v3.01.104 SSLL104 - Pré-déformations dans une poutre droite#
Résumé :
Ce test valide la prise en compte de pré-déformations dans le calcul élastique d’une poutre droite. Les caractéristiques du calcul sont :
analyse statique,
comportement linéaire,
modèle linéique
La modélisation A valide la prise en compte de pré-déformations renseignées par valeur (AFFE_CHAR_MECA/PRE_EPSI) pour les éléments POU_D_E, POU_D_T, POU_D_TG, POU_D_EM et POU_D_TGM. La solution est analytique.
La modélisation B valide la prise en compte de pré-déformations renseignées par fonction (AFFE_CHAR_MECA_F/PRE_EPSI) pour les éléments POU_D_E, POU_D_T, POU_D_TG, POU_D_EM et POU_D_TGM. La solution de référence est un calcul avec pré-déformations renseignées par valeur. On précise que ce chargement est autorisé pour les éléments de poutre uniquement si la valeur de la fonction au deux nœuds d’un même élément est la même.
La modélisation C valide, pour l’élément BARRE, la prise en compte de pré-déformations renseignées par valeur, par comparaison à l’élément POU_D_E et la prise en compte de pré-déformations renseignées par fonction par comparaison à un calcul avec pré-déformations renseignées par valeur.
Solution de référence#
Méthode de calcul utilisée pour la solution de référence#
Modélisation A:
La solution est analytique. Elle est calculée dans le repère local.
soit :
\(U=(u,v,w,{\theta}_{x},{\theta}_{y},{\theta}_{z})\) le déplacement de la poutre et \(E=({\epsilon}_{x},{\chi }_{y},{\chi }_{z},{\gamma}_{xy},{\gamma}_{xz})\) la déformation généralisée.
Soit la solution :
\(u=\alpha x\) \(v=\gamma \frac{{x}^{2}}{2}\) \(w=-\beta \frac{{x}^{2}}{2}\) \({\theta}_{x}=0\) \({\theta}_{y}=\beta x\) \({\theta}_{z}=\gamma x\)
alors :
\({\epsilon}_{x}={u}_{,x}=\alpha\) \({\chi }_{y}={\theta}_{y,x}=\beta\) \({\chi }_{z}={\theta}_{z,x}=\gamma\) \({\gamma}_{xy}={v}_{,x}-{\theta}_{z}=0\) \({\gamma}_{xz}={w}_{,x}+{\theta}_{y}=0\)
Si on choisit \(\alpha ={\epsilon}_{X}(=0.001)\) , \(\beta ={\chi }_{y}^{0}(=0.002)\) , \(\gamma ={\chi }_{z}^{0}(=0.003)\) alors \(E-{E}_{\mathrm{init}}=0\) et les efforts sont nuls: l’équilibre est donc vérifié. Par ailleurs, la solution vérifie les conditions aux limites d’encastrement en \(A\) . C’est donc la solution du problème posé.
Modélisation B:
Les fonctions utilisées pour imposer les pré-déformations sont de type fonction «escalier» dépendant des coordonnées des nœuds des mailles. Pour obtenir la solution de référence, on affecte les valeurs des pré-déformations mailles par mailles.
Modélisation C:
Dans la modélisation C, les mailles de poutre sont dupliquées en mailles de barre.
Pour la validation des pré-déformations par valeur, un premier calcul est fait dans lequel les pré-déformations sont imposées sur les mailles de poutre, il sert de référence au second calcul dans lequel les pré-déformations sont imposées sur les mailles de barre.
Pour la validation des pré-déformations par fonction, la solution de référence est obtenue en affectant sur chaque maille la valeur de la fonction dépendant de la géométrie (coordonnées du point de Gauss).
