v2.02.123 SDLL123 - Fréquence d’une ligne d’arbre simplifiée avec gyroscopie#
Résumé :
Ce test permet de valider le calcul des modes en rotation d’un système d’arbres tournant.
Dans ce test, il s’agit d’un modèle simple de rotor avec 1 disque simplement supporté.
Six modélisations sont effectuées :
Modélisation A : POU_D_E
Modélisation B : CAS TEST INFORMATIQUE DE VALIDATION DES SOLVEURS MODAUX SORENSEN ET QZ EN GENERALISE ET QUADRATIQUE NON SYMETRIQUES
Modélisation C : POU_D_E
Modélisation D : POU_D_EM
Modélisation E : POU_D_TG
Modélisation F : POU_D_TGM
Solution de référence#
Méthode de calcul utilisée pour les solutions de référence#
La solution de référence est une solution obtenue avec python. En effet, deux méthodes de calculs ont été utilisées pour déterminer les fréquences. Chacune des méthodes utilise les matrices de rigidité, de masse, gyroscopique et d’amortissement calculées par Code_Aster . Pour la recherche des fréquences du problème modal quadratique, on utilise :
la libraire mathématique python numpy (recherche de valeurs propres)
la commande CALC_MODES
Ce n’est donc pas à proprement parler une non-régression. En revanche pour la validation des
éléments de poutre et en l’absence d’éléments de comparaison, il s’agit bien de non-régression.
Grandeurs de référence#
\(\mathrm{FREQ}\) fréquence
\(\mathrm{AMOR}\text{\_}\mathrm{REDUIT}\) : amortissement réduit
Résultat de référence#
A titre d’indication, les résultats de référence pour la poutre d’Euler droite sont donnés ci-dessous.
numpy |
|
\(N°\) |
\(\mathrm{FREQ}(\mathrm{Hz})\) |
\(1\) |
\(123.915\) |
\(2\) |
\(124.546\) |
\(3\) |
\(497.033\) |
\(4\) |
\(499.575\) |
CALC_MODES |
||
\(N°\) |
\(\mathrm{FREQ}(\mathrm{Hz})\) |
\(\mathrm{AMOR}\text{\_}\mathrm{REDUIT}\) |
\(1\) |
\(123.915\) |
\(0.0\) |
\(20\) |
\(7971.6\) |
\(0.0\) |
\(40\) |
\(21163.265\) |
\(0.0\) |
\(60\) |
\(37289.789\) |
\(0.0\) |
\(80\) |
\(74712.423\) |
\(0.0\) |
Incertitude sur la solution#
Solution numérique
Modélisation A#
Caractéristiques de la modélisation A#
Modélisations POU_D_E et DIS_TR
Nombre de nœuds: 19
Nombre de mailles: 19 soit 18 SEG2 et 1 POI1
Groupe de nœuds:
\(\mathrm{PALIER}\text{\_}A\)
\(\mathrm{PALIER}\text{\_}B\)
Grandeurs testées et résultats#
Premier calcul modal:il est de type GEP .On le résout via l’opérateur CALC_MODES + SOLVEUR_MODAL=_F(METHODE=”SORENSEN”) (concept MODES).
\(N°\) |
\(\mathrm{FREQ}(\mathrm{Hz})\) affichée dans le .mess |
Tolérance |
2 |
124.231 |
\({10}^{-6}\) |
3 |
124.231 |
\({10}^{-6}\) |
4 |
498.302 |
\({10}^{-6}\) |
5 |
498.302 |
\({10}^{-6}\) |
6 |
1118.15 |
\({10}^{-6}\) |
7 |
1118.15 |
\({10}^{-6}\) |
8 |
1993.47 |
\({10}^{-6}\) |
9 |
1993.47 |
\({10}^{-6}\) |
10 |
2021.39 |
\({10}^{-6}\) |
11 |
2850.72 |
\({10}^{-6}\) |
On teste aussi la commande INFO_MODE. Le GEP étant standard (matrices symétriques réelles) ses valeurs propres appartiennent uniquement à l’axe réel. Sur ce cas, on peut donc comparer les deux méthodes de dénombrement (COMPTAGE/METHODE=”STURM” et “APM”) et vérifier qu’elles donnent bien les mêmes résultats.
On détermine ainci le nombre de valeurs propres (NB_FREQ) contenues strictement dans une bande fréquentielle [FREQ_MIN,FREQ_MAX] (si Sturm) ou dans le disque de centre FREQ_CENTRE et de rayon, en fréquentiel, \(\frac{\sqrt{\text{RAYON\_CONTOUR}}}{2\pi }\) (si APM). On précise la méthode de dénombrement utilisée (Sturm ou APM).
