v2.03.003 SDLS03 - Plaque rectangulaire mince simplement appuyée sur les bords#
Résumé:
Ce problème tridimensionnel consiste à chercher les fréquences de vibration d’une structure mécanique de type plaque. Deux configurations différentes permettent de tester les modes de vibration dans le plan de la plaque (comportement en membrane) avec des appuis élastiques sur deux bords opposés, et les modes de vibration en flexion d’une plaque appuyée sur son contour.
Ce test de mécanique des structures correspond à une analyse dynamique d’un modèle surfacique ayant un comportement linéaire. Il comporte deux modélisations (maillage en triangle ou en quadrangle).
Ce problème permet de tester les éléments de plaque en flexion transverse et en membrane et le calcul des fréquences de vibration par la méthode de Lanczos ou la méthode de Bathe et Wilson.
Solution de référence#
Méthode de calcul utilisée pour la solution de référence#
Problème de flexion#
La solution de référence du problème de flexion est celle donnée dans la fiche SDLS03/89 du guide VPCS qui présente la méthode de calcul de la façon suivante.
La formulation de M.V. BARTON pour une plaque rectangulaire, posée sur ses quatre côtés conduit pour les modes de flexion à:
\({f}_{ij}=\frac{\pi}{2}\left[{\left[\frac{i}{a}\right]}^{2}+{\left[\frac{j}{b}\right]}^{2}\right]\sqrt{\frac{E{t}^{2}}{12\rho (1-{\nu}^{2})}}\)
avec:
\(i\) = nombre de demi-longueur d’onde selon \(y\) (dimension \(a\) ),
\(j\) = nombre de demi-longueur d’onde selon \(x\) (dimension \(b\) ).
Problème de membrane#
Le problème traité en membrane est équivalent pour la recherche de la première fréquence de vibration au problème unidimensionnel suivant:
où:
\(k\) est la raideur des ressorts,
\(m\) est la masse de la plaque.
La fréquence cherchée est donc: \(f=\frac{1}{2\pi }\sqrt{\frac{\mathrm{4k}}{m}}\)
Résultats de référence#
Pour le problème de flexion, on calcule les six premières fréquences de vibration et pour le calcul en membrane, on ne calcule que la première fréquence.
Incertitude sur la solution#
Les solutions étant analytiques, il n’y a pas d’incertitude.
Références bibliographiques#
M.V.BARTON « Vibrations of rectangular and skew cantilever plates » - Journal of Applied Mechanics, vol.18, p.129-134 (1951).
Modélisation A#
Caractéristiques de la modélisation#
On a découpé la plaque en 200 mailles TRIA3. Deux modélisations pour la plaque sont utilisées: DKT et DST.
Pour le problème de flexion, les conditions aux limites sont les suivantes:
en tous les nœuds du bord : \(\mathit{DZ}=0\)
Pour le problème de membrane, les conditions aux limites sont:
en tous les nœuds du maillage : \(\mathit{DZ}=0\) \(\mathit{DRX}=\mathit{DRY}=\mathit{DRZ}=0\) ,
en tous les nœuds des côtés \(\mathit{AB}\) et \(\mathit{BC}\) : \(\mathit{DY}=0\)
aux points \(A,B,C,D\) on ajoute des éléments discrets de rigidité (direction \(x\) ).
Caractéristiques du maillage#
Nombre de nœuds: 121
Nombre de mailles et types: 200 TRIA3
Les points caractéristiques du maillage sont les suivants:
Point \(A\) = \(\mathit{N1}\) |
Point \(C\) = \(\mathit{N121}\) |
Point \(B\) = \(\mathit{N111}\) |
Point \(D\) = \(\mathit{N11}\) |
Grandeurs testées et résultats#
Pour les modes de flexion:
Numéro du mode |
Fréquences |
|||
Référence |
Aster DKT |
% différence |
% tolérance |
|
4 |
35.63 |
35.46 |
–0.477 |
0.5 |
5 |
68.51 |
67.82 |
–1.003 |
1.1 |
6 |
109.62 |
108.67 |
–0.867 |
0.9 |
7 |
123.32 |
121.90 |
–1.150 |
1.2 |
8 |
142.51 |
139.99 |
–1.761 |
1.8 |
9 |
197.32 |
191.70 |
–2.846 |
2.9 |
Aster DST |
% différence |
% tolérance |
35.45 |
–0.492 |
0.5 |
67.80 |
–1.030 |
1.1 |
108.62 |
–0.910 |
|
121.84 |
–1.199 |
1.3 |
139.92 |
–1.815 |
1.9 |
191.57 |
–2.912 |
Pour le problème en membrane:
Référence |
Aster DKT |
% différence |
% tolérance |
0.14714 |
0.147136 |
–0.002 |
0.1 |
Aster DST |
% différence |
% tolérance |
|
0.147136 |
–0.001 |
0.1 |
Remarques#
Pour le problème en flexion, la position modale du premier mode trouvé dans la bande \((5.,200.)\) est la quatrième, parce qu’il y a trois modes de corps solide à la fréquence zéro:
modes de translation \(u\) et \(v\) dans le plan,
mode de rotation autour de l’axe \(z\) .
Modélisation B#
Caractéristiques de la modélisation#
On a découpé la plaque en 100 mailles QUAD4.
Trois modélisations pour la plaque sont utilisées: Q4G, DKT (DKQ), DST (DSQ).
