v6.02.126 SSNL126 - Flambement élastoplastique d’une poutre droite#
Résumé :
Une poutre droite élancée de section circulaire est soumise à une force de compression à une extrémité, et est encastrée à l’autre extrémité. Le comportement du matériau est élastoplastique, avec un écrouissage isotrope linéaire. Au cours de la montée en charge, on calcule les charges critiques de flambement élastique, puis plastique.
Deux modélisations permettent de tester le critère de flambement en élastoplasticité :
Modélisation A : maillage volumique, petites déformations et petits déplacements.
Modélisation B : maillage volumique, grands déplacements et grandes déformations, mais petites rotations (GREEN).
Modélisation C : maillage 1D, petites déformations et petits déplacements.
Modélisation D : maillage 1D, grands déplacements et grandes rotations, mais petites déformations (GROT_GDEP).
Solution de référence#
Méthode de calcul utilisée pour la solution de référence#
Solution analytique:
En petits déplacements:
en régime élastique (pour \(F<{\sigma}_{Y}\) ) la valeur critique théorique correspond à la charge d’Euler. Dans le cadre d’une cinématique de poutre, la charge critique vaut:
, donc la pression critique:
avec
et
soit
en régime élastoplastique, comme on considère une compression uniforme sans décharge élastique et du fait de la loi de comportement, la charge critique de flambement vaut:
soit une pression critique de:
Résultats de référence#
Valeurs de la charge critique pour les deux cas de charge.
En régime élastique, pour \(F<4\mathrm{MPa}\) , soit \(t<0.61538462\) , on doit obtenir: \({P}_{\mathrm{cr}}=12.95\mathrm{MPa}\) .
En régime plastique la valeur de pression critique de flambage est: \(4,32\mathrm{MPa}\) .
Les coefficients critiques en fonction du chargementsont:
Pas de temps |
Force surfacique (en \(\mathrm{MPa}\) ) |
Coefficient critique |
Charge critique ( en \(\mathrm{MPa}\) ) |
1 |
0.65 |
19.9290 |
12.9539 |
2 |
1.3 |
9.9645 |
12.9539 |
3 |
1.95 |
6.6430 |
12.9539 |
4 |
2.6 |
4.9823 |
12.9539 |
5 |
3.25 |
3.9858 |
12.9539 |
6 |
3.9 |
3.3215 |
12.9539 |
7 |
4.55 |
0.9490 |
4.3180 |
8 |
5.2 |
0.8304 |
4.3180 |
9 |
5.85 |
0.7381 |
4.3180 |
10 |
6.5 |
0.6643 |
4.3180 |
Modélisation A#
Caractéristiques de la modélisation#
Maillage 3D volumique.
Caractéristiques du maillage#
Nombre de nœuds : 600
Nombre de mailles et types : 90 HEXA20
Valeurs testées#
Instant |
Référence |
0.2 |
9.9645 |
1 |
0.6643 |
Modélisation B#
Caractéristiques de la modélisation#
Maillage 3D volumique. Grands déplacements et déformations (mais petites rotations)
La force surfacique appliquée vaut ici \(–20\mathrm{MPa}\) à \(t=\mathrm{1s}\) , afin de passer, pendant l’évolution du chargement, par le point critique.
Cette charge est appliquée en 10 pas de temps équirépartis.
Deux calculs complets sont effectués: l’un avec un comportement purement élastique, afin de pouvoir comparer le résultat à la solution élastique de référence, et l’autre avec un comportement élastoplastique.
Caractéristiques du maillage#
Nombre de nœuds : 600
Nombre de mailles et types : 90 HEXA20
Valeurs testées#
En comportement élastique
On teste la valeur finale du coefficient critique: (test de non régression)
Instant |
Référence |
1 |
19.0657 |
Dans le cas de grands déplacements ou grandes déformations, la valeur du coefficient critique doit être interprétée différemment du cas petits déplacements: la structure devient instable lorsque la «charge critique» s’annule.