Résultats de référence#
Modélisation A:
Les résultats exprimés dans le repère local sont:
En \(B\) :
\(\mathrm{Dx}=0.10\mathrm{mm};\mathrm{Dy}=15.0\mathrm{mm};\mathrm{Dz}=–10.0\mathrm{mm};\mathrm{DRx}=0.0\mathrm{rd};\mathrm{DRy}=0.2\mathrm{rd};\mathrm{DRz}=0.30\mathrm{rd}\)
En \(C\) :
\(\mathrm{Dx}=0.05\mathrm{mm};\mathrm{Dy}=3.75\mathrm{mm};\mathrm{Dz}=–2.50\mathrm{mm};\mathrm{DRx}=0.0\mathrm{rd};\mathrm{DRy}=0.1\mathrm{rd};\mathrm{DRz}=0.15\mathrm{rd}\)
Dans le repère global, on trouve aux points \(B\) et \(C\) :
\(\begin{array}{}\mathrm{DX}(B)=\frac{\sqrt{3}}{30}+5\frac{\sqrt{3}}{6}(-3\sqrt{6}+2\sqrt{2})[\mathrm{mm}]\\ \mathrm{DY}(B)=\frac{\sqrt{3}}{30}+5\frac{\sqrt{3}}{6}(3\sqrt{6}+2\sqrt{2})[\mathrm{mm}]\\ \mathrm{DZ}(B)=\frac{\sqrt{3}}{30}+5\frac{\sqrt{3}}{6}(-4\sqrt{2})[\mathrm{mm}]\\ \mathrm{DRX}(B)=\frac{1}{20}(-\sqrt{6}-2\sqrt{2})[\mathrm{rd}]\\ \mathrm{DRY}(B)=\frac{1}{20}(-\sqrt{6}+2\sqrt{2})[\mathrm{rd}]\\ \mathrm{DRZ}(B)=\frac{1}{20}(2\sqrt{6})[\mathrm{rd}]\end{array}\) \(\begin{array}{}\mathrm{DX}(C)=\frac{\sqrt{3}}{60}+5\frac{\sqrt{3}}{24}(-3\sqrt{6}+2\sqrt{2})[\mathrm{mm}]\\ \mathrm{DY}(C)=\frac{\sqrt{3}}{60}+5\frac{\sqrt{3}}{24}(3\sqrt{6}+2\sqrt{2})[\mathrm{mm}]\\ \mathrm{DZ}(C)=\frac{\sqrt{3}}{60}+5\frac{\sqrt{3}}{24}(-4\sqrt{2})[\mathrm{mm}]\\ \mathrm{DRX}(C)=\frac{1}{40}(-\sqrt{6}-2\sqrt{2})[\mathrm{rd}]\\ \mathrm{DRY}(C)=\frac{1}{40}(-\sqrt{6}+2\sqrt{2})[\mathrm{rd}]\\ \mathrm{DRZ}(C)=\frac{1}{40}(2\sqrt{6})[\mathrm{rd}]\end{array}\)
Modélisation B et C:
Résultats provenant d’autres calculs effectués dans ce même test.
Incertitude sur la solution#
Modélisation A:
La solution est exacte pour la théorie des poutres d’Euler (ou de Timoshenko car il n’y pas de cisaillement). La torsion n’intervenant pas, la solution est aussi valable pour les éléments POU_D_TG et POU_D_TGM.
Modélisation A#
Caractéristiques de la modélisation#
Le segment \(\text{AB}\) est découpé en 10 éléments de même longueur (10.). (Un seul élément serait suffisant).
