v7.31.146 WTNV146- Validation d’un modèle de loi cohésive pour le cas hydromécanique couplé avec XFEM#
Résumé:
Le but de ce test est de s’assurer du bon fonctionnement du modèle de zone cohésive de type «Mortier» associéaux éléments hydromécaniques couplés avec XFEM.
Dans ce test, on teste l’ensemble des régimes de fonctionnement du modèle de zone cohésive pour les éléments HM-XFEM. La loi cohésive utilisée est CZM_LIN_MIX (C’est la seule disponible pour les éléments HM-XFEM).Ce test est donc purement mécanique, tous les degrés de liberté associés à la phase fluide sont bloqués à zéro. La modélisation A est bidimensionnelle tandis que la modélisation B est tridimensionnelle.
Solution de référence#
Méthode de calcul#
Il s’agit d’une solution analytique. La contrainte cohésive normale \({t}_{c,n}\) sen fonction du saut de déplacement normal \([{u}_{n}]\) pour la loi “CZM_LIN_MIX” est représentée sur la Figure . Pour chacun des 8 instants de calcul, on représente sur cette même Figure la position dans laquelle on se trouve.Le saut de déplacement critique qui correspond à la disparition des efforts de cohésion est \({\delta}_{c}=\frac{2{G}_{c}}{{\sigma}_{c}}=0,0016363636m\)
Figure 2.1-a: Contrainte cohésive normale en fonction du saut de déplacement normal pour la loi “CZM_LIN_MIX”
En négligeant la pesanteur, l’équation d’équilibre globale s’écrit (en contraintes totales):
\(\text{Div}(\sigma )=0\)
Dans le cas d’une modélisation couplée, le tenseur des contraintes totales s’écrit:
\(\sigma =\sigma '-{p}_{1}1\)
\(\sigma '\) est le tenseur des contraintes dans le squelette et \({p}_{1}\) et la pression de pore dans le massif. Le module de Poisson \(\nu\) étant nul , et étant dans le cas élastique, on a \(\sigma '=Eϵ\) .
Or \(\forall x,{p}_{1}(x)=0\) donc finalement \(\text{Div}(ϵ)=0\)
Étant donné les déplacements imposés et la nullité du coefficient de Poisson \(\nu ` , le problème est unidirectionnel dans la direction :math:`z\) . Dans la matrice solide, le champs des déplacements suivant \(z\) vérifie:
\(\frac{d\mathrm{²}{u}_{z}}{\mathit{dz}\mathrm{²}}=0\)
Instant 1
La colonne est en compression, les lèvres de l’interface cohésive sont en contact. Le saut de déplacement \([{u}_{z}]\) est donc nul. Par conséquent \({{\varepsilon}}_{zz}=g(1)/\mathit{LZ}\) et \({\sigma}_{zz}=E{{\varepsilon}}_{zz}=E\ast g(1)/\mathit{LZ}\) . La contrainte cohésive normale \({t}_{c,n}\) est égale à la contrainte \({\sigma}_{zz}\) .
Instant 2
La colonne est en traction. On fait l’hypothèse que l’interface cohésive est en situation d’adhérence. Cette hypothèse est vérifiée si \({t}_{c,n}\le {\sigma}_{c}\) . SI l’interface cohésive est adhérent, alors les lèvres de l’interface cohésive sont en contact. Le saut de déplacement \([{u}_{z}]\) est donc nul. Par conséquent \({{\varepsilon}}_{zz}=g(2)/\mathit{LZ}\) et \({\sigma}_{zz}=E{{\varepsilon}}_{zz}=E\ast g(2)/\mathit{LZ}\) . La contrainte cohésive normale \({t}_{c,n}\) est alors égale à la contrainte \({\sigma}_{zz}=0,116\mathit{MPa}\le {\sigma}_{c}\) . L’hypothèse effectuée initialement est donc validée.
Instant 3
La colonne est en traction. On fait l’hypothèse que l’interface cohésive est en situation d’adhérence. Cette hypothèse est vérifiée si \({t}_{c,n}\le {\sigma}_{c}\) . SI l’interface cohésive est adhérente, alors les lèvres de l’interface cohésive sont en contact. Le saut de déplacement \([{u}_{z}]\) est donc nul. Par conséquent \({{\varepsilon}}_{zz}=g(3)/\mathit{LZ}\) et \({\sigma}_{zz}=E{{\varepsilon}}_{zz}=E\ast g(3)/\mathit{LZ}\) . La contrainte cohésive normale \({t}_{c,n}\) est alors égale à la contrainte \({\sigma}_{zz}=1,16\mathit{MPa}>{\sigma}_{c}\) . L’hypothèse effectuée initialement est donc fausse.
