u2.04.04 Notice d’utilisation du contact dans code_aster

Résumé:

Ce document décrit la démarche à suivre pour la prise en compte de conditions de contact-frottement dans les études non linéaires. On s’intéresse à du contact surfacique entre solides déformable ou entre un solide déformable et un solide rigide. Dans un premier temps, on rappelle ce que signifie prendre en compte du contact-frottement en mécanique des structures, puis on trace les grandes lignes d’un problème de contact dans code_aster: appariement et résolution.

La définition du contact s’effectue avec la commande DEFI_CONTACT tandis que la résolution se fait avec les commandes STAT_NON_LINE ou DYNA_NON_LINE. On formule des préconisations pour la paramétrisation de l’appariement et le choix des méthodes de résolution dans ces opérateurs.

Enfin diverses méthodologies sont évoquées (contact avec une surface rigide, récupérer une pression de contact en post-traitement, grandes déformations et contact, mouvements de corps rigide bloqués par le contact, …). Elles permettent de surmonter les difficultés fréquemment rencontrées dans les études. Dans cette section, sont aussi abordées les modélisations alternatives du phénomène de contact-frottement par des éléments de joints ou des éléments discrets (à travers la loi de comportement).

Table des Matières

Appariement

Notion de zones et de surfaces de contact

C’est toujours à l’utilisateur de définir les surfaces potentielles de contact: il n’existe pas dans Code_Aster de mécanisme automatique de détection des interpénétrations possibles dans une structure.

L’utilisateur fournit donc dans le fichier de commandes une liste de couples de surfaces de contact. Chaque couple contient une surface dite «maître» et une surface dite «esclave». On appelle « zone de contact» un tel couple.

Cas appariement MAIT_ESCL:

Les conditions de contact seront imposées zone par zone. Faire respecter le contact consiste à empêcher les nœuds esclaves de pénétrer à l’intérieur des surfaces maîtres (en revanche l’inverse est possible).

Sur l’exemple ci-dessous ( cf. ), la structure étudiée est constituée de trois solides, on a défini trois zones de contact potentielles symbolisées par les ellipses rouges. Comme leur nom l’indique ces zones de contact déterminent des parties de la structure où des corps sont susceptibles d’entrer en contact. Cela signifie que l’on y fait respecter les conditions de contact-frottement, l’activation effective de contact dépendant in fine du chargement imposé.

Il n’y a aucune restriction sur le nombre de zones de contact. Les zones doivent cependant être séparées, c’est-à-dire que l’intersection de deux zones distinctes doit être vide [1]_ . Par ailleurs, au sein d’une zone, les surfaces maîtres et esclaves d’une même zone doivent aussi avoir une intersection nulle: si ce n’est pas le cas, le calcul est arrêté. Lorsqu’un nœud est obligatoirement commun aux surfaces maîtres et esclaves, à cause d’une contrainte de maillage par exemple, se reporter au § 2.3.4 pour une solution. Dans le cas où une formulation continue est utilisée ( cf. 3.1.3 ), les surfaces esclaves doivent impérativement être deux à deux disjointes.

Il ne faut pas hésiter à décrire de larges zones de contact pour éviter toute interpénétration. C’est le nombre de nœuds de la surface esclave qui est déterminante dans le coût de calcul. La surface maître peut, elle, être aussi grande qu’on le souhaite.

Il est impératif que les nœuds des surfaces de contact (maîtres et esclaves) portent tous des degrés de liberté de déplacement (DX, DYet éventuellement DZ), c’est-à-dire qu’ils appartiennent à des mailles du modèle . Un message d’erreur arrête l’utilisateur si ce n’est pas le cas. On se reportera au § 4.6 pour la modélisation d’un contact avec une surface rigide.

Figure 2.1-1: Définition de trois zones de contact

Cas appariementMORTAR:

Lorsqu’on a des calculs avec des maillages incompatibles et qu’on a besoin d’estimer précisément les états de contact, on préconise d’utiliser la méthode MORTARLAC. Cette méthode calcul permet de faire des calculs de contact sur des couples intersectés SURFACE ESCL sur SURFACE MAITcontrairement à la méthode d’appariement MAIT_ESCL qui associe des NOEUDSaux SEGMENTS.

Pour ce faire, il y a une étape nécessaire qui consiste à pré-traiter le maillage avant l’utilisation de DEFI_CONTACT : CREA_MAILLAGE/DECOUPE_LAC. Cette étape prépare la surface de contact esclave pour une intégration des termes de contact de type MORTAR sur les mailles intersectées.

Cette méthode du fait qu’elle utilise une approche surface-surface respecte mieux les conditions d’interpénétrations maître/esclave et esclave/maître. Comme pour la méthode MAIT_ESCL, l’utilisateur doit définir couple par couple les zones potentielles de contact. Il n’y a aucune restriction sur le nombre de zones de contact.

Deux zones distinctes peuvent avoirdes nœuds communs mais pas de mailles communes car la condition de contact est imposée sur les mailles. Par ailleurs, au sein d’une zone, les surfaces maîtres et esclaves d’une même zone doivent aussi avoir une intersection nulle. Les quantités cinématiques de contact pour la méthode MORTAR sont des champs géométriques par élément.

Choix des surfaces maîtres et esclaves

Comme on vient de le dire, chaque zone de contact est constituée d’une surface maître et d’une surface esclave. Dans l’état actuel, on ne peut pas faire d’auto-contact dans Code_Aster (sauf dans les rares cas où l’on peut prédire la future zone de contact et définir ainsi un esclave et un maître).

Le besoin de différencier les deux surfaces provient de la technique adoptée dans le calcul du jeu. Ce calcul est réalisé dans une phase que l’on nomme appariement .

Dans le cas de l’appariement MAIT_ESCL, le jeu est défini en tout point de la surface esclave (pour les méthodes discrètes il s’agit des nœuds, pour les méthodes continues des points d’intégration) comme la distance minimale à la surface maître. Cette dissymétrie implique un choix qui peut a priori s’avérer difficile (comment décider?). Les points qui doivent prévaloir dans ce choix sont donnés dans les paragraphes suivants.

Dans le cas de l’appariement MORTAR, le jeu est défini par patch intersecté surface esclave-surface maître.

On renseigne ces surfaces dans l’opérateur DEFI_CONTACT sous le mot-clé facteur ZONE.

Cas où une surface doit être choisie comme maîtresse (GROUP_MA_MAIT)

Lorsqu’une de ces conditions est réunie:

• une des deux surfaces est rigide (a);

• une des deux surfaces recouvre l’autre (b);

• une des deux surfaces a une rigidité apparente grande devant l’autre («apparente» au sens où l’on ne parle pas des modules d’Young mais des raideurs en \({\mathit{N.m}}^{-1}\) ) (c);

• une des deux surfaces est maillée beaucoup plus grossièrement que l’autre (d);

alors celle-ci doit être choisie comme surface maître.

Cas où une surface doit être choisie comme esclave (GROUP_MA_ESCL)

Lorsqu’une de ces conditions est réunie:

• une des deux surfaces est courbe (a);

• une des deux surfaces est plus petite que l’autre (b);

• une des deux surfaces a une rigidité apparente petite devant l’autre (c);

• une des deux surfaces est maillée beaucoup plus finement que l’autre (d);

alors celle-ci doit être choisie comme surface esclave.

Cas général

Lors de l’étude de structures complexes, il arrive que les règles données aux § 2.2.1 et § 2.2.2 soient difficiles à appliquer. Par exemple lorsqu’un solide est presque rigide (vis-à-vis de l’autre solide) et qu’il est courbe, la règle (a) ne permet pas de décider: faut-il privilégier le caractère courbe ou bien le caractère rigide?