5 calculs identiques sont successivement faits sur ce maillage avec 4 modélisations différentes:
avec 10 éléments POU_D_E
avec 10 éléments POU_D_T
avec 10 éléments POU_D_TG
avec 10 éléments POU_D_EM
avec 10 éléments POU_D_TGM
|
Maillage de la section:
|
Caractéristiques du maillage#
Nombre de nœuds : 11
Nombre de mailles et types : 10 SEG2
Grandeurs testées et résultats#
Modélisation |
Identification |
Référence |
% différence |
POU_D_E |
B DX |
–6.4664E+00 |
< 1.0E-9 |
DY |
1.4747E+01 |
< 1.0E-9 |
|
DZ |
–8.1072E+00 |
< 1.0E-9 |
|
DRX |
–2.6390E–01 |
< 1.0E-9 |
|
DRY |
1.8947E–02 |
< 1.0E-9 |
|
DRZ |
2.4495E–01 |
< 1.0E-9 |
|
C DX |
–1.6022E+00 |
< 1.0E-9 |
|
DY |
3.7011E+00 |
< 1.0E-9 |
|
DZ |
–2.0124E+00 |
< 1.0E-9 |
|
DRX |
–1.3195E–01 |
< 1.0E-9 |
|
DRY |
9.4734E–03 |
< 1.0E-9 |
|
DRZ |
1.2247E–01 |
< 1.0E-9 |
Modélisation |
Identification |
Référence |
% différence |
POU_D_T |
B DX |
–6.4664E+00 |
< 1.0E-9 |
DY |
1.4747E+01 |
< 1.0E-9 |
|
DZ |
–8.1072E+00 |
< 1.0E-9 |
|
DRX |
–2.6390E–01 |
< 1.0E-9 |
|
DRY |
1.8947E–02 |
< 1.0E-9 |
|
DRZ |
2.4495E–01 |
< 1.0E-9 |
|
C DX |
–1.6022E+00 |
< 1.0E-9 |
|
DY |
3.7011E+00 |
< 1.0E-9 |
|
DZ |
–2.0124E+00 |
< 1.0E-9 |
|
DRX |
–1.3195E–01 |
< 1.0E-9 |
|
DRY |
9.4734E–03 |
< 1.0E-9 |
|
DRZ |
1.2247E–01 |
< 1.0E-9 |
Modélisation |
Identification |
Référence |
% différence |
POU_D_TG |
B DX |
–6.4664E+00 |
< 1.0E-9 |
DY |
1.4747E+01 |
< 1.0E-9 |
|
DZ |
–8.1072E+00 |
< 1.0E-9 |
|
DRX |
–2.6390E–01 |
< 1.0E-9 |
|
DRY |
1.8947E–02 |
< 1.0E-9 |
|
DRZ |
2.4495E–01 |
< 1.0E-9 |
|
C DX |
–1.6022E+00 |
< 1.0E-9 |
|
DY |
3.7011E+00 |
< 1.0E-9 |
|
DZ |
–2.0124E+00 |
< 1.0E-9 |
|
DRX |
–1.3195E–01 |
< 1.0E-9 |
|
DRY |
9.4734E–03 |
< 1.0E-9 |
|
DRZ |
1.2247E–01 |
< 1.0E-9 |
Modélisation |
Identification |
Référence |
% différence |
POU_D_EM |
B DX |
–6.4664E+00 |
< 1.0E-6 |
DY |
1.4747E+01 |
< 1.0E-5 |
|
DZ |
–8.1072E+00 |
< 1.0E-5 |
|
DRX |
–2.6390E–01 |
< 1.0E-5 |
|
DRY |
1.8947E–02 |
< 1.0E-4 |
|
DRZ |
2.4495E–01 |
< 1.0E-5 |
|
C DX |
–1.6022E+00 |
< 1.0E-6 |
|
DY |
3.7011E+00 |
< 1.0E-5 |
|
DZ |
–2.0124E+00 |
< 1.0E-5 |
|
DRX |
–1.3195E–01 |
< 1.0E-5 |
|
DRY |
9.4734E–03 |
< 1.0E-4 |
|
DRZ |
1.2247E–01 |
< 1.0E-5 |
Modélisation |
Identification |
Référence |
% différence |
POU_D_TGM |
B DX |
–6.4664E+00 |
< 1.0E-8 |
DY |
1.4747E+01 |
< 1.0E-8 |
|
DZ |
–8.1072E+00 |
< 1.0E-8 |
|
DRX |
–2.6390E–01 |
< 1.0E-8 |
|
DRY |
1.8947E–02 |
< 1.0E-8 |
|
DRZ |
2.4495E–01 |
< 1.0E-9 |
|
C DX |
–1.6022E+00 |
< 1.0E-10 |
|
DY |
3.7011E+00 |
< 1.0E-8 |
|
DZ |
–2.0124E+00 |
< 1.0E-8 |
|
DRX |
–1.3195E–01 |
< 1.0E-8 |
|
DRY |
9.4734E–03 |
< 1.0E-7 |
|
DRZ |
1.2247E–01 |
< 1.0E-8 |
