v7.22.103 HSNV103 - Thermo-plasticité et métallurgie en déformations planes#
Résumé:
On traite la détermination de l’évolution mécanique d’un parallépipède rectangle en déformations planes soumis à des évolutions thermique \(T(t)\) et métallurgique \(Z(t)\) connues et uniformes (la transformation métallurgique est de type bainitique).
Les éléments utilisés sont des éléments bidimensionnels en déformations planes et la relation de comportement est la plasticité de von Mises avec écrouissage isotrope linéaire (pour la modélisationB, on tient également compte de la plasticité de transformation).
La limite élastique et la pente de la courbe de traction dépendent de la température et de la composition métallurgique.
Le coefficient de dilatation \(\alpha\) dépend de la composition métallurgique.
Pour la modélisation A (sans plasticité de transformation), la solution de référence est obtenue par la résolution analytique du problème. Pour la modélisation B (avec plasticité de transformation), la solution de référence est obtenue par la résolution numérique du problème en utilisant des éléments axisymétriques pour lesquels on impose la condition de déformations planes.
Les résultats fournis par Code_Aster sont très satisfaisants avec des erreurs inférieures à 0,5 %.
Solution de référence (pour la modélisation A)#
Forme du champ solution#
Le champ de contrainte solution \(\sigma (t)\) est de la forme:
\(\sigma (t)={\sigma}_{o}(t)\left(\begin{array}{ccc}0& 0& 0\\ 0& 0& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)\)
On en déduit la forme suivante du tenseur des déformations élastiques:
\({\epsilon}^{e}(t)=\frac{{\sigma}_{o}(t)}{E}\left(\begin{array}{ccc}-\nu & 0& 0\\ 0& -\nu & 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)\)
De plus, étant donné que \(\sigma (t)\) garde une direction constante, on a:
\({\epsilon}^{p}(t)={\epsilon}_{o}^{p}(t)\left(\begin{array}{ccc}\frac{-1}{2}& 0& 0\\ 0& \frac{-1}{2}& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)\text{}\text{}\text{}\text{}\text{};\text{}\text{}\text{}\text{}{\epsilon}^{\mathit{pt}}(t)={\epsilon}_{o}^{\mathit{pt}}(t)\left(\begin{array}{ccc}\frac{-1}{2}& 0& 0\\ 0& \frac{-1}{2}& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)\)
où \({\epsilon}^{p}\) et \({\epsilon}^{\mathit{pt}}\) sont respectivement le tenseur des déformations plastiques et le tenseur des déformations dues à la plasticité de transformation métallurgique.
Méthode de calcul utilisée pour la solution de référence#
Avant transformation , solution thermo-élastique pour \(t<{t}_{1}\) .
\(\lbrace \begin{array}{c}{\epsilon}_{zz}(t)={\epsilon}_{zz}^{e}(t)+{\epsilon}_{zz}^{\mathit{th}}(t)=0\\ {\epsilon}_{zz}^{\mathit{th}}(t)={\alpha}_{\mathit{aust}}(T-{T}^{0})\\ {\sigma}_{zz}(t)=-E{\epsilon}_{zz}^{\mathit{th}}(t)\end{array}\)
La limite élastique est atteinte pour \(t={t}_{1}\) tel que:
\(\begin{array}{ccc}{\sigma}_{zz}({t}_{1})=-E{\epsilon}_{zz}^{\mathit{th}}({t}_{1})={\sigma}_{y}^{\mathit{aust}}({t}_{1})& \iff & T({t}_{1})-{T}^{0}=\frac{-{\sigma}_{0}^{\mathit{aust}}}{E{\alpha}_{\mathit{aust}}+{s}^{\mathit{aust}}}\simeq -76.92°C\\ & \Rightarrow & {t}_{1}=\frac{T({t}_{1})-{T}^{0}}{\mu}\simeq 15.38s\end{array}\)
Avant transformation , solution thermo-élasto-plastique, \({t}_{1}\le t\le {\tau}_{1}\) .