On fait donc l’hypothèse que l’interface cohésive est en régime d’endommagement. Cette hypothèse est vérifiée si \(0<[{u}_{n}]\le {\delta}_{c}\) . La contrainte cohésive \({t}_{c,n}\) est alors reliée au saut de déplacement normal \([{u}_{z}]\) par la relation \({t}_{c,n}={\sigma}_{c}\ast (1-\frac{[{u}_{z}]}{{\delta}_{c}})\) . Par ailleurs, l’élongation totale de la colonne est \(g(3)=[{u}_{z}]+\mathit{LZ}\ast {{\varepsilon}}_{zz}\) . Enfin, la contrainte cohésive normale est égale à la contrainte verticale \({t}_{c,n}=E\ast {{\varepsilon}}_{zz}\) . Finalement:
\({t}_{c,n}=\frac{E\ast {\sigma}_{c}\ast (1-\frac{g(3)}{{\delta}_{c}})}{E-\frac{\mathit{LZ}\ast {\sigma}_{c}}{{\delta}_{c}}}\)
\([{u}_{z}]=\frac{-\mathit{LZ}\ast {\sigma}_{c}+E\ast g(3)}{E-\frac{\mathit{LZ}\ast {\sigma}_{c}}{{\delta}_{c}}}\)
Numériquement, on trouve, \([{u}_{z}]=0,0001230068m<{\delta}_{c}\) . L’hypothèse effectuée initialement est validée.
Instant 4
La colonne est toujours en traction, mais une traction moins importante qu’à l’instant précédent. On est donc en situation de retour élastique dans la zone cohésive (décharge au cours du processus d’endommagement). La traction cohésive normale est alors donnée par \({t}_{c,n}=\frac{{t}_{c,n}(3)\ast [{u}_{z}]}{[{u}_{z}(3)]}\) et l’élongation totale de la colonne est \(g(4)=[{u}_{z}]+\mathit{LZ}\ast {{\varepsilon}}_{zz}\) . Enfin, la contrainte cohésive normale est égale à la contrainte verticale \({t}_{c,n}=E\ast {{\varepsilon}}_{zz}\) . Finalement:
\([{u}_{z}]=\frac{E\ast g(4)\ast [:ref:`{u}_{z}(3) <{u}_{z}(3)>\)]}{mathit{LZ}ast {t}_{c,n}(3)+East [{u}_{z}(3)]}`
\({t}_{c,n}=\frac{{t}_{c,n}(3)\ast E\ast g(4)}{\mathit{LZ}\ast {t}_{c,n}(3)+E\ast [:ref:`{u}_{z}(3) <{u}_{z}(3)>\)]}`
Instant 5
La colonne est de nouveau en traction, à un niveau non encore atteint. On fait donc l’hypothèse que l’interface cohésive est en régime d’endommagement. Cette hypothèse est vérifiée si \(0<[{u}_{n}]\le {\delta}_{c}\) . La contrainte cohésive \({t}_{c,n}\) est alors reliée au saut de déplacement normal \([{u}_{z}]\) par la relation \({t}_{c,n}={\sigma}_{c}\ast (1-\frac{[{u}_{z}]}{{\delta}_{c}})\) . Par ailleurs, l’élongation totale de la colonne est \(g(5)=[{u}_{z}]+\mathit{LZ}\ast {{\varepsilon}}_{zz}\) . Enfin, la contrainte cohésive normale est égale à la contrainte verticale \({t}_{c,n}=E\ast {{\varepsilon}}_{zz}\) . Finalement:
\({t}_{c,n}=\frac{E\ast {\sigma}_{c}\ast (1-\frac{g(5)}{{\delta}_{c}})}{E-\frac{\mathit{LZ}{\sigma}_{c}}{{\delta}_{c}}}\)
\([{u}_{z}]=\frac{-\mathit{LZ}{\sigma}_{c}+E\ast g(5)}{E-\frac{\mathit{LZ}{\sigma}_{c}}{{\delta}_{c}}}\)
Numériquement, on trouve, \([{u}_{z}]=0,000059863325m<{\delta}_{c}\) . L’hypothèse effectuée initialement est validée.
