
	“COQUE_AXIS”

Caractéristiques élémentaires : AFFE_CARA_ELEM

Dans cette partie, les opérandes caractéristiques des éléments de plaques et de coques en thermique sont décrites. La documentation d’utilisation de l’opérateur AFFE_CARA_ELEM est [U4.42.01].

AFFE_CARA_ELEM	COQUE	COQUE_PLAN	COQUE_AXIS	Remarques
COQUE
EPAIS

Les caractéristiques affectées aux matériaux sont les mêmes que pour un calcul mécanique. Il est à noter qu’il n’est pas utile de définir un repère particulier pour l’exploitation des résultats du calcul thermique car ceux-ci se limitent aux champs de température, grandeur scalaire, indépendante du référentiel utilisé.

Matériaux : DEFI_MATERIAU

DEFI_MATERIAU	COQUE	COQUE_PLAN	COQUE_AXIS	Remarques
THER
THER_FO

Les matériaux utilisés avec des éléments plaques ou coques en thermique peuvent avoir des caractéristiques thermiques linéaires constantes ou dépendantes de l’incrément de chargement.

Chargements et conditions limites : AFFE_CHAR_THER et AFFE_CHAR_THER_F

L’affectation des chargements et des conditions aux limites sur un modèle thermique s’effectue à l’aide de l’opérateur AFFE_CHAR_THER, si les chargements et les conditions aux limites mécaniques sur un système sont des valeurs réelles ne dépendant d’aucun paramètre, ou bien AFFE_CHAR_THER_F, si ces valeurs sont fonctions de la position ou de l’incrément de chargement.

La documentation d’utilisation d’AFFE_CHAR_THER et AFFE_CHAR_THER_F est [U4.44.02].

Liste des mot-clés facteur d’AFFE_CHAR_THER

Les valeurs des chargements affectées sont réelles et ne dépendent d’aucun paramètre.

AFFE_CHAR_THER généraux	COQUE	COQUE_PLAN	COQUE_AXIS	Remarques
TEMP_IMPO

AFFE_CHAR_THER particuliers	COQUE	COQUE_PLAN	COQUE_AXIS	Remarques
FLUX_REP	•			sur les faces et les bords des éléments surfaciques
ECHANGE				sur les faces et les bords des éléments surfaciques

• TEMP_IMPO: Mot clé facteur utilisable pour imposer, sur des nœuds ou des groupes de nœuds, une température.

• FLUX_REP: Mot clé facteur utilisable pour appliquer des flux normaux à une face de coque thermique définie par une ou plusieurs mailles ou des groupes de mailles de type triangle ou quadrangle.

• ECHANGE: Mot clé facteur utilisable pour appliquer des conditions d’échange avec une température extérieure à une face de coque, définie par une ou plusieurs mailles ou groupes de mailles de type triangle ou quadrangle.

Liste des mot-clés facteur d’AFFE_CHAR_THER_F

Les valeurs des chargements affectées peuvent être fonction des coordonnées globales et du temps, ou de la température en thermique non linéaire (sauf en coques).

AFFE_CHAR_THER_F généraux	COQUE	COQUE_PLAN	COQUE_AXIS	Remarques
TEMP_IMPO

AFFE_CHAR_THER_F particuliers	COQUE	COQUE_PLAN	COQUE_AXIS	Remarques
FLUX_REP				sur les faces et les bords des éléments surfaciques
ECHANGE				sur les faces et les bords des éléments surfaciques

Résolution

Calculs transitoires : opérateur THER_LINEAIRE

Option de calcul transitoire	COQUE	COQUE_PLAN	COQUE_AXIS	Remarques
CHAR_THER_EVOL

Il s’agit ici du traitement des problèmes de thermique évolutive.

Calculs supplémentaires et post-traitements

Calculs en post-traitement

On présente ci-après les options de post-traitement pour les éléments de plaques et de coques

OPTIONS élémentaires	COQUE	COQUE_PLAN	COQUE_AXIS	Remarques
‘FLUX_ELNO’
‘FLUX_ELGA’

• FLUX_ELNO: Cette option effectue le calcul de flux de chaleur aux nœuds à partir de la température.

• FLUX_ELGA: Cette option effectue le calcul de flux de chaleur aux points d’intégration à partir de la température.

Exemples

On donne ici la liste des cas-tests disponibles pour les coques thermiques. Ce sont des cas-tests de thermique stationnaire. Les résultats sont corrects pour l’ensemble de ces cas-tests, quel que soit l’élément utilisé.

