v3.03.101 SSLS101 - Plaque circulaire posée soumise à une pression uniforme#

Résumé :

On traite le cas d’une plaque circulaire posée sur le bord en élasticité linéaire sous 3 chargements (poids propre, pression, effort réparti constant) qui donnent la même déformée.

Les deux premières modélisations permettent d’évaluer l’influence du maillage.

Le test regroupe 8 modélisations (modèles de Love-Kirchhoff, Mindlin-Reissner et COQUE_3D) plus 3 modélisations de « raccord » entre des coques ou entre coques et 3D.

Solution de référence#

Méthode de calcul utilisée pour la solution de référence#

Deux solutions de référence sont utilisables, pour le calcul de la déformée, suivant la théorie de plaque utilisée :

la théorie de Love-Kirchhoff, couramment utilisée pour les plaques dites « minces », que l’on retiendra pour les modélisations \(A\) , \(B\) et \(E\) ,
la théorie de Reissner, incluant les effets du cisaillement pour les plaques dites « épaisses », que l’on retiendra pour les modélisations \(F\) , \(G\) et \(H\) .

En tout point distant de \(r\) du centre de la plaque \(r\le R\) , on a pour le calcul de la flèche :

\(w(r)=-P\frac{{R}^{4}}{64D}(1-\frac{{r}^{2}}{{R}^{2}})(1+\frac{{r}^{2}}{{R}^{2}}-\frac{2(3+\nu )}{1+\nu }-\varphi )\) avec \(D=\frac{E{t}^{3}}{12(1-{\nu}^{2})}\)

et \(\varphi =0(\text{Love-Kirchhoff})\) ou \(\varphi =\frac{16}{5}{(\frac{t}{R})}^{2}\frac{1}{1-\nu }(\text{Reissner})\)

Pour le calcul des moments les deux théories conduisent aux mêmes expressions :

\({M}_{\mathit{rr}}(r)=\frac{{\mathit{PR}}^{2}}{16}(3+\nu )\left[{(\frac{r}{R})}^{2}-1\right]{M}_{\theta \theta }(r)=\frac{{\mathit{PR}}^{2}}{16}(3+\nu )\left[1-\frac{1+3\nu }{3+\nu }{(\frac{r}{R})}^{2}\right]\)

Au centre de la plaque :

\(\begin{array}{c}w(0)=-\frac{{\mathit{PR}}^{4}}{64D}(\frac{5+\nu }{1+\nu })(\text{Love}-\text{Kirchhoff})\text{ou}w(0)=-\frac{{\mathit{PR}}^{4}}{64D}(\frac{5+\nu }{1+\nu }+\varphi )(\text{Reissner})\\ {M}_{\mathit{rr}}(0)={M}_{\theta \theta }(0)=-\frac{{\mathit{PR}}^{2}}{16}(3+\nu )\end{array}\)

Remarque :

Code_Aster calcule les moments aux nœuds de chaque élément fini dans le repère de référence défini par la normale extérieure et les axes de référence définis sur la coque (voir AFFE_CARA_ELEM dans la documentation d’utilisation).

La valeur du moment \({M}_{xx}\) (ou \({M}_{yy}\) ), extraite du champ “EFGE_ELNO”, en un nœud appartenant à plusieurs éléments finis peut être considérée comme étant la moyenne des valeurs calculées sur les éléments qui ont ce nœud en commun. Cette moyenne peut être obtenue par la procédure POST_RELEVE [U4.74.03].

Pour chaque nœud, on a : \(({M}_{\text{rr}}+{M}_{\theta \theta })=({M}_{xx}+{M}_{yy})=\text{Sm}\)

pour le point \(O\) \({M}_{xx}={M}_{yy}={M}_{\text{rr}}={M}_{\theta \theta }\)

pour les points \(A\mathit{et}D\) \({M}_{xx}={M}_{\text{rr}}\mathit{et}{M}_{yy}={M}_{\theta \theta }\)

pour les points \(C\mathit{et}E\) \({M}_{xx}={M}_{\theta \theta }\mathit{et}{M}_{yy}={M}_{\mathit{rr}}\)

pour les points \(B\mathit{et}F\) \({M}_{xx}={M}_{yy}=({M}_{\text{rr}}+{M}_{\theta \theta })/2\)

Résultats de référence#

Flèche et moments aux points : \(O,A,BC,DE,F\) .

Incertitude sur la solution#

Solution analytique

Références bibliographiques#

TIMOSHENKO et WOINOWSKY-KRIEGER, Plaques et coques, Édition Béranger - (1961).