\(\lbrace \begin{array}{c}{\epsilon}_{zz}(t)={\epsilon}_{zz}^{e}(t)+{\epsilon}_{zz}^{\mathit{th}}(t)+{\epsilon}_{zz}^{p}(t)=0\\ {\epsilon}_{zz}^{\mathit{th}}(t)={\alpha}_{\mathit{aust}}(T-{T}^{0})\\ {\epsilon}_{zz}^{p}(t)=\frac{-{\sigma}_{y}^{\mathit{aust}}(T)-E{\alpha}_{\mathit{aust}}(T-{T}^{0})}{E+{H}^{\mathit{aust}}(T)}\\ {\sigma}_{zz}(t)=-E({\epsilon}_{zz}^{p}(t)+{\epsilon}_{zz}^{\mathit{th}}(t))\end{array}\)
Pendant la transformation , solution thermo-élasto-plastique avec changement de phase, \({\tau}_{1}\le t<{t}_{2}\) .
\(\lbrace \begin{array}{c}{\epsilon}_{zz}(t)={\epsilon}_{zz}^{e}(t)+{\epsilon}_{zz}^{\mathit{th}}(t)+{\epsilon}_{zz}^{p}(t)=0\\ {\epsilon}_{zz}^{\mathit{th}}(t)={Z}_{\mathit{aust}}{\alpha}_{\mathit{aust}}(T-{T}^{0})+{Z}_{\mathit{fbm}}\left({\alpha}_{\mathit{fbm}}(T-{T}^{0})+\Delta {\epsilon}_{f\gamma }^{{T}_{\mathit{ref}}}\right)\\ {\epsilon}_{zz}^{p}(t)=\frac{-{\sigma}_{y}^{\mathit{moy}}(T)-E{\epsilon}_{zz}^{\mathit{th}}(t)}{E+{H}^{\mathit{moy}}(T)}\\ {\sigma}_{zz}(t)=-E({\epsilon}_{zz}^{p}(t)+{\epsilon}_{zz}^{\mathit{th}}(t))\end{array}\)
avec \({\sigma}_{y}^{\mathit{moy}}={Z}_{\mathit{aust}}{\sigma}_{y}^{\mathit{aust}}+{Z}_{\mathit{fbm}}{\sigma}_{y}^{\mathit{fbm}}\) et \({H}^{\mathit{moy}}={Z}_{\mathit{aust}}{H}^{\mathit{aust}}+{Z}_{\mathit{fbm}}{H}^{\mathit{fbm}}\)
On a une solution thermo-élasto-plastique tant qu’on reste en charge, c’est-à-dire tant que \({\dot{\epsilon}}^{\mathit{th}}<0\) :
\(\begin{array}{ccc}{\dot{\epsilon}}^{\mathit{th}}<0& \iff & T=\frac{({\alpha}_{\mathit{fbm}}-{\alpha}_{\mathit{aust}}){T}^{0}-\Delta {\epsilon}_{f\gamma }^{{T}_{\mathit{ref}}}+{\alpha}_{\mathit{fbm}}{T}_{1}-{\alpha}_{\mathit{aust}}{T}_{2}}{2({\alpha}_{\mathit{fbm}}-{\alpha}_{\mathit{aust}})}>538.82°C\\ & \iff & t<{t}_{2}=72.23s\end{array}\)
Pour \(t\ge {t}_{2}\) , la solution est thermo-élastique.
Pendant la transformation , solution thermo-élastique avec changement de phase, \({t}_{2}\le t<{\tau}_{2}\) .
\(\lbrace \begin{array}{c}{\epsilon}_{zz}(t)={\epsilon}_{zz}^{e}(t)+{\epsilon}_{zz}^{\mathit{th}}(t)+{\epsilon}_{zz}^{p}({t}_{2})=0\\ {\epsilon}_{zz}^{\mathit{th}}(t)={Z}_{\mathit{aust}}{\alpha}_{\mathit{aust}}(T-{T}^{0})+{Z}_{\mathit{fbm}}\left({\alpha}_{\mathit{fbm}}(T-{T}^{0})+\Delta {\epsilon}_{f\gamma }^{{T}_{\mathit{ref}}}\right)\\ {\sigma}_{zz}(t)=-E({\epsilon}_{zz}^{p}({t}_{2})+{\epsilon}_{zz}^{\mathit{th}}(t))\end{array}\)
Après la transformation , solution thermo-élastique pour \({\tau}_{2}<t<{t}_{3}\) .