Dans ces situations «l’art de l’ingénieur» doit prévaloir. Dans notre exemple, si les deux solides subissent de faibles glissements, le caractère courbe du solide rigide n’aura que peu d’influence et on choisira donc ce dernier comme surface maître.

Lorsqu’on rencontre des problèmes de convergence (surtout en plasticité), il est fort probable que les choix du côté maître esclave n’est pas judicieux. Dans ce cas changer le rôle des surfaces.

Figure 2.2.3-1: Choix de surfaces maître et esclaves suivant différentes situations

Orientation des normales

Il est primordial de toujours orienter les normales des surfaces de contact de manière à ce qu’elles soient sortantes . On peut le faire à l’aide de l’opérateur MODI_MAILLAGE. Selon que la surface à orienter est une maille de peau d’un élément massif, une coque ou bien une poutre, on utilisera respectivement les mot-clés ORIE_PEAU_2D ou ORIE_PEAU_3D, ORIE_NORM_COQUE, ORIE_LIGNE.

Dans le cas de ORIE_LIGNE, on oriente la tangente, de sorte à pouvoir produire systématiquement la normale par un produit vectoriel.

Par défaut (mot-clé VERI_NORM de DEFI_CONTACT), la bonne orientation des normales est vérifiée et on arrête l’utilisateur si besoin.

Finesse et degré de maillage des surfaces courbes

Lorsque les surfaces de contact sont courbes, il faut garantir la bonne continuité de la normale aux facettes. Pour cela, on peut soit:

• mailler finement en linéaire et utiliser l’option de lissage ( cf. § 2.3.2 )

• mailler en quadratique

Pour que le maillage quadratique conserve son intérêt, il faut avoir placé les nœuds milieux sur la géométrie dans le mailleur et non pas avoir utilisé l’opérateur CREA_MAILLAGE/LINE_QUAD de Code_Aster .

Cas Formulation Discrète:

Dans le cas de surfaces de contact quadratiques, en formulation discrète il ne faut pas que les surfaces de contact soient constituées de mailles quadrangulaires à 8 nœuds (QUAD8) et on préférera donc plutôt les mailles à 9 nœuds (QUAD9). On transformera alors les HEXA20 en HEXA27 et les PENTA15 en PENTA18 (avec l’opérateur CREA_MAILLAGE). À l’heure actuelle, les maillages mixtes constitués à la fois d’HEXA20 et de PENTA15 ne sont pas transformables par CREA_MAILLAGE.

Si toutefois l’utilisation d’éléments HEXA20 s’avère obligatoire, les relations linéaires écrites automatiquement à cette occasion peuvent être susceptibles d’entrer en conflit avec des conditions aux limites (en particulier de symétrie), c’est pourquoi il peut être nécessaire de n’imposer les conditions aux limites que sur les nœuds sommets des mailles QUAD8 concernées (on pourra utiliser l’opérateur DEFI_GROUP pour la création du groupe de nœuds ad-hoc).

Cas formulation continue:

En formulation continue(ALGO_CONT=”STANDARD”), pour des mailles de bord courbes, l’utilisation d’éléments QUAD8ou TRIA6peut entraîner des violations de la loi de contact : ce dernier est vérifié en moyenne. On observe alors des jeux légèrement positifs ou légèrement négatifs en présence de contact, ce qui peut perturber les résultats proches de la zone de contact ou les calculs en reprise avec état initial. Pour cette raison il est conseillé d’utiliser des éléments HEXA27 ou PENTA18 (à faces QUAD9) ou bien des éléments linéaires.

Lorsque à la fin d’un calcul, on remarque un fort taux d’interpénétration des nœuds maîtres à l’intérieur des surfaces esclaves (ce qui est possible contrairement à l’inverse), cela signifie généralement que le maillage d’une ou des deux surfaces est trop grossier ou qu’il y a une trop grande différence de finesse entre les deux maillages des surfaces. On peut alors soit raffiner, soit inverser maître et esclave.

Si une surface est rigide (et donc maître), un maillage grossier est suffisant sauf bien sûr dans les zones courbes.

Enfin dans le cas particulier d’un contact cylindre-cylindre ou sphère-sphère , il faut veiller à mailler suffisamment chaque surface pour éviter de laisser trop de vide entre elles. En effet, dans Code_Aster , on ne fait pour l’instant pas de repositionnement de nœuds ni de projections sur des splines passant par la surface maître, un maillage trop grossier provoquera alors une forte oscillation de la pression de contact (détection du contact un nœud sur deux).

Dans le cas où on a des oscillations sur les pressions de contact dus à un maillage fortement incompatible dans la zone de contact, il faut privilégier la méthode ALGO_CONT=”LAC” .

Angles vifs

Les algorithmes d’appariement fonctionnent moins bien en présence d’angles vifs, c’est pourquoi on évitera le plus possible d’en avoir dans le maillage des surfaces maîtres et esclaves. Par exemple on préférera modéliser un congé plutôt qu’un angle vif.

Si un angle vif est indispensable, on choisira la surface qui le porte comme esclave.

Qualité du maillage

La qualité des éléments surfaciques qui constituent la surface de contact maître a un impact direct sur la qualité de l’appariement. En effet des mailles distordues, par exemple, peuvent nuire à la précision des projections malgré la robustesse de l’algorithme: l’unicité de la projection n’est plus garantie.

Pour ces raisons, il est recommandé de vérifier la qualité des maillages produits et si nécessaire de corriger leurs défauts. Dans Code_Aster , la commande MACR_INFO_MAIL permet d’afficher la répartition des éléments en fonction de leur qualité.

Contrôle de l’appariement

Choix du type d’appariement

Dans Code_Aster , trois types d’appariement sont disponibles:

• «maître-esclave» (par défaut): c’est le plus générique, il permet d’empêcher les nœuds de la surface esclave de pénétrer les mailles de la surface maître à l’aide de projections orthogonales d’un nœud sur une maille. Il est disponible pour la formulation discrète et la la formulation continue ( ALGO_CONT=”STANDARD” ).

• «nodal»: il permet d’empêcher les nœuds esclaves de pénétrer les nœuds maîtres suivant une direction (donnée par la normale esclave). C’est un appariement réservé aux maillages compatibles des surfaces de contact pour des calculs en petits glissements. Il n’est pas disponible en formulation continue ( cf. § 3.1.3 ).

• «MORTAR» (par défaut): c’est le plus qualitatif, il permet d’imposer les conditions de contact en moyenne sur les mailles intersectées. Avec cette méthode on atteint des précisions d’interpénétrations inférieures à 1.E-10%. Il est disponible uniquement pour la formulation continue ( ALGO_CONT=”LAC” ).

Lissage des normales

Comme son nom l’indique cette option permet de lisser les normales. Elle est particulièrement utile dans le cas de surfaces courbes maillées en linéaire. Ce procédé est fondé sur la moyenne des normales aux nœuds, puis leur interpolation à partir des fonctions de forme et des normales moyennées, il permet d’assurer la continuité de la normale aux nœuds.

La normale n’est alors plus la normale géométrique, on prendra donc la précaution (conseillée de toute manière) de bien vérifier visuellement les résultats.

Une vérification de la facettisation des surfaces est effectuée automatiquement en fin de pas de temps. Elle émet un message d’information lorsque celle-ci devient trop importante et il est alors conseillé d’activer le lissage.

