v7.03.108 HPLV108 – Vérification des paramètres homogénéisés d’une plaque percée

Résumé:

Ce test a pour objectif de vérifier une partie des paramètres calculées par la commande CALC_MATE_HOMO sur une plaque percée. Les valeurs de références sont issues d’études R&D de 84 et 93.

Les propriétés calculées sont :

• modélisation A : celles d’un MASSIF équivalent ;

• modélisation B : celles d’une PLAQUE équivalente ;

• modélisation C : celles d’une PLAQUE homogène ;

• modélisation D : celles d’une PLAQUE homogène avec cisaillement transverse CT considérant les formulations de MINDLIN & TOURATIER ;

• modélisation E : celles d’une PLAQUE équivalente à une plaque stratifiée de trois couches sans et avec cisaillement transverse CT considérant les formulations de MINDLIN & TOURATIER.

Solution de référence pour le MASSIF

Méthode de calcul utilisée pour la solution de référence

(4894)\[\begin{split}\left\{\begin{array}{c}{\mathrm{\chi }}^{\mathit{kh}}\in {V}_{\mathit{pér}}^{\mathit{CA}}\hfill \\ {\int}_{{Z}_{e}}\epsilon (\vec{{\mathrm{\chi }}^{\mathit{kh}}}).A.\epsilon (\vec{\nu})\phantom{\rule{0.5em}{0ex}}\mathit{dz}=-{\int}_{{Z}_{e}}{\epsilon}_{\mathit{kh}}^{0}.A.\epsilon (\vec{\nu})\phantom{\rule{0.5em}{0ex}}\mathit{dz},\forall \vec{\nu}\in {V}_{\mathit{pér}}^{\mathit{CA}}\end{array}\right.\end{split}\]

Pour un problème 3D en élasticité linéaire, on détermine les 6 correcteurs qui vérifient l’équation :

A partir du calcul des correcteurs, on détermine les coefficientshomogénéisés de la matrice d’après le formule suivante:

(4895)\[{\epsilon}_{ij}^{0}.{A}^{\mathit{hom}}.{\epsilon}_{\mathit{kh}}^{0}=\frac{1}{|{Z}_{e}|}{\int}_{{Z}_{e}}{\epsilon}_{ij}^{0}.A.{\epsilon}_{\mathit{kh}}^{0}\phantom{\rule{0.5em}{0ex}}\mathit{dz}-\frac{1}{|{Z}_{e}|}{\int}_{{Z}_{e}}\epsilon (\vec{{\mathrm{\chi }}^{ij}}).A.\epsilon (\vec{{\mathrm{\chi }}^{\mathit{kh}}})\phantom{\rule{0.5em}{0ex}}\mathit{dz}\]

où \({\epsilon}^{0}\) est la déformation macroscopique donnée et \({Z}_{e}\) le volume total de la cellule de base.

La première intégrale de l’équation est la loi des mélanges en rigidités alors que la deuxième intégrale est la contribution des correcteurs. Pour le cas anisotrope, on aura au plus 21 coefficients d’élasticité indépendants. En revanche dans notre cas d’étude, ce nombre est réduit du fait des symétries et de l’invariance selon Oz de la cellule de base, qui permet d’aboutir à 12 relations sur les coefficients de raideur élastique homogénéisés:

(4896)\[\begin{split}\begin{array}{c}{A}_{1111}^{\text{hom}}={A}_{2222}^{\text{hom}}\phantom{\rule{2em}{0ex}};\phantom{\rule{2em}{0ex}}{A}_{1133}^{\text{hom}}={A}_{2233}^{\text{hom}}\phantom{\rule{2em}{0ex}};\phantom{\rule{2em}{0ex}}{A}_{3131}^{\text{hom}}={A}_{2323}^{\text{hom}}\\ {A}_{1112}^{\text{hom}}={A}_{2212}^{\text{hom}}={A}_{1113}^{\text{hom}}={A}_{2213}^{\text{hom}}={A}_{2223}^{\text{hom}}={A}_{1123}^{\text{hom}}={A}_{3313}^{\text{hom}}={A}_{3323}^{\text{hom}}={A}_{3312}^{\text{hom}}=0\end{array}\end{split}\]

Donc, il ne reste plus à déterminer que 9 coefficients d’élasticité homogénéisée: le matériau homogénéisé est élastique orthotrope. En revanche, dans , on exhibe certaines relations entre les coefficients homogénéisés qui réduisent le nombre de coefficients indépendants.