Instant 6
La colonne est toujoursen traction, à un niveau non encore atteint. On fait donc l’hypothèse que l’interface cohésive est en régime d’endommagement. Cette hypothèse est vérifiée si \(0<[{u}_{n}]\le {\delta}_{c}\) . La contrainte cohésive \({t}_{c,n}\) est alors reliée au saut de déplacement normal \([{u}_{z}]\) par la relation \({t}_{c,n}={\sigma}_{c}\ast (1-\frac{[{u}_{z}]}{{\delta}_{c}})\) . Par ailleurs, l’élongation totale de la colonne est \(g(6)=[{u}_{z}]+\mathit{LZ}\ast {{\varepsilon}}_{zz}\) . Enfin, la contrainte cohésive normale est égale à la contrainte verticale \({t}_{c,n}=E\ast {{\varepsilon}}_{zz}\) . Finalement:
\({t}_{c,n}=\frac{E\ast {\sigma}_{c}\ast (1-\frac{g(6)}{{\delta}_{c}})}{E-\frac{\mathit{LZ}{\sigma}_{c}}{{\delta}_{c}}}\)
\([{u}_{z}]=\frac{-\mathit{LZ}{\sigma}_{c}+E\ast g(6)}{E-\frac{\mathit{LZ}{\sigma}_{c}}{{\delta}_{c}}}\)
Numériquement, on trouve, \([{u}_{z}]=0,001787699m>{\delta}_{c}\) . L’hypothèse effectuée initialement est erronée. L’interface cohésive n’est plus dans le régime d’endommagement, elle est rompue. Les forces cohésives sont donc nulles \({t}_{c,n}=0\) et le saut de déplacement est \([{u}_{z}]=g(6)\) .
Instant 7
Au cours de ce pas de temps, l’élongation verticale de la colonne reste fixe. En revanche, on applique un déplacement latéral sur la face supérieure de la colonne afin de vérifier que les efforts cohésifs restent nuls en cas de cisaillement dans l’interface cohésive rompue. On a ainsi:
\([{u}_{z}]=g(7)\)
\([{u}_{x}]=f(7)\)
\({t}_{c,n}=0\)
\({t}_{c,s}=0\)
Instant 8
Enfin, on comprime la colonne pour vérifier que le contact sur les lèvres de l’interface cohésive s’applique bien même lorsque la zone cohésive a été rompue. Le chargement est le même qu’à l’instant 1. On a \({{\varepsilon}}_{zz}=g(8)/\mathit{LZ}\) et \({\sigma}_{zz}=E{{\varepsilon}}_{zz}=E\ast g(8)/\mathit{LZ}\) . La contrainte cohésive normale \({t}_{c,n}\) est égale à la contrainte \({\sigma}_{zz}\) .
Grandeurs et résultats de référence#
On teste la valeur de la traction cohésive normale au niveau de l’interface cohésive et de la traction cohésive tangentielle (suivant \(x\) ) à chaque instant. Pour tester tous les nœuds de l’interface cohésive en même temps on teste le MIN et le MAX.
Traction cohésive normale (MPa) |
Traction cohésive tangentielle (MPa) |
|
Instant 1 |
-0.116 |
0 |
Instant 2 |
0.116 |
0 |
Instant 3 |
1.0173120729 |
0 |
Instant 4 |
0.50865603645 |
0 |
Instant 5 |
0.69758542141 |
0 |
Instant 6 |
0 |
0 |
Instant 7 |
0 |
0 |
Instant 8 |
-0.116 |
0 |
Incertitudes sur la solution#
Aucune la solution est analytique.
Références bibliographiques#
Documentation de référence R7.02.18 (Éléments hydromécaniques couplés avec la méthode des éléments finis étendue).
Modélisation A#
Caractéristiques de la modélisation#
Il s’agit d’une modélisation D_PLAN_HM utilisant des éléments HM-XFEM quadratiques. Le barreau sur lequel on effectue la modélisation est divisé en 5 QUAD8. L’interface est non maillée et coupe l’élément central. Ainsi on a 3 éléments HM-XFEM et 2 éléments HM classiques. Comme indiqué sur la Figure , les 3 éléments XFEM subissent un sous découpage en sous triangles (pour effectuer l’intégration de Gauss-Legendre de part et d’autre des lèvres de l’interface, mais ces sous-éléments triangulaires ne sont pas des éléments du maillage).
Figure 3.1-a : Caractéristiques de la modélisation
Caractéristiques du maillage#
Le maillage est constitué de 5 mailles quadrangles quadratiques (QUAD8).
Grandeurs testées et résultats#
Les résultats (résolution avec STAT_NON_LINE) sont synthétisés dans le tableau ci-dessous pour chacun des 8 instants de calcul. Pour tester tous les nœuds du barreau en même temps, on calcule le MIN et le MAX.