Par rapport à la modélisation A, la plaque a été tournée dans le plan \((o,x,y)\) d’un angle de \(60°\)
Pour le problème de flexion, les conditions aux limites sont les suivantes:
en tous les nœuds du bord : \(\mathrm{DZ}=0\)
Pour le problème de membrane, les conditions aux limites sont:
en tous les nœuds du maillage : \(\mathrm{DZ}=0\) \(\mathrm{DRX}=\mathrm{DRY}=\mathrm{DRZ}=0\) ,
au nœud \(A\) , on bloque le déplacement \(\mathrm{DY}\) dans le repère \((A,x',y')\) ,
aux points \(A,B,C,D\) on ajoute des éléments discrets de rigidité (direction \(x'\) ).
Caractéristiques du maillage#
Nombre de nœuds: 121 |
Nombre de mailles et types: 100 QUAD4 |
Les points caractéristiques du maillage sont les suivants:
Point \(A\) = \(\mathrm{N1}\) |
Point \(B\) = \(\mathrm{N111}\) |
Point \(C\) = \(\mathrm{N121}\) |
Point \(D\) = \(\mathrm{N11}\) |
Grandeurs testées et résultats#
Pour les modes de flexion:
Numéro du mode |
Fréquences |
|||
Référence |
Aster DKQ |
% différence |
% tolérance |
|
4 |
35.63 |
35.359 |
–0.760 |
0.8 |
5 |
68.51 |
67.491 |
–1.427 |
1.5 |
6 |
109.62 |
108.563 |
–0.964 |
|
7 |
123.32 |
121.144 |
–1.765 |
1.8 |
8 |
142.51 |
138.402 |
–2.882 |
2.9 |
9 |
197.32 |
188.500 |
–4.470 |
4.5 |
Aster DSQ |
||||
4 |
35.63 |
35.351 |
–0.782 |
0.8 |
5 |
68.51 |
67.464 |
–1.527 |
1.6 |
6 |
109.62 |
108.494 |
–1.027 |
1.1 |
7 |
123.32 |
121.060 |
–1.832 |
1.9 |
8 |
142.51 |
138.291 |
–2.961 |
|
9 |
197.32 |
188.298 |
–4.572 |
4.6 |
Aster Q4G |
||||
4 |
35.63 |
36.011 |
1.068 |
1.1 |
5 |
68.51 |
70.795 |
3.336 |
3.5 |
6 |
109.62 |
114.593 |
4.536 |
4.6 |
7 |
123.32 |
134.899 |
9.39 |
9.4 |
8 |
142.51 |
142.941 |
4.513 |
4.6 |
9 |
197.32 |
212.045 |
7.463 |
7.5 |
Pour le problème en membrane:
Référence |
Aster |
% différence |
% tolérance |
|
DKQ |
0.14714 |
0.14713 |
–0.003 |
0.1 |
DSQ |
0.14714 |
0.14714 |
–0.002 |
0.1 |
Q4G |
0.14714 |
0.14714 |
0.1 |
Remarques#
Pour le problème en flexion, la position modale du premier mode trouvé dans la bande \((5.,200.)\) est la quatrième, parce qu’il y a trois modes de corps solide à la fréquence zéro:
modes de translation \(u\) et \(v\) dans le plan,
mode de rotation autour de l’axe \(z\) .
Modélisation D#
Caractéristiques de la modélisation#
On a découpé la plaque en 200 mailles TRIA3. une modélisation pour la plaque est utilisée: Q4G.
Pour le problème de flexion, les conditions aux limites sont les suivantes:
en tous les nœuds du bord : \(\mathrm{DZ}=0\)
Pour le problème de membrane, les conditions aux limites sont:
en tous les nœuds du maillage : \(\mathrm{DZ}=0\) \(\mathrm{DRX}=\mathrm{DRY}=\mathrm{DRZ}=0\) ,
en tous les nœuds des côtés \(\mathrm{AB}\) et \(\mathrm{BC}\) : \(\mathrm{DY}=0\)
aux points \(A,B,C,D\) on ajoute des éléments discrets de rigidité (direction \(x\) ).
Caractéristiques du maillage#
Nombre de nœuds: 121
Nombre de mailles et types: 200 TRIA3
Les points caractéristiques du maillage sont les suivants:
Point \(A\) = \(\mathrm{N1}\) |
Point \(C\) = \(\mathrm{N121}\) |
Point \(B\) = \(\mathrm{N111}\) |
Point \(D\) = \(\mathrm{N11}\) |
Grandeurs testées et résultats#
Pour les modes de flexion :
Numéro du mode |
Identification |
Type de Référence |
Référence |
% tolérance |
4 |
Fréquences |
“ANALYTIQUE” |
35.63 |
1.5 |
5 |
Fréquences |
“ANALYTIQUE” |
68.51 |
3.5 |
6 |
Fréquences |
“ANALYTIQUE” |
109.62 |
3.0 |
7 |
Fréquences |
“ANALYTIQUE” |
123.32 |
7.0 |
8 |
Fréquences |
“ANALYTIQUE” |
142.51 |
8.5 |
9 |
Fréquences |
“ANALYTIQUE” |
197.32 |
10.0 |
Synthèse des résultats#
La précision, pour les modes de flexion, reste acceptable sur les six premiers modes. Notons cependant que la précision est moins bonne que dans le cas de la plaque libre dans l’espace (test SDLS01 [V2.03.001]).
On remarque que le traitement des modes de corps solide est convenable.
Pour le test en membrane, les résultats sont très satisfaisants.