\(\lbrace \begin{array}{c}{\epsilon}_{zz}(t)={\epsilon}_{zz}^{e}(t)+{\epsilon}_{zz}^{\mathit{th}}(t)+{\epsilon}_{zz}^{p}({t}_{2})=0\\ {\epsilon}_{zz}^{\mathit{th}}(t)={\alpha}_{\mathit{fbm}}(T-{T}^{0})+\Delta {\epsilon}_{f\gamma }^{{T}_{\mathit{ref}}}\\ {\sigma}_{zz}(t)=-E({\epsilon}_{zz}^{\mathit{th}}(t)+{\epsilon}_{zz}^{p}({t}_{2}))\end{array}\)
La limite élastique est atteinte pour \(t={t}_{3}\) tel que :
\({\sigma}_{zz}({t}_{3})=-E({\epsilon}_{zz}^{\mathit{th}}({t}_{3})+{\epsilon}_{zz}^{p}({t}_{2}))={H}^{\mathit{fbm}}{\epsilon}_{zz}^{p}({t}_{2})+{\sigma}_{y}^{\mathit{fbm}}({t}_{3})\)
\(\begin{array}{ccc}& \iff & T({t}_{3})-{T}^{0}=-\frac{E(\Delta {\epsilon}_{f\gamma }^{{T}_{\mathit{ref}}}+{\epsilon}_{zz}^{p}({t}_{2}))+{H}_{0}^{\mathit{fbm}}{\epsilon}_{zz}^{p}({t}_{2})+{\sigma}_{0}^{\mathit{fbm}}}{E{\alpha}_{\mathit{fbm}}+{s}^{\mathit{fbm}}+{\lambda}^{\mathit{fbm}}{\epsilon}_{zz}^{p}({t}_{2})}=-634,68°C\\ & \iff & {t}_{3}=\frac{T({t}_{3})-{T}^{0}}{\mu}=126.94s\end{array}\)
Après la transformation , solution thermo-élasto-plastique pour \(t\ge {t}_{3}\) .
\(\lbrace \begin{array}{c}{\epsilon}_{zz}(t)={\epsilon}_{zz}^{e}(t)+{\epsilon}_{zz}^{\mathit{th}}(t)+{\epsilon}_{zz}^{p}(t)=0\\ {\epsilon}_{zz}^{\mathit{th}}(t)={\alpha}_{\mathit{fbm}}(T-{T}^{0})+\Delta {\epsilon}_{f\gamma }^{{T}_{\mathit{ref}}}\\ {\epsilon}_{zz}^{p}(t)=\frac{-{\sigma}_{y}^{\mathit{fbm}}(T)-E({\alpha}_{\mathit{fbm}}(T-{T}^{0})+\Delta {\epsilon}_{f\gamma }^{{T}_{\mathit{ref}}})}{E+{H}^{\mathit{fbm}}(T)}\\ {\sigma}_{zz}(t)=-E({\epsilon}_{zz}^{p}(t)+{\epsilon}_{zz}^{\mathit{th}}(t))\end{array}\)
Résultats de référence#
À \(t=16s\) : |
\(\chi\) |
\(p\) |
\({\epsilon}_{xx}^{}\) |
\({\sigma}_{zz}\) |
\({\epsilon}_{xx}^{\mathit{th}}\) |
\({\epsilon}_{xx}^{\mathit{meca}}\) |
\({\epsilon}_{xx}^{\mathit{plas}}\) |
À \(t=60s\) : |
\(\chi\) |
\(p\) |
\({\epsilon}_{xx}^{}\) |
\({\sigma}_{zz}\) |
\({\epsilon}_{xx}^{\mathit{th}}\) |
\({\epsilon}_{xx}^{\mathit{meca}}\) |
\({\epsilon}_{xx}^{\mathit{plas}}\) |
À \(t=72s\) : |
\(\chi\) |
\(p\) |
|||||
À \(t=112s\) : |
\(\chi\) |
\(p\) |
\({\sigma}_{zz}\) |
\({\epsilon}_{xx}^{\mathit{th}}\) |
\({\epsilon}_{xx}^{\mathit{meca}}\) |
\({\epsilon}_{xx}^{\mathit{plas}}\) |
|
À \(t=176s\) : |
\(\chi\) |
\({\epsilon}_{xx}^{}\) |
\({\sigma}_{zz}\) |
Bibliographie#
DONORE A.M. - WAECKEL F. - Influence des transformations structurales dans les lois de comportement élasto-plastiques Note HI-74/93/024.