Grandeurs testées |
Type de référence |
Valeur de référence |
Tolérance (%) |
LAGS_C MIN (instant 1) |
“ANALYTIQUE” |
-0.116 MPa |
0,0001 |
LAGS_C MAX (instant 1) |
“ANALYTIQUE” |
-0.116 MPa |
0,0001 |
LAGS_F1 MIN (instant 1) |
“ANALYTIQUE” |
0 MPa |
0,0001 |
LAGS_F1 MAX (instant 1) |
“ANALYTIQUE” |
0 MPa |
0,0001 |
LAGS_C MIN (instant 2) |
“ANALYTIQUE” |
0.116 MPa |
0,0001 |
LAGS_C MAX (instant 2) |
“ANALYTIQUE” |
0.116 MPa |
0,0001 |
LAGS_F1 MIN (instant 2) |
“ANALYTIQUE” |
0 MPa |
0,0001 |
LAGS_F1 MAX (instant 2) |
“ANALYTIQUE” |
0 MPa |
0,0001 |
LAGS_C MIN (instant 3) |
“ANALYTIQUE” |
1.0173120729 MPa |
0,0001 |
LAGS_C MAX (instant 3) |
“ANALYTIQUE” |
1.0173120729 MPa |
0,0001 |
LAGS_F1 MIN (instant 3) |
“ANALYTIQUE” |
0 MPa |
0,0001 |
LAGS_F1 MAX (instant 3) |
“ANALYTIQUE” |
0 MPa |
0,0001 |
LAGS_C MIN (instant 4) |
“ANALYTIQUE” |
0.50865603645 MPa |
0,0001 |
LAGS_C MAX (instant 4) |
“ANALYTIQUE” |
0.50865603645 MPa |
0,0001 |
LAGS_F1 MIN (instant 4) |
“ANALYTIQUE” |
0 MPa |
0,0001 |
LAGS_F1 MAX (instant 4) |
“ANALYTIQUE” |
0 MPa |
0,0001 |
LAGS_C MIN (instant 5) |
“ANALYTIQUE” |
0.69758542141 MPa |
0,0001 |
LAGS_C MAX (instant 5) |
“ANALYTIQUE” |
0.69758542141 MPa |
0,0001 |
LAGS_F1 MIN (instant 5) |
“ANALYTIQUE” |
0 MPa |
0,0001 |
LAGS_F1 MAX (instant 5) |
“ANALYTIQUE” |
0 MPa |
0,0001 |
LAGS_C MIN (instant 6) |
“ANALYTIQUE” |
0 MPa |
0,0001 |
LAGS_C MAX (instant 6) |
“ANALYTIQUE” |
0 MPa |
0,0001 |
LAGS_F1 MIN (instant 6) |
“ANALYTIQUE” |
0 MPa |
0,0001 |
LAGS_F1 MAX (instant 6) |
“ANALYTIQUE” |
0 MPa |
0,0001 |
LAGS_C MIN (instant 7) |
“ANALYTIQUE” |
0 MPa |
0,0001 |
LAGS_C MAX (instant 7) |
“ANALYTIQUE” |
0 MPa |
0,0001 |
LAGS_F1 MIN (instant 7) |
“ANALYTIQUE” |
0 MPa |
0,0001 |
LAGS_F1 MAX (instant 7) |
“ANALYTIQUE” |
0 MPa |
0,0001 |
LAGS_C MIN (instant 8) |
“ANALYTIQUE” |
-0.116 MPa |
0,0001 |
LAGS_C MAX (instant 8) |
“ANALYTIQUE” |
-0.116 MPa |
0,0001 |
LAGS_F1 MIN (instant 8) |
“ANALYTIQUE” |
0 MPa |
0,0001 |
LAGS_F1 MAX (instant 8) |
“ANALYTIQUE” |
0 MPa |
0,0001 |
Modélisation B#
Caractéristiques de la modélisation#
Il s’agit d’une modélisation 3D_HM utilisant des éléments HM-XFEM quadratiques. La colonne sur laquelle on effectue la modélisation est divisée en 5 HEXA20. L’interface est non maillée et coupe l’élément central. Ainsi on a 3 éléments HM-XFEM et 2 éléments HM classiques (les deux hexaèdres qui forment les extrémités de la colonne). Comme indiqué sur la Figure , les 3 éléments XFEM subissent un sous découpage en sous tétraèdres (pour effectuer l’intégration de Gauss-Legendre de part et d’autre des lèvres de l’interface, mais ces sous-éléments tétraèdres ne sont pas des éléments du maillage).
