v3.03.132 SSLS132 – Plaque console en béton armé sous chargement de flexion, en élasticité#
Résumé
Ce test quasi-statique entre dans le cadre de la validation des éléments GRILLE_EXCENTRE,GRILLE_MEMBRANE et MEMBRANE. Une plaque en béton (modélisée par COQUE éventuellement) est recouverte de deux nappes d’armature sur ses faces supérieure et inférieure, chacune excentrée de la même quantité. Les chargements sont de trois types:
bord encastré et flexion de la plaque
effet de la gravité et du poids propre
pré-déformations dans les deux nappes d’armatures pour faire comprimer la plaque
Les résultats de la simulation sont comparés à des solutions analytiques.
L’intérêt de ce test est de valider la modélisation GRILLE_EXCENTRE, GRILLE_MEMBRANE et MEMBRANE sous des chargements de flexion, de pesanteur et en imposant des pré-déformations.
Modélisation \(I\) teste l’algorithme IMPLEX en élasticité.
Solution de référence#
Plaque en flexion#
On cherche à calculer la résultante \({F}_{Z}\) des efforts s’appliquant sur une plaque en béton armé (2 nappes d’armature) de dimension \({L}_{1}\times {L}_{2}\times e\) (\({L}_{1}\) est la dimension suivant la direction principale des armatures), encastrée sur un bord et que l’on soumet à un déplacement de flexion sur le bord opposé (\({U}_{z}\) ).
La force s’écrit:
avec \({K}_{z}\) la rigidité selon \(z\) donnée par:
avec \({(\mathrm{EI})}_{\mathrm{tot}}\) égal à
où
avec \({E}_{\mathrm{armat}}\) le module de Young de l’acier, \(s\) la section des armatures par mètre linéaire et \({e}_{\mathrm{exc}}\) l’excentrement des nappes d’armatures par rapport au feuillet moyen
où \({E}_{\mathrm{béton}}\) est le module de Young du béton.
Connaissant le déplacement vertical imposé et en utilisant les formules précédentes, il est possible de remonter à la valeur analytique de la force.
Effet de la gravité#
On s’intéresse à présent à une plaque en béton armé encastrée à ses deux extrémités et soumise à l’effet de la gravité.
On cherche à calculer la résultante des efforts verticaux associée \({F}_{z}\)
où \({F}_{z,\mathrm{beton}}\) et \({F}_{z,\mathrm{armat}}\) sont respectivement les effets de gravité liés au béton et aux armatures.
avec \(g\) l’accélération de la pesanteur
avec \({\rho}_{\mathrm{armat}}\) la masse volumique des armatures en acier, et \(s\) la section par mètre linéaire.
En combinant les équations précédentes, il devient possible de déterminer la valeur de la force verticale liée à la gravité et d’en déduire la résultante verticale des réactions d’appui.
Pré-Déformations#
On cherche à calculer le déplacement moyen suivant \(\mathrm{Ux}\) du bord libre d’une plaque en béton armé encastrée à l’autre bord. On applique aux armatures une pré-déformation \({\varepsilon}_{xx}\) .
En considérant la déformation homogène et égale sur les nappes d’armatures et dans le béton, on écrit simplement:
avec \({L}_{x}\) la dimension de la plaque dans la direction \(x\) (égale à \({L}_{1}\) dans ce cas)
On peut ainsi déterminer la valeur de déplacement cherchée.
Modélisation A#
Caractéristiques de la modélisation#
On teste ici un chargement de flexion avec des éléments GRILLE_EXCENTRE. La console en béton est maillée avec 1616 éléments TRIA3.
Résultats de la modélisation A#
On teste la valeur de la réaction suivant \(z\) sur le bord encastré (\(\mathrm{BOX}\) ).
Valeur de référence (solution analytique) : \(-3.299\mathit{kN}\)
Valeur fournie par Code_Aster : \(-3.3E3N\)
Écart : 0.016 %
Modélisation B#
Modélisation identique à la modélisation A, avec un maillage de 500 maillesQUAD4.
Les résultats de la modélisation B sont les mêmes que ceux de la modélisation A.
Modélisation C#
Caractéristiques de la modélisation#
On teste ici un chargement de pesanteur avec des éléments GRILLE_EXCENTRE. La console en béton est maillée avec 500 maillesQUAD4.
Résultats de la modélisation C#
On teste la valeur de la réaction suivant \(z\) sur les bords encastrés (\(\mathit{BOX}+\mathit{B1X}\) )
Valeur de référence (solution analytique) : \(17.756\mathit{MN}\)
Valeur fournie par Code_Aster : \(1.7756E+07N\)
Écart : 0.
Modélisation D#
On teste ici un chargement de pesanteur avec des éléments GRILLE_MEMBRANE. L’excentrement des armatures est considéré nul. Le maillage est identique à celui de la modélisation C.
Les résultats de la modélisation D sont les mêmes que ceux de la modélisation C.
Modélisation E#
Caractéristiques de la modélisation#
On teste ici un chargement de pré-déformation avec des éléments GRILLE_EXCENTRE. Le maillage est identique à celui de la modélisation A.
Résultats de la modélisation E#
On teste la valeur du déplacement moyen suivant \(x\) du bord libre \(\mathit{B1X}\)
Valeur de référence (solution analytique) : \(0.1m\)
Valeur fournie par Code_Aster : \(0.1m\)
Écart : 0.
Modélisation F#
Modélisation identique à la modélisation E, avec un maillage de 500 maillesQUAD4.
Les résultats de la modélisation F sont les mêmes que ceux de la modélisation E.
Modélisation G#
Caractéristiques de la modélisation#
On teste ici un chargement de pesanteur avec des éléments MEMBRANE. Le maillage est identique à celui de la modélisation A.
Résultats de la modélisation G#
On teste la valeur de la réaction suivant \(z\) sur les bords encastrés (\(\mathrm{BOX}+\mathrm{B1X}\) )
Valeur de référence (solution analytique) : \(1.7756E+07N\)
Valeur fournie par Code_Aster : \(1.7756E+07N\)
Écart : 0.
Modélisation H#
Caractéristiques de la modélisation#
On teste ici un chargement de pré-déformation avec des éléments MEMBRANE. Le maillage est identique à celui de la modélisation A.
Résultats de la modélisation H#
On teste la valeur du déplacement moyen suivant \(x\) du bord libre \(\mathit{B1X}\)
Valeur de référence (solution analytique) : \(0.1m\)
Valeur fournie par Code_Aster : \(0.1m\)
Écart : 0.
Modélisation I#
Caractéristiques de la modélisation#
On teste ici la méthode IMPLEX en élasticité. Un chargement de flexion est combiné avec la pesanteur. Les éléments MEMBRANE et GRILLE_MEMBRANE sont testés simultanément. Le maillage est volumique avec deux nappes de mailles bidimensionnelles.
Résultats de la modélisation I#
On teste la valeur de la résultante \(\mathit{dz}\) de la force nodale du bord libre \(\mathit{B1X}\)
Valeur de référence (solution élastique) est égale à la solution en IMPLEX
Écart : 0.
Conclusions#
On valide par ce cas-test divers modélisations du comportement d’une plaque console sous chargement de flexion, sous l’effet de la gravité et en imposant des pré-déformations aux nappes d’armature. On valide ainsi les modélisations GRILLE_EXCENTRE,GRILLE_MEMBRANE et MEMBRANE.
Les résultats des simulations sont en accord avec les valeurs des solutions analytiques.