Nom	Modélisation	Élément	Remarques
tplp301a	COQUE	THCOTR3	Titre: Plaque avec température imposée répartie sinusoïdalement sur un côté. Documentation: [V4.05.301]
tplp302a	COQUE	THCOTR6	Titre: Plaque rectangulaire avec température imposée sur les côtés. Documentation: [V4.05.302]
tpls100a tpls100b	COQUE COQUE_PLAN	THCOTR6/THCOTR3 THCPSE3	Titre: Plaque infinie soumise à un couple de flux de chaleur antisymétriques stationnaires sur ses deux demi-faces. Documentation: [V4.03.100] La conduction est linéaire, homogène et isotrope.
tpls101a tpls101b tpls101c tpls101d tpls101e	COQUE	THCOTR6/THCOSE3 THCOQU4/THCOSE2 THCOQU8/THCOSE3 THCOQU9/THCOSE3 THCOTR7/THCOSE3	Titre: Plaque infinie soumise à un couple de conditions thermiques avec l’extérieur, symétriques par rapport au feuillet moyen. Documentation: [V4.03.101] La conduction est linéaire, homogène et isotrope.
tpls302a tpls302b tpls302c tpls302d	COQUE	THCOQU8/THCOSE3 THCOQU4/THCOSE2 THCOQU9/THCOSE3 THCOTR7/THCOSE3	Titre: Plaque rectangulaire avec convection et température imposée Documentation: [V4.03.302]

Chaînage thermomécanique

Formalisme

Pour la résolution de problèmes thermomécaniques chaînés, on doit utiliser pour le calcul thermique des éléments finis de coque thermique [R3.11.01] dont le champ de température est récupéré comme donnée d’entrée du Code _Aster pour le calcul mécanique. Il faut donc qu’il y ait compatibilité entre le champ thermique donné par les coques thermiques et celui récupéré par les coques mécaniques. Ce dernier est défini par la connaissance des 3 champs TEMP_INF, TEMP_MIL et TEMP_SUP donnés en peaux inférieure, milieu et supérieure de coque. Le tableau ci-dessous indique ces compatibilités:

ModélisationTHERMIQUE	Maille	Élément	Maille	Élément	Modélisation MECANIQUE
COQUE	QUAD9	THCOQU9	QUAD9	MEC3QU9H	COQUE_3D
COQUE	QUAD8	THCOQU8
COQUE	QUAD4	THCOQU4	QUAD4	MEDKQU4 MEDSQU4 MEQ4QU4	DKT DST Q4G
COQUE	TRIA7	THCOTR7	TRIA7	MEC3TR7H	COQUE_3D
COQUE	TRIA6	THCOTR6
COQUE	TRIA3	THCOTR3	TRIA3	MEDKTR3 MEDSTR3	DKT DST
COQUE_PLAN	SEG3	THCPSE3
COQUE_AXIS	SEG3	THCASE3	SEG3	MECXSE3	COQUE_AXIS

Remarques:

• Les nœuds des éléments de coques thermiques et de plaques ou de coques mécaniques doivent se correspondre. Les maillages pour la thermique et la mécanique auront donc le même nombre et le même type de mailles.

• Les éléments de coques thermiques surfaciques sont traités comme des éléments plans par projection de la géométrie initiale sur le plan défini par les 3 premiers sommets. Pour le chaînage de calculs avec des éléments courbes mécaniques il est donc nécessaire que la géométrie de la plaque ne soit pas trop éloignée de celle de la coque. Lorsque la structure est courbe, cela nécessite donc pour le calcul thermique de la mailler de façon suffisamment fine de façon à avoir des résultats corrects en prévision de la partie mécanique. Seuls les éléments linéiques de thermique sont parfaitement associés aux éléments linéiques correspondants en mécanique car prenant en compte la courbure de la structure maillée.

• Le chaînage avec des matériaux multicouches n’est pas disponible pour l’instant.

• Le chaînage thermomécanique est aussi possible si l’on connaît, analytiquement ou par des mesures expérimentales, la variation du champ de température dans l’épaisseur de la structure ou de certaines parties de la structure. Dans ce cas on travaille avec une carte de température définie a priori; le champ de température n’est plus donné par les trois valeurs TEMP_INF, TEMP_MILet TEMP_SUPdu calcul thermique obtenues par EVOL_THER. L’opérateur DEFI_NAPPE permet de créer de tels profils de températures à partir des données fournies par l’utilisateur. Ces profils sont affectés par la commande CREA_CHAMP et CREA_RESU(cf. le cas-test hsns100b). On notera qu’il n’est pas nécessaire pour le calcul mécanique que le nombre de points d’intégration dans l’épaisseur soit égal au nombre de points de discrétisation du champ de température dans l’épaisseur. Le champ de température est automatiquement interpolé aux points d’intégration dans l’épaisseur des éléments de plaques ou de coques.

