v2.01.325 SDLD325 - Réponse dynamique transitoire d’un système masse-ressort amorti à 2 degrés de liberté#

Résumé :

Ce problème consiste à analyser la réponse dynamique d’un système composé d’un ensemble de masses‑ressorts-amortisseurs à 2 degrés de liberté dont les raideurs des ressorts sont très différentes sous excitation de type créneau en 1 degré de liberté.

Par l’intermédiaire de ce problème, on teste la sensibilité de schémas d’intégration sur l’espace physique ou l’espace modal vis‑à‑vis du rapport des rigidités.

Les résultats en déplacement et vitesse sont comparés à une moyenne de résultats provenant de codes industriels et d’une méthode d’intégration numérique de type Newmark amélioré.

Solution de référence#

Méthode de calcul utilisée pour la solution de référence#

La recherche de la réponse transitoire de ce problème à amortissement non proportionnel peut être menée par intégration numérique dans l’espace réel :

\([M]\lbrace \ddot{{u}_{n}}\rbrace +[C]\lbrace \dot{{u}_{n}}\rbrace +[K]\lbrace {u}_{n}\rbrace =\lbrace F\rbrace\)

Pour cela, la réponse a été calculée avec deux codes industriels :

PERMAS : Schéma d’intégration de Newmark (\(\alpha =0,25\) et \(\delta =0,5\) ) \(\Delta t={10}^{-\mathrm{4s}}\) ;
ABAQUS : Schéma d’intégration de Hilbert-Hugues-Taylor [bib1] (\(\alpha =–0,05\) ) \(\Delta t={10}^{-\mathrm{4s}}\) ;

et la méthode d’intégration de \(\beta\) -Newmark améliorée [bib2] :

\(\left[\frac{[M]}{\Delta {t}^{2}}+\frac{[C]}{2\Delta t}+\frac{[K]}{3}\right]\left\lbrace {u}_{n+2}\right\rbrace =\left[\frac{\lbrace {F}_{n+2}\rbrace +\lbrace {F}_{n+1}\rbrace +\lbrace {F}_{n}\rbrace }{3}\right]+\left[\frac{2[M]}{\Delta {t}^{2}}-\frac{[K]}{3}\right]\left\lbrace {u}_{n+1}\right\rbrace +\left[\frac{[M]}{\Delta {t}^{2}}+\frac{[C]}{2\Delta t}-\frac{[K]}{3}\right]\left\lbrace {u}_{n}\right\rbrace\)

où \(n\) , \(n+1\) , \(n+2\) désignent respectivement les calculs effectués aux temps \({t}_{n}\) , \({t}_{n+1}={t}_{n}+\Delta t\) et \({t}_{n+2}={t}_{n}+2\Delta t\) où \(\Delta t\) est l’incrément de temps retenu.

Pour démarrer, on prend :

\({u}_{0}\) et \({u}_{-1}={u}_{0}-\Delta t\dot{{u}_{0}}\)
\({F}_{-1}=2{F}_{0}-{F}_{1}\)

Le pas de temps adopté est \(\Delta t={10}^{-\mathrm{5s}}\) .

Résultats de référence#

Déplacement et vitesse du point extrémité \(B\) .

Incertitude sur la solution#

Moyenne de solutions numériques.

Références bibliographiques#

H.M. HILBERT, T.J.R HUGUES and R.L. TAYLOR «Improved numerical dissipation for time integration algorithms in structural dynamics» Earthquake Engineering and Structural Dynamics, Vol.5, 1977, pp. 283-292
N.M. NEWMARK «A method of computation for structural dynamics» Proceeding ASCE J.Eng.Mech. DIV E-3, July 1959, pp. 67-94

Modélisation A#

Caractéristiques de la modélisation#

Eléments discrets de rigidité, amortissement et masse.

Caractéristiques des éléments :

DISCRET :	masse nodale	M_T_D_N
	rigidité linéaire	K_T_D_L(\({k}_{\mathrm{N1N2}}=k/10\) , \({k}_{\mathrm{N2N3}}=\mathrm{10k}\) )
	amortissement linéaire	A_T_D_L

Conditions aux limites : au nœud \(\mathrm{N1}\) DDL_IMPO \(\mathrm{DX}=\mathrm{DY}=\mathrm{DZ}=0\) .

Noms des nœuds : \(A=\mathrm{N1}\) , \(C=\mathrm{N2}\) , \(B=\mathrm{N3}\) .

Méthodes de calcul :

Intégration sur l’espace physique avec Newmark (\(\alpha =0,25\) , \(\delta =0,5\) )

Pas de temps \(\Delta t={10}^{-3}s\)

Intégration sur la base modale complète avec Euler

Pas de temps \(\Delta t={10}^{-3}s\) puis recombinaison modale

Intégration sur la base modale complète avec \(\Delta t\) adaptatif d’ordre 2

Pas de temps initial \(\Delta t={10}^{-3}s\) puis recombinaison modale

Intégration sur la base modale complète avec \(\Delta t\) adaptatif par la méthode de type Runge-Kutta d’ordre (32). La tolérance d’erreur relative est de \({10}^{-5}\) .
Intégration sur la base modale complète avec \(\Delta t\) adaptatif par la méthode de type Runge-Kutta d’ordre (54). La tolérance d’erreur relative est de \({10}^{-6}\) .

Durée d’observation : 3 s.

Caractéristiques du maillage#

Nombre de nœuds : 3

Nombre de mailles et type : 2 mailles SEG2

Grandeurs testées et résultats#

Déplacement (\(m\) ) du point \(B\)


Temps	Référence
(\(s\) )
0,27	3,0927 E-3
0,53	8,7953 E-4
0,80	2,4669 E-3
1,25	-1,0980 E-3
1,51	7,8754 E-4
1,78	-5,6508 E-4
2,05	4,0502 E-4
2,31	-2,9012 E-4
2,58	2,0831 E-4
2,85	-1,4943 E-4

Vitesse (\({\mathrm{m.s}}^{-1}\) ) du point \(B\)


Temps	Référence
(\(s\) )
0,11	1,8347 E-2
0,39	-1,3140 E-2
0,66	9,3509 E-3
0,93	-6,7080 E-3
1,11	-1,5863 E-2
1,37	1,1157 E-2
1,64	-7,9838 E-3
1,90	5,7108 E-3
2,17	-4,0998 E-3
2,44	2,9405 E-3
2,71	-2,1073 E-3
2,97	1,5105 E-3

Remarques#

Les résultats sont testés au niveau des pics respectifs de déplacement et de vitesse où les valeurs sont les plus significatives.

Modélisation B#

Caractéristiques de la modélisation#

Eléments discrets de rigidité, amortissement et masse.

Caractéristiques des éléments :

DISCRET:	masse nodale	M_T_D_N
	rigidité linéaire	K_T_D_L(\({k}_{\mathrm{N1N2}}=\mathrm{10k}\) , \({k}_{\mathrm{N2N3}}=k/10\) )
	amortissement linéaire	A_T_D_L

Conditions aux limites : au noeud \(\mathrm{N1}\) DDL_IMPO \(\mathrm{DX}=\mathrm{DY}=\mathrm{DZ}=0\) .

Noms des noeuds : \(A=\mathrm{N1}\) , \(C=\mathrm{N2}\) , \(B=\mathrm{N3}\) .