r7.02.10 Analyse simplifiée de nocivité de défaut par la méthode Kcp correction β#

Résumé :

La méthode d’analyse présentée (méthode Kcp, correction β) est appliquée à l’analyse de nocivité d’un défaut situé sous le revêtement des cuves des réacteurs à eau pressurisée, mise en œuvre par la commande POST_KCP.

La méthode Kcp de référence est codifiée dans le RSE-M et a pour but d’évaluer, à partir d’une étude réalisée dans le cadre de l’élasticité linéaire et dans laquelle le défaut n’est pas explicitement maillé, le facteur d’intensité des contraintes élasto-plastique (également qualifié de «corrigé plastiquement» dans le contexte de la présente méthodologie) au niveau de chacune des différentes pointes du défaut, c’est-à-dire au niveau de la pointe du défaut située du côté du revêtement (nommée pointe A) et au niveau de la pointe du défaut situé dans le métal de base (nommée pointe B).

Pour ce faire, on calcule dans un premier temps le facteur d’intensité de contraintes élastique aux deux pointes du défaut, à l’aide des contraintes aux nœuds issues de la résolution mécanique et des contraintes résiduelles données par l’utilisateur. Puis, dans un second temps, on calcule le facteur d’intensité des contraintes corrigé plastiquement à partir de son équivalent élastique via la méthode dite de la «correction β». A chaque instant de l’analyse et au niveau de chacune des pointes du défaut, le rapport obtenu de la ténacité critique sur le facteur d’intensité de contraintes corrigé plastiquement détermine le facteur de marge instantané et permet alors d’en déduire le facteur de marge minimum vis-à-vis de la rupture.

Les aspects théoriques de la méthode et de sa mise en œuvre informatique font les objets des paragraphes suivants.

Etape n°1 : calcul du facteur d’intensité des contraintes élastique du défaut semi-elliptique#

Définition du défaut#

Le défaut sous revêtement de forme semi-elliptique est caractérisé par sa profondeur radiale (demi-axe de l’ellipse), notée \(a\) , et par sa largeur, notée \({2b}\). L’ensemble des caractéristiques du défaut est illustré sur la figure 3.1-a.

../../../../_images/defautSemiElliptique.gif

Fig. 316 Défaut semi-elliptique#

Calcul du facteur d’intensité de contraintes élastique#

Les facteurs d’intensités de contrainte (K1, K2 et K3) élastiques sont calculés à partir de la formule suivante :

\[{K} = \sqrt{(\pi a)} \left[ {\sum}_{j=0}^{4}{\sigma}_{j}{i}_{j}{\left(\frac{a+{t}_{r}}{t+{t}_{r}}\right)}^{j} \right]\]

Les valeurs \({i}_{0,1,2,3,4}\) sont données dans le RSE-M au paragraphe VII.5.3.2. Par homogénéité avec les notations du RSE-M, on note cette fois \({t}_{r}={{ep}}_{{rev}}\) et \(t={{ep}}_{{mdb}}\) .

Les contraintes élastiques \({\sigma}_{0},\cdots,{\sigma}_{4}\) utilisées pour le calcul sont les coefficients de la représentation polynomiale de la contrainte associée au mode de rupture du défaut, calculée le long du segment d’appui dans le métal de base sans défaut en fonction de la variable \(u\) valant \(0\) au niveau de la paroi externe du revêtement, et \(t+{t}_{r}\) au niveau de la paroi opposée :

\[\sigma (\frac{u}{L}) = {\sum}_{j=0}^{4}{\sigma}_{j}{(\frac{u}{t+{t}_{r}})}^{j}\]

Les valeurs des contraintes \({\sigma}_{0},\cdots,{\sigma}_{4}\) sont obtenues par un calcul élastique aux éléments finis sans défaut soumise au chargement appliqué.

Détermination des coefficients d’influence#

Les valeurs des coefficients d’influence \({i}_{0,1,2,3,4}\) pour les trois points du défaut \(A\), \(B\) et \(C\) sont donnés dans les tableaux VII.5.3.2a et b (RSE-M) dans le cas où le revêtement et la plaque ont le même module d’Young.

Le tableau VII.5.3.2c (RSE-M) fournit les valeurs de ces coefficients d’influence aux points \(A\) et \(C\) dans le cas où le module d’Young du revêtement \({E}_{r}\) vaut \(0,7 \times E\) où \(E\) est le module d’Young du métal de base.