Choix des normales : cas formulation autre que méthode LAC

On conseille de toujours de laisser les valeurs par défaut: NORMALE=”MAIT”, VECT_MAIT=”AUTO”. C’est-à-dire que la relation de non-pénétration est écrite à partir de la normale maître, déterminée grâce au maillage.

Cependant il existe quelques rares situations où l’on peut vouloir imposer le choix de la normale: il s’agit essentiellement du traitement du contact poutre-poutre (en 2D uniquement) et du cas où la surface maître est une maille de type POI1. On renvoie au §3.1.6 de [U4.44.11] pour plus de détails.

Exclusion de nœuds esclaves de l’appariement : cas formulation autre que méthode LAC

Le mot-clé SANS_GROUP_NO/SANS_NOEUD sert à exclure de l’appariement des nœuds esclaves. Il peut y avoir plusieurs raisons à cela:

• surface maître et esclave ont une intersection non vide (fond de fissure, blocage de mouvements de corps rigide); les nœuds communs n’ont pas besoin d’être traités par le contact, ils doivent donc être exclus.

• il existe déjà sur les nœuds esclaves considérés des relations linéaires (conditions aux limites, blocage de mouvements de corps rigide); si celles-ci interfèrent avec la direction du contact (respectivement du frottement), on conseille en général de privilégier les conditions aux limites et donc ne pas résoudre le contact sur ces nœuds.

Une erreur fatale est émise lorsqu’il existe des nœuds communs aux surfaces maîtres et esclaves et que ces derniers n’ont pas été exclus.

Comprendre la non-linéarité géométrique

Comme on l’a expliqué, la non-linéarité géométrique découle du fait que l’on doit appliquer des conditions de contact-frottement sur une configuration géométrique que l’on ne connaît pas. Dans cette section, on fait une petite digression afin d’expliquer la démarche adoptée pour surmonter cette difficulté.

Hypothèse de petits glissements

La phase d’appariement est une phase préalable à la formulation des conditions de contact à résoudre. En pratique, cela signifie:

• pour les méthodes discrètes, la construction d’une matrice \(A\) (pour Appariement) telle que multipliée par l’incrément de déplacement \(\delta u\) depuis la configuration appariée, elle donne l’incrément de jeu (linéarisé).

• pour la méthode continue, l’association entre un point de contact et son projeté dans l’espace paramétrique de la maille maître appariée. C’est en actualisant les coordonnées de la maille maître avec le déplacement \(\delta u\) que l’obtient les nouvelles coordonnées (linéarisées) du projeté.

De même que les conditions d’équilibre, les conditions de contact s’expriment sur la configuration déformée (ou finale). Cette configuration n’est pas connue a priori .

L’hypothèse de faibles glissements relatifs des surfaces en contact est l’analogue de l’hypothèse de petites perturbations (pour l’écriture des relations d’équilibre).

Elle consiste à dire que la configuration finale des surfaces en contact est peu différente de la configuration initiale, ce qui permet donc de réaliser l’appariement une fois pour toutes en début de calcul sur la configuration initiale. Puis d’utiliser les conditions établies sur cette configuration pour tout le calcul.

Un tel problème est alors linéaire géométriquement: seule la non-linéarité de contact-frottement demeure, elle est traitée avec des algorithmes adaptés ( cf. section 3 ).

Cas général

Pour traiter des problèmes de grands glissements relatifs des surfaces en contact, deux possibilités existent: l’utilisation d’une boucle de point fixe pour se ramener aux cas de petits glissements ou bien pour la formulation continue (§ 3.1.3 ) la résolution simultanée au sein de l’algorithme de Newton.

Boucle de point fixe (ALGO_RESO_GEOM=”POINT_FIXE”)

La démarche adoptée est très similaire à la résolution d’un problème non-linéaire par la méthode de Newton. On transforme un problème non-linéaire géométrique en une suite de problèmes linéaires géométriques . Pour cela on va résoudre une suite de problèmes dans l’hypothèse de petits glissements.

C’est-à-dire que l’on réalise un appariement (sur une configuration initiale équilibrée) et une résolution de Newton (avec résolution du contact comme on l’expliquera dans la section 3 ). Ceci nous donne une nouvelle configuration; si cette configuration est «proche» de la configuration initiale alors on a convergé (c’était donc la configuration finale), sinon on boucle: on refait un appariement puis une résolution … et ainsi de suite jusqu’à trouver la configuration finale ( cf. ).

La difficulté est dans la caractérisation de la convergence de ce processus de point fixe. Qu’est-ce que deux configurations «proches»? Dans Code_Aster , il s’agit de deux configurations dont le vecteur déplacement «mécanique» pour passer de l’une à l’autre (c’est-à-dire l’incrément de déplacement obtenu par Newton restreint aux degrés de liberté DX, DY, DZ) a une norme infinie petite devant la norme infinie du vecteur déplacement précédent.

Cela implique que l’on fait donc toujours au moins deux itérations de géométrie avec ce critère (afin de se donner un vecteur déplacement initial). On renvoie au paragraphe 3.7 de [R5.03.50] pour l’expression exacte de la norme infinie.

Algorithme de Newton généralisé (ALGO_RESO_GEOM=”NEWTON”)

La formulation continue (§ 3.1.3 ) offre la possibilité de traiter la non-linéarité géométrique directement au sein de l’algorithme de Newton. Pour cela un appariement est réalisé à chaque itération et les termes géométriques de la matrice tangente sont eux aussi réactualisés.

Le critère de convergence géométrique devient ainsi un critère supplémentaire de l’algorithme de Newton: l’incrément de déplacement doit tendre vers zéro.

Convergence de la boucle de géométrie

Linéarisation de la normale

L’appariement fournit deux informations:

• le jeu sur la configuration appariée,

• les coordonnées du point de contact potentiel sur la surface maître.

Que l’on utilise une méthode de contact discrète ou continue, on doit dériver (linéariser) le principe des puissances virtuelles, en particulier les termes de contact.

L’hypothèse de point fixe conduit à faire également l’hypothèse d’une faible variation de la normale au cours des itérations de Newton (d’un pas de temps). Cette hypothèse est cohérente avec l’hypothèse de petits glissements. L’opérateur «jeu» est ainsi linéarisé plus facilement. Il reste en particulier constant au cours d’une itération de géométrie. Ceci a aussi une autre implication: la convergence géométrique vers la configuration finale en mode point fixe peut parfois être très lente.

À l’inverse, la résolution par une méthode de Newton généralisée, possible uniquement en formulation continue (§ 3.1.3 ), présente une convergence beaucoup plus rapide mais peut s’avérer moins robuste. C’est pourquoi ce n’est pas le réglage par défaut. Pour l’activer, on utilisera le mot-clé ALGO_RESO_GEOM.

Critère de convergence géométrique

On a vu plus haut que la convergence de la boucle de géométrie se fait sur un critère géométrique: la différence des vecteurs déplacements entre deux configurations géométriques successives est petite en relatif. Les vecteurs déplacement sont évalués uniquement sur la zone de contact. Pour le cas particulier de l’algorithme de Newton généralisé en formulation continue, le critère s’applique directement à l’incrément de déplacement de Newton.

Pour la résolution par boucle de point fixe, «petit» correspond par défaut à inférieur à 1% du déplacement depuis le début du pas de temps tandis qu’avec l’algorithme de Newton généralisé, il s’agit de 0,0001% (celui-ci bénéficiant dans les cas favorables d’une meilleure convergence, il est possible d’exiger un critère plus dur).