(4897)\[{A}_{3333}^{\text{hom}}=\frac{1}{|{Z}_{e}|}{\int}_{{Z}_{e}}E\phantom{\rule{0.5em}{0ex}}\mathit{dz}+2{\nu}^{2}.\left({A}_{1111}^{\text{hom}}+{A}_{1122}^{\text{hom}}\right)\]

(4898)\[{A}_{1133}^{\text{hom}}={A}_{2233}^{\text{hom}}=\nu .\left({A}_{1111}^{\text{hom}}+{A}_{1122}^{\text{hom}}\right)\]

De même, pour la thermique, on calculetrois coefficients homogénéisés dontdeux qui sont indépendants \({K}_{11}^{\text{hom}}\text{et}{K}_{33}^{\text{hom}}\) . Dans , on détermine aussi une relation entre les coefficients de rigidité de cisaillement transverse homogénéisés et les coefficients thermiques homogénéisés.

(4899)\[{A}_{3\alpha 3\alpha }^{\text{hom}}=\frac{2\mu }{k}{K}_{11}^{\text{hom}}\]

Toutes ces relations vont nous permettre de vérifier que le calcul élément finis produit des résultats corrects en vérifiant et en comparant les valeurs obtenues numériquement. Pour les calculs des coefficients homogénéisés, on compare nos résultats à ceux obtenus dans VOLDOIRE93, qui rassemble les résultats numériques du calcul du comportement élastique, thermique et thermoélastique, homogénéisé des plaques percées.

Solution de référence pour une plaque homogène isotrope élastique

Correcteurs

La résolution des problèmes élémentaires par [bib1], dans le cas d’une plaque homogène isotrope élastique, mène aux correcteurs en membrane

(4900)\[\chi^{11} = \chi^{22} = \left(0; 0; -\frac{\nu z}{1-\nu}\right) \textrm{ et } \chi^{12} = 0\]

en flexion

(4901)\[\xi^{11} = \xi^{22} = \left(0; 0; -\frac{\nu z^2}{2\left(1-\nu\right)}\right) \textrm{ et } \xi^{12} = 0\]

et en cisaillement transverse (avec la formulation de Mindlin)

(4902)\[\phi^{11} = \phi^{22} = 0 \textrm{.}\]

Le problème n’est fonction que de la position verticale \(z\).

Coefficients homogénéisés

Les symétries imposent une absence de couplage entre les coefficients en membrane, flexion et cisaillement transverse.

Les coefficients homogénéisés déduits par [bib1] sont, en membrane, linéaires en \(z\)

(4903)\[\begin{split}\mathbf{A}^{\text{mm}} = \frac{Eh}{1-\nu^2} \begin{pmatrix} 1 & \nu & 0 \\ \nu & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1-\nu \end{pmatrix} \textrm{,}\end{split}\]

en flexion, quadratiques en \(z\)

(4904)\[\begin{split}\mathbf{A}^{\text{ff}} = \frac{Eh^3}{12\left(1-\nu^2\right)} \begin{pmatrix} 1 & \nu & 0 \\ \nu & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1-\nu \end{pmatrix}\end{split}\]

et, en cisaillement transverse, constants

(4905)\[\mathbf{A}^{\text{CT}}_{1313} = \mathbf{A}^{\text{CT}}_{2323} = \frac{Eh}{1+\nu} \textrm{.}\]

Modélisations

Caractéristiques communes aux modélisations

Fig. 739 Maillage de la cellule

Caractéristiques du maillage

Nombre de nœuds : 1855

Nombre d’éléments et types : 300 éléments quadratiques volumiques

Modélisation A

Caractéristiques de la modélisation

La cellule est homogénéisée en MASSIF afin d’obtenir les paramètres pour un modèle 3D.

Valeurs testées

On compare les valeurs des coefficients homogénéisés (élastiques et thermiques) obtenues par le calcul à ceux de la note [bib1].

