r4.07.04 Couplage fluide-structure pour les structures tubulaires et les coques coaxiales#
Résumé :
Ce document décrit les différents modèles de couplage fluide-structure disponibles à partir de l’opérateur CALC_FLUI_STRU. Ces modèles permettent de simuler les forces de couplage fluide-élastique dans les configurations suivantes :
faisceaux de tubes sous écoulement transverse (essentiellement pour les tubes de GV),
passage tige de commande / plaque de logement (exclusivement pour les grappes de commande),
coques cylindriques coaxiales sous écoulement annulaire (espace cuve / enveloppe de cœur, …),
faisceaux de tubes sous écoulement axial (assemblages combustibles, …).
Pour chaque configuration, le modèle de forces fluide-élastiques est d’abord présenté. La résolution du problème modal est ensuite décrite. Les méthodes de résolution employées intègrent les spécificités des différents modèles de forces fluide-élastiques.
_coulement_axial__exemple___assemblages_combustibles_ 1 Bibliographie Description_des_versions_du_document
Excitation fluide-élastique agissant sur les faisceaux de tubes sous écoulement transverse (essentiellement pour les tubes de GV)#
Deux méthodes de simulation de l’excitation fluide-élastique sont disponibles dans Code_Aster .
La première remonte à la fin des années 70. Elle est très répandue dans la communauté scientifique, au sein de laquelle elle est connue sous la dénomination de « méthode de Connors ». Les résultats fournis par cette méthode dépendent en grande partie de la valeur que l’on attribue à l’un de ses principaux paramètres d’entrée : la « constante de Connors ». Des valeurs conservatives ont donc du être déterminées pour cette constante sur la base de nombreux essais réalisés dans le monde. La méthode de Connors est bien adaptée au dimensionnement des faisceaux tubulaires contre le risque vibratoire au stade de la conception. Elle est décrite ci-après dans le paragraphe § 2.5.
La seconde intègre davantage de physique que la méthode de Connors. Cependant, la modélisation complète des phénomènes étant trop complexe par rapport aux connaissances actuelles, cette deuxième méthode demeure basée sur un ensemble de corrélations expérimentales, dites corrélations fluide-élastiques. L’intégration de ce deuxième modèle d’excitation fluide-élastique dans le Code_Aster a été abordée dans la note de spécifications [bib.1]. La note de principe du logiciel FLUSTRU [bib. 3] constitue la documentation théorique de référence. Elle est rappelée dans ses grandes lignes dans les paragraphes § 2.1 à 2.4 ci-après.
Description de la configuration étudiée#
On considère un faisceau de tubes excité par un écoulement externe transverse. Les écoulements externes transverses ont tendance à déstabiliser le système mécanique lorsque la vitesse de l’écoulement augmente. Un cas industriel est celui des vibrations des tubes de GV. Sur ce composant, les écoulements transverses sont observés en entrée du faisceau de tubes (écoulement monophasique liquide), et dans la partie cintrée des tubes (écoulement diphasique) [Figure 2.1-a].
Figure 2.1-a : Schéma de générateur de vapeur
Du point de vue du couplage fluide-élastique, l’étude du comportement dynamique des différents tubes d’un faisceau soumis à un écoulement transverse est ramenée à l’étude d’un tube équivalent ; la définition du tube équivalent dépend de l’environnement du tube à traiter.
Lorsque le tube considéré possède des caractéristiques vibratoires sensiblement différentes de celles de ses voisins, ce tube peut être assimilé à un seul tube, vibrant au milieu d’un faisceau de tubes rigides.
Dans le cas contraire, le problème est plus complexe car on doit considérer un système mécanique avec couplage entre tubes du faisceau et comportant donc un grand nombre de degrés de liberté.
Pour traiter ce genre de configuration, un modèle a été développé au Département TTA, « le modèle global » [bib. 7] ; ce modèle permet la définition d’un système équivalent à un degré de liberté, qui représente le système couplé complet.
L’approche retenue pour conduire les calculs peut être résumée de la façon suivante [Figure 2.1-b] :
Compte tenu de la nature filaire des structures à étudier, le calcul du couplage fluide‑élastique dans le faisceau de tubes est réalisé en décrivant le tube par son abscisse curviligne.
Dans le calcul, l’environnement fluide du tube est caractérisé, à la fois par les propriétés physiques du fluide circulant à l’intérieur du tube (fluide primaire), et par celles du fluide circulant à l’extérieur du tube (fluide secondaire excitateur). Ces propriétés physiques, telle que la masse volumique, peuvent varier le long du tube, en fonction de l’abscisse curviligne.
La vitesse d’écoulement prise en compte pour le calcul de couplage fluide-élastique est la composante, normale au tube dans le plan du tube, de la vitesse du fluide secondaire. Cette vitesse peut varier le long du tube.
Afin de pouvoir prendre en compte les divers types possibles d’excitation, plusieurs zones d’excitation peuvent être définies le long de la structure. Dans le cas du générateur de vapeur, par exemple, on a intérêt à distinguer, d’une part les zones où l’excitation est exercée par un fluide à l’état monophasique, qui se situent en pied de tube, et d’autre part, la zone où l’excitation est diphasique à fort taux de vide, localisée dans la partie cintrée du tube.
Le calcul de couplage est réalisé à partir des caractéristiques mécaniques de la structure en « fluide au repos ». Les forces fluide-élastiques de couplage sont estimées à partir de corrélations adimensionnelles qui sont obtenues sur des expériences analytiques en similitude. Sur chaque zone d’excitation, on peut ainsi appliquer les corrélations adéquates ; les zones d’excitation doivent être disjointes.
Figure 2.1-b : représentation de la configuration à étudier
Pour cette configuration de couplage fluide-élastique, les notations suivantes seront utilisées :
\(L\) |
Longueur totale du tube |
\({L}_{k}\) |
Longueur de la zone \(k\) |
:math:`` |
Diamètre extérieur du tube |
\({d}_{i}\) |
Diamètre intérieur du tube |
\({\varphi}_{i}\) |
Déformée modale du mode \(i\) |
\({\rho}_{i}(x)\) |
Masse volumique du fluide externe à l’abscisse curviligne \(x\) |
\({\rho}_{i}(x)\) |
Masse volumique du fluide interne à l’abscisse curviligne \(x\) |
\({\rho}_{t}\) |
Masse volumique du tube (structure seule) |
\({\rho}_{\mathit{eq}}(x)\) |
Masse volumique équivalente à l’abscisse curviligne \(x\) |
\(U\) |
Vitesse du fluide externe spécifiée par l’utilisateur dans l’opérateur DEFI_FLUI_STRU |
\(V(x)\) |
Vitesse du fluide externe à l’abscisse curviligne \(x\) |
\({V}_{k}(x)\) |
Vitesse du fluide externe à l’abscisse curviligne \(x\) (zone d’excitation \(k\) ) définie par le produit de \(U\) et d’un profil de vitesse spécifiée par l’utilisateur dans l’opérateur DEFI_FLUI_STRU |
\({U}_{k}\) |
Vitesse moyenne du fluide externe calculée à partir de \({V}_{k}(x)\) pour la zone d’excitation \(k\) |
\(\overline{U}\) |
Moyenne des vitesses \({U}_{k}\) sur toutes les zones d’excitation |
Étapes du calcul#
La première étape du calcul consiste à calculer les caractéristiques de la structure en « fluide au repos ». On procède en considérant une masse équivalente du tube ; cette masse équivalente regroupe, d’une part la masse du tube seul, et d’autre part les masses ajoutées par les fluides interne et externe.
Une masse volumique équivalente est ainsi définie le long du tube en fonction de l’abscisse curviligne
par l’expression :
\({\rho}_{\mathit{eq}}(x)=\frac{1}{({d}_{e}^{2}-{d}_{i}^{2})}[{\rho}_{i}(x).{d}_{i}^{2}+{\rho}_{t}.({d}_{e}^{2}-{d}_{i}^{2})+{\rho}_{e}(x).{d}_{\mathit{eq}}^{2}]\) éq. 2.2- 1
avec
\({d}_{\mathit{eq}}^{2}=\frac{2.{C}_{m}.{d}_{e}^{2}}{\pi}\) éq. 2.2- 2
Dans l’équation [:ref:` éq. 2.2-1 < éq. 2.2-1 >`], le terme \({\rho}_{e}(x).{d}_{\mathit{eq}}^{2}\) représente la masse ajoutée par le fluide externe. Ce terme dépend, par l’intermédiaire du paramètre \({C}_{m}\) , de l’arrangement du faisceau de tubes (pas carré ou triangulaire), et du confinement du faisceau (pas réduit). Pour les calculs de couplage fluide-élastique des faisceaux de tubes soumis à un écoulement transverse, on utilise couramment, pour estimer le coefficient \({C}_{m}\) , des expressions analytiques déterminées à partir de résultats expérimentaux. L’ensemble des données nécessaires à l’estimation du coefficient \({C}_{m}\) est recueilli par l’opérateur DEFI_FLUI_STRU.
Connaissant la masse volumique équivalente du tube, les matrices élémentaires de masse et de raideur en eau au repos sont ensuite calculées au moyen du profil de masse volumique équivalente, par l’opérateur CALC_MATR_ELEM ; on utilise les options MASS_FLUI_STRU et RIGI_FLUI_STRU. L’opérateur CALC_MODES permet, après assemblage des matrices élémentaires, de calculer directement les modes en eau au repos de la structure étudiée.
Les forces fluide-élastiques de couplage sont calculées par l’opérateur CALC_FLUI_STRU à partir des corrélations adimensionnelles établies sur des maquettes analytiques en similitude. Ces forces de couplage, \([{B}_{ij}(U,s)]\) , dépendantes du mouvement de la structure sont ensuite prises en compte dans l’équation générale du mouvement [:ref:` éq. 1.2-1 < éq. 1.2-1 >`] pour calculer les caractéristiques du système couplé écoulement-structure pour une vitesse donnée d’écoulement.
Expression de la matrice de transfert des forces fluide-élastiques#
Dans le cas des faisceaux de tubes excités par un écoulement transverse, les forces fluide-élastiques de couplage sont des forces réparties le long de la structure. Elles sont caractérisées par des coefficients adimensionnels linéiques d’amortissement et de raideur ajoutés, dénommés respectivement \({C}_{d}\) et \({C}_{k}\) . L’expression des coefficients de la matrice de transfert des forces fluide-élastiques projetée sur la base modale de la structure en « fluide au repos » est alors la suivante :
\({B}_{ij}(U,s)=[(\underset{L}{\int}\text{}\frac{1}{2}{\rho}_{e}(x)V(x){d}_{e}{C}_{d}(x,{s}_{r}){\varphi}_{i}^{2}(x)\mathit{dx})s+\underset{L}{\int}\text{}\frac{1}{2}{\rho}_{e}(x){V}^{2}(x){C}_{k}(x,{s}_{r}){\varphi}_{i}^{2}(x)\mathit{dx}].{\delta}_{ij}\) éq. 2.3- 1
La dépendance des coefficients \({C}_{d}\) et \({C}_{k}\) vis-à-vis du mouvement de la structure et de la vitesse de l’écoulement du fluide est traduite par leur évolution en fonction de la fréquence réduite complexe , \({s}_{r}\) définie par:
\({s}_{r}=\frac{s.D}{U}\) éq. 2.3- 2
L’expression [:ref:` éq. 2.3-1 < éq. 2.3-1 >`] montre que l’on retient une matrice de transfert diagonale. Cela implique :
les différents modes propres de la structure sont assez éloignés les uns des autres pour que l’on puisse supposer qu’il n’y a pas couplage entre modes.
les déformées modales de la structure en « fluide au repos » ne sont pas perturbées par la mise en écoulement du fluide .
Ces deux hypothèses ont pu être vérifiées expérimentalement sur les faisceaux de tubes soumis à un écoulement transverse.
En pratique, compte tenu des différentes zones d’excitation prises en compte le long de la structure, les coefficients diagonaux de la matrice d’efforts fluide-élastiques projetée sur base modale s’écrivent :
\({B}_{ii}(U,s)=\sum_{k}[(\underset{{L}_{k}}{\int}\text{}\frac{1}{2}{\rho}_{e}(x){V}_{k}(x){d}_{e}{C}_{\mathit{dk}}(\frac{{\mathit{sd}}_{e}\overline{U}}{{\mathit{UU}}_{k}}){\varphi}_{i}^{2}(x)\mathit{dx})s+\underset{{L}_{k}}{\int}\text{}\frac{1}{2}{\rho}_{e}(x){V}_{k}^{2}(x){C}_{kk}(\frac{{\mathit{sd}}_{e}\overline{U}}{{\mathit{UU}}_{k}}){\varphi}_{i}^{2}(x)\mathit{dx}]\) éq. 2.3- 3
où \({C}_{\mathit{dk}}\) et \({C}_{kk}\) désignent respectivement les coefficients de couplage adimensionnels, d’amortissement et de raideur, retenus pour la zone d’excitation \(k\) . La vitesse fluide \(\frac{{\mathit{UU}}_{k}}{\overline{U}}\) intervenant dans la fréquence réduite complexe en argument des coefficients de couplage correspond à la vitesse moyenne sur la zone d’excitation \(k\) , après renormalisation du profil \({V}_{k}(x)\) , de sorte que sa moyenne sur toutes les zones d’excitation vaille \(U\) .
Il est par ailleurs très important de noter que chaque déformée modale prise en compte dans les équations 2.3-1, 2.3-3, etc. l’est en réalité uniquement par l’intermédiaire de sa composante en translation suivant la direction de la portance. Ceci est du au fait que les coefficients d’amortissement et de raideur ajoutés qui apparaissent dans ces équations ont été déterminés (expérimentalement) uniquement pour la direction de la portance. Cette remarque s’applique à toutes les méthodes de calcul d’instabilités fluide-élastiques de tubes de GV présentées dans ce document, y compris à la méthode de Connors présentée aux paragraphes § 2.5.1 et § 2.5.2. Il en résulte notamment que les matrices généralisées de masse, d’amortissement et de raideur qui apparaissent dans les équations associées aux calculs d’instabilité fluide-élastique des tubes de GV (comme par exemple l’équation 2.4-1) ne sont pas des matrices généralisées au sens habituel du terme, c’est à dire s’appuyant sur les trois composantes en translation et sur les trois composantes en rotation, mais des matrices généralisées que l’on peut qualifier d”«orientées suivant une direction privilégiée» dans la mesure où elles sont toutes calculées sur la base de la seule composante en translation des déformées modales selon la direction de la portance. Cette remarque s’applique uniquement à l’application «vibrations des tubes de GV» et, à l’intérieur de cette application, au calcul des instabilités fluide-élastiques.
Résolution du problème modal sous écoulement#
Dans la configuration « Faisceau de tubes soumis à un écoulement transverse », le problème est résolu sur la base modale caractérisant la structure en « fluide au repos ».
D’une manière générale, les caractéristiques du système couplé écoulement-structure sont obtenues en recherchant les solutions de l’équation :
\(\lbrace [{M}_{ii}]{s}^{2}+[{C}_{ii}]s+[{K}_{ii}]-[{B}_{ij}(U,s)]\rbrace (q)=0\) éq. 2.4- 1
où |
\([{M}_{ii}],[{C}_{ii}]\mathit{et}[{K}_{ii}]\) désignent respectivement les matrices diagonales de masse, d’amortissement et de raideur caractéristiques de la structure en “fluide au repos” ; |
\((q)\) désigne le vecteur des déplacements généralisés en “fluide au repos”. |
Comme la matrice d’efforts fluide-élastiques retenue est diagonale, et que les déformées modales sont supposées ne pas être modifiées sous écoulement, le problème de couplage fluide-élastique se ramène à la résolution de \(N\) problèmes scalaires, \(N\) désignant le nombre de modes pris en compte dans la base modale.
Pour chaque mode \(i\) et chaque vitesse d’écoulement \(U\) , le problème à résoudre s’écrit :
\({M}_{ii}{s}^{2}+[{C}_{ii}-\sum_{k}(\underset{{L}_{k}}{\int}\text{}\frac{1}{2}{\rho}_{e}(x){V}_{k}(x){d}_{e}{C}_{\mathit{dk}}(\frac{{\mathit{sd}}_{e}\overline{U}}{{\mathit{UU}}_{k}}){\varphi}_{i}^{2}(x)\mathit{dx})]s+{K}_{ii}-\sum_{k}(\underset{{L}_{k}}{\int}\text{}\frac{1}{2}{\rho}_{e}(x){V}_{k}^{2}(x){C}_{kk}(\frac{{\mathit{sd}}_{e}\overline{U}}{{\mathit{UU}}_{k}}){\varphi}_{i}^{2}(x)\mathit{dx})=0\)
éq. 2.4- 2
On notera que l’équation [:ref:` éq. 2.4-2 < éq. 2.4-2 >`] est non-linéaire en \(s\) ; ses solutions sont obtenues à l’aide d’une méthode itérative de type Broyden.
Pour chaque mode \(i\) , on obtient une solution \({s}_{i}\) de l’équation [:ref:` éq. 2.4-2 < éq. 2.4-2 >`]. On déduit ensuite de \({s}_{i}\) , pour ce mode, la pulsation \({\omega}_{i}\) et l’amortissement \({\xi}_{i}\) du système couplé écoulement-structure, en utilisant la relation :
\({s}_{i}=-{\xi}_{i}{\omega}_{i}+J{\omega}_{i}\sqrt{1-{\xi}_{i}^{2}}\) avec \({J}^{2}=-1\) éq. 2.4- 3
Le système couplé devient dynamiquement instable lorsque l’un des coefficients d’amortissement \({\xi}_{i}\) devient négatif ou s’annule.
Méthode de Connors#
Cas d’une zone unique d’excitation fluide#
En 1978, H.J. Connors propose de déterminer la vitesse critique \({V}_{\mathit{cn}}\) associée au mode d’ordre \(n\) d’un tube de Générateur de Vapeur(GV) suivant la relation[10] :
\(\frac{{V}_{\mathit{cn}}}{{f}_{n}{D}_{e}}=K\sqrt{\frac{\overline{m}{\delta}_{n}}{\overline{{\rho}_{s}}{D}_{e}^{2}}}\)
Dans cette relation:
désigne la vitesse critique inter-tubes d’instabilité pour le mode n,
désigne la fréquence propre d’ordre n du tube [1]
,
désigne le diamètre extérieur du tube,
désigne la constante de Connors,
désigne la masse linéique de référence du tube incluant les effets de masse ajoutée,
désigne le décrément logarithmique du mode n en fluide au repos, c’est à dire incluant l’amortissement de la structure et celui apporté par le fluide externe au repos, et
désigne la masse volumique de référence du fluide secondaire.
On rappelle que le décrément logarithmique
se définit comme :
Où
désigne l’amortissement modal réduit du mode n.
étant de l’ordre du pour cent, il est légitime de poser
, et donc l’approximation :
La constante d’instabilité K est déterminée expérimentalement à partir de résultats d’essais d’instabilité. Dans les études de dimensionnement vibratoire des faisceaux de tubes de GV, les valeurs adoptées usuellement pour cette constante sont :
K = 4 en cas d’écoulement transverse diphasique au niveau du chignon,
K = 2,9 en cas d’écoulement transverse monophasique au dessus de la plaque tubulaire.
En considérant comme masse linéique de référence du tube
sa masse linéique moyenne, on peut déterminer
sous la forme :
Où
désigne le diamètre intérieur du tube,
désigne sa longueur, s désigne l’abscisse curviligne le long du tube et
désigne la masse volumique équivalente du tube à l’abscisse s :
Où
désigne la masse volumique du tube supposée indépendante de l’abscisse curviligne,
et
désignent respectivement la masse volumique du fluide primaire et du fluide secondaire à l’abscisse curviligne \(s\) , et
est défini par:
, où \(\Delta\) désigne un diamètre équivalent donné par les relations :
pour un pas carré ( C vaut environ 2,0 pour les GV français)
pour un pas triangulaire ( C vaut environ 2,2 pour les GV français)
De même, en considérant comme masse volumique de référence du fluide secondaire
sa masse volumique moyenne, on peut déterminer
sous la forme :
Le mode n est instable si la vitesse critique
est inférieure à la vitesse efficace
associée au mode n, ainsi définie :
Où
désigne la déformée modale du mode \(n\) ,
désigne la vitesse de l’écoulement en fonctionnement (\(m/s\) ),
désignent la masse linéique du tube incluant les effets de masse ajoutée (\(\mathit{kg}/m\) ) supposée varier le long du tube, obtenue comme :
On définit le rapport d’instabilité pour le mode n au sens de Connors comme étant le rapport:
Cas de plusieurs zones d’excitation fluide#
La démarche d’application de la méthode de Connors mérite d’être précisée dans le cas où le tube est soumis à une excitation multiforme de la part du fluide, en particulier, si cette dernière est monophasique en bas de faisceau et diphasique dans le chignon. On rappelle qu’une telle situation est prise en compte dans le logiciel GEVIBUS [11].
Pour extrapoler la méthode de Connors à ce cas général, on procède en généralisant l’établissement de la démarche proposée par Connors [10].
Soit
l’énergie ajoutée par l’écoulement au cours d’un cycle à un tube vibrant dans son mode n:
Où, par rapport à l’exposé de Connors, la dépendance de la constante
à la zone d’excitation \(i\) est ajoutée,
désigne le nombre total de zones d’excitation, et
désigne la longueur de la \(i\) ‑ème zone d’excitation.
Soit
l’énergie dissipée au cours d’un cycle par le tube vibrant dans son mode n:
En égalant
et
, c’est à dire en se plaçant à l’instabilité, en introduisant comme Connors les variables de référence
et
(bien qu’elles ne paraissent pas indispensables), en posant
, où
désigne la constante de Connors associée à la \(i\) -ème zone d’excitation, et en cherchant à faire apparaître la vitesse efficace
telle que Connors la définit, on obtienttous calculs faits l’expression :
D’où:
On en déduit dans le cas d’une excitation multiforme l’expression de la vitesse critique
associée au mode d’ordre \(n\) :
On vérifie que, lorsque l’excitation est de même nature sur l’ensemble des zones excitées
, la relation ci-dessus retrouve la forme proposée par Connors:
Variante de la méthode#
Dans la méthode de Connors présentée dans les paragraphes ci-dessus (paragraphes § 2.5.1 et § 2.5.2), le calcul du rapport d’instabilité ne prend en compte qu’une seule composante des modes: la direction définie dans DEFI_FLUI_STRU. Une variante de cette méthode consiste à prendre en compte les trois composantes en translation des modes. La vitesse efficace et la vitesse critique s’écrivent alors:
\({V}_{\mathit{en}}=\sqrt{\frac{\underset{\mathit{tube}}{\int}(\frac{{\rho}_{s}(s)}{\overline{{\rho}_{s}}}{V}^{2}(s){\mathrm{\phi }}_{n}^{2}(s)\mathit{ds})}{\frac{{M}_{n}}{\overline{m}}}}\)
Où \({M}_{n}\) désigne la masse généralisée (non orientée suivant une direction privilégiée et prenant donc en compte à la fois les trois composantes en translation et les trois composantes en rotation) du mode \(n\) , et \({\varphi}_{n}\) désigne la déformée modale du mode \(n\) . Par \({\mathrm{\phi }}_{n}^{2}\) on entend ici la somme des carrés des trois composantes en translation de \({\varphi}_{n}\) . Les trois composantes en rotation ne sont pas prises en compte dans le calcul de \({\varphi}_{n}^{2}\) .
En posant:
\(r(s)=\frac{{\rho}_{s}(s)}{\overline{{\rho}_{s}}}\) et \(u(s)=\frac{V(s)}{{V}_{\mathit{moy}}}\)
où \({V}_{\mathit{moy}}\) est la vitesse moyenne., le rapport d’instabilité s’écrit :
\({R}_{n}=\frac{{V}_{\mathit{en}}}{{V}_{\mathit{cn}}}=\frac{{V}_{\mathit{moy}}}{{{f}_{n}{D}_{e}K[\frac{2\pi {\xi}_{n}{M}_{n}}{\overline{{\rho}_{s}}{D}_{e}^{2}\underset{\mathit{tube}}{\int}(r(s){u}^{2}(s){\mathrm{\phi }}_{n}^{2}(s)\mathit{ds})}]}^{1/2}}\)
Le calcul du rapport selon cette variante est systématiquement effectué par Code_Aster quand on demande la mise en œuvre de la méthode de Connors.
Le rapport d’instabilité calculé selon cette variante est fourni à côté du rapport d’instabilité calculé selon la méthode précisée aux paragraphes § 2.5.1 et § 2.5.2. La plupart du temps, les deux résultats sont identiques. S’il existe un écart, la raison de cet écart doit être recherchée dans la contribution des composantes en rotation du mode considéré, par exemple dans la contribution des rotations des parties droites des tubes autour de leur axe. On adoptera alors le résultat le plus pénalisant des deux.
Excitation fluide-élastique agissant sur la tige de commande au niveau de la plaque de logement (exclusivement pour les grappes de commande)#
Les forces fluide-élastiques agissant sur ce type de configuration ont été identifiées sur la maquette GRAPPE2 du département TTA. Les aspects théoriques de l’identification de ces sources sont développés en référence [bib. 4]. L’intégration du modèle GRAPPE2 dans Code_Aster est abordée dans la note de spécifications [bib. 2].
Description de la configuration étudiée#
La maquette GRAPPE2 représente la tige de commande, la partie supérieure du guide de grappe, et la manchette thermique d’un réacteur de type 900 ou 1300 MWe [Figure 3.1-a].
Figure 3.1-a: Schéma de principe de la maquette GRAPPE 2
Cette maquette est essentiellement constituée d’un tube cylindrique creux de faible épaisseur, fixé sur une âme centrale cylindrique pleine. Le tube creux est entièrement immergé dans de l’eau à température ambiante. Une plaque, représentant la plaque de logement, permet de reproduire le confinement annulaire. L’écoulement à travers la plaque peut être ascendant ou descendant. La tige de commande peut être centrée ou excentrée (50% du jeu moyen) au niveau de la plaque de logement.
Quatre configurations expérimentales sont donc possibles, en fonction du sens de l’écoulement et du centrage ou pas de la tige de commande. Les coefficients de forces fluide-élastiques ont été identifiés pour chacune de ces configurations et sont disponibles dans le Code_Aster .
La maquette GRAPPE2 a été dimensionnée en similitude géométrique, hydraulique et de fréquence réduite par rapport à la configuration réacteur. La seule donnée du diamètre de la tige de commande permet donc, en particulier, de déduire l’ensemble des autres grandeurs géométriques.
Étapes du calcul#
La première étape du calcul consiste à calculer la base modale de la structure en eau au repos, les effets de masse ajoutée induits localement au niveau du confinement de la plaque de logement étant négligés. Cette étape est réalisée par l’opérateur CALC_MODES.
Pour ce faire, une masse volumique équivalente homogène est affectée à l’ensemble de la structure, afin de prendre en compte la masse apparente ajoutée par le fluide, à l’exception de celle induite par les effets de confinement au niveau de l’espace annulaire. Cette masse volumique équivalente est définie par :
éq. 3.2- 1
où:
|
désigne un coefficient adimensionnel de confinement dépendant de la configuration étudiée ; \(\alpha =1\) est la valeur utilisée pour les calculs de grappes de commande. Elle correspond à un cylindre vibrant dans un domaine fluide illimité. |
|
désigne le rayon extérieur du tube, |
|
désigne l’aire de la section droite du tube, |
|
désigne la masse volumique du matériau constituant le tube vibrant. |
La seconde étape est la prise en compte du couplage avec l’écoulement fluide. Elle est réalisée à l’aide de l’opérateur CALC_FLUI_STRU.
Représentation de l’excitation fluide-élastique#
Soit \(x\) la direction de la fibre neutre du tube. L’excitation fluide-élastique identifiée sur la maquette GRAPPE2 est représentée par une force et un moment résultants, appliqués en un même point d’abscisse
, correspondant à la zone centrale du passage de la tige de commande à travers la plaque de logement. L’excitation est ainsi définie, dans la base physique, par la relation :
éq. 3.3- 1
où
désigne la dérivée par rapport à \(x\) de la distribution de Dirac
.
La force résultante,
, agit ainsi sous l’effet des déplacements transverses de la tige de commande ; et le moment résultant,
, agit sous l’effet de la rotation de cette dernière.
On note
le vecteur des déplacements transverses et
le vecteur des rotations associées, définis par :
éq. 3.3- 2
éq. 3.3- 3
Les relations suivantes sont utiliséespour calculer les forces et les moments fluide-élastiques résultants à partir des masses ajoutées
, des amortissements ajoutés
et des raideurs ajoutées
, coefficients adimensionnels identifiés sur la maquette GRAPPE2 :
éq. 3.3- 4
éq. 3.3- 5
Afin de simplifier l’écriture des équations, on note par la suite:
La vitesse réduite adimensionnelle
est ici définie à l’aide de la relation
, où
désigne la variable de Laplace.
Les expressions [:ref:` éq. 3.3-4 < éq. 3.3-4 >`] et [:ref:` éq. 3.3-5 < éq. 3.3-5 >`] font intervenir l’épaisseur
de la plaque de logement. Cette épaisseur se déduit de la valeur du diamètre de la tige de commande,
, du fait de la similitude géométrique avec la configuration réacteur. L’effort fluide-élastique
est ainsi complètement caractérisé par la donnée des grandeurs suivantes :
|
Masse volumique du fluide, |
|
Vitesse de l’écoulement moyen dans l’espace annulaire entre tige de commande et plaque de logement, |
|
Diamètre de la tige de commande, |
|
Coefficient de masse ajoutée associé au mouvement de translation, |
|
Coefficient d’amortissement ajouté associé au mouvement de translation, |
|
Coefficient de raideur ajoutée associé au mouvement de translation, |
|
Coefficient de masse ajoutée associé au mouvement de rotation, |
|
Coefficient d’amortissement ajouté associé au mouvement de rotation, |
|
Coefficient de raideur ajoutée associé au mouvement de rotation. |
Les coefficients adimensionnels de masse ajoutée, \({\mathit{Cm}}_{1}\) et \({\mathit{Cm}}_{2}\) , permettent la prise en compte des effets inertiels induits par le confinement local de la tige de commande au niveau de la plaque de logement. Ces effets sont estimés comme suit.
Soit
l’épaisseur de l’écoulement annulaire au niveau du confinement, déduite de
par similitude géométrique par rapport à la configuration réacteur ;
désigne le coefficient adimensionnel de confinement introduit par la relation [:ref:` éq. 3.2-1 < éq. 3.2-1 >`]. On obtient alors [bib. 4] :
On en déduit les valeurs de \({\mathit{Cm}}_{1}\) et \({\mathit{Cm}}_{2}\) par :
éq. 3.3- 6
éq. 3.3- 7
Les coefficients
et
sont directement déduits de la mesure et exprimés sous forme de corrélations adimensionnelles.
Projection sur base modale et expression des termes de la matrice de transfert d’effort fluide-élastique#
Décomposition du mouvement sur base modale
On note
la déformée modale du \(j\) ème mode de la structure. La décomposition du vecteur des déplacements dans la base modale s’exprime sous la forme :
éq. 3.4- 1
Où
,
et
correspondent aux trois composantes de translation caractérisant les déformées modales calculées à l’aide de Code_Aster .
Calcul de l’excitation généralisée associée au mode i
L’excitation généralisée
associée au mode
est définie par la relation :
éq. 3.4- 2
où
désigne la longueur de la structure sur laquelle on veut imposer les excitations GRAPPE2.
Les fonctions de transfert
et
étant définies à partir des relations [:ref:` éq. 3.3-4 < éq. 3.3-4 >`] et [:ref:` éq. 3.3-5 < éq. 3.3-5 >`], on en déduit, compte tenu des expressions [:ref:` éq. 3.3-1 < éq. 3.3-1 >`], [:ref:` éq. 3.3-4 < éq. 3.3-4 >`] et [:ref:` éq. 3.3-5 < éq. 3.3-5 >`] :
éq. 3.4- 3
D’où, après intégration :
éq. 3.4- 4
Remarque :
et
Résolution du problème modal sous écoulement#
Le problème modal est résolu en supposant, en première approximation, que les termes diagonaux de la matrice de transfert des efforts fluide-élastiques
sont prépondérants par rapport aux termes extra-diagonaux.
La matrice
étant ainsi réduite à sa diagonale, les déformées modales ne sont pas perturbées par la prise en compte du couplage fluide-élastique ; les seuls paramètres modifiés sont les fréquences propres et les amortissements réduits modaux.
Le problème modal sous écoulement se décompose alors en
problèmes scalaires indépendants, résolus par une méthode de type Broyden :
éq. 3.5- 1
où |
|
désigne la masse généralisée ajoutée par le fluide, |
|
désigne l’amortissement généralisé ajouté par le fluide, |
|
|
désigne la raideur généralisée ajoutée par le fluide. |
,
et
sont calculées à l’aide des relations :
éq. 3.5- 2
éq. 3.5- 3
éq. 3.5- 4
et
dépendent implicitement de
par l’intermédiaire de la vitesse réduite
.
Les trois grandeurs nécessaires pour dimensionner ces termes sont donc uniquement
et
étant déduites de
grâce à la propriété de similitude géométrique.
Comme cela a été indiqué précédemment, les coefficients adimensionnels
et
sont issus des corrélations empiriques identifiées expérimentalement sur la maquette GRAPPE2.
Excitation fluide-élastique agissant sur deux coques cylindriques coaxiales sous écoulement annulaire (exemple : espace cuve / enveloppe de cœur)#
L’intégration de ce modèle d’excitation fluide-élastique dans Code_Aster a été abordée dans la note de spécifications [bib. 2]. La note de principe du modèle MOCCA_COQUE [bib. 5] constitue la documentation théorique de référence.
Description de la configuration étudiée#
La configuration matérielle étudiée est composée de deux coques cylindriques coaxiales, séparées par un espace annulaire dans lequel s’écoule un fluide monophasique incompressible visqueux [Figure4.1‑a]. L’écoulement se fait dans la direction de l’axe de révolution des cylindres ; pour fixer les notations, on suppose dans la suite du document qu’il s’agit de l’axe
.
On note :
|
la longueur commune des deux coques cylindriques, |
|
le rayon intérieur de l’espace annulaire, |
|
le rayon extérieur de l’espace annulaire, |
|
le rayon moyen
|
|
le jeu annulaire |
|
les vecteurs de la base de coordonnées cylindriques. |
Figure 4.1-a : schéma de principe coques coaxiales
Étapes de calcul#
La première étape de calcul consiste à déterminer la base modale en air de la structure. Cette opération est réalisée par l’opérateur CALC_MODES. Ce calcul est nécessaire car la décomposition de la matrice de transfert des forces fluide-élastiques
est exprimée dans cette base.
La seconde étape concerne la prise en compte des forces fluide-élastiques. Elle intervient dans l’opérateur CALC_FLUI_STRU . Cette étape se décompose en huit sous-tâches :
Pré-traitements#
1°/ |
Détermination des grandeurs géométriques caractéristiques, à partir de la topologie du maillage : longueur commune des deux coques, rayon moyen, jeu annulaire moyen. |
2°/ |
Caractérisation des déformées modales en air : détermination des ordres de coque, des plans principaux, des nombres d’onde et des coefficients de déformées de poutre associées à chacun des modes de la structure, tant pour la coque interne que pour la coque externe. |
Résolution du problème modal en eau au repos#
3°/ |
Calcul de la matrice de masse ajoutée par le fluide
|
4°/ |
Calcul des caractéristiques modales de la structure en eau au repos en résolvant :
|
5°/ |
Calcul des déformées en eau au repos dans la base physique, par changement de base: |
Résolution du problème modal sous écoulement#
Pour chaque vitesse d’écoulement:
6°/ |
Calcul de
|
7°/ |
Calcul des forces fluide-élastiques induits par les effets d’amortissement et de raideur ajoutés, dans la base modale en eau au repos. |
8°/ |
Résolution du problème modal en négligeant les termes extra-diagonaux de cette dernière matrice, par la méthode de Broyden (boucle sur les sous-tâches 6° et 7°).
|
Fin de boucle sur les vitesses d’écoulement
Remarques :
Le calcul des termes de la matrice de transfert des forces fluide-élastiques nécessite la résolution du problème fluide instationnaire (sous-tâche 6°). Cette résolution n’est elle‑même possible que si l’on a préalablement déterminé certaines grandeurs géométriques caractéristiques de la configuration, ainsi que les coefficients des formes analytiques des déformées modales des structures (pré-traitements 1° et 2°).
Si l’utilisateur choisit de réaliser la première étape (calcul de la base modale par l’opérateur CALC_MODES) en prenant directement en compte les effets de masse ajoutée, ceux-ci ne doivent plus être pris en compte par l’opérateur CALC_FLUI_STRU. Pour cela, le mot-clé MASS_AJOU de la commande DEFI_FLUI_STRU doit être renseigné par “NON”. Les sous‑tâches 3° à 7° deviennent alors :
3°/ |
Calcul des effets de masse ajoutée par le fluide, dans la base modale de la structure en eau, afin de pouvoir retrancher ces effets de l’effort fluide-élastique global, puisque les termes de masse ajoutée sont déjà pris en compte. |
4°/ |
Sous-tâche supprimée. |
5°/ |
Sous-tâche supprimée. |
Pour chaque vitesse d’écoulement
6°/ |
Calcul de la matrice
|
7°/ |
Calcul des forces fluide-élastiques induites par les effets d’amortissement et de raideur ajoutés dans la base modale en eau : |
Les sous-tâches 1°, 2° et 8° ne sont pas modifiées.
Pour chaque vitesse d’écoulement
6°/ |
Calcul de la matrice
|
7°/ |
Calcul des forces fluide-élastiques induites par les effets d’amortissement et de raideur ajoutés dans la base modale en eau : |
Les sous-tâches 1°, 2° et 8° ne sont pas modifiées.
Résolution du problème fluide instationnaire#
Hypothèses simplificatrices#
Quelques hypothèses sur la nature de l’écoulement permettent de simplifier les équations de Navier-Stokes instationnaires, à la base du problème fluide-structure.
H1 |
On suppose que l’écoulement est la superposition d’un écoulement moyen stationnaire, obtenu lorsque les structures sont fixes, et d’un écoulement instationnaire induit par le mouvement des parois. |
H2 |
On suppose que les vibrations de structure sont de faible amplitude vis à vis de l’épaisseur de l’écoulement annulaire moyen. |
H3 |
On suppose que les perturbations de vitesse induites par les mouvements vibratoires sont, en moyenne sur un rayon, essentiellement dirigées dans les directions
|
H4 |
On suppose enfin que le champ de vitesse et de pression est uniforme, à l’ordre 1, dans la direction radiale. |
Ces hypothèses simplificatrices permettent de résoudre analytiquement le problème fluide. La matrice de transfert des forces fluide-élastiques
est déduite de l’écoulement instationnaire issu de cette résolution.
Analyse en perturbations#
Moyennant les hypothèses énoncées précédemment, l’analyse en perturbations du problème fluide conduit à rechercher l’écoulement instationnaire sous la forme :
éq. 4.3.2-1
éq. 4.3.2-2
éq. 4.3.2-3
éq. 4.3.2-4
avec :
éq. 4.3.2-5
éq. 4.3.2-6
On définit les variables
et
comme :
et
.
En limitant le développement des équations de Navier-Stokes au premier ordre, on obtient deux systèmes d’équations caractérisant la partie stationnaire et la partie perturbée de l’écoulement, le second système étant un système linéaire.
La résolution du problème fluide stationnaire conduit ainsi à :
constante et
éq. 4.3.2-7
Dans l’équation [:ref:` éq. 4.3.2-7 < éq. 4.3.2-7 >`],
désigne la masse volumique du fluide et
la partie stationnaire du coefficient de frottement à la paroi. Le fluide étant supposé incompressible, sa masse volumique n’est pas décomposée en partie stationnaire et partie fluctuante.
est déduit de la loi de Nikuradzé caractérisant les écoulements en conduite :
avec
éq. 4.3.2-8
où m désigne la valeur d’un exposant,
désigne la viscosité cinématique du fluide et
la rugosité des parois.
Il en découle:
avec
et
Le système différentiel linéaire d’ordre 1 caractérisant la partie instationnaire de l’écoulement induite par les mouvements de parois s’écrit dans le domaine de Laplace :
éq. 4.3.2-9
Trois conditions aux limites d’entrée-sortie permettent de résoudre ce système. La première de ces conditions est obtenue en supposant que l’écoulement est suffisamment régulier en amont de l’espace annulaire, pour que la composante tangentielle de la vitesse d’entrée puisse être négligée :
en
éq. 4.3.2-10
Les deux autres sont obtenues en appliquant l’équation de conservation de l’énergie cinétique, sous sa forme quasi-stationnaire, entre l’infini amont et l’entrée de l’espace annulaire, puis entre la sortie de l’espace annulaire et l’infini aval. On obtient alors respectivement, à l’ordre des perturbations :
éq. 4.3.2-11
Dans ces expressions,
et
représentent les parties stationnaires des coefficients de pertes de charge singulières d’entrée et de sortie. Ils prennent en compte la dissipation d’énergie induite, lorsque les parois sont fixes, par d’éventuelles brusques évolutions de la géométrie à l’entrée ou la sortie de l’espace annulaire. Dans la plupart des cas, ces coefficients peuvent être estimés simplement à l’aide de données de la littérature (Idel’cik par exemple). Lorsque la configuration géométrique d’entrée ou de sortie est très particulière, ces coefficients peuvent également être déterminés à l’aide d’un code de mécanique des fluides bidimensionnel adapté à l’étude des problèmes à parois fixes, de type N3S.
et
sont les parties instationnaires des coefficients de pertes de charge singulières. Ces coefficients prennent en compte les perturbations des lignes de décollement induites par les mouvements de structure. Ils peuvent être modélisés grâce à une approche quasi-stationnaire de même nature que celle introduite pour l’estimation du coefficient de frottement de paroi.
Le système [:ref:` éq. 4.3.2-9 < éq. 4.3.2-9 >`] est résolu analytiquement, à l’aide des conditions limites [:ref:` éq. 4.3.2-10 < éq. 4.3.2-10 >`] et [:ref:` éq. 4.3.2-11 < éq. 4.3.2-11 >`], en explicitant les fonctions
caractérisant le second membre.
Les perturbations
et
définissant le mouvement des parois, les parties perturbées du jeu annulaire et du rayon moyen sont alors définies, dans le domaine de Laplace, par :
éq. 4.3.2-12
éq. 4.3.2-13
Décomposition sur base modale#
Soit
le nombre de modes vibratoires de la structure dans la bande de fréquence étudiée. La décomposition sur base modale du mouvement des parois s’exprime de la manière suivante :
éq. 4.3.3-1
éq. 4.3.3-2
où |
et 
représentent les ordres de coque du i èmemode pour les mouvements respectifs des coques interne et externe, 
et 
permettent de caractériser les plans principaux de ces modes, 
et 
sont déduits des déformées de poutre des structures interne et externe associées au mode considéré, |
et |
représente le déplacement généralisé. |
Remarque :
Les fonctions
et
sont représentées, dans le cadre de la résolution analytique, sous forme de combinaisons linéaires de sinus, cosinus, sinus hyperbolique et cosinus hyperbolique :
éq. 4.3.3-3
éq. 4.3.3-4
avec
et
nombres d’onde du i èmemode pour les mouvements des coques interne et externe respectivement.
Les solutions du problème fluide
sont recherchées sous la forme de décompositions sur base modale déduites de celles de
explicitées par les relations [:ref:` éq. 4.3.3-1 < éq. 4.3.3-1 >`] et [éq4.3.3-2]. On obtient ainsi, dans le domaine de Laplace :
éq. 4.3.3-5
éq. 4.3.3-6
éq. 4.3.3-7
Expression des termes de la matrice de transfert des forces fluide‑élastiques#
L’effort fluide-élastique surfacique,
, est la résultante du champ de pression et des contraintes visqueuses et turbulentes exercées par l’écoulement sur les parois de la structure en mouvement.
éq. 4.3.4-1
L’effort fluide-élastique généralisé associé au \(i\) ème mode vibratoire de la structure,
, s’écrit ainsi :
éq. 4.3.4-2
Où
désigne la surface des parois de la structure mouillées par l’écoulement, et le vecteur
représente le i ème vecteur déformée modale dans cette expression. La représentation du champ de vitesses et de pression et la représentation sous forme d’une loi de paroi des contraintes visqueuses et turbulentes exercées sur la structure en mouvement permettent d’exprimer l’effort fluide-élastique généralisé
de la façon suivante :
éq. 4.3.4-3
avec
et
désignent respectivement les contributions des coques intérieure et extérieure. Ces contributions sont définies par :
éq. 4.3.4-4
et
éq. 4.3.4-5
Résolution du problème modal sous écoulement#
Comme on l’a expliqué au paragraphe [§ 4.2], on résout préalablement le problème modal en eau au repos, afin de prendre en compte le couplage inertiel entre modes. On estime ainsi la matrice de masse ajoutée par le fluide, en calculant
pour une vitesse moyenne de l’écoulement nulle. Les caractéristiques modales du système sous écoulement sont ensuite obtenues en perturbant les caractéristiques en eau au repos. On ne tient plus compte que de l’amortissement et de la raideur ajoutés : les termes de masse ajoutée précédemment calculés sont retranchés de la matrice
. Le couplage entre modes est alors négligé ; en conséquence, les déformées modales demeurent inchangées par rapport à celles en eau au repos. Les seuls paramètres perturbés par la mise en la fréquence et l’amortissement modal réduit. Ces paramètres sont calculés en résolvant
équations non linéaires mode par mode, par mise en œuvre d’une méthode de type Broyden.