Lorsque à la suite d’un calcul, on observe une interpénétration des nœuds esclaves dans la surface maître, la seule explication [2] 2.2.5 est une non-vérification du critère géométrique.

Il ne faut alors pas hésiter à durcir le critère . Pour cela on utilise le mot-clé RESI_GEOM=0.005 de sorte à abaisser le seuil autour de 0,5% par exemple.

Parfois la convergence géométrique est simplement lente, dans ce cas il suffit d’augmenter le nombre maximum d’itérations tolérées: ITER_GEOM_MAXI=20 par exemple.

Dans certaines situations, on a beau jouer sur la valeur du critère ou le nombre d’itérations, le calcul ne converge pas: il cycle. Plusieurs possibilités s’offrent alors à l’utilisateur:

• l’explication la plus courante est une mauvaise discrétisation des surfaces de contact (c’est-à-dire un maillage trop grossier, une différence de finesse entre les deux surfaces ou bien un mauvais choix des surfaces maîtres et esclaves). On renvoie alors au § 2.2 .

• lorsque les surfaces de contact sont courbes et maillées relativement grossièrement, l’explication peut venir d’une trop grande discontinuité de la normale (facettisation). L’activation du lissage facilite alors très souvent la convergence ( cf. § 2.3.2 ). Cela ne doit cependant pas empêcher l’utilisateur de revoir son maillage.

• si le cas est vraiment pathologique, il faut forcer soi-même le nombre de réactualisations en utilisant REAC_GEOM=”CONTROLE” et NB_ITER_GEOM=n. Après \(n\) itérations de géométrie, le calcul passera au pas de temps suivant quelle que soit la valeur du critère géométrique mais il émettra une alarme lorsque le critère n’est pas vérifié à moins de 1% (pour \(n\ge 2\) ).

Figure 2.4.3.2-1: Traitement de la non-linéarité géométrique du contact par une boucle de point fixe

Remarque: Dans le cas de la formulation continue ALGO_CONT=”LAC”, il n’y a pas la possibilité d’utiliser ALGO_RESO_GEOM=”POINT_FIXE”.

[1]

Plus précisément c’est l’intersection des surfaces esclaves qui doit être vide

[2]

En formulation continue, cela peut se produire avec des éléments quadratiques courbes, cf. §

Résolution

Schéma général de l’algorithme de résolution

Définition et remarques générales

Ce que l’on appelle «résolution du contact», c’est l’opération consistant à résoudre le système formé par la juxtaposition des équations classiques de la mécanique et des équations de contact-frottement (l’aspect géométrique étant traité par l’appariement, il ne reste à ce stade que la non-linéarité de seuil du frottement et la non-linéarité de statut du contact).

Il faut noter que les deux formulations disponibles dans le code diffèrent notablement sur ce point. Sans entrer dans les détails, on explique brièvement ces différences pour la suite.

Si les formulations discrète et continue reviennent bien à résoudre le même problème physique, comme leur nom l’indique elles ne le formulent pas numériquement de la même manière. On présente de manière synthétique les différences entre ces deux formulations.

Cas formulation discrète.

En formulation discrète, les conditions de contact-frottement sont appliquées sur le système discrétisé grâce à des «sous-itérations» de Newton. Dans une itération type de Newton on a deux étapes : dans un premier temps, on ne calcule que la résolution du système linéaire obtenu par Newton \(\mathit{Ku}=f\) avec les conditions initiales de contact puis dans un second temps pardiverses méthodes d’optimisation sous contraintes condensée sur la zone de contact, on résout les conditionsd’inégalités de contact. Cette deuxième étape permet de recalculer les pressions «vraies» de contact.Pour l’itération suivante de Newton, on modifie le second membre de sorte à pouvoir prendre en compte les nouvelles conditions de contact issues de la deuxième étape. Pour la pénalisation discrète, on modifie également la matrice \(K\) pour limiter les interpénétrations. Cette technique permet de résoudre de manière performante des problèmes à faibles ddls de contact. On peut dire que la formulation discrète impose de manière algébrique les conditions de contact sans construire un élément continu pour contact.

Cas formulation continue.

En formulation continue, on écrit une formulation variationnelle mixte pour prendre les équations de contact-frottement. La formulation variationnelle est de type Lagrangien classique pour la méthode LAC, Lagrangien augmenté pour la méthode STANDARD et Lagrangien pénalisé pour la méthode PENALISATION. La démarche adoptée pour résoudre le système non-linéaire est de créer des éléments tardifs continus de contact. Ces éléments tardifs de contact portent des ddls de déplacement maître-esclave ainsi que des multiplicateurs de Lagrange uniquement du coté esclave. À l’exécution de DEFI_CONTACT, il est créé de manière transparente à l’utilisateur des couples de contact permettant de décrire les ddls suivant la topologie des mailles potentiellement contactant. De même, au moment de la résolution dans STAT_NON_LINE, il est créé des éléments continus par couple contact qui permettent le calcul des matrices et vecteurs élémentaires qui seront assemblé à la rigidité globale du système mécanique. Une itération type de Newton fournit donc à chaque résolution des déplacements mais aussi des multiplicateurs de Lagrange (LAGS_C). Le principal avantage de la méthode continue est de proposer via le degré de liberté LAGS_C (dans le champ DEPL) l” accès à la pression de contact sur la surface esclave. On attire cependant l’attention sur le fait que cette quantité n’est en fait qu” une densité de force de contact par unité de surface exprimée sur la configuration de référence . En particulier, en grandes déformations, on ne peut plus la qualifier de pression car elle n’a plus de sens physique.Du fait de la taille du système, la formulation continue est souvent moins performante que la formulation discrète mais plus robuste et plus qualitatif dans diverses situations (plasitcité+contact par exemple).

Formulation discrète

Pour illustrer la définition du paragraphe précédent, on donne le schéma général de l’algorithme dans le cas d’une formulation discrète. Nous pouvons faire les remarques suivantes sur ce schéma:

• il ne représente qu’un seul pas de temps en supposant que l’on se place en petits glissements (on ne fait donc pas apparaître la boucle externe, comme dans la, traitant la non-linéarité géométrique et décrite au § 2.4 );

• dans ce schéma, apparaissent les trois étapes classiques d’une itération de Newton: assemblage et résolution du système linéaire, intégration de la loi de comportement, analyse de la convergence ;

• la particularité de la formulation discrète du contact consiste en l’adjonction d’une étape supplémentaire entre la résolution du système linéaire (sans contact) et l’intégration de la loi de comportement. On peut voir cette étape comme un post-traitement de la solution du système sans contact.

L’étape supplémentaire que réalise la boite «contact discret» a pour but la construction puis la résolution du système augmenté par les conditions de contact et de frottement. Deux approches existent pour formuler les conditions discrètes de contact-frottement:

• écriture d’un lagrangien et dualisation des conditions de contact-frottement, on augmente alors artificiellement la taille du système global à résoudre et on utilise un algorithme d’optimisation pour satisfaire les contraintes inégalités. Cette approche est traitée au § 3.2.1 .

• pénalisation (ou régularisation) des conditions de contact-frottement, on conserve la même taille pour le système global mais on enrichit la matrice, il n’y a pas d’algorithme spécifique, c’est l’algorithme de Newton qui assure la convergence. En revanche le contact n’est résolu qu’approximativement et l’utilisateur doit fournir un ou des paramètres pour contrôler l’algorithme. Cette approche est traitée aux § 3.2.2 et § 3.3.2 .