Coefficients homogénéisés	Référence	Calcul ASTER	Erreur relative (%) \(\frac{\left|\text{valeur approchée}-\text{valeur théorique}\right|}{\left|\text{valeur théorique}\right|}\ast 100\)
\({A}_{1111}\)	0.48437	0.484961	0.12%
\({A}_{2222}\)	–	0.484782	–
\({A}_{3333}\)	0.73037	0.730671	0.04%
\({A}_{1122}\)	0.12246	0.122638	0.14%
\({A}_{1133}\)	0.18205	0.182280	0.13%
\({A}_{2233}\)	–	0.182226	–
\({A}_{1212}\)	0.16161	0.163213	0.98%
\({A}_{2323}\)	–	0.344923	–
\({A}_{3131}\)	0.344589	0.344814	0.06%
\({K}_{11}\)	0.447967	0.448258	0.06%
\({K}_{22}\)	–	0.448399	–
\({K}_{33}\)	0.62115	0.621319	0.03%

On vérifie également les égalités entre les coefficients homogénéisés décrites dans le paragraphe précédent.

Relation entre coefficients homogénéisés	Erreur relative (%)
\(\begin{array}{c}{A}_{1111}^{\text{hom}}-{A}_{2222}^{\text{hom}}=0\end{array}\)	0.04%
\(\begin{array}{c}{A}_{1133}^{\text{hom}}-{A}_{2233}^{\text{hom}}=0\end{array}\)	0.03%
\(\begin{array}{c}{A}_{3131}^{\text{hom}}-{A}_{2323}^{\text{hom}}=0\end{array}\)	0.03%
\({A}_{3333}^{\text{hom}}-\frac{1}{|{Z}_{e}|}{\int}_{{Z}_{e}}E\phantom{\rule{0.5em}{0ex}}\mathit{dz}+2{\nu}^{2}.\left({A}_{1111}^{\text{hom}}+{A}_{1122}^{\text{hom}}\right)=0\)	0.34%
\({A}_{1133}^{\text{hom}}-\nu .\left({A}_{1111}^{\text{hom}}+{A}_{1122}^{\text{hom}}\right)=0\)	1.6e-04%
\({A}_{3\alpha 3\alpha }^{\text{hom}}-\frac{2\mu }{k}{K}_{11}^{\text{hom}}=0\)	2.7e-05%

Modélisation B

Caractéristiques de la modélisation

La cellule est homogénéisée en PLAQUE afin d’obtenir les paramètres pour un modèle plaque.

Valeurs testées

On compare les valeurs des coefficients homogénéisés (élastiques et thermiques) obtenues par le calcul à ceux de la note [bib1].

Coefficients homogénéisés	Référence	Calcul ASTER	Erreur relative (%) \(\frac{\left|\text{valeur approchée}-\text{valeur théorique}\right|}{\left|\text{valeur théorique}\right|}\ast 100\)
\({C}_{1111}\) (MEMB_L)	0.43865	0.43883444	0.042 %
\({C}_{2222}\) (MEMB_T)	–	–	–
\({C}_{1212}\) (MEMB_G_LT)	0.15493	0.15499162	0.04 %
\({C}_{1122}\) (MEMB_LT)	0.07747	0.07726186	0.269 %
\({D}_{1111}\) (FLEX_L)	0.43789	0.43849126	0.137 %
\({D}_{2222}\) (FLEX_T)	–	–	–
\({D}_{1212}\) (FLEX_G_LT)	0.15477	0.15500363	0.151 %
\({D}_{1122}\) (FLEX_LT)	0.07824	0.07759885	0.819 %

Modélisation C

Caractéristiques de la modélisation

La cellule est cette fois-ci homogène (pleine), et calculée en TYPE_HOMO PLAQUE.

Valeurs testées

On compare les valeurs des coefficients homogénéisés (élastiques et thermiques) obtenues par le calcul à ceux de la note [bib1].

Coefficients homogénéisés	Référence	Calcul ASTER	Erreur relative (%) \(\frac{\left|\text{valeur approchée}-\text{valeur théorique}\right|}{\left|\text{valeur théorique}\right|}\ast 100\)
\({C}_{1111}\) (MEMB_L)	1.0989	1.0989011	0.0001%
\({C}_{2222}\) (MEMB_T)	–	–	–
\({C}_{1212}\) (MEMB_G_LT)	0.76923	0.76923077	0.0001%
\({C}_{1122}\) (MEMB_LT)	0.32967	0.32967033	0.0001%
\({D}_{1111}\) (FLEX_L)	1.0989	1.0989011	0.0001%
\({D}_{2222}\) (FLEX_T)	–	–	–
\({D}_{1212}\) (FLEX_G_LT)	0.76923	0.76923077	0.0001%
\({D}_{1122}\) (FLEX_LT)	0.32967	0.32967033	0.0001%

Modélisation D

Caractéristiques de la modélisation

La cellule est homogène et pleine et est homogénéisée en TYPE_HOMO PLAQUE_CT_MINDLIN & PLAQUE_CT_TOURATIER.