Modélisation B#
Caractéristiques de la modélisation#
Identique à la modélisation A
Caractéristiques du maillage#
Nombre de nœuds : 11
Nombre de mailles et types : 10 SEG2
Chargement#
Pour les composantes de pré-déformation, les fonctions sont les suivantes:
EPX |
\(\mathrm{1E-3.}\mathit{escalier}(X).\mathit{INST}\) |
KY |
\(\mathrm{2E-3.}\mathit{escalier}(Y).\mathit{INST}\) |
KZ |
\(\mathrm{3E-3.}\mathit{escalier}(Z).\mathit{INST}\) |
Pour chaque nœud du maillage la coordonnée \(X\) est égale à la coordonnée \(Y\) , elle-même égale à la coordonnée \(Z\) . La fonction escalier est faite de telle sorte que sa valeur soit:
\(1\) sur les mailles E1 et E2
\(2\) sur les mailles E4 et E5
\(3\) sur les mailles E7 et E8
Il n’y a pas de pré-déformation imposée sur les autres mailles: E3, E6, E9 et E10.
Dans le calcul de référence, on affecte donc les valeurs de pré-déformation suivantes:
E1, E2 |
E4, E5 |
E7, E8 |
|
EPX |
1E-3 |
2E-3 |
3E-3 |
KY |
2E-3 |
4E-3 |
6E-3 |
KZ |
3E-3 |
6E-3 |
9E-3 |
La prise en compte de la dépendance au temps est faite par l’ajout d’une fonction multiplicatrice au chargement.
Grandeurs testées et résultats#
Modélisation POU_D_E :
Calcul de référence:
Identification |
T ype de référence |
Valeurs de r éférence |
Tolérance |
Instant 1, Nœud B, DX |
“NON_REGRESSION” |
||
Instant 2, Nœud B, DY |
“NON_REGRESSION” |
Second calcul:
Identification |
T ype de référence |
Valeurs de r éférence |
Tolérance |
Instant 1, Nœud B, DX |
“AUTRE_ASTER” |
-7.75966054341 |
1E-6 |
Instant 2, Nœud B, DY |
“AUTRE_ASTER” |
35.3923671581 |
1E-6 |
Modélisation POU_D_T :
Calcul de référence:
Identification |
T ype de référence |
Valeurs de r éférence |
Tolérance |
Instant 1, Nœud B, DX |
“NON_REGRESSION” |
||
Instant 2, Nœud B, DY |
“NON_REGRESSION” |
Second calcul:
Identification |
T ype de référence |
Valeurs de r éférence |
Tolérance |
Instant 1, Nœud B, DX |
“AUTRE_ASTER” |
-7.75966054341 |
1E-6 |
Instant 2, Nœud B, DY |
“AUTRE_ASTER” |
35.3923671581 |
1E-6 |
Modélisation POU_D_TG :
Calcul de référence:
Identification |
T ype de référence |
Valeurs de r éférence |
Tolérance |
Instant 1, Nœud B, DX |
“NON_REGRESSION” |
||
Instant 2, Nœud B, DY |
“NON_REGRESSION” |
Second calcul:
Identification |
T ype de référence |
Valeurs de r éférence |
Tolérance |
Instant 1, Nœud B, DX |
“AUTRE_ASTER” |
-7.75966054343 |
1E-6 |
Instant 2, Nœud B, DY |
“AUTRE_ASTER” |
35.3923671581 |
1E-6 |
Modélisation POU_D_EM :
Calcul de référence:
Identification |
T ype de référence |
Valeurs de r éférence |
Tolérance |
Instant 1, Nœud B, DX |
“NON_REGRESSION” |
||
Instant 2, Nœud B, DY |
“NON_REGRESSION” |
Second calcul:
Identification |