Si les paramètres géométriques du défaut diffèrent de ceux pour lesquels sont établis les tableaux, les valeurs des coefficients d’influence sont \({i}_{0,1,2,3,4}\) déterminés avec une interpolation «barycentrique » sur les variables \(x=\frac{a}{b}\) , \(y=\frac{a}{{t}_{r}}\) et \(z=\frac{{E}_{r}}{E}\) .

Changement de repère#

Dans l’étude élastique linéaire, le repérage considéré pour la cuve est la base cartésienne globale. Or, en vue de l’identification de la contrainte associée à chaque mode de rupture, compte tenu de la géométrie cylindrique de la cuve et des deux types d’orientation de défaut étudiés, il est pratique et adapté de pouvoir se placer dans la base cylindrique centrée sur le milieu du défaut.

Ainsi, un changement de repère est effectué dans POST_KCP avant l’application de la formule analytique décrite dans le §2.2.

Cas 1 : Passage de la base cartésienne locale (dans le plan de coupe du modèle axisymétrique) à la base cylindrique.

../../../../_images/baseCylindriqueAxi.svg

Fig. 317 Base cylindrique - Cas axisymétrique#

On a :

\[e_{x} = e_{r}, \quad e_{y} = e_{Z}, \quad e_{z} = -e_{\theta}.\]

Le changement de base pour le tenseur des contraintes s’écrit:

\[\begin{split}\begin{bmatrix} \sigma_{rr} & \sigma_{r\theta} & \sigma_{rZ} \\ \sigma_{r\theta} & \sigma_{\theta\theta} & \sigma_{\theta Z} \\ \sigma_{rZ} & \sigma_{\theta Z} & \sigma_{ZZ} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 0 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} \sigma_{xx} & \sigma_{xy} & \sigma_{xz} \\ \sigma_{xy} & \sigma_{yy} & \sigma_{yz} \\ \sigma_{xz} & \sigma_{yz} & \sigma_{zz} \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & -1 & 0 \end{bmatrix}\end{split}\]

On obtient finalement :

\[\begin{split}\begin{cases} \sigma_{rr} = \sigma_{xx} \\ \sigma_{\theta\theta} = \sigma_{zz} \\ \sigma_{ZZ} = \sigma_{yy} \end{cases} \quad \text{et} \quad \begin{cases} \sigma_{r\theta} = -\sigma_{xz} \\ \sigma_{rZ} = \sigma_{xy} \\ \sigma_{\theta Z} = -\sigma_{yz} \end{cases}\end{split}\]
../../../../_images/baseCylindrique3D.svg

Fig. 318 Base cylindrique - Cas 3D.#

Cas 2 : Passage de la base cartésienne globale (modèle 3D) à la base cylindrique (en supposant que les axes \(z\) et \(Z\) sont colinéaires).

On a :

\[\begin{split}\begin{cases} e_r = \cos\theta e_X + \sin\theta e_Y \\ e_\theta = -\sin\theta e_X + \cos\theta e_Y \\ e_Z = e_Z \end{cases} \quad \text{d'où} \quad \begin{cases} e_X = \cos\theta e_r - \sin\theta e_\theta \\ e_Y = \sin\theta e_r + \cos\theta e_\theta \\ e_Z = e_Z \end{cases}\end{split}\]

Le changement de base pour le tenseur des contraintes s’écrit :

\[\begin{split}\begin{bmatrix} \sigma_{rr} & \sigma_{r\theta} & \sigma_{rZ} \\ \sigma_{r\theta} & \sigma_{\theta\theta} & \sigma_{\theta Z} \\ \sigma_{rZ} & \sigma_{\theta Z} & \sigma_{ZZ} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \cos\theta & \sin\theta & 0 \\ -\sin\theta & \cos\theta & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} \sigma_{XX} & \sigma_{XY} & \sigma_{XZ} \\ \sigma_{XY} & \sigma_{YY} & \sigma_{YZ} \\ \sigma_{XZ} & \sigma_{YZ} & \sigma_{ZZ} \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} \cos\theta & -\sin\theta & 0 \\ \sin\theta & \cos\theta & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}\end{split}\]