Modélisation A#
Caractéristiques de la modélisation#
\(A=\mathit{N4}\) , \(B=\mathit{N5}\) , \(C=\mathit{N13}\) , \(D=\mathit{N12}\) .
Caractéristiques du maillage#
Nombre de noeuds: 13.
Nombre de mailles et types: 2 mailles QUAD8, 6mailles SEG3.
Résultats de la modélisation A#
Valeurs testées#
On teste les paramètres de la structure de données résultats:
Identification |
Référence |
INSTpour NUME_ORDRE=176 |
176,0 |
ITER_GLOB pour NUME_ORDRE=176 |
2 |
Identification |
Référence |
Test |
Tolérance |
\({\epsilon}_{xx}\) \(t=16s\) |
-2.4599 10–3 |
ANALYTIQUE |
0.1% |
\(\chi\) \(t=16s\) |
1 |
ANALYTIQUE |
0.1% |
\(\sigma\) \(t=16s\) |
360.13 106 |
ANALYTIQUE |
0.1% |
\(p\) \(t=16s\) |
7.9345 10–5 |
ANALYTIQUE |
0.1% |
\({\epsilon}_{xx}^{\mathit{th}}\) \(t=16s\) |
-1.88 10–3 |
ANALYTIQUE |
0.1% |
\({\epsilon}_{xx}^{\mathit{meca}}\) \(t=16s\) |
-5.799 10–4 |
ANALYTIQUE |
0.1% |
\({\epsilon}_{xx}^{\mathit{plas}}\) \(t=16s\) |
3.9672 10–5 |
ANALYTIQUE |
0.1% |
\({\epsilon}_{xx}\) \(t=60s\) |
-1.0309 10–2 |
ANALYTIQUE |
0.1% |
\(p\) \(t=60s\) |
5.7213 10–3 |
ANALYTIQUE |
0.1% |
\(\sigma\) \(t=60s\) |
265.73 106 |
ANALYTIQUE |
0.1% |
\({\epsilon}_{xx}^{\mathit{th}}\) \(t=60s\) |
-7.05 10–3 |
ANALYTIQUE |
0.1% |
\({\epsilon}_{xx}^{\mathit{meca}}\) \(t=60s\) |
-3.259 10–3 |
ANALYTIQUE |
0.1% |
\({\epsilon}_{xx}^{\mathit{plas}}\) \(t=60s\) |
2.86065 10–3 |
ANALYTIQUE |
0.1% |
\(p\) \(t=72s\) |
5.8420 10–3 |
ANALYTIQUE |
0.5% |
\(\chi\) \(t=112s\) |
0 |
ANALYTIQUE |
0.1% |
\(\sigma\) \(t=112s\) |
12.82 106 |
ANALYTIQUE |
0.5% |
\(p\) \(t=112s\) |
5.8421 10–3 |
ANALYTIQUE |
0.5% |
\({\epsilon}_{xx}^{\mathit{th}}\) \(t=112s\) |
-5.88 10–3 |
ANALYTIQUE |
0.1% |
\({\epsilon}_{xx}^{\mathit{meca}}\) \(t=112s\) |
-2.90182 10–3 |
ANALYTIQUE |
1.0 % |
\({\epsilon}_{xx}^{\mathit{plas}}\) \(t=112s\) |
-2.92105 10–3 |
ANALYTIQUE |
0.5% |
\({\varepsilon}_{xx}\) \(t=176s\) |
–1.5886 10–2 |
ANALYTIQUE |
0.1% |
\(\chi\) \(t=176s\) |
1 |
ANALYTIQUE |
0.1% |
\(\sigma\) \(t=176s\) |
133.55 106 |
ANALYTIQUE |
0.1% |
Remarques#
Dans cette modélisation:
\({\varepsilon}_{zz}^{\mathit{pt}}(T,Z)=0\)
L’erreur sur la déformation plastique cumulée à 72 secondes provient en fait de l’erreur commise sur la description numérique de la transformation métallurgique qui est, à cet instant, d’environ 0,5%.
Modélisation B#
Caractéristiques de la modélisation#
\(A=\mathit{N4}\) , \(B=\mathit{N5}\) , \(C=\mathit{N13}\) , \(D=\mathit{N12}\) .