Ce que produit la boite «contact discret» en sortie est un champ de déplacement vérifiant les conditions de contact-frottement ainsi que des réactions de contact-frottement. Ces réactions sont utilisées dans la vérification de l’équilibre.

La formulation discrète s’appuie donc sur la résolution d’un problème mécanique sans contact ce qui a une conséquence importante: on ne peut pas traiter simplement le cas d’une structure où le contact comme le frottement participent directement aux blocages des mouvements de corps rigide ( cf. § 4.4 ).

Figure 3.1.2-1: Algorithme général d’un pas de temps en formulation discrète (petits glissements)

Formulation continue : cas ALGO_CONT=”STANDARD”/”PENALISATION”

La donne l’algorithme général de résolution du contact-frottement avec une formulation continue, celui-ci diffère notablement du schéma en formulation discrète. Alors qu’avec cette dernière le contact-frottement est résolu par des sous-itérations (dans la boite «Contact Discret»), la formulation continue s’appuie sur un découplage des non-linéarités:

• la non-linéarité de frottement (le seuil de Coulomb dépend de la pression de contact qui est elle-même une inconnue) est traitée par un point fixe sur la valeur du multiplicateur de contact ou bien un algorithme de Newton généralisé

• la non-linéarité de contact s’appuie sur un algorithme des statuts (avec bascule par paquets) ou bien un algorithme de Newton généralisé

Lorsque toutes les non-linéarités sont découplées, il ne subsiste dans l’algorithme de Newton que les non-linéarités classiques matériaux et cinématiques.

Pour formuler de manière faible les termes de contact, on utilise un Lagrangien augmenté ou pénaliséqui permettent de régulariser le système non différentiable de départ. Chaque itération de Newton en formulation continue ne coûte pas plus en mémoire que dans un calcul sans contact de taille équivalente contrairement à la formulation discrète. Néanmoins l’imbrication des boucles ou bien le traitement par l’algorithme de Newton généralisé impliquent un plus grand nombre d’itérations (de Newton).

En formulation continue, il existe des degrés de liberté supplémentaires dans la modélisation, conséquence de l’écriture variationnelle des conditions de contact, comme expliqué au § 4.3.2 .

Figure 3.1.3-1: Algorithme général d’un pas de temps en formulation continue avec point fixe (petits glissements)

En formulation continue, deux algorithmes existent pour maîtriser les variables spécifiques au contact (variables internes par analogie aux lois de comportement):

• méthode de point fixe sur les statuts de contact: l’état des statuts de contact est évalué dans une boucle externe à la boucle de Newton. Pour choisir l’algorithme, il faut utiliser le mot clé global ALGO_RESO_CONT=”POINT_FIXE”. La méthode du point fixe (ALGO_RESO_CONT=”POINT_FIXE”) est la plus robuste mais aussi la plus coûteuse puisque le problème non-linéaire (plasticité par exemple) est résolu à chaque changement des statuts de contact.

• méthode de Newton généralisée: les statuts de contact sont évalués à chaque itération de Newton (c’est le défaut). La méthode de Newton généralisée (ALGO_RESO_CONT=”NEWTON”) est plus performante mais pose parfois des problèmes de convergence. Le mot-clef ADAPTATION permet de rendre robuste ce mode de convergence. Dans le cas où on arrive pas à converger sur les statuts malgré le mot-clef ADAPTATION, il faut revenirà une méthode de point fixe.

Formulation continue : cas ALGO_CONT=”LAC”

Cette méthode permet résoudre de façon moyennée les pressions et les jeux sur les mailles intersectées de contact. Elle fait partie de la famille des méthodes de type MORTAR qui sont réputées pour leurs capacités à traiter des problèmes d’interface en mécanique. Elle n’a de signification que par élément de contact. Les problèmes liés à l’exclusion de nœuds redondants pour la formulation continue standard/pénalisé avec les conditions aux limites n’est pas un problème pour cette méthode puisque les conditions de contact ne sont pas imposées aux nœuds mais par élément.

La méthode LAC (Local Average Contact) n’utilise pas de boucle de point fixe. Toutes les non linéarités de contact (statuts+géométrie) peuvent varier d’une itération de Newton à l’autre. Seul les critères de convergence permettent de maîtriser la qualité de résolution de contact. À l’heure actuelle la méthode LAC ne résout pas encore le frottement.

Enfin, pour utiliser la méthode LAC, il est nécessaire de réaliser une phase de pré-traitement de maillage (CREA_MAILLAGE/DECOUPE_LAC) qui consiste à préparer les «patchs» esclaves pour les conditions de contact vérifiées par macro-maille.

Formulation continue : traitement des incompatibilités.

Dans le cas des maillages où l’incompatibilité est faible, on peut utiliser les méthodes continues standard/pénalisé. Pour se rendre compte de l’influence de la compatibilité de maillage on peut activer sous le mot-clef ZONE de DEFI_CONTACT un mot-clef qui réduit les oscillations de pressions de contact: INTEGRATION. Le mot-clef a cependant deux inconvénients: le nombre de statuts de contact actifs n’est pas disponible à la fin de chaque incrément calcul et de plus il n’y a pas CONT_NOEU à la fin du calcul. Il faut donc se rabattre sur le post-traitement avec CALC_PRESSION. Dans le cas de fortes incompatibilités de maillage, la méthode LAC permet d’avoir une bonne qualité des pressions de contact.

Sur l’exemple du cas-test analytique «patch-test de Taylor» ssnp170 (contact entre deux blocs parallélépipédique avec pression analytique de -25MPa), on remarque que suivant le paramétrage de l’intégration des termes contact, les oscillations disparaissent ou non.

Type intégration	Visualisation des contraintes nodales
AUTO
NCOTES
LAC

Résolution d’un problème avec contact seul

Dualisation en formulation discrète (FORMULATION=”DISCRETE”)

Principe

La dualisation du système discret consiste en l’introduction d’un Lagrangien (cf [R5.03.50]). Le système à résoudre prend la forme suivante lorsqu’il est réduit sur les liaisons actives:

(1)\[\begin{split}\lbrace \begin{array}{c}C.\delta \tilde{u}+{A}_{\text{c}}^{T}.{\mu}_{i}={F}_{i}\\ {A}_{\text{c}}.\delta \tilde{u}={d}_{i-1}\end{array}\end{split}\]

Sachant que la résolution du système sans contact a déjà été effectuée, on connaît la solution du système suivant:

(2)\[C.\delta u={F}_{i}\]

La technique de résolution s’appuie alors sur l’utilisation du complément de Schur du système pour transformer le système:

(3)\[{S}_{\text{schur}}=-{A}_{c}.{C}^{-1}.({A}_{c}{)}^{T}\]

Le problème ainsi transformé a la taille du nombre de nœuds esclaves et il est plein. Deux algorithmes au choix sont disponibles pour traiter ce nouveau problème:

• une méthode de contraintes actives (ALGO_CONT=”CONTRAINTE”) s’appuyant sur la construction explicite et la factorisation du complément de Schur

• une méthode de gradient conjugué projeté (ALGO_CONT=”GCP”) s’appuyant sur la résolution itérative du système formé par le complément de Schur du système

Il est à noter que la dualisation requiert l’utilisation d’un solveur linéaire direct: dans Code_Aster , cela signifie “MULT_FRONT” ou “MUMPS”.

Chacun des 2 algorithmes cités ci-dessus réalise en effet des sous-itérations au cours desquelles il est nécessaire de résoudre le système linéaire avec \(C\) la matrice de rigidité du système global sans contact (ce qui est beaucoup plus rapide si \(C\) est déjà factorisée).