Figure 4.1-a : Caractéristiques de la modélisation
Caractéristiques du maillage#
Le maillage est constitué de 5 mailles hexaédriques quadratiques (HEXA20).
Grandeurs testées et résultats#
Les résultats (résolution avec STAT_NON_LINE) sont synthétisés dans le tableau ci-dessous pour chacun des 8 instants de calcul. Pour tester tous les nœuds du barreau en même temps, on calcule le MIN et le MAX.
Grandeurs testées |
Type de référence |
Valeur de référence |
Tolérance (%) |
LAGS_C MIN (instant 1) |
“ANALYTIQUE” |
-0.116 MPa |
0,0001 |
LAGS_C MAX (instant 1) |
“ANALYTIQUE” |
-0.116 MPa |
0,0001 |
LAGS_F1 MIN (instant 1) |
“ANALYTIQUE” |
0 MPa |
0,0001 |
LAGS_F1 MAX (instant 1) |
“ANALYTIQUE” |
0 MPa |
0,0001 |
LAGS_C MIN (instant 2) |
“ANALYTIQUE” |
0.116 MPa |
0,0001 |
LAGS_C MAX (instant 2) |
“ANALYTIQUE” |
0.116 MPa |
0,0001 |
LAGS_F1 MIN (instant 2) |
“ANALYTIQUE” |
0 MPa |
0,0001 |
LAGS_F1 MAX (instant 2) |
“ANALYTIQUE” |
0 MPa |
0,0001 |
LAGS_C MIN (instant 3) |
“ANALYTIQUE” |
1.0173120729 MPa |
0,0001 |
LAGS_C MAX (instant 3) |
“ANALYTIQUE” |
1.0173120729 MPa |
0,0001 |
LAGS_F1 MIN (instant 3) |
“ANALYTIQUE” |
0 MPa |
0,0001 |
LAGS_F1 MAX (instant 3) |
“ANALYTIQUE” |
0 MPa |
0,0001 |
LAGS_C MIN (instant 4) |
“ANALYTIQUE” |
0.50865603645 MPa |
0,0001 |
LAGS_C MAX (instant 4) |
“ANALYTIQUE” |
0.50865603645 MPa |
0,0001 |
LAGS_F1 MIN (instant 4) |
“ANALYTIQUE” |
0 MPa |
0,0001 |
LAGS_F1 MAX (instant 4) |
“ANALYTIQUE” |
0 MPa |
0,0001 |
LAGS_C MIN (instant 5) |
“ANALYTIQUE” |
0.69758542141 MPa |
0,0001 |
LAGS_C MAX (instant 5) |
“ANALYTIQUE” |
0.69758542141 MPa |
0,0001 |
LAGS_F1 MIN (instant 5) |
“ANALYTIQUE” |
0 MPa |
0,0001 |
LAGS_F1 MAX (instant 5) |
“ANALYTIQUE” |
0 MPa |
0,0001 |
LAGS_C MIN (instant 6) |
“ANALYTIQUE” |
0 MPa |
0,0001 |
LAGS_C MAX (instant 6) |
“ANALYTIQUE” |
0 MPa |
0,0001 |
LAGS_F1 MIN (instant 6) |
“ANALYTIQUE” |
0 MPa |
0,0001 |
LAGS_F1 MAX (instant 6) |
“ANALYTIQUE” |
0 MPa |
0,0001 |
LAGS_C MIN (instant 7) |
“ANALYTIQUE” |
0 MPa |
0,0001 |
LAGS_C MAX (instant 7) |
“ANALYTIQUE” |
0 MPa |
0,0001 |
LAGS_F1 MIN (instant 7) |
“ANALYTIQUE” |
0 MPa |
0,0001 |
LAGS_F1 MAX (instant 7) |
“ANALYTIQUE” |
0 MPa |
0,0001 |
LAGS_C MIN (instant 8) |
“ANALYTIQUE” |
-0.116 MPa |
0,0001 |
LAGS_C MAX (instant 8) |
“ANALYTIQUE” |
-0.116 MPa |
0,0001 |
LAGS_F1 MIN (instant 8) |
“ANALYTIQUE” |
0 MPa |
0,0001 |
LAGS_F1 MAX (instant 8) |
“ANALYTIQUE” |
0 MPa |
0,0001 |
Synthèse des résultats#
Ce test permet de valider le modèle cohésif de type MORTARet la loi cohésive CZM_LIN_MIX pour les éléments cohésifs HM-XFEM.