On obtient finalement :

\[\begin{split}\begin{cases} \sigma_{rr} = \cos^2\theta \sigma_{XX} + 2\sin\theta\cos\theta \sigma_{XY} + \sin^2\theta \sigma_{YY} \\ \sigma_{r\theta} = -\sin\theta\cos\theta \sigma_{XX} + (\cos^2\theta - \sin^2\theta) \sigma_{XY} + \sin\theta\cos\theta \sigma_{YY} \\ \sigma_{rZ} = \cos\theta \sigma_{XZ} + \sin\theta \sigma_{YZ} \\ \sigma_{\theta\theta} = \sin^2\theta \sigma_{XX} - 2\sin\theta\cos\theta \sigma_{XY} + \cos^2\theta \sigma_{YY} \\ \sigma_{\theta Z} = -\sin\theta \sigma_{XZ} + \cos\theta \sigma_{YZ} \\ \sigma_{ZZ} = \sigma_{ZZ} \end{cases}\end{split}\]

Synthèse

Composantes utilisées pour le calcul du facteur d’intensité de contraintes du mode 1 (idem mode 2 et mode 3 avec les composantes associées)

  • Défaut circonférentiel: \(\sigma_{zz}\) dans la base cylindrique, soit :

    1. \(\sigma_{yy}\) avec un modèle axisymétrique,

    2. \(\sigma_{zz}\) avec un modèle 3D.

  • Défaut longitudinal: \(\sigma_{\theta\theta}\) dans la base cylindrique, soit :

    1. \(\sigma_{zz}\) avec un modèle axisymétrique,

    2. \(\sin^2\theta \sigma_{xx} - 2\sin\theta\cos\theta \sigma_{xy} + \cos^2\theta \sigma_{yy}\) avec un modèle 3D.

Etape n°2 : calcul du facteur d’intensité des contraintes élasto-plastique par la méthode Kcp correction β#

Facteur de correction plastique sur une phase de charge considérée isolément#

L’expression du facteur d’intensité des contraintes correspond à celle d’un défaut sous revêtement semi-elliptique en faisant l’hypothèse d’un comportement élastique linéaire du revêtement et du métal de base .

La méthode dite de la « correction β » est spécifique aux défauts sous revêtement et s’applique uniquement dans le cadre d’une phase de charge croissante considérée isolément.

Elle consiste à appliquer un facteur correctif, noté βA pour la pointe côté revêtement (respectivement βB pour la pointe côté métal de base), au facteur d’intensité des contraintes élastique équivalent aux pointes A et B, pour tenir compte de l’influence sur le défaut du phénomène de plastification se produisant au niveau de la pointe côté revêtement et de la pointe côté métal de base.

Le rayon de la zone plastique \(r_y\) est défini au point A par la formule :

\[r_{yA} = \frac{1}{6 \pi} \left( \frac{K_{\text{eqA}}}{S_{yA}} \right)^2\]

où \(S_{yA}\) est la limite d’élasticité du revêtement en A.

En phase croissante de \(K_{\text{eq}}\), le facteur \(K_{\text{cp}}\) est obtenu par les expressions :

  • Au point A :

    \[K_{\text{cpA}} = \beta_A \cdot K_{\text{eqA}}\]

    avec :

    \[\beta_A = 1 + C_A \cdot \tanh\left( \frac{36 \cdot r_{yA}}{t_r} \right)\]

  • Au point B :

    \[\begin{split}K_{\text{cpB}} = \begin{cases} \beta_B^{3D} \cdot K_{\text{eqB}}, & \text{pour les défauts semi-elliptiques} \\ \beta_B \cdot K_{\text{eqB}}, & \text{pour les défauts bandes} \end{cases}\end{split}\]

    avec :

    \[\beta_B^{3D} = \max\left( 1, \beta_B \cdot \sqrt{\frac{1 + 1.464 \cdot \left( \frac{h}{2c} \right)^{1.65}}{1 + 1.464 \cdot (\beta_B^2) \cdot \left( \frac{h}{2c} \right)^{1.65}}} \right)\]

    et :

    \[\beta_B = 1 + C_B \cdot \tanh\left( \frac{36 \cdot r_{yA}}{t_r} \right)\]

  • Au point C :

    \[K_{\text{cpC}} = \beta_C \cdot K_{\text{eqC}}\]

    avec :

    \[\beta_C = \beta_B\]

Les coefficients \(C_A\) et \(C_B\) sont donnés dans le tableau suivant :

Défaut longitudinal

Défaut circonférentiel

Pointe A (interface)

\(C_A = 0.165 \ln(h)\)

\(C_A = 0.5\)

Pointe B (mdb)

\(C_B = 0.465 (1 + h / 100)\)

\(C_B = 0.5\)

Avec la profondeur \(h\) du défaut exprimée en millimètres.