Méthode “CONTRAINTE”

S’appuyant sur une factorisation (donc un solveur direct) pour résoudre le système associé au complément de Schur, la méthode “CONTRAINTE” ne demande aucun paramétrage . Par ailleurs sa convergence [3]_ est démontrée, ce qui explique qu’elle est la méthode par défaut en présence de contact.

Néanmoins l’utilisation d’un solveur direct présente un inconvénient majeur: cet algorithme n’est pas adapté dès que le nombre de nœuds esclaves dépasse quelques centaines (500) . En effet la factorisation d’une matrice pleine devient très vite rédhibitoire.

La construction du complément de Schur peut être accélérée en utilisant le paramètre NB_RESOL ( cf. [U4.44.11], valeur par défaut 10) au détriment de la mémoire consommée (plus le nombre de degrés de liberté total est grand, plus l’augmentation de ce paramètre coûte cher). Afin d’optimiser un calcul avec la méthode des contraintes actives, il est conseillé de faire un calcul sur un pas de temps afin de trouver un compromis temps/mémoire ( cf. [U1.03.03] pour la lecture des informations sur la mémoire consommée).

Méthode “GCP”

Lorsque que l’on ne peut plus utiliser la méthode de contact par défaut parce qu’elle coûte trop cher, une alternative est l’utilisation de la méthode “GCP”. Comme on l’a dit plus haut cette méthode consiste en l’application d’un solveur itératif (gradient conjugué projeté) pour résoudre le problème dual.

Le principal avantage d’une telle méthode est de n’être plus limitée en taille de problème (plusieurs milliers de nœuds esclaves sont parfaitement atteignables). La contrepartie, propre à tout solveur itératif, est un paramétrage obligatoire pour l’utilisateur.

Cette méthode est utilisable en calcul parallèle, c’est d’ailleurs la seule méthode discrète à vraiment en profiter.

Comme tout solveur itératif, la méthode “GCP” utilise un critère de convergence: il s’agit d’un critère sur la valeur du jeu. Donné par le mot-clé RESI_ABSO, il contrôle l’interpénétration maximum tolérée.

Il est obligatoire et s’exprime dans la même unité que celle utilisée pour le maillage. On conseille d’utiliser dans un premier temps un critère égal à \({10}^{-3}\) fois l’interpénétration moyenne quand le contact n’est pas pris en compte (cf. § 4.8 ).

Si on constate des difficultés de convergence de l’algorithme du gradient conjugué projeté, il existe 2 paramètres sur lesquels, on conseille de jouer (de manière additive, c’est-à-dire l’un puis l’autre):

• utiliser une recherche linéaire non-admissible (RECH_LINEAIRE=”NON_ADMISSIBLE”)

• utiliser un pré-conditionneur de Dirichlet (PRE_COND=”DIRICHLET”)

Le pré-conditionneur présente l’avantage d’être optimal et diminue donc sensiblement le nombre d’itérations nécessaires à la convergence. De plus lorsque l’on est proche de la solution, il permet de faire diminuer très rapidement le résidu et donc d’atteindre des critères d’interpénétrations très faibles.

Son inconvénient est un coût important qui peut souvent empêcher un gain en temps de calcul malgré la diminution du nombre d’itérations.

Pour cette raison, il est possible de ne demander son activation que lorsque le résidu a suffisamment diminué: le pré-conditionneur permet alors idéalement de converger en quelques itérations. La difficulté réside dans la quantification du «suffisamment diminué» ou autrement dit du voisinage de la solution. On contrôle ce déclenchement par le mot-clé COEF_RESI qui est le coefficient (inférieur à 1) par lequel il faut avoir multiplié le résidu initial (l’interpénétration maximale initiale donc) avant d’appliquer le pré-conditionneur. Un exemple de mise en œuvre de ce paramètre est donné dans le cas-test SSNA102E.

Pénalisation en formulation discrète : algorithme “PENALISATION”

La pénalisation consiste à régulariser le problème de contact: au lieu de chercher à résoudre exactement les conditions sur le jeu et la pression, on introduit une relation approchée univoque qui implique que l’on observera toujours une interpénétration lorsque le contact est établi .

Figure 3.2.2-1: Condition de contact (à gauche) et régularisation (à droite)

Comme le montre la on ajoute un paramètre E_N pour régulariser la condition de contact: plus il est grand, plus on tend vers la condition exacte, plus il est petit, plus on tolère de l’interpénétration.

En formulation discrète, la notion de pression de contact n’existe pas car on raisonne sur les nœuds du maillage élément fini: on travaille donc avec des forces nodales ( cf. § 4.3 ). Le coefficient E_N dit de pénalisation a donc la dimension d’une raideur (\({\mathit{N.m}}^{-1}\) ).

On fait généralement l’analogie entre le coefficient de pénalisation et la raideur de ressorts unilatéraux que l’on placerait entre surface maître et esclave là où on observe de l’interpénétration.

On choisit généralement E_N par essais successifs:

• tout d’abord on commencera par prendre une valeur égale à 10 fois le plus grand module d’Young de la structure multiplié par une longueur caractéristique de celle-ci;

• si le calcul donne un résultat (satisfaisant ou pas), on augmentera ensuite la valeur en la multipliant par 10 à chaque fois jusqu’à obtenir un résultat stable en termes de déplacements et surtout en termes de contraintes.

L’avantage de la méthode de pénalisation est de ne pas augmenter la taille du système contrairement à la dualisation, mais aussi de ne pas restreindre le choix du solveur linéaire . La contrepartie est une sensibilité au coefficient de pénalisation qui implique de mener systématiquement une étude paramétrique avant de se lancer dans de longs calculs ( cf. [U1.04.00] et [U2.08.07] pour le lancement de calculs paramétriques distribués).

Pour aider à calibrer le coefficient de pénalisation, il existe un mécanisme d’adaptation automatique s’appuyant sur la commande DEFI_LIST_INST [U4.34.03]. On trouvera un exemple de mise en œuvre dans le cas-test SDNV103I [V5.03.103].

Formulation “CONTINUE” : conseil sur les solveurs et le parallélisme

Pour le problème de contact seul, la méthode continue présente l’avantage comme la méthode (discrète) des contraintes actives de ne demander aucun réglage par l’utilisateur.

De plus, comme elle n’est pas dépendante d’un solveur linéaire direct , il est possible d’utiliser un solveur linéaire itératif (comme “GCPC” ou “PETSC”) pour gagner énormément sur le temps de calcul. Toutefois, dans la mesure où les solveurs itératifs peuvent s’avérer moins robustes, on ne conseille de se tourner vers un tel solveur qu’une fois que le calcul avec contact-frottement a été mis au point et validé. En tout état de cause, il est fortement conseiller de revenir à un solveur direct en cas de difficultés de convergence.

Quand on utilise un solveur itératif avec la formulation continue du contact-frottement , il est conseillé d’activer la méthode de Newton-Krylov (cf.* **mot-clé METHODE de STAT_NON_LINE [U4.51.03]) qui permet d’adapter automatiquement le critère de convergence du solveur linéaire .

Autres conseils en parallélisme

Dans le cas où l’utilisateur décide d’utiliser NORMALE=”ESCL”/”MAIT_ESCL” alors, le parallélisme n’est pas disponible.

En cas d’utilisation de DYNA_NON_LINE implicite + DEFI_CONTACT/continue, on impose que la distribution soit centraliséePour les formulations, discrètes on impose d’utiliser dans AFFE_MODELE/DISTRIBUTION=”CENTRALISE”.