Valeurs testées

Les coefficients homogénéisés élastiques calculés pour les deux formulations du cisaillement transverse sont comparés à leur valeur analytique adimensionnelle donnée dans la note [bib1].

Coefficient homogénéisé	Référence	Calcul ASTER MINDLIN	Calcul ASTER TOURATIER
\({C}_{1111}\) (MEMB_L)	1.0989	1.0989011	1.0989011
\({C}_{2222}\) (MEMB_T)	–	–	–
\({C}_{1212}\) (MEMB_G_LT)	0.76923	0.76923077	0.76923077
\({C}_{1122}\) (MEMB_LT)	0.32967	0.32967033	0.32967033
\({D}_{1111}\) (FLEX_L)	1.0989	1.0989011	1.0989011
\({D}_{2222}\) (FLEX_T)	–	–	–
\({D}_{1212}\) (FLEX_G_LT)	0.76923	0.76923077	0.76923077
\({D}_{1122}\) (FLEX_LT)	0.32967	0.32967033	0.32967033
\({G}_{1313}\) (CISA_L)	0.76923	0.76923077	0.76923272
\({G}_{2323}\) (CISA_T)	0.76923	0.76923077	0.76923272

Les valeurs des correcteurs en membrane et en flexion obtenus sur la surface supérieure de la plaque sont comparées à celles obtenues analytiquement depuis la note [bib1].

Correcteur (mm)	Référence	Calcul ASTER MINDLIN	Calcul ASTER TOURATIER
\(\chi^{11}\left(z = h/2\right)\)	-114.4286	-114.4286	-114.4286
\(\xi^{11}\left(z = h/2\right)\)	15276.2143	15276.2143	15276.2143
\(\chi^{22}\left(z = h/2\right)\)	-114.4286	-114.4286	-114.4286
\(\xi^{22}\left(z = h/2\right)\)	15276.2143	15276.2143	15276.2143

L’égalité des efforts tranchants en cisaillement transverse pour les deux formulations est vérifiée.

Effort tranchant (N.m-1)	Calcul ASTER MINDLIN	Calcul ASTER TOURATIER
\(V_{13}\)	-205.3846	-205.3846
\(V_{23}\)	-205.3846	-205.3846

L’erreur relative est toujours inférieure à \(10^{-11}\).

Évolution des correcteurs au travers de l’épaisseur de la plaque

Fig. 740 Évolution de la composante verticale du correcteur en membrane au travers de l’épaisseur de la plaque.

Il est vérifié que les correcteurs en membrane varient linéairement dans l’épaisseur.

Fig. 741 Évolution de la composante verticale du correcteur en flexion au travers de l’épaisseur de la plaque.

Il est vérifié que les correcteurs en flexion varient quadratiquement dans l’épaisseur.

Fig. 742 Évolution de la composante suivant \(x\) du correcteur en cisaillement transverse au travers de l’épaisseur de la plaque.

Fig. 743 Évolution de la composante suivant \(y\) du correcteur en cisaillement transverse au travers de l’épaisseur de la plaque.

En cas d’application de la formulation de Mindlin, il est vérifié que le correcteur en cisaillement transverse est identiquement nul au travers de l’épaisseur de la plaque.

En cas d’application de la formulation de Touratier, il est vérifié que le correcteur en cisaillement transverse évolue sinusoïdalement au travers de l’épaisseur de la plaque.

Évolution des contraintes de cisaillement transverse au travers de l’épaisseur de la plaque

Les contributions des contraintes dues à la déformation imposée et au correcteur sont sommées pour obtenir la contrainte totale au travers de la plaque soumise à une déformation unitaire en cisaillement transverse.

Fig. 744 Évolution de la contrainte locale \(\sigma_{xz}\) en cisaillement transverse \(\gamma_{xz}\) au travers de l’épaisseur de la plaque.

Fig. 745 Évolution de la contrainte locale \(\sigma_{yz}\) en cisaillement transverse \(\gamma_{yz}\) au travers de l’épaisseur de la plaque.

En cas d’application de la formulation de Mindlin, il est vérifié que la contrainte en cisaillement transverse est constante au travers de l’épaisseur de la plaque.

En cas d’application de la formulation de Touratier, il est vérifié que la contrainte en cisaillement transverse évolue sinusoïdalement au travers de l’épaisseur de la plaque.

