v6.03.130 SSNP130 - Détection des singularités dans une plaque fissurée#
Résumé:
Le but de ce test est de tester la détection des singularités dans une plaque fissurée ainsi que le calcul de carte de taille (pour une erreur cible donnée).
Solution de référence#
Méthode de calcul#
Lorsque la solution exacte du problème étudié présente des singularités, l’ordre de convergence de la solution éléments finis est modifié. Considérons, par exemple, un problème d’élasticité plane discrétisé avec des éléments triangulaires de degré \(p\) .
Si la solution exacte \({U}_{\mathrm{ex}}\) est régulière, on sait que ([bib1]) :
\({\parallel u-{u}_{h}\parallel }_{\Omega}={\parallel e\parallel }_{\Omega}\le C{h}^{p}\) éq 2.1-1
Avec \(C\) une constante, \(h\) la taille des éléments.
Où \({\parallel e\parallel }_{\Omega}\le C{h}^{p}\) est la contribution à l’erreur en énergie, soit:
\({\parallel e\parallel }_{\Omega}\le \frac{1}{2}\underset{\Omega}{\int}\varepsilon ({e}_{h})K\varepsilon ({e}_{h})d\Omega\) éq 2.1-2
Par contre, si la solution exacte présente une singularité, par exemple si, localement au voisinage d’un point \({M}_{0}\) , le champ de déplacement est de la forme (avec \(r\) et \(\theta\) coordonnées polaires au voisinage du point \({M}_{0}\) ):
\({U}_{\mathrm{ex}}={r}^{\alpha}V(\theta )+W\) avec \(0<\alpha <1\) éq 2.1-3
Avec \(V\) une fonction de \(\theta\) et \(W\) une constante.
Alors, on montre que [bib1]:
\({\parallel {e}_{h}\parallel }_{\Omega}\le C{h}^{\alpha}\) éq 2.1-4
Il en résulte que le taux de convergence de l’erreur globale en énergie devient indépendant du degré \(p\) des éléments finis utilisés et il en est de même de celui de la mesure de l’erreur (par exemple, si \(p=1\) ou \(p=2\) alors \(\alpha =1/2\) pour une fissure).
Ainsi, en pointe de fissure l’ordre de la singularité vaudra 0.5, et loin de la singularité (là où la solution élément finis est régulière l’ordre de la singularité vaut \(p\) (1 pour les éléments linéaires, 2 pour les éléments quadratiques)
Grandeurs et résultats de référence#
On va tester la valeur de la singularité en pointe de fissure (solution analytique), dans son voisinage (non-régression) et loin de la fissure (solution analytique).
On teste également le rapport de taille à appliquer au maillage pour une erreur cible (non-régression) et la nouvelle taille des éléments (non-régression).
On note que pour la modélisation A, l’erreur cible est l’erreur (en quantité d’intérêt) sur déplacement moyen sur la structure. Pour les autres modélisations, l’erreur utilisée est l’erreur en norme de l’énergie.
Incertitude sur la solution#
Solution analytique et non-régression
Références bibliographiques#
STRANG & FIX: An analysis of the finite element method, Prentice hall, 1976.
Modélisation A#
Caractéristiques de la modélisation#
La modélisation est bidimensionnelle élastique à contraintes planes C_PLAN.