Pour les formulations, discrètes on impose d’utiliser dans AFFE_MODELE/DISTRIBUTION=”CENTRALISE”.

Résolution d’un problème avec frottement

Traitement de la non-linéarité de seuil

Dans Code_Aster , le seul modèle de frottement disponible est celui de Coulomb (cf. [R5.03.50]). Une non-linéarité supplémentaire doit être traitée en présence de frottement: c’est la non-linéarité de seuil.

Le seuil de frottement dépend en effet de la pression de contact qui est elle-même inconnue.

La loi de Coulomb fait intervenir un coefficient \(\mu\) , appelé coefficient de Coulomb. Pendant la phase dite d’adhérence, un point en contact ne bouge pas (il a une vitesse nulle et il existe une réaction tangentielle). Pendant la phase de glissement, le point a une vitesse non nulle et est soumis à une réaction tangentielle égale à \(\mu\) fois la réaction normale.

En général, si le coefficient de frottement est très faible, il est conseillé de négliger les frottements . Par ailleurs, il est conseillé dans les études de ne traiter dans un premier temps que le contact , ceci afin d’introduire les non-linéarités les unes après les autres.

Les méthodes discrètes qu’elles travaillent par pénalisation ou dualisation s’appuient sur des algorithmes dédiés en présence de frottement (distincts de ceux utilisés pour le contact) tandis que la méthode continue standard/pénalisé utilise deux algorithmes différents :

• méthode de point fixe sur les seuils de frottement: le seuil est actualisé dans une boucle externe à la boucle de Newton (et à la boucle sur les statuts de contact); ALGO_RESO_FROT=”POINT_FIXE”.

• méthode de Newton généralisée: la non-linéarité de frottement est traitée dans le processus de Newton, par dérivation explicite de tous les termes non-linéaires. ALGO_RESO_FROT=”NEWTON”.

Formulation discrète : pénalisation du frottement (algorithme “PENALISATION”)

Pour les problèmes 3D ou bien de grande taille, il est conseillé de traiter le problème de frottement par pénalisation. Cela demande, comme pour la pénalisation du contact, l’entrée d’un paramètre de pénalisation (E_T). Plus difficile à choisir que son équivalent E_N, il nécessite de réaliser une petite étude paramétrique.

Pour faire l’analogie avec le cas de la pénalisation du contact on remarquera que la phase d’adhérence à proprement parler disparaît (dès que le contact est activé il y a interpénétration, en frottement il y a toujours glissement).

La convergence peut aussi être accélérée par l’utilisation du mot-clé COEF_MATR_FROT.

Formulation “CONTINUE” : STANDARD/PENALISATION.

C’est la méthode de choix lorsque l’on doit traiter un problème de contact-frottement : elle est la plus robuste de plus elle tolère bien les grands coefficients de frottement (plus grands que \(0,3\) ).

Il est possible de choisir parmi deux algorithmes de résolution pour fixer les variables internes spécifiques au contact-frottement avec le mot-clé ALGO_RESO_XXXX(XXXX=CONT/FROT).

La méthode du point fixe (ALGO_RESO_XXXX=”POINT_FIXE”) est robuste mais coûteuse. La méthode de Newton généralisée (ALGO_RESO_FROT=”NEWTON”, choix par défaut) est très performante et offre un bon niveau de robustesse. Le gros avantage de cet algorithme est sa moindre dépendance à la valeur du coefficient de frottement, puisqu’il n’y pas de boucle sur les seuils. On produit une matrice tangente non-symétrique, ce qui représente un léger surcoût lors de la factorisation et limite la gamme des solveurs itératifs utilisables.

Il est préférable d’utiliser la méthode de Newton généralisée dès lors que le coefficient de frottement n’est pas négligeable. Les gains en temps calcul sont très importants (jusqu’à 80% de gain par rapport au point fixe).

Les deux algorithmes “POINT_FIXE”/”NEWTON” donnent des résultats identiques.

Lorsque toutefois des difficultés de convergence apparaissent, notamment en présence de glissements importants, l’utilisateur pourra paramétrer le coefficient COEF_FROT (qui a la dimension de l’inverse d’une distance). Ce paramètre prend une valeur de 100 par défaut: on essaiera des valeurs comprises entre \({10}^{-6}\) et \({10}^{6}\) . Pour des études où l’adhérence est prépondérante, on favorisera des valeurs de COEF_FROT inférieures à la valeur par défaut tandis que pour des cas où le glissement est prépondérant, on choisira des valeurs supérieures. Il existe des alternatives au paramétrage en dur de COEF_CONT ou COEF_FROT: ce sont les méthodes adaptatives.

• Une première solution de secours est de privilégier la méthode de pénalisation continue avec les méthodes adaptatives (ALGO_CONT=”PENALISATION”/ADAPTATION=”TOUT”). En effet, il est possible d’activer un algorithme de contrôle automatique du coefficient de pénalisation (via l’analyse des cyclages). Si on veut uniquement contrôler le coefficient de pénalisation sans les statuts de contact alors on utilisera le mot-clef ADAPTATION=”ADAPT_COEF”. Cette méthode peut échouer dans le sens où le contrôle peut ne pas être efficace, mais elle n’agira que sur la vitesse de convergence et non sur la qualité des résultats. Des options alternatives existent pour contourner les problèmes de convergence avec frottement:

• Activer la résolution exacte du contact et la résolution pénalisée de frottement et limiter dans un premier temps le nombre de réactualisation géométrique: ALGO_RESO_GEOM=”CONTROLE”, ZONE/ALGO_CONT=”STANDARD”+ALGO_FROT=”PENALISATION”.

• Dans le cas où la technique ci-dessus n’a pas marché: penser à utiliser ADAPTATION=”TOUT’dans le mot-clef ZONEpour traiter à la fois le cyclage et l’adaptation des coefficients de régularisation.

• Il existe un mode qui s’active dès que le mot-clef ADAPTATION est actif: c’est le FLIP-FLOP. Il permet de déclarer la convergence en statut de contact dès que la pression de contact est stabilisée dans la zone de contact. Cette pression est une moyenne arithmétique des pressions de contact de toutes les zones.

Récapitulatif pour le choix des méthodes de résolution

Pour le contact-frottement

Pour les problèmes à faible nombre de degrés de liberté en contact (inférieur à 1000 degrés de liberté), on privilégiera une formulation discrète avec algorithme des contraintes actives (“CONTRAINTE”). Si le frottement doit être activé, on se tournera vers une formulation “CONTINUE”.

Pour les problèmes à grand nombre de degrés de liberté en contact (supérieur à 1000 degrés de liberté), l’algorithme de résolution itératif par contraintes actives “GCP” est le plus approprié. Si toutefois on doit prendre en compte du frottement, on pourra se tourner une nouvelle fois vers la formulation “CONTINUE”.

Pour les problèmes de grande taille (indépendamment du nombre de degrés de liberté en contact), la résolution du système linéaire consomme une grande partie du temps de calcul, le choix du solveur linéaire est donc primordial. La méthode “CONTINUE’est bien adaptée en ce sens qu’elle laisse à l’utilisateur le choix du solveur linéaire et qu’elle est bien parallélisée.

Pour le système linéaire

Si on utilise une formulation discrète (hors pénalisation), seuls les solveurs linéaires directs sont accessibles. On choisira donc le solveur “MULT_FRONT” sauf si on réalise un calcul parallèle auquel cas on sélectionnera “MUMPS”. La méthode “GCP” alliée au solveur linéaire “MUMPS” profite d’un bon niveau de parallélisation dans l’algorithme de contact.

