v4.04.101 TPLV101 - Thermique stationnaire avec condition d’échange entre parois en vis-à-vis#
Résumé:
Ce test élémentaire permet de traiter un problème stationnaire en thermique mettant en jeu deux domaines séparés en imposant une condition au limite de type échange entre parois.
Pour les modélisations présentées ici, les résultats obtenus par Code_Aster sont identiques à la référence calculée analytiquement.
Solution de référence#
Méthode de calcul utilisée pour la solution de référence#
On dispose d’une solution analytique simple, puisqu’il s’agit d’exhiber une fonction harmonique et d’ajuster la source associée dans chaque domaine :
dans le domaine 1 : \(T(x,y,z)=T({A}_{1})+{x}^{2}+{y}^{2}+{z}^{2}\) , (dans le repère d’origine \({A}_{1}\) ),
dans le domaine 2 : \(T(x,y,z)=T({A}_{2})+\frac{1}{2}{x}^{2}+{y}^{2}+{z}^{2}\) , (dans le repère d’origine \({A}_{2}\) ).
On en déduit les valeurs de \({s}_{1}\) et \({s}_{2}\) , \({s}_{1}=-6.\) , \({s}_{2}=–\mathrm{5.W}/{m}^{3}\) .
Résultats de référence#
Températures aux points des plans \({B}_{1}{F}_{1}{G}_{1}{C}_{1}\) et \({A}_{2}{E}_{2}{H}_{2}{D}_{2}\)
Incertitude sur la solution#
Solution analytique.
Modélisation A#
Caractéristiques de la modélisation#
Modélisation 2D :
Conditions aux limites et chargements#
Flux sortant à travers la paroi \({B}_{1}{C}_{1}\) identique au flux entrant à travers la paroi \({A}_{2}{D}_{2}\) |
|
Température imposée en \({A}_{1}\) Température imposée en \({B}_{2}\) |
\(T=0.°C\) \(T=4.5°C\) |
Flux normal imposé sur la paroi \({B}_{2}{C}_{2}\) Flux normal imposé sur les plans \({C}_{1}{D}_{1}\) et \({C}_{2}{D}_{2}\) |
\(\varphi =\mathrm{3.W}/{m}^{2}\) \(\varphi =\mathrm{6.W}/{m}^{2}\) |
Source imposée dans le domaine 1 Source imposée dans le domaine 2 |
\({s}_{1}\) \({s}_{2}\) |
Caractéristiques du maillage#
6 QUAD8
36 nœuds
Valeurs testées#
Identification Température |
Référence |
nœud \(\mathit{N2}\) (\({B}_{1}\) ) |
1.00 |
nœud \(\mathit{N3}\) |
2.00 |
nœud \(\mathit{N6}\) |
1.25 |
nœud \(\mathit{N11}\) |
3.25 |
nœud \(\mathit{N9}\) |
5.00 |
nœud \(\mathit{N16}\) |
7.25 |
nœud \(\mathit{N14}\) (\({C}_{1}\) ) |
10.00 |
nœud \(\mathit{N19}\) (\({A}_{2}\) ) |
2.00 |
nœud \(\mathit{N22}\) |
3.00 |
nœud \(\mathit{N26}\) |
2.25 |
nœud \(\mathit{N31}\) |
4.25 |
nœud \(\mathit{N28}\) |
6.00 |
nœud \(\mathit{N36}\) |
8.25 |
nœud \(\mathit{N33}\) (\({D}_{2}\) ) |
11.00 |
Remarques#
Les fonctions de forme de l’élément QUAD8 étant d’ordre 2, il est naturel d’obtenir la solution de référence qui s’exprime sous la forme d’un polynôme d’ordre 2.
Le fichier de commandes déposé contient une liste d’instants et appelle la commande THER_LINEAIRE pour effectuer un calcul transitoire qui ne présente pas d’intérêt, le coefficient de chaleur volumique étant pris égal à 0.
Modélisation B#
Caractéristiques de la modélisation#
Modélisation 3D :
Caractéristiques du maillage#
6 HEXA20
88 nœuds
Valeurs testées#
Identification Température |
Référence |
nœud \(\mathit{A2}\) (\({B}_{1}\) ) |
1.00 |
nœud \(\mathit{A3}\) (\({F}_{1}\) ) |
2.00 |
nœud \(\mathit{A7}\) |
3.00 |
nœud \(\mathit{A10}\) |
1.25 |
nœud \(\mathit{A15}\) |
2.25 |
nœud \(\mathit{A22}\) |
5.00 |
nœud \(\mathit{A26}\) |
3.25 |
nœud \(\mathit{A30}\) |
5.25 |
nœud \(\mathit{A35}\) (\({G}_{1}\) ) |
11.00 |
nœud \(\mathit{A39}\) |
8.25 |
nœud \(\mathit{B1}\) (\({A}_{2}\) ) |
2.00 |
nœud \(\mathit{B4}\) (\({E}_{2}\) ) |
3.00 |
nœud \(\mathit{B5}\) |
3.00 |
nœud \(\mathit{B8}\) |
4.00 |
nœud \(\mathit{B13}\) |
2.25 |
nœud \(\mathit{B21}\) |
6.00 |
nœud \(\mathit{B28}\) |
5.25 |
nœud \(\mathit{B33}\) (\({D}_{2}\) ) |
11.00 |
nœud \(\mathit{B40}\) |
9.25 |
nœud \(\mathit{B44}\) |
11.25 |
Remarques#
Les fonctions de forme de l’élément HEXA20 étant d’ordre 2, il est naturel d’obtenir la solution de référence qui s’exprime sous la forme d’un polynôme d’ordre 2.
Le fichier de commandes déposé contient une liste d’instants et appelle la commande THER_LINEAIRE pour effectuer un calcul transitoire qui ne présente pas d’intérêt, le coefficient de chaleur volumique étant pris égal à 0.
Modélisation C#
Caractéristiques de la modélisation#
La modélisation est la même que celle de la modélisation A.
Conditions aux limites et chargements#
Flux sortant à travers la paroi \({B}_{1}{C}_{1}\) identique au flux entrant à travers la paroi \({A}_{2}{D}_{2}\) |
|
Température imposée en \({A}_{1}\) Température imposée en \({B}_{2}\) |
\(T=0.°C\) \(T=4.5°C\) |
Flux normal imposé sur la paroi \({B}_{2}{C}_{2}\) Flux normal imposé sur les plans \({C}_{1}{D}_{1}\) et \({C}_{2}{D}_{2}\) |
\(\varphi =\mathrm{3.W}/{m}^{2}\) \(\varphi =\mathrm{6.W}/{m}^{2}\) |
Source imposée dans le domaine 1 Source imposée dans le domaine 2 |
\({s}_{1}\) \({s}_{2}\) |
Caractéristiques du maillage#
6 QUAD8
36 nœuds
Valeurs testées#
Identification Température |
Référence |
nœud N2 (B1) |
1.00 |
nœud N3 |
2.00 |
nœud N6 |
1.25 |
nœud N11 |
3.25 |
nœud N9 |
5.00 |
nœud N16 |
7.25 |
nœud N14 (C1) |
10.00 |
nœud N19 (A2) |
2.00 |
nœud N22 |
3.00 |
nœud N26 |
2.25 |
nœud N31 |
4.25 |
nœud N28 |
6.00 |
nœud N36 |
8.25 |
nœud N33 (D2) |
11.00 |
Synthèses des résultats#
Les deux modélisations avec des éléments d’ordre 2 conduisent de façon exacte à la solution analytique et valide l’implantation des conditions aux limites de type ECHANGE_PAROI.