Caractéristiques du maillage#
Nombre de nœuds 136
Nombre de SEG2 46
Nombre de TRIA3 244
Grandeurs testées et résultats#
Champ SING_ELEM :
Identification |
Instant |
Type |
Référence |
Tolérance |
DEGRE MAX |
1.0 |
“ANALYTIQUE” |
1.0 |
1.0E-04% |
DEGRE MIN |
1.0 |
“ANALYTIQUE” |
0.5 |
1.0E-04% |
RAPPORT MAX |
1.0 |
“NON_REGRESSION” |
7.3626 |
0.20% |
RAPPORT MIN |
1.0 |
“NON_REGRESSION” |
1.0310 |
0.20% |
TAILLE MAX |
1.0 |
“NON_REGRESSION” |
1.6918 |
0.20% |
TAILLE MIN |
1.0 |
“NON_REGRESSION” |
0.0295 |
0.20% |
Identification |
Instant |
Type |
Référence |
Tolérance |
DEGRE M142 |
1.0 |
“NON_REGRESSION” |
0.687 |
0.20% |
DEGRE M143 |
1.0 |
“NON_REGRESSION” |
0.5 |
1.0E-04% |
DEGRE M144 |
1.0 |
“NON_REGRESSION” |
0.5 |
1.0E-04% |
DEGRE M145 |
1.0 |
“NON_REGRESSION” |
0.5 |
1.0E-04% |
DEGRE M146 |
1.0 |
“NON_REGRESSION” |
0.5842 |
1.5% |
DEGRE M189 |
1.0 |
“NON_REGRESSION” |
0.6870 |
0.20% |
DEGRE M190 |
1.0 |
“NON_REGRESSION” |
0.6870 |
0.20% |
DEGRE M191 |
1.0 |
“NON_REGRESSION” |
0.5842 |
1.5% |
Champ SING_ELNO :
Identification |
Instant |
Type |
Référence |
Tolérance |
DEGRE MAX |
1.0 |
“ANALYTIQUE” |
1.0 |
1.0E-04% |
DEGRE MIN |
1.0 |
“ANALYTIQUE” |
0.5 |
1.0E-04% |
RAPPORT MAX |
1.0 |
“NON_REGRESSION” |
7.3626 |
0.20% |
RAPPORT MIN |
1.0 |
“NON_REGRESSION” |
1.0310 |
0.20% |
TAILLE MAX |
1.0 |
“NON_REGRESSION” |
1.6918 |
0.20% |
TAILLE MIN |
1.0 |
“NON_REGRESSION” |
0.0295 |
0.20% |
Modélisation B#
Caractéristiques de la modélisation#
La modélisation est bidimensionnelle élastique à contraintes planes C_PLAN.
Caractéristiques du maillage#
Nombre de nœuds 515
Nombre de SEG3 46
Nombre de TRIA6 244
Grandeurs testées et résultats#
Champ SING_ELEM :
Identification |
Instant |
Type |
Référence |
Tolérance |
DEGRE MAX |
1.0 |
“ANALYTIQUE” |
2.0 |
1.0% |
DEGRE MIN |
1.0 |
“ANALYTIQUE” |
0.5 |
1.0% |
RAPPORT MAX |
1.0 |
“NON_REGRESSION” |
2.52 |
2.0% |
RAPPORT MIN |
1.0 |
“NON_REGRESSION” |
0.2150 |
2.0% |
TAILLE MAX |
1.0 |
“NON_REGRESSION” |
4.48 |
2.0% |
TAILLE MIN |
1.0 |
“NON_REGRESSION” |
0.0861 |
2.0% |
Identification |
Instant |
Type |
Référence |
Tolérance |
DEGRE M142 |
1.0 |
“NON_REGRESSION” |
0.750 |
1.0% |
DEGRE M143 |
1.0 |
“NON_REGRESSION” |
0.5 |
1.0% |
DEGRE M144 |
1.0 |
“NON_REGRESSION” |
0.5 |
1.0% |
DEGRE M145 |
1.0 |
“NON_REGRESSION” |
0.5 |
1.0% |
DEGRE M146 |
1.0 |
“NON_REGRESSION” |
0.550 |
2.0% |
DEGRE M189 |
1.0 |
“NON_REGRESSION” |
0.750 |
1.0% |
DEGRE M190 |
1.0 |
“NON_REGRESSION” |
0.750 |
1.0% |
DEGRE M191 |
1.0 |
“NON_REGRESSION” |
0.550 |
2.0% |
DEGRE M192 |
1.0 |
“NON_REGRESSION” |
0.550 |
2.0% |
DEGRE M193 |
1.0 |
“NON_REGRESSION” |
0.550 |
2.0% |
Champ SING_ELNO :
Identification |
Instant |
Type |
Référence |
Tolérance |
DEGRE MAX |
1.0 |
“ANALYTIQUE” |
2.0 |
1.0% |
DEGRE MIN |
1.0 |
“ANALYTIQUE” |
0.5 |
1.0% |
RAPPORT MAX |
1.0 |
“NON_REGRESSION” |
2.52 |
2.0% |
RAPPORT MIN |
1.0 |
“NON_REGRESSION” |
0.216 |
2.0% |
TAILLE MAX |
1.0 |
“NON_REGRESSION” |
4.48 |
2.0% |
TAILLE MIN |
1.0 |
“NON_REGRESSION” |
0.0860 |
0.20% |
Modélisation C#
Caractéristiques de la modélisation#
La modélisation est bidimensionnelle élastique à contraintes planes C_PLAN.