Concept |
FREQ_MIN/ CENTRE_CONTOUR |
FREQ_MAX/ RAYON_CONTOUR |
NB_FREQ |
Méthode de dénombrement |
NBMOD01 |
-1.0 |
120.0 |
1 On compte \({\lambda}_{1}\) . |
Sturm |
NBMOD02 |
-1.0 |
130.0 |
3 On compte \({({\lambda}_{i})}_{\text{i=1,3}}\) . |
Sturm |
NBMOD03 |
-1.0 |
1200.0 |
7 On compte \({({\lambda}_{i})}_{\text{i=1,7}}\) . |
Sturm |
NBMOD11 |
0.0+0.0j |
5.684 105 (= \({(\mathrm{120x2}\pi )}^{2}\) ) |
1 Idem NBMOD01 |
APM |
NBMOD12 |
0.0+0.0j |
6.671 105 (= \({(\mathrm{130x2}\pi )}^{2}\) ) |
3 Idem NBMOD02 |
APM |
NBMOD13 |
0.0+0.0j |
5.684 107 (= \({(\mathrm{1200x2}\pi )}^{2}\) ) |
7 Idem NBMOD03 |
APM |
Second calcul modal : ** il est de type QEP **. On le résout via l’opérateur CALC_MODES + SOLVEUR_MODAL=_F(METHODE=”QZ”) (concept MODEQ).
\(N°\) [1] |
\(\mathrm{FREQ}(\mathrm{Hz})\) affichée dans le .mess (= \(\frac{\mathrm{\Im }({\lambda}_{i})}{2\pi }\) ) |
\(\mathit{AMORTISSEMENT}\) affichée dans le .mess (= \(\frac{-\mathrm{\Re }({\lambda}_{i})}{\mid {\lambda}_{i}\mid }\) ) |
Module de la valeur propre (= \(\mid {\lambda}_{i}\mid\) ) |
Tolérance |
Sans objet |
Pas retenue dans Code_Aster car valeur propre réelle |
Sans objet |
0 |
Sans objet |
Sans objet |
Pas retenue dans Code_Aster car valeur propre réelle |
Sans objet |
0 |
Sans objet |
1 |
123.915 + le complexe conjuguée |
\({10}^{-11}\) |
778.5 |
0.5 |
2 |
124.546 + le complexe conjuguée |
\({10}^{-09}\) |
782.5 |
0.5 |
… |
… |
… |
… |
… |
10 |
2850.72 + le complexe conjuguée |
\({10}^{-15}\) |
18849.5 |
0.5 |
11 |
3099.17 + le complexe conjuguée |
\({10}^{-11}\) |
19472.6 |
0.5 |
… |
… |
… |
… |
… |
41 |
21273.2 + le complexe conjuguée |
\({10}^{-12}\) |
133663.4 |
0.5 |
42 |
21380.2 + le complexe conjuguée |
\({10}^{-12}\) |
134335.7 |
0.5 |
… |
… |
… |
… |
… |
On teste aussi la commande INFO_MODE. Puisqu’il s’agit d’un QEP à matrices réelles, ses valeurs propres sont, soit réelles, soit complexes conjuguées. On ne peut donc ici n’utiliser que la méthode APM. Elle détermine le nombre de valeurs propres (NB_FREQ) contenues ici strictement dans le disque de centre CENTRE_CONTOUR et de rayon RAYON_CONTOUR.
Concept |
CENTRE_CONTOUR |
RAYON_CONTOUR |
NB_FREQ |
Méthode de dénombrement |
NBMOD04 |
0.0+0.0j |
779.114 (= \(\mathrm{124x2}\pi\) ) |
4 On compte les 2 valeurs nulles + le couple \(({\lambda}_{1,}\stackrel{ˉ}{{\lambda}_{1}})\) . |
APM |
NBMOD05 |
0.0+779.114j (= \(0.0+\mathrm{124x2}\pi j\) ) |
7 |
2 on compte les 2 valeurs \({\lambda}_{1}\) et \({\lambda}_{2}\) sans leur conjugué. |
APM |
NBMOD06 |
0.0+0.0j |
1.884 104 (= \(\mathrm{3000x2}\pi\) ) |
22 On compte les 2 valeurs nulles + les couples \({({\lambda}_{i},\stackrel{ˉ}{{\lambda}_{i}})}_{\text{i=1,10}}\) . |
APM |
NBMOD07 |
0.0+0.0j |
1.338 105 (= \(\mathrm{21300x2}\pi\) ) |
84 On compte les 2 valeurs nulles + les couples \({({\lambda}_{i},\stackrel{ˉ}{{\lambda}_{i}})}_{\text{i=1,41}}\) . |
APM |
NBMOD08 |
779.114(1.0+j) (= \(\mathrm{124x2}\pi (1.0+j)\) ) |
701.203 (= \(\mathrm{0.9x}\mathrm{124x2}\pi\) ) |
0 |
APM |
Modélisation B#
Ce test de type validation purement mathématique est sans objet pour la gyroscopie.