• L’évolution thermique que l’on peut associer au champ de matériau par AFFE_MATERIAU/AFFE_VARC doit être prête à être utilisée par les éléments finis du modèle mécanique. Un problème se pose pour les éléments de type coque ou tuyau qui utilisent une température variant dans l’épaisseur sur les différentes couches. Pour ces éléments, il est nécessaire de préparer le calcul de la température sur les couches en amont de la commande AFFE_MATERIAU . Pour cela, l’utilisateur doit utiliser la commande CREA_RESU avec l’opération PREP_VARC (PREparation des VaRiables de Commande ») qui permet de calculer la température dans les couches d’une coque en partant soit d’une température définie par une carte de fonctions soit en partant d’une température calculée par Code_Aster avec un modèle de coques (TEMP_MIL/TEMP_INF/TEMP_SUP) .

HPLA100 Il s’agit d’étudier un phénomène de dilatation thermique où les champs de température sont calculés avec THER_LINEAIREpar un calcul stationnaire: dilatation thermique : \(T(\rho )-{T}_{\mathrm{ref}}(\rho )=0.5({T}_{s}+{T}_{i})+2.({T}_{s}+\mathrm{Ti})(r-R)/h\) avec: \({T}_{s}=0.5°C,{T}_{i}=-0.5°C,{T}_{\mathrm{ref}}=0°C\) \({T}_{s}=0.1°C,{T}_{i}=0.1°C,{T}_{\mathrm{ref}}=0°C\) On teste les contraintes, les efforts et moments fléchissants en \(L\) et \(M\) . Les résultats de référence sont analytiques. Pour les modélisations COQUE_3Don prend en compte la variation de métrique avec l’épaisseur de la coque. Très bons résultats quel que soit le type d’élément considéré.

Titre: Cylindre creux thermoélastique pesant en rotation uniforme Documentation: [V7.01.100] Modélisations: HPLA100A Thermique PLAN 32 THPLQU8 Mécanique AXIS 32 MEAXQU8 HPLA100B Thermique COQUE_PLAN 10 THCPSE3 Mécanique COQUE_AXIS 10 MECXSE3 HPLA100C Thermique COQUE 32 THCOQU9 Mécanique COQUE_3D 32 MEC3QU9H HPLA100D Thermique COQUE 64 THCOTR7 Mécanique COQUE_3D 64 MEC3TR7H HPLA100E Thermique COQUE 200 THCOQU4 Mécanique COQUE 200 MEDKQU4 HPLA100F Thermique COQUE 400 THCOTR3 Mécanique COQUE 400 MEDKTR3

Conclusion et conseils d’utilisation

Dans le tableau suivant, un récapitulatif des possibilités offertes par les modélisations plaques et coques est décrit.

Modélisation	DKT	DST, Q4G	DKTG,Q4GG	COQUE_3D	COQUE_AXIS	GRILLE_*
Domaine d’application
Statique linéaire: Matériau isotrope	X	X	X	X	X	X
Matériau orthotrope, composite	X	X
Statique non-linéaire matériau	X		X	X	X	X
Statique non-linéaire géométrique				X
Analyse dynamique	X	X	X	X	X	X
Flambement d’Euler	X			X		X

Sur la figure ci-dessous le domaine d’utilisation des plaques et des coques est schématisé.

Figure 5-a: Domaines d’utilisation des plaques et des coques

Quelques recommandations concernant le domaine d’utilisation de ces éléments:

• Structures minces : pour ces structures, dont le rapport h/L est inférieur à 1/20, les effets de cisaillement transverse peuvent être négligés et la théorie de Kirchhoff s’applique. On conseille d’utiliser pour ce type de structure des éléments plaques DKT-DKQ ou des éléments de coque courbe (COQUE_3D, _AXIS). Il est conseillé d’utiliser de préférence les éléments DKT et DKQ qui donnent de très bons résultats sur les déplacements et plus approximatifs sur les contraintes (à recommander pour les analyses vibratoires). Même si on doit utiliser un grand nombre de ces éléments, les temps d’exécution restent raisonnables comparés à ceux des éléments courbes. On conseille de ne pas dépasser un rapport h/L=1/500 afin d’éviter des problèmes liés au verrouillages numériques.