Caractéristiques du maillage#
Nombre de noeuds: 13.
Nombre de mailles et types: 2 mailles QUAD8, 6mailles SEG3.
Résultats de la modélisation B#
Valeurs testées#
Identification |
Référence |
Test |
Tolérance |
\({\epsilon}_{yy}\) \(t=60s\) |
–1.0309 10–2 |
AUTRE_ASTER |
0.02% |
\({\sigma}_{zz}\) \(t=60s\) |
265.73 106 |
AUTRE_ASTER |
0.002% |
\(p\) \(t=60s\) |
5.7213 10–3 |
AUTRE_ASTER |
0.1% |
\({\epsilon}_{yy}^{\mathit{th}}\) \(t=60s\) |
-7.05 10–3 |
AUTRE_ASTER |
0.1% |
\({\epsilon}_{yy}^{\mathit{meca}}\) \(t=60s\) |
-3.2593 10–3 |
AUTRE_ASTER |
0.002% |
\({\epsilon}_{yy}^{\mathit{plas}}\) \(t=60s\) |
-2.8607 10–3 |
AUTRE_ASTER |
0.002% |
\({\epsilon}_{yy}\) \(t=89s\) |
–1.0325 10–2 |
AUTRE_ASTER |
0.02% |
\(p\) \(t=89s\) |
5.7213 10–3 |
AUTRE_ASTER |
0.001% |
\({\sigma}_{zz}\) \(t=89s\) |
–13.545 106 |
AUTRE_ASTER |
0.04% |
\({\epsilon}_{yy}^{\mathit{th}}\) \(t=89s\) |
-6.8751 10–3 |
AUTRE_ASTER |
0.1% |
\({\epsilon}_{yy}^{\mathit{meca}}\) \(t=89s\) |
-3.4511 10–3 |
AUTRE_ASTER |
0.002% |
\({\epsilon}_{yy}^{\mathit{plas}}\) \(t=89s\) |
-3.4714 10–3 |
AUTRE_ASTER |
0.002% |
\({\varepsilon}_{yy}\) \(t=112s\) |
–8.9197 10–3 |
AUTRE_ASTER |
0.02% |
\({\sigma}_{zz}\) \(t=112s\) |
101.39 106 |
AUTRE_ASTER |
0.05% |
\(p\) \(t=112s\) |
5.7213 10–3 |
AUTRE_ASTER |
0.001% |
\({\epsilon}_{yy}^{\mathit{th}}\) \(t=112s\) |
-5.8800 10–3 |
AUTRE_ASTER |
0.1% |
\({\epsilon}_{yy}^{\mathit{meca}}\) \(t=112s\) |
-3.0413 10–3 |
AUTRE_ASTER |
0.002% |
\({\epsilon}_{yy}^{\mathit{plas}}\) \(t=112s\) |
-3.1934 10–3 |
AUTRE_ASTER |
0.002% |
\({\varepsilon}_{yy}\) \(t=176s\) |
–1.5884 10–2 |
AUTRE_ASTER |
0.04 % |
\(p\) \(t=176s\) |
9.3610 10–2 |
AUTRE_ASTER |
0.001% |
\({\sigma}_{zz}\) \(t=176s\) |
130.72 106 |
AUTRE_ASTER |
0.001% |
\({\epsilon}_{yy}^{\mathit{th}}\) \(t=176s\) |
-1.068 10–2 |
AUTRE_ASTER |
0.1% |
\({\epsilon}_{yy}^{\mathit{meca}}\) \(t=176s\) |
-5.2093 10–3 |
AUTRE_ASTER |
0.002% |
\({\epsilon}_{yy}^{\mathit{plas}}\) \(t=176s\) |
-5.0132 10–3 |
AUTRE_ASTER |
0.002% |
Remarques#
Dans cette modélisation, on prend en compte le terme dû à la plasticité de transformation:
\({\dot{\epsilon}}^{\mathit{pt}}(Z,T)\ne 0\) lorsque \(\dot{Z}\mathrm{\ne }0\)
La solution de référence est obtenue par la résolution numérique du problème avec des éléments axisymétriques pour lesquels on impose la condition de déformations planes.
Synthèse des résultats#
Les résultats trouvés avec Code_Aster sont très satisfaisants, avec des pourcentages d’erreur inférieurs à 0.5%.