Caractéristiques du maillage#
Nombre de nœuds 111
Nombre de SEG2 46
Nombre de TRIA3 26
Nombre de QUAD4 84
Grandeurs testées et résultats#
Champ SING_ELEM :
Identification |
Instant |
Type |
Référence |
Tolérance |
DEGRE MAX |
1.0 |
“ANALYTIQUE” |
1.0 |
1.0% |
DEGRE MIN |
1.0 |
“ANALYTIQUE” |
0.5 |
1.0% |
RAPPORT MAX |
1.0 |
“NON_REGRESSION” |
2.17 |
2.0% |
RAPPORT MIN |
1.0 |
“NON_REGRESSION” |
0.167 |
2.0% |
TAILLE MAX |
1.0 |
“NON_REGRESSION” |
4.59 |
2.0% |
TAILLE MIN |
1.0 |
“NON_REGRESSION” |
0.2 |
2.0% |
Identification |
Instant |
Type |
Référence |
Tolérance |
DEGRE M30 |
1.0 |
“NON_REGRESSION” |
0.750 |
1.0% |
DEGRE M31 |
1.0 |
“NON_REGRESSION” |
0.5 |
1.0% |
DEGRE M32 |
1.0 |
“NON_REGRESSION” |
0.5 |
1.0% |
DEGRE M55 |
1.0 |
“NON_REGRESSION” |
0.780 |
1.0% |
DEGRE M56 |
1.0 |
“NON_REGRESSION” |
0.6 |
1.0% |
DEGRE M57 |
1.0 |
“NON_REGRESSION” |
0.6 |
1.0% |
Champ SING_ELNO :
Identification |
Instant |
Type |
Référence |
Tolérance |
DEGRE MAX |
1.0 |
“ANALYTIQUE” |
1.0 |
1.0% |
DEGRE MIN |
1.0 |
“ANALYTIQUE” |
0.5 |
1.0% |
RAPPORT MAX |
1.0 |
“NON_REGRESSION” |
2.17 |
2.0% |
RAPPORT MIN |
1.0 |
“NON_REGRESSION” |
0.167 |
2.0% |
TAILLE MAX |
1.0 |
“NON_REGRESSION” |
4.59 |
2.0% |
TAILLE MIN |
1.0 |
“NON_REGRESSION” |
0.205 |
2.0% |
Modélisation D#
Caractéristiques de la modélisation#
La modélisation est bidimensionnelle élastique à contraintes planes C_PLAN.
Caractéristiques du maillage#
Nombre de nœuds 331
Nombre de SEG3 46
Nombre de TRIA6 26
Nombre de QUAD8 84
Grandeurs testées et résultats#
Champ SING_ELEM :
Identification |
Instant |
Type |
Référence |
Tolérance |
DEGRE MAX |
1.0 |
“ANALYTIQUE” |
2.0 |
1.0% |
DEGRE MIN |
1.0 |
“NON_REGRESSION” |
0.51 |
1.0% |
RAPPORT MAX |
1.0 |
“NON_REGRESSION” |
1.15 |
2.0% |
RAPPORT MIN |
1.0 |
“NON_REGRESSION” |
0.16 |
2.0% |
TAILLE MAX |
1.0 |
“NON_REGRESSION” |
4.56 |
2.0% |
TAILLE MIN |
1.0 |
“NON_REGRESSION” |
0.259 |
2.0% |
Identification |
Instant |
Type |
Référence |
Tolérance |
DEGRE M30 |
1.0 |
“NON_REGRESSION” |
0.81 |
1.0% |
DEGRE M31 |
1.0 |
“NON_REGRESSION” |
0.51 |
1.0% |
DEGRE M32 |
1.0 |
“NON_REGRESSION” |
0.51 |
1.0% |
DEGRE M33 |
1.0 |
“NON_REGRESSION” |
0.650 |
1.0% |
DEGRE M55 |
1.0 |
“NON_REGRESSION” |
0.84 |
1.0% |
DEGRE M56 |
1.0 |
“NON_REGRESSION” |
0.6 |
1.0% |
DEGRE M57 |
1.0 |
“NON_REGRESSION” |
0.6 |
1.0% |
DEGRE M58 |
1.0 |
“NON_REGRESSION” |
0.7 |
2.0% |
Champ SING_ELNO :
Identification |
Instant |
Type |
Référence |
Tolérance |
DEGRE MAX |
1.0 |
“ANALYTIQUE” |
2.0 |
1.0% |
DEGRE MIN |
1.0 |
“NON_REGRESSION” |
0.51 |
1.0% |
RAPPORT MAX |
1.0 |
“NON_REGRESSION” |
1.15 |
2.0% |
RAPPORT MIN |
1.0 |
“NON_REGRESSION” |
0.16 |
2.0% |
TAILLE MAX |
1.0 |
“NON_REGRESSION” |
4.56 |
2.0% |
TAILLE MIN |
1.0 |
“NON_REGRESSION” |
0.259 |
2.0% |
Modélisation E#
Caractéristiques de la modélisation#
La modélisation est tridimensionnelle élastique 3D.