• Structures épaisses : pour ces structures, on utilisera des éléments de plaque DST, DSQ et Q4G qui tiennent compte du cisaillement transverse avec un facteur de correction de cisaillement \(k=5/6\) (théorie de Reissner) ou de préférence des éléments de coque courbe . Le facteur de correction du cisaillement permet de passer d’une théorie de Hencky-Mindlin-Naghdi pour \(k=1\) , à une théorie de Reissner pour \(k=5/6\) . Le coefficient de cisaillement n’est ajustable que pour les éléments de coque courbe mais il est conseillé de ne pas modifier sa valeur par défaut.

Lorsque la modélisation Q4Ga été privilégiée, il faut réaliser une petite étude de sensibilité au maillage . Les tests montrent en effet que cette modélisation nécessite un maillage suffisamment fin dans les directions sollicitées en flexion pour obtenir des erreurs faibles.

Les éléments DKT, DKQ, DST, DSQ et Q4G sont des éléments plans, ils ne prennent pas en compte la courbure des structures, il est donc nécessaire de raffiner le maillage dans le cas où la courbure est importante si on veut éviter les flexions parasites.

La variation de métrique de la géométrie (c’est-à-dire son rayon de courbure) en fonction de son épaisseur est prise en compte :

• automatiquement pour la modélisation COQUE_3D.

• défini par l’utilisateur pour la modélisation COQUE_AXIS.

L’élément mécanique optimal en statique d’après l’ensemble des cas-tests du paragraphe [§2.5] est l’élément de coque à 9 nœuds MEC3QU9H , qui permet d’obtenir de bons déplacements et de bonnes contraintes grâce à son interpolation P2 en membrane. C’est un élément polyvalent qui peut être à la fois utilisé pour représenter des structures très minces (\(h/L\le 1/100\) ) ou plus épaisses. Comme, par ailleurs, l’élément de coque à 7 nœuds MEC3TR7Hest moins performant , il est conseillé à l’utilisateur de mailler sa structure en coques avec le plus grand nombre possible de quadrangles .

• Non-linéarité matériau : les comportements non linéaires (plasticité, etc.) en contraintes planes sont disponibles pour les éléments de coque courbe (COQUE_3D, COQUE_AXIS) et les éléments plaques DKT-DKQ uniquement. Le comportement plastique ne prend pas les termes de cisaillement transverse qui sont traité de façon élastique, car le cisaillement transverse est découplé du comportement plastique. Pour une bonne représentation de la progression de la plasticité à travers l’épaisseur, on conseille d’utiliser pour l’intégration numérique 3 à 5 couches dans l’épaisseur pour un nombre de points de gauss valant respectivement 3, 5 et 11.

• Non-linéarité géométrique : les non-linéarités géométriques (grands déplacements , grandes rotations) en contraintes planes sont disponibles pour les éléments de coque courbe COQUE_3D uniquement.

• Flambement d’Euler : ce type d’analyse est disponible avec les éléments de coque courbe COQUE_3D et les éléments de plaques DKT et DKTG.

Des éléments correspondant aux éléments mécaniques existent en thermique; les couplages thermomécaniques sont donc disponibles à la fois pour les éléments de plaques et de coques. Pour l’instant ces couplages ne sont pas possibles pour des matériaux multicouches.

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12. Pression suiveuse pour les éléments de coques volumiques [R3.03.07].

13. Coques thermoélastiques axisymétriques et 1D [R3.07.02].

14. Eléments de plaque DKT, DST, DKQ, DSQ et Q4 [R3.07.03].

15. Eléments finis de coques volumiques [R3.07.04].

16. Eléments de coques volumiques en non linéaire géométrique[R3.07.05].

17. Modèle de thermique pour les coques minces [R3.07.11].

18. Eléments finis de tuyau droit et courbe avec ovalisation, gonflement et gauchissement en élasto-plasticité [R3.08.06].

19. Modèle de thermique pour les coques minces [R3.11.01].

20. Intégration des relations élasto-plastiques [R5.03.02].

21. Relation de comportement élastique non linéaire [R5.03.20].

22. Modélisation statique et dynamique des poutres en grandes rotations [R5.03.40].

23. Opérateur DEFI_MATERIAU [U4.23.01].

24. Opérateur DEFI_COMPOSITE [U4.23.03].

25. Opérateur AFFE_CARA_ELEM [U4.24.01].

26. Opérateur AFFE_CHAR_MECA et AFFE_CHAR_MECA_F [U4.25.01].

27. Opérateur AFFE_CHAR_THER et AFFE_CHAR_THER_F [U4.25.02].

28. Opérateur STAT_NON_LINE [U4.32.01].

29. Opérateur CALC_MATR_ELEM [U4.41.01].

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