Si on utilise une formulation continue, il est conseillé, dès que le problème global dépasse 100 000 degrés de liberté, d’utiliser un solveur itératif associé au pré-conditionneur “LDLT_SP’et à la méthode de Newton-Krylov (cf. § 3.2.3 ). Si le calcul met en œuvre du frottement ou bien est parallèle, le solveur itératif “PETSC’est le meilleur choix.

[1]

On utilise bien un solveur direct pour construire le complément de Schur mais la méthode des contraintes actives consiste à activer ou désactiver une par une les liaisons de contact jusqu’à satisfaire le système global, c’est donc un algorithme itératif.

Méthodologies

Dans cette partie, on répond aux questions fréquemment posées lors des études avec du contact-frottement. Les techniques mises en place dans cette partie s’appuient souvent sur d’autres opérateurs que DEFI_CONTACT, on décrira brièvement les mot-clés à utiliser mais l’utilisateur pourra avantageusement se reporter aux documentations d’utilisation de ces commandes.

Quoi faire lorsqu’un calcul de contact ne converge pas ou ne converge pas vers la bonne solution ?

Très souvent les problème de convergence en contact ont une origine physique et ne sont pas dus à un problème de robustesse de l’opérateur.

Les conseils que l’on donne par la suite ne sont qu’indicatifs. On propose en pratique de suivre la liste suivante:

• N’activez pas toutes les non-linéarités en même temps. Toujours commencer par activer le contact seul en élasticité linéaire et voir si cela converge.

• Pour les contacts très localisés ou ponctuels, peut-être que DEFI_CONTACT n’est pas l’opérateur adapté ( cf. AFFE_CHAR_MECA/LIAISON_MAIL, etc).

• Pour les maillages incompatibles, pensez à utiliser la méthode LAC ou à changer votre maillage si c’est possible.

• Pour les contacts permanents, le mot-clef GLISSIERE peut être utile.

• En cas d’échec d’intégration de la loi de comportement, vérifier que ce n’est pas dû à un retournement de maille causé par la condition de contact-frottement ( cf. Figure ).

- Un calcul convergé au sens de Newton n’est pas forcément un calcul pertinent. Il appartient au responsable de l’étude de porter un regard critique sur les valeurs obtenues. Du point de vue du contact, il faut surveiller la présence d’oscillations de pressions de contact, contrôler les valeurs de CONT_NOEU/CONT_ELEM. Dans le cas d’un algorithme de pénalisation, il faut absolument regarder les valeurs de pénétration maximale visiblesdans le tableau de convergence. Une étude de convergence enmaillage ou la comparaison de la solution avec un résultat de référence peut être nécessaire pour confirmer la qualité de la solution obtenue.

- Lorsqu’un calcul a du mal à converger sur les statuts en un point de contact(en ALGO_CONT=”STANDARD”), l’algorithme propose automatiquement un basculement en mode de résolution pénalisation sur le point qui a du mal à converger. Le coefficient de pénalisation est choisi de sorte à limiter l’interpénétration et l’algorithme rebascule automatiquement en méthode standard dès que la convergence sur le statut est atteint. Il appartient à l’utilisateur de vérifier à la fin du calcul la qualité du résultat. Si on souhaite débrancher ce mécanisme, il faut utiliser ADAPTATION=”NON”.

Figure 4.1-1: Situation de maille retournée conduisant à l’échec intégration de la loi de comportement

• Il arrive que le calcul avec contact converge en élasticité mais pose problème avec une non linéarité matériau ou de grandes transformations. Généralement, l’algorithme de résolution non-linéaire a du mal quand la solution calculée à la première itération de Newton (prédiction) est trop loin de la solution réelle. Dans ce cas, une solution est de démarrer le calcul avec un déplacement prédictif proche de la solution finale. Pour ce faire, le plus facile consiste à faire un premier calcul élastique sur un ou deux pas de temps proche de l’instant de non-convergence. Puis d’utiliser le déplacement élastique calculé comme le prédicteur pour le calcul totalement non linéaire: STAT_NON_LINE/NEWTON/PREDICTION = “DEPL_CALCULE”.

• Utiliser avec beaucoup de prudence REAC_GEOM=”CONTROLE” et vérifier toujours votre résultat (visuellement et le tableau de convergence). Les méthodes adaptatives activées par le mot-clé ADAPTATION aident à la convergence mais ne peuvent rien contre les mauvaises mise en données.

• Pour les calculs nécessitant la modélisation du frottement. commencer d’abord sans frottement. Activer ALGO_RESO_FROT=”POINT_FIXE” pour limiter les trop fortes variations du seuil de Coulomb.

• Pour des calculs qui ne tiennent que par le contact, le premier conseil est d’utiliser des ressorts (DIS_T ou 2D_DIS_T, cf. § 4.4 ). Une autre solution est de faire un premier calcul piloté en déplacement pour initialiser le contact puis de continuer le calcul en pilotant en force. C’est le cas de la figure ci-dessous, où on a réalisé un premier pas de temps en déplacement imposé pour mettre le plateau en contact avec la bague puis le calcul a été piloté en déplacement.

• En termes de qualité de la solution, ne pas post-traiter directement les degrés de liberté LAGS_C. Préférer les champs contenus dans CONT_NOEU ou CONT_ELEM voire ceux produits par la commande CALC_PRESSION si le modèle le permet.

• Pour contrôler la qualité de la solution, toujours vérifier, en méthode STANDARD ou PENALISATION, si les mailles maîtres ne sont pas rentrées dans les mailles esclaves. En effet, en méthode dite Noeud-Segment, la maille maître n’a pas le même rôle que la maille esclave. Seule la maille esclave respecte strictement la loi de non-interpénétration. Dans ce cas, c’est que le maillage est généralement trop grossier. Pensez à le raffiner ( cf. § 2.2 ). Une autre astuce consiste à multiplier le nombre de points de contact esclave si on ne veut pas retravailler le maillage (INTEGRATION=”NCOTES”, ORDRE_INT=6).

• Pour contrôler la qualité de la solution, vous disposez d’un diagnostic du nombre de liaisons de contact réellement actives à la fin de chaque pas de temps. Cela peut aider à comprendre le mécanisme étudié.

• Nombre de liaisons de contact : 6

Post-traitement de CONT_NOEU

Le champ CONT_NOEU est généré quand on utilise la formulation discrète ou continue (avec INTEGRATION=”AUTO”). Ce champ contient en particulier des quantités vectorielles comme les efforts de glissements (RTGX, RTGY, RTGZ), d’adhérence (RTAX, RTAY, RTAZ), les efforts normaux (RNX, RNY, RNZ). Elles sont toujours exprimées dans le repère global mais on peut utiliser MODI_REPERE pour le changer. Par exemple:

RESU=MODI_REPERE(

RESULTAT = EVOLNOLI,

NUME_ORDRE = 1,

MODI_CHAM = (_F(NOM_CHAM= “CONT_NOEU”,

NOM_CMP =(“RNX”,”RNY”,”RNZ”,),

TYPE_CHAM= “VECT_3D”,),),

REPERE = “UTILISATEUR”,

AFFE = _F(ANGL_NAUT=(45,45,0),),

)

Récupérer la pression de contact

présentation de CALC_PRESSION

En post-traitement d’un calcul de contact, on souhaite généralement accéder aux efforts de contact-frottement. Plus précisément, on souhaite connaître la contrainte normale et tangentