v6.01.115 SSNA115 – Arrachement d’une armature rigide avec des éléments cohésifs#
Résumé:
Ce cas test a pour objet l’étude numérique de l’arrachement d’une armature rigide encastrée dans un cylindre creux. La décohésion est décrite avec deux modèles cohésifs.:
Modélisation B : à partir d’éléments de joint avec la loi cohésive CZM_LIN_REG (voir documentation [R7.02.11]) en utilisant la modélisation AXIS_JOINT.
Modélisation C : à partir d’éléments d’interface avec la loi cohésive CZM_TAC_MIX (voir documentation [R7.02.11]) en utilisant la modélisation AXIS_INTERFACE_S.
Pour valider les résultats nous nous appuierons sur la solution analytique développée dans [bib3]. Le lecteur intéressé pourra également s’y reporter pour une étude plus approfondie de ce cas test.
Solution de référence#
La solution de référence est une solution analytique tirée de [bib3], elle-même inspirée d’une étude unidimensionnelle proposée dans [bib1] et d’une manière plus générale s’appuyant sur l’approche énergétique de la rupture proposée par G. A. Francfort et J. J. Marigo [bib2]. Nous ne rentrerons pas dans les détails du calcul de cette solution, nous présenterons juste la valeur analytique de la réponse globale de la structure.Le déplacement imposé
en fonction de la force correspondante
vaut:
\(U(F)=\frac{\mathit{Fl}}{2\pi {R}_{f}L\mu }+\mathit{sign}(F){\psi}^{'-1}(\frac{∣F∣}{2\pi {R}_{f}L})\) éq 2-1
où
désigne le coefficient de Lamé (
ici),
la densité d’énergie de fissuration et où \(l={R}_{f}\ln(R/{R}_{f})\) est une longueur caractéristique de la structure décisive pour l’évolution brutale ou progressive de la décohésion.
L’inverse de la dérivée de la densité d’énergie surface prend les valeurs suivantes selon qu’on adopte la loi cohésive CZM_EXP (i.e. les éléments à discontinuité), la loi CZM_LIN_REG (i.e. les éléments de joint) ou la loi CZM_TAC_MIX (i.e. les éléments d’interface). (voir documentations [R7.02.14] et [R7.02.11]).
CZM_EXP: \({\psi}^{'-1}(x)=-\frac{{G}_{c}}{{\sigma}_{c}}\ln(\frac{x}{{\sigma}_{c}})\)
CZM_LIN_REG ou CZM_TAC_MIX: \({\psi}^{'-1}(x)=2\frac{{G}_{c}}{{\sigma}_{c}}(1-\frac{x}{{\sigma}_{c}})\)
Références bibliographiques#
CHARLOTTE M., FRANCFORT G.A., MARIGO J. J. and TRUSKINOVSKY L. : Revisiting brittle fracture as an energy minimization problem : comparison of Griffith and Barenblatt surface energy models. Proceedings of the Symposium on « Continuous Damage and Fracture » The data science library, Elsevier, edited by A. BENALLAL, Paris , pp. 7-18, (2000).
FRANCFORT G. A. and MARIGO J. J. : Revisiting brittle fracture as an energy minimization problem. J. Mech. Phys. Solids, 46 (8), pp. 1319-1342 (1998).
laverne J.: Formulation énergétique de la rupture par des modèles de forces cohésives: considérations théorique et implantations numériques, Thèse de Doctorat de l’Université Paris13, Novembre 2004.
Modélisation B#
Caractéristiques de la modélisation#
La simulation s’effectue en axisymétrique. Les éléments d’interface permettent de représenter la fissure le long de \({\Gamma}_{i}\) . Ces derniers ont pour modélisation AXIS_JOINT et un comportement cohésif CZM_LIN_REG. Les autres éléments du maillage sont des QUAD4 avec un comportement élastique ELAS en modélisation AXIS.