Correction plastique au cours d’un transitoire#

Au cours d’un transitoire, la cuve passe généralement par une succession de phases de charge croissante et de phases de décharge. Par conséquent, un transitoire sort du cadre d’application théorique de la méthode dite de la « correction β ».

Toutefois, la notion de correction plastique a été étendue au cas d’un transitoire réel en retenant, à un instant donné, la correction plastique maximale obtenue sur toutes les phases de charge croissante précédentes. Le principe de cette extension est le même que l’on considère la pointe côté revêtement ou la pointe côté métal de base. Par souci de simplicité, la mention explicite de la pointe considérée est omise dans les notations utilisées dans la suite de cette section.

Détermination de la correction plastique :

À chaque nouvelle phase de charge croissante, une correction plastique, notée \(\Delta K\), est réévaluée comme suit :

\[\Delta K = K_{\beta} - K_{I} = (\beta - 1) \times K_{I}\]

où :

  • \(K_{I}\) est le facteur d’intensité des contraintes élastiques déterminé au §2.

  • \(\beta\) est le facteur de correction plastique décrit au §3.1.

Si cette nouvelle correction plastique est supérieure à la correction plastique maximale précédente, notée \(\Delta K_{\text{max}}\), alors \(\Delta K_{\text{max}}\) est mise à jour.

Expression de la correction plastique appliquée :

La correction plastique finalement appliquée, notée \(K_{\text{cp}}\), s’écrit :

\[K_{\text{cp}} = K_{I} + \Delta K_{\text{max}}\]

Cas des phases de décharge :

Lors d’une phase de décharge, la correction plastique appliquée consiste à ajouter \(\Delta K_{\text{max}}\) (calculée lors des phases de charge croissante précédentes) au facteur d’intensité des contraintes élastiques \(K_{I}\).

En effet, l’absence de plastification pendant une phase de décharge implique que la correction plastique corresponde uniquement au résidu plastifié des phases de charge précédentes.

Algorithmique

  • On initialise \(K_{\text{max}} = 0\).

  • On initialise \(K_{I_{\text{last}}}\) à une valeur arbitraire élevée :

    • au premier instant, on sera en phase de décharge par comparaison à \(K_{I_{\text{last}}}\),

    • pas de plastification au premier instant.

Boucle sur les instants de l’histoire du chargement :

  1. Si \(K_I(t_n) \leq K_{I_{\text{last}}}\) alors (phase de décharge) :

    \[K_{\text{cp}}(t_n) = K_I(t_n) + \Delta K_{\text{max}}\]

  2. Sinon (phase de charge) :

    • Si \(\beta(t_n) \times K_I(t_n) > K_I(t_n) + \Delta K_{\text{max}}\) alors :

      \[K_{\text{cp}}(t_n) = \beta(t_n) \times K_I(t_n)\]
      \[\Delta K_{\text{max}} = K_{\text{cp}}(t_n) - K_I(t_n)\]

    • Sinon :

      \[K_{\text{cp}}(t_n) = K_I(t_n) + \Delta K_{\text{max}}\]

    Fin Si

Fin Si

  1. On met à jour \(K_{I_{\text{last}}} = K_I(t_n)\).

Fin Boucle

La même algorithmique décrite ci-dessus est mise en œuvre pour les corrections plastiques des facteurs d’intensité des contraintes aux deux pointes \(A\) et \(B\) de la fissure au fur et à mesure de l’histoire du chargement.

Validation#

La commande POST_KCP est validée par le test EPICU03 en comparaison au résultat de CUVE1D :

  • EPICU03 valide la cas d’un défaut semi-elliptique longitudinal puis circonférentiel en AXIS

Références bibliographiques#

[bib1]

«CUVE1D Version 2 - Note de validation» H-T26-2007-00833-FR

[bib2]

«CUVE1D Version 2 - Note de référence» H-T26-2007-00803-FR.

[bib3]

«Méthodes analytiques de calcul des facteurs d’intensité de contrainte et de l’intégrale J» RSE-M -Edition 2010