De plus, il est vérifié que l’effort tranchant obtenu est égal pour les deux formulations.

Modélisation E

Caractéristiques de la modélisation

La cellule est stratifiée en trois couches et homogénéisée en TYPE_HOMO PLAQUE, PLAQUE_CT_MINDLIN & PLAQUE_CT_TOURATIER.

Valeurs testées

Les coefficients homogénéisés élastiques calculés pour les différentes formulations du cisaillement transverse sont comparés à leur valeur analytique déduite de [u5.03.37].

Coefficients homogénéisés MEMB & CISA en N.m-1 FLEX en N.m	Référence	Calcul ASTER LOVE	Calcul ASTER MINDLIN	Calcul ASTER TOURATIER
\({C}_{1111}\) (MEMB_L)	3890.10989	3890.10989	3890.10989	3890.10989
\({C}_{2222}\) (MEMB_T)	–	–	–	–
\({C}_{1212}\) (MEMB_G_LT)	1361.53846	1361.53846	1361.53846	1361.53846
\({C}_{1122}\) (MEMB_LT)	1167.03297	1167.03297	1167.03297	1167.03297
\({D}_{1111}\) (FLEX_L)	132851010.98901	132851010.98899	132851010.98899	132851010.98899
\({D}_{2222}\) (FLEX_T)	–	–	–	–
\({D}_{1212}\) (FLEX_G_LT)	46497853.84615	46497853.84615	46497853.84615	46497853.84615
\({D}_{1122}\) (FLEX_LT)	39855303.29670	39855303.29667	39855303.29668	39855303.29668
\({G}_{1313}\) (CISA_L)			469.90310	469.90396
\({G}_{2323}\) (CISA_T)			469.90310	469.90396

L’erreur relative est toujours inférieure à \(10^{-11}\).

Les coefficients de rigidité membranaire et flexionnelle obtenus sont identiques pour chaque formulation car ils sont découplés du cisaillement transverse.

Évolution des correcteurs au travers de l’épaisseur de la plaque

Fig. 746 Évolution de la composante verticale du correcteur en membrane au travers de l’épaisseur de la plaque.

Il est vérifié que les correcteurs en membrane varient linéairement dans l’épaisseur.

Fig. 747 Évolution de la composante verticale du correcteur en flexion au travers de l’épaisseur de la plaque.

Il est vérifié que les correcteurs en flexion varient quadratiquement dans l’épaisseur.

Fig. 748 Évolution de la composante suivant \(x\) du correcteur en cisaillement transverse au travers de l’épaisseur de la plaque.

Fig. 749 Évolution de la composante suivant \(y\) du correcteur en cisaillement transverse au travers de l’épaisseur de la plaque.

En cas d’application de la formulation de Mindlin, le correcteur en cisaillement transverse varie linéairement au travers de l’épaisseur de chaque couche de la plaque.

En cas d’application de la formulation de Touratier, le correcteur en cisaillement transverse varie sinusoïdalement au travers de l’épaisseur de chaque couche de la plaque.

Évolution des contraintes de cisaillement transverse au travers de l’épaisseur de la plaque

Les contributions des contraintes dues à la déformation imposée et au correcteur sont sommées pour obtenir la contrainte totale au travers de la plaque soumise à une déformation unitaire en cisaillement transverse.

Fig. 750 Évolution de la contrainte locale \(\sigma_{xz}\) en cisaillement transverse \(\gamma_{xz}\) au travers de l’épaisseur de la plaque.

Fig. 751 Évolution de la contrainte locale \(\sigma_{yz}\) en cisaillement transverse \(\gamma_{yz}\) au travers de l’épaisseur de la plaque.

En cas d’application de la formulation de Mindlin, la contrainte en cisaillement transverse est constante par morceaux au travers de l’épaisseur de chaque couche de la plaque.

En cas d’application de la formulation de Touratier, la contrainte en cisaillement transverse varie sinusoïdalement par morceaux au travers de l’épaisseur de chaque couche de la plaque.

Synthèse des résultats

Les résultats obtenus par le calcul sont très proches de ceux issus de la bibliographie. De plus, les différentes égalités théoriques entre les coefficients homogénéisées sont parfaitement vérifiées par le calcul.

Bibliographie

[bib1] (1,2,3,4,5,6,7)

VOLDOIRE F. Comportement homogeneise des plaques perforees des generateurs de vapeur Note interne EDF R&D, 1993.