Caractéristiques du maillage#
Nombre de nœuds 796
Nombre de SEG2 120
Nombre de TRIA3 868
Nombre de TETRA4 3261
Grandeurs testées et résultats#
Champ SING_ELEM :
Identification |
Instant |
Type |
Référence |
Tolérance |
DEGRE MAX |
1.0 |
“ANALYTIQUE” |
1.0 |
1.0% |
DEGRE MIN |
1.0 |
“NON_REGRESSION” |
0.56 |
1.0% |
RAPPORT MAX |
1.0 |
“NON_REGRESSION” |
2.77 |
2.0% |
RAPPORT MIN |
1.0 |
“NON_REGRESSION” |
0.155 |
2.0% |
TAILLE MAX |
1.0 |
“NON_REGRESSION” |
9.1 |
2.0% |
TAILLE MIN |
1.0 |
“NON_REGRESSION” |
0.44 |
2.0% |
Champ SING_ELNO :
Identification |
Instant |
Type |
Référence |
Tolérance |
DEGRE MAX |
1.0 |
“ANALYTIQUE” |
1.0 |
1.0% |
DEGRE MIN |
1.0 |
“NON_REGRESSION” |
0.56 |
1.0% |
RAPPORT MAX |
1.0 |
“NON_REGRESSION” |
2.77 |
1.0% |
RAPPORT MIN |
1.0 |
“NON_REGRESSION” |
0.155 |
1.0% |
TAILLE MAX |
1.0 |
“NON_REGRESSION” |
2.77 |
1.0% |
TAILLE MIN |
1.0 |
“NON_REGRESSION” |
0.155 |
1.0% |
Modélisation F#
Caractéristiques de la modélisation#
La modélisation est tridimensionnelle élastique 3D.
Caractéristiques du maillage#
Nombre de nœuds 5286
Nombre de SEG3 120
Nombre de TRIA6 868
Nombre de TETRA10 3261
Grandeurs testées et résultats#
Champ SING_ELEM :
Identification |
Instant |
Type |
Référence |
Tolérance |
DEGRE MAX |
1.0 |
“ANALYTIQUE” |
2.0 |
1.0E-04% |
DEGRE MIN |
1.0 |
“NON_REGRESSION” |
0.5604 |
1.0E-04% |
RAPPORT MAX |
1.0 |
“NON_REGRESSION” |
2.65 |
1.0E-04% |
RAPPORT MIN |
1.0 |
“NON_REGRESSION” |
0.2169 |
1.0E-04% |
TAILLE MAX |
1.0 |
“NON_REGRESSION” |
6.5176 |
1.0E-04% |
TAILLE MIN |
1.0 |
“NON_REGRESSION” |
0.4940 |
1.0E-04% |
Champ SING_ELNO :
Identification |
Instant |
Type |
Référence |
Tolérance |
DEGRE MAX |
1.0 |
“ANALYTIQUE” |
2.0 |
1.0E-04% |
DEGRE MIN |
1.0 |
“NON_REGRESSION” |
0.5604 |
1.0E-04% |
RAPPORT MAX |
1.0 |
“NON_REGRESSION” |
2.6526 |
1.0E-04% |
RAPPORT MIN |
1.0 |
“NON_REGRESSION” |
0.2169 |
1.0E-04% |
TAILLE MAX |
1.0 |
“NON_REGRESSION” |
6.5176 |
1.0E-04% |
TAILLE MIN |
1.0 |
“NON_REGRESSION” |
0.4940 |
1.0E-04% |
Synthèse des résultats#
Les résultats obtenus sont en cohérence avec les solutions analytiques. Ils permettent de valider ce calcul en \(\mathrm{2D}\) et en \(\mathrm{3D}\) pour des éléments linéaires et quadratiques.