L’évolution de ce coefficient au cours du temps est la suivante:
Pas de temps |
Force surfacique (en \(\mathrm{MPa}\) ) |
Coefficient critique Aster |
Charge critique Euler |
1 |
2 |
-27.5797 |
12.9539 |
2 |
4 |
-22.8250 |
12.9539 |
3 |
6 |
-17.9808 |
12.9539 |
4 |
8 |
-13.0407 |
12.9539 |
5 |
10 |
-7.9975 |
12.9539 |
6 |
12 |
-2.8434 |
12.9539 |
7 |
14 |
2.4301 |
12.9539 |
8 |
16 |
7.8324 |
12.9539 |
9 |
18 |
13.3738 |
12.9539 |
10 |
20 |
19.0657 |
12.9539 |
Le coefficient critique passe donc bien par 0 entre les instants 6 et 7, et plus précisément (cf. courbe suivante) aux alentours de l’instant 6.5, ce qui correspond bien à la charge critique en élasticité.
En élastoplasticité, on teste les instants où le coefficient critique change de signe. Les tests sont de non régression puisque l’on ne dispose pas de solution analytique dans ce cas.
Instant |
Référence |
0.4 |
-4.9917 |
0.5 |
1.3186 |
Modélisation C#
Caractéristiques de la modélisation#
Maillage 1D avec la modélisation “MULTIFIBRE”. Maillage 2D de la section, utilisé par DEFI_GEOM_FIBRE.
Caractéristiques du maillage#
Maillage 1D : Nombre de nœuds : 201, Nombre de mailles et types : 200 SEG2
Maillage 2D de section : Nombre de nœuds : 53, Nombre de mailles et types : 80 TRIA3
Valeurs testées#
Les valeurs de “CHAR_CRIT” sont testées en non-régression. Il est à noter que les deux valeurs sont proches de celles de la modélisation A.
Instant |
Référence |
0.2 |
9.576928116466950 |
1 |
0.6385228827868793 |
Modélisation D#
Caractéristiques de la modélisation#
Maillage 1D avec la modélisation “MULTIFIBRE”. Déformation “GROT_GDEP”. Grands déplacements et rotation (mais petites rotations).
Maillage 2D de la section, utilisé par DEFI_GEOM_FIBRE.
La force nodale appliquée vaut ici \(–6283.185{N}\) à \(t=\mathrm{1s}\), qui correspond à \(–20{MPa}\) sur la section. Cette force permet de passer, pendant l’évolution du chargement, par le point critique.
Cette charge est appliquée en 100 pas de temps équirépartis.
Deux calculs complets sont effectués : l’un avec un comportement purement élastique, afin de pouvoir comparer le résultat à la solution élastique de référence, et l’autre avec un comportement élastoplastique.
Caractéristiques du maillage#
Maillage 1D : Nombre de nœuds : 201, Nombre de mailles et types : 200 SEG2
Maillage 2D de section : Nombre de nœuds : 53, Nombre de mailles et types : 80 TRIA3
Valeurs testées#
Dans le cas de grands déplacements ou grandes déformations, la valeur du coefficient critique doit être interprétée différemment du cas des petits déplacements : la structure devient instable lorsque la «charge critique» s’annule.
En comportement élastique :
Il a été constaté que le coefficient critique change de signe (donc en passant par zéro) entre 0.63 s et 0.64 s. Ceci correspond à une charge critique entre 12.6 MPa et 12.8 MPa, proche de la valeur trouvée par la modélisation 3D de la modélisation B.
On teste la valeur finale du coefficient critique : (test de non-régression)
Instant |
Référence |
1 |
-0.7045174059842898 |
En élastoplasticité :
Il a été constaté que le coefficient critique change de signe (donc en passant par zéro) entre 0.42 s et 0.43 s. Ceci correspond à une charge critique entre 8.4 MPa et 8.6 MPa. Ce résultat est proche de celui de la modélisation B.
On teste les instants où le coefficient critique change de signe. Les tests sont de non-régression.
Instant |
Référence |
0.42 |
-0.06665262713279910 |
0.43 |
0.06524932586533275 |
Synthèse des résultats#
Les résultats des modélisations en petits déplacements (A et C) sont conformes à la référence analytique (moins de 2% d’écart en plasticité). Les résultats en grands déplacements (modélisations B et D) ne peuvent pas être comparés à une solution de référence, mais le changement de signe du coefficient critique est conforme à la solution attendue.