v2.04.126 SDLV126 – Modélisation de l’amortissement viscoélastique avec RIGI_MECA_HYST#

Résumé:

L’objectif de ce test est de valider l’extension de l’option RIGI_MECA_HYST de la méthode CALC_MATR_ELEM concernant les matériaux viscoélastiques linéaires en régime harmonique. Dans ce test, on vérifie que l’option RIGI_MECA n’est pas impactée, qu‘on retrouve le cas dégradé de l’amortissement hystérique et une validation croisée avec les résultats numériques de la thèse de Lucie Rouleau a été réalisée.

Les modélisations H, I et J valident l’utilisation des charges cinématiques (c-a-d issues d’AFFE_CHAR_CINE) non-homogènes avec DYNA_VIBRA pour les calculs harmoniques sur base physique.

Modélisations E et F#

Objectifs#

L’objectif de ces modélisations est de vérifier sur un élément que la modélisation d’un matériau viscoélastique dont le coefficient de Poisson est constant/réel et le module de Young complexe est équivalente à la modélisation d’un matériau élastiques avec un coefficient d’amortissement hystérétique.

En élasticité isotrope, la loi de comportement s’écrit:

\(\sigma =\frac{E}{1+\nu }(ϵ+\frac{\nu}{1-2\nu }\mathit{Tr}(ϵ)\mathit{Id})\)

Ainsi, si \(E={E}_{r}+j{E}_{i}\) alors

\(\sigma =(1+j\frac{{E}_{i}}{{E}_{r}})\frac{{E}_{r}}{1+\nu }(ϵ+\frac{\nu}{1-2\nu }\mathit{Tr}(ϵ)\mathit{Id})\)

Cela correspond à un matériau élastique isotrope de module de Young \({E}_{r}\) de Poisson \(\nu\) et d’amortissement hystérétique \(\eta =\frac{{E}_{i}}{{E}_{r}}\)

Géométrie#

S’agissant de test de construction de matrice de rigidités, la géométrie correspond à un cube pour les éléments 3D et un plan carré pour les éléments 2D.

Propriétés matériaux#

Les deux matériaux déclaré sont:

  • viscoélastique, matériau 1: \(G=\mathrm{0,53e9}+\mathrm{9,3e6}j\mathit{Pa},\nu =0,3\)

  • élastique, matériau 2: \(E=\mathrm{1,3e9}\mathit{Pa},\nu =\mathrm{0,3,}\eta =\mathrm{1,8e-2}\)

Caractéristiques des modélisations#

Modélisation

Élément

Maillage

E

3D

1 HEXA8

F

C_PLAN

1 QUAD4

Grandeurs testées#

Pour chaque modélisations, on construits les matricesde raideurs complexes:

  • \({K}_{1}\text{*}\) du matériau 1

  • \({K}_{2}\text{*}\) du matériau 2

on vérifie alors \({K}_{1}\text{*}={K}_{2}\text{*}\)

Modélisation G#

Description du problème de référence#

Géométrie#

On considère une structure élancée sandwich de section carrée composée de deux peaux et d’un cœur. Il s’agit du même cas de calcul que celui présenté par Lucie Rouleau dans le chapitre 4 de sa thèse [bib1]

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x=1m

Propriétés du matériau#

Les peaux sont composées d’un matériau est élastique isotrope dont les propriétés sont :

  • Module d’Young \(E=2.1{10}^{11}\mathit{Pa}\)

  • Coefficient de Poisson \(\nu =0.3\)

  • Masse volumique \(\rho =7800\mathit{kg}/m\mathrm{³}\)

Le cœur est composé d’un matériaux viscoélastique linéaire dont le coefficient de cisaillement est modélisé par un modèle de Zener fractionnaire, c’est à dire: \(G(\omega )=\frac{{G}_{0}+{G}_{\infty}{(j\omega )}^{\alpha}}{1+{(j\omega )}^{\alpha}}\) , le coefficient de compressibilité est quand à lui est pris constant. Les valeurs numériques sont:

  • \({G}_{0}=\mathrm{1,4e6}\mathit{Pa}\)

  • \({G}_{\infty}=\mathrm{0,54e9}\mathit{Pa}\)

  • \(\tau =\mathrm{0,52e-6}s\)

  • \(\alpha =0,59\)

  • Masse volumique \(\rho =1460\mathit{kg}/m\mathrm{³}\)

  • Coefficient de compressibilité \(K=\mathrm{2,2e9}\mathit{Pa}\)

Conditions aux limites et chargements#

Cette structure est excitée ponctuellement par un effort harmonique unitaire au point \((1m,0,5m,0,5m)\) , on s’intéressera au déplacement selon \(z\) en ce même point. La structure est encastré en x=0.

Solution de référence#

Grandeurs et résultats de référence#

On compare les valeurs de module du déplacement selon z en des fréquences données calculé par les nouvelles méthodes de Code_Aster et le code de calcul de [bib1]

Incertitudes sur la solution#

On considère qu’il y a une régression si les résultats obtenus ne sont pas identiques.

Grandeurs testées et résultats#

Caractéristiques du maillage#

Le maillage contient 1750 éléments de type HEXA20 et 35 éléments de type QUAD8.

Résultats#

On teste les 4 fréquences suivantes correspondants aux premières résonances et anti résonances de la structure.

Fréquence

Valeur calculée

Valeur de référence

45 Hz

-2.19729959e-06-5.31250496e-06j

-2.52885263e-06-5.26288448e-06j

179 Hz

1.15296519e-09-3.39972232e-09j

1.11783628e-09-3.30841894e-09j

255

1.04664929e-07-2.81759671e-07j

1.01911277e-07-2.96162398e-07j

696

1.57582867e-08-6.87887584e-08j

1.48442697e-08-7.13562822e-08j

Modélisation H#

Cette modélisation est la même que la modélisation G. Mais elle utilise des conditions aux limites dualisées (issues d’AFFE_CHAR_MECA) et non pas cinématiques.

De plus, on impose un déplacement non-nul en Zau point de blocage pour traiter le cas de conditions aux limites non-homogènes.

Ce test sert de référence aux modélisations I et J. Il n’a pas de réellement de signification physique.

Modélisation I#

Cette modélisation est la même que la modélisation H avec des conditions aux limites cinématiques.

Elle permet de valider l’utilisation de conditions aux limites cinématiques (issue d’AFFE_CHAR_CINE) et non-homogènes par comparaison au même calcul avec conditions aux limites dualisées et non-homogènes. Elle valide également la prise en compte du mot-clé COEF_MULT avec une charge cinématique.

Ce test n’a pas de réellement de signification physique.

Modélisation J#

Cette modélisation est la même que la modélisation Javec l’association d’une charge cinématique dépendant de la fréquence et d’une fonction multiplicatrice dépendant inversement de la fréquence de façon à retomber sur le même chargement que les modélisation H et I.

Elle permet de valider l’utilisation de conditions aux limites cinématiques dépendant de la fréquence (issue d’AFFE_CHAR_CINE_F) et non-homogènes ainsi que la bonne prise en compte du mot-clé FONC_MULT et cela tout au long du calcul.

Ce test n’a pas de réellement de signification physique.

Synthèse des résultats#

Ce cas test a permis de vérifier les méthodes de calcul de matrice de rigidité complexe sur matériau viscoélastique linéaire. Il réalise des cas test de construction de matrice et une validation croisée avec un code tiers.

Références bibliographiques#

[bib1] ROULEAU L.: Modélisation vibro-acoustique de structures sandwich munies de matériaux visco-élastiques, thèse du Conservatoire National des Arts et Métiers de Paris, 2014