Modélisation C#
Caractéristiques de la modélisation C#
Modélisations POU_D_E et DIS_TR
Nombre de nœuds : 19
Nombre de mailles : 18 soit 18 SEG2
Groupe de nœuds :
\(\mathrm{PALIER}\text{\_}A\)
\(\mathrm{PALIER}\text{\_}B\)
Grandeurs testées et résultats#
CALC_MODES
Validation des solveurs modaux GEP et QEP par comparaison des résultats issus de différentes formulations numériques, à l’aide de la commande TEST_RESU.
Test sur les fréquences propres
\(N°\) |
Paramètre testé |
Résultat |
Critère |
|---|---|---|---|
\(1\) |
\(\mathrm{FREQ}\) |
MG_SO / MG_QZ |
ABSOLU |
\(2\) |
\(\mathrm{FREQ}\) |
MG_SO / MG_QZ |
RELATIF |
\(3\) |
\(\mathrm{FREQ}\) |
MG_SO / MG_QZ |
RELATIF |
\(4\) |
\(\mathrm{FREQ}\) |
MG_SO / MG_QZ |
RELATIF |
Les fréquences propres calculées sont comparées ordre par ordre entre les différentes résolutions modales, avec un critère absolu pour le premier mode et un critère relatif pour les modes suivants.
Test sur l’amortissement réduit
\(N°\) |
Paramètre testé |
Résultat |
Critère |
|---|---|---|---|
\(1\) |
\(\mathrm{AMOR}\text{\_}\mathrm{REDUIT}\) |
MQ_SO |
RELATIF |
\(2\) |
\(\mathrm{AMOR}\text{\_}\mathrm{REDUIT}\) |
MQ_SO |
RELATIF |
L’amortissement réduit est vérifié par comparaison relative des valeurs modales calculées, afin de valider la cohérence numérique des solveurs dans le cadre d’une formulation non symétrique.
Précision supplémentaire#
Pour cette validation numérique des solveurs modaux GEP et QEP, on utilise une construction sans interprétation physique de matrices non symétriques à partir des matrices de masse de gyroscopie, et de raideur.
Différences par rapport à la Modélisation A#
La modélisation C se distingue de la Modélisation A par la méthode de calcul et les solveurs utilisés. Contrairement à la modélisation A, qui utilise des matrices symétriques réelles pour le GEP, la modélisation C met l’accent sur des matrices non symétriques issues de la gyroscopie, ce qui permet de tester la robustesse des solveurs modaux GEP et QEP dans un cadre plus complexe. Les fréquences et tolérances sont également ajustées, et la modélisation C introduit des concepts d’amortissement.
Modélisation D#
Caractéristiques de la modélisation D#
Modélisations POU_D_EM et DIS_TR
Nombre de nœuds : 19
Nombre de mailles : 18 soit 18 SEG2
Groupe de nœuds :
\(\mathrm{PALIER}\text{\_}A\)
\(\mathrm{PALIER}\text{\_}B\)
Maillage de la section
Grandeurs testées et résultats#
CALC_MODES
\(N°\) |
\(\mathrm{FREQ}(\mathrm{Hz})\) |
Tolérance |
\(1\) |
\(123.429\) |
\({10}^{-4}\) |
\(20\) |
\(7507.3\) |
\({10}^{-4}\) |
\(40\) |
\(18555.3\) |
\({10}^{-4}\) |
\(60\) |
\(35125.2\) |
\({10}^{-4}\) |
\(80\) |
\(54195.4\) |
\({10}^{-4}\) |
\(N°\) |
\(\mathrm{AMOR}\text{\_}\mathrm{REDUIT}\) |
Tolérance |
\(1\) |
\(0.0\) |
\({10}^{-4}\text{%}\) |
\(20\) |
\(0.0\) |
\({10}^{-4}\text{%}\) |
\(40\) |
\(0.0\) |
\({10}^{-4}\text{%}\) |
\(60\) |
\(0.0\) |
\({10}^{-4}\text{%}\) |
\(80\) |
\(0.0\) |
\({10}^{-4}\text{%}\) |
Modélisation E#
Caractéristiques de la modélisation E#
Modélisations POU_D_TG et DIS_TR
Nombre de nœuds : 19
Nombre de mailles : 18 soit 18 SEG2
Grandeurs testées et résultats#
CALC_MODES
Les tests assurent la non régression du code et portent sur la fréquence et l’amortissement réduit.
Modélisation F#
Caractéristiques de la modélisation F#
Modélisations POU_D_TGM et DIS_TR
Nombre de nœuds : 19
Nombre de mailles : 18 soit 18 SEG2
Groupe de nœuds :
\(\mathrm{PALIER}\text{\_}A\)
\(\mathrm{PALIER}\text{\_}B\)
Maillage de la section
Grandeurs testées et résultats#
CALC_MODES
Les tests assurent la non régression du code et portent sur la fréquence et l’amortissement réduit.
Synthèse des résultats#
On constate une bonne implantation de l’effet gyroscopique pour tous les éléments de poutre droite de Code_Aster . En absence de référence analytique pour la validation des éléments poutres multifibre et/ou avec gauchissement soumis à l’effet gyroscopique, la validation se fait par comparaison avec les résultats fournis par le module python.