Paramètres Matériau#
Les valeurs du module d’Young, du coefficient de Poisson, de la contrainte critique et de la ténacité du matériau sont prises de la façon suivante:
Par ailleurs, le paramètre de régularisation de la loi cohésive est pris égal à PENA_ADHERENCE = 0.00001. (NB: ce sont des valeurs «tests» qui ne correspondent à aucun matériau en particulier.)
Caractéristiques du maillage#
Le maillage est identique au précédent à la différence que la couche d’éléments cohésifs est composée d’éléments avec une épaisseur faible, orientés avec la commande ORIE_FISSURE.
Grandeurs testées et résultats#
Pour tester la solution numérique, on utilise l’équation [éq 2-1]. On note
la résultante de la force le long de \({\Gamma}_{i}\) multipliée par \(2\pi\) .
Grandeur testée |
Théorie |
Code_Aster |
Différence ( \(\text{\%}\) ) |
à l’instant: 3 |
2.298338E-01 |
2.2983379490657E-01 |
-2.22E-06 |
à l’instant: 3 |
1.049985E+01 |
1.0499850000001E+01 |
1.05E-11 |
à l’instant: 6 |
3.884798E-01 |
3.8847977822122E-01 |
-5.61E-06 |
à l’instant: 6 |
5.99982E+00 |
5.9998200000014E+00 |
2.27E-11 |
à l’instant: 8 |
5.2809E-01 |
5.2809010497189E-01 |
1.99E-05 |
à l’instant: 8 |
2.03974E+00 |
2.0397408000020E+00 |
3.92E-05 |
Modélisation C#
Caractéristiques de la modélisation#
La simulation s’effectue en axisymétrique. Les éléments d’interface permettent de représenter la fissure le long de \({\Gamma}_{i}\) . Ces derniers ont pour modélisation AXIS_INTERFACE_S et un comportement cohésif CZM_TAC_MIX. Les autres éléments du maillage sont des QUAD8 avec un comportement élastique ELAS en modélisation AXIS.
Paramètres Matériau#
Les valeurs du module d’Young, du coefficient de Poisson, de la contrainte critique et de la ténacité du matériau sont prises de la façon suivante:
Par ailleurs, le paramètre de pénalisation du lagrangien est pris égal à PENA_LAGR=1000.
(NB: ce sont des valeurs «tests» qui ne correspondent à aucun matériau en particulier.)
Caractéristiques du maillage#
Le maillage est identique à la modélisation A à deux différences près: toutes les mailles sont quadratiques (QUAD8) et la couche d’éléments cohésifs est composée d’éléments avec une épaisseur faible, orientés avec la commande ORIE_FISSURE.
Grandeurs testées et résultats#
Pour tester la solution numérique, on utilise l’équation [éq 2-1]. On note \({F}^{R}\) la résultante de la force le long de \({\Gamma}_{i}\) multipliée par \(2\pi\) .
Grandeur testée |
Théorie |
Code_Aster |
Différence ( \(\text{\%}\) ) |
à l’instant: 3 |
1.576931E-01 |
1.5769307873679E-01 |
-1.35E-05 |
à l’instant: 3 |
1.25499E+01 |
1.2549900398014E+01 |
3.17E-06 |
à l’instant: 6 |
2.656474E-01 |
2.6564739519277E-01 |
-1.81E-06 |
à l’instant: 6 |
9.486833E+00 |
9.4868329805100E+00 |
-2.05E-07 |
à l’instant: 8 |
3.63577E-01 |
3.6357700583331D-01 |
1.60E-06 |
à l’instant: 8 |
6.7082E+00 |
6.7082039325061D+00 |
5.86E-05 |
Synthèse des résultats#
On constate que les trois types d’éléments permettent une bonne prédiction de la décohésion. En effet cette dernière se développe de façon identique sur toute la hauteur du cylindre. De plus, les résultats numériques sont très proches de la solution analytique. Par ailleurs, les modèles proposés permettent de reproduire correctement l’évolution progressive (cas des modélisations B et C) de la fissuration en fonction des longueurs caractéristiques de la structure et du matériau. Le lecteur intéressé pourra se reporter à [bib3] pour plus de détails.