Modélisation A#

Caractéristiques de la modélisation#

Élément de coque DKT (modélisation d’un quart de plaque)

Conditions limites#

en tous les nœuds de l’arc \(\mathrm{ABC}\)	:	DX: 0.,DY: 0.,DZ: 0.
en tous les nœuds du segment \(\left]\mathrm{OA}\right[\)	:	DY: 0.,DRX:0.,DRZ:0.
en tous les nœuds du segment \(\left]\mathrm{OC}\right[\)	:	DX: 0.,DRY:0.,DRZ:0.
au nœud \(O\)	:	DX: 0.,DY: 0.,DRX:0.,DRY:0.,DRZ:0.

Point \(O\)	mailles : \(\mathrm{M30}\mathrm{M33}\)
Point \(A\)	mailles : \(\mathrm{M76}\)
Point \(B\)	mailles : \(\mathrm{M39}\mathrm{M40}\mathrm{M51}\)
Point \(C\)	mailles : \(\mathrm{M1}\)
Point \(D\)	mailles : \(\mathrm{M55}\mathrm{M56}\mathrm{M65}\)
Point \(E\)	mailles : \(\mathrm{M8}\mathrm{M17}\mathrm{M18}\)
Point \(F\)	mailles : \(\mathit{M34}\mathit{M35}\mathit{M37}\mathit{M41}\mathit{M46}\mathit{M47}\mathit{M48}\)

Caractéristiques du maillage#

Nombre de nœuds : 50

Nombre de mailles et types : 76 TRIA3

Grandeurs testées et résultats#

On teste les paramètres de la structure de données résultats :

Identification	Type de Référence	Valeur de Référence
INSTpour NUME_ORDRE=3	“ANALYTIQUE”	0.6
INSTpour NUME_ORDRE=4	ANALYTIQUE	1

Identification	Type de référence	Valeurs de référence
O	“ANALYTIQUE”	–695.6256
D	“ANALYTIQUE”	–489.727
E	“ANALYTIQUE”	–489.727
F	“ANALYTIQUE”	–435.8974

Identification	Type de référence	Valeurs de référence	Tolérance
O	“ANALYTIQUE”	–0.20625	1.5%
O	“ANALYTIQUE”	–0.20625	1.5%
A	“ANALYTIQUE”		0.01
A	“ANALYTIQUE”	–0.0875	6%
B	“ANALYTIQUE”	–0.04375	13%
B	“ANALYTIQUE”	–0.04375	14%
C	“ANALYTIQUE”	–0.0875	6%
C	“ANALYTIQUE”		0.01
D	“ANALYTIQUE”	–0.15469	0.5%
D	“ANALYTIQUE”	–0.17656	0.5%
E	“ANALYTIQUE”	–0.15469	0.3%
E	“ANALYTIQUE”	–0.17656	0.3%
F	“ANALYTIQUE”	–0.14025	10%
F	“ANALYTIQUE”	–0.16825	10%

Énergie élastique

Identification				Type de référence	Valeurs de référence	Tolérance %
Grandeur		Nœud	Maille	Type de référence	Valeurs de référence	Tolérance %
ENEL_ELNO	\(\mathit{TOTALE}\)	N2	M1	“NON_DEFINI”	94.237	0.1
	\(\mathit{MEMBRANE}\)			“NON_DEFINI”	0.0	0.1
	\(\mathit{FLEXION}\)			“NON_DEFINI”	93.112	0.1
	\(\mathit{CISAILLE}\)			“NON_DEFINI”	1.125	0.1
	\(\mathit{COUPL}\text{\_}\mathit{MF}\)			“NON_DEFINI”	0.0	0.1

Identification				Type de référence	Valeurs de référence	Tolérance %
Grandeur		Point	Maille	Type de référence	Valeurs de référence	Tolérance %
ENEL_ELGA	\(\mathit{TOTALE}\)	1	M1	“NON_DEFINI”	77.080	0.1
	\(\mathit{MEMBRANE}\)			“NON_DEFINI”	0.0	0.1
	\(\mathit{FLEXION}\)			“NON_DEFINI”	75.955	0.1
	\(\mathit{CISAILLE}\)			“NON_DEFINI”	1.1248	0.1
	\(\mathit{COUPL}\text{\_}\mathit{MF}\)			“NON_DEFINI”	0.0	0.1

Identification			Type de référence	Valeurs de référence	Tolérance %
Grandeur		Maille	Type de référence	Valeurs de référence	Tolérance %
ENEL_ELEM	\(\mathit{TOTALE}\)	M1	“NON_DEFINI”	0.781	0.1
	\(\mathit{MEMBRANE}\)		“NON_DEFINI”	0.0	0.1
	\(\mathit{FLEXION}\)		“NON_DEFINI”	0.767	0.1
	\(\mathit{CISAILLE}\)		“NON_DEFINI”	0.015	0.1
	\(\mathit{COUPL}\text{\_}\mathit{MF}\)		“NON_DEFINI”	0.0	0.1

On teste également en non régression:

les différentes composantes de l’énergie élastique dans le cas d’un calcul avec MECA_STATIQUE,
la composante VMIS de SIEQ_ELNO.