T ype de référence |
Valeurs de r éférence |
Tolérance |
Instant 1, Nœud B, DX |
“AUTRE_ASTER” |
-7.75966051002 |
1E-6 |
Instant 2, Nœud B, DY |
“AUTRE_ASTER” |
35.392366221 |
1E-6 |
Modélisation POU_D_TGM :
Calcul de référence:
Identification |
T ype de référence |
Valeurs de r éférence |
Tolérance |
Instant 1, Nœud B, DX |
“NON_REGRESSION” |
||
Instant 2, Nœud B, DY |
“NON_REGRESSION” |
Second calcul:
Identification |
T ype de référence |
Valeurs de r éférence |
Tolérance |
Instant 1, Nœud B, DX |
“AUTRE_ASTER” |
-7.75966051062 |
1E-6 |
Instant 2, Nœud B, DY |
“AUTRE_ASTER” |
35.3923662219 |
1E-6 |
Modélisation C#
Caractéristiques de la modélisation#
Le segment \(\text{AB}\) est découpé en 10 éléments de même longueur (10.) qui forment le groupe POUTRE. Les mailles sont dupliquées pour former le groupe BARRE.
Caractéristiques du maillage#
Nombre de nœuds : 11
Nombre de mailles et types : 2 fois 10 SEG2
Chargement#
Calculs avec affectation par valeur#
Dans le calcul de référence, la pré-déformation est affectée sur les éléments de poutre.
EPX |
\(1E-3\) |
Dans le second calcul, la pré-déformation est affectée sur les éléments de barre.
EPXX |
\(1E-3\) |
Calculs avec affectation par fonction#
La fonction de pré-déformation est la suivante:
EPXX |
\(\mathrm{1E-5.}(X+Y+Z).\mathit{INST}\) |
Pour le calcul de référence (affectation par valeur), on calcule et on affecte la valeur de \(\mathrm{1E-5.}(X+Y+Z)\) pour chaque maille de barre en prenant les coordonnées de son point de Gauss (milieu de la maille). La dépendance au temps est faite par l’ajout d’une fonction multiplicatrice au chargement.
Grandeurs testées et résultats#
Calculs avec affectation par valeur#
Calcul de référence:
Identification |
T ype de référence |
Valeurs de r éférence |
Tolérance |
Instant 1, Nœud B, DX |
“NON_REGRESSION” |
Second calcul:
Identification |
T ype de référence |
Valeurs de r éférence |
Tolérance |
Instant 1, Nœud B, DX |
“AUTRE_ASTER” |
0.0288675134603 |
1E-6 |
Calculs avec affectation par fonction#
Calcul de référence:
Identification |
T ype de référence |
Valeurs de r éférence |
Tolérance |
Instant 1, Nœud B, DX |
“NON_REGRESSION” |
||
Instant 2, Nœud B, DY |
“NON_REGRESSION” |
Second calcul:
Identification |
T ype de référence |
Valeurs de r éférence |
Tolérance |
Instant 1, Nœud B, DX |
“AUTRE_ASTER” |
0.0250000000004 |
1E-6 |
Instant 2, Nœud B, DY |
“AUTRE_ASTER” |
0.0499999999999 |
1E-6 |
Synthèse des résultats#
Comme on pouvait s’y attendre, les résultats sont très précis. Ils valident la bonne prise en compte des pré-déformations dans les éléments de poutre et de barre tant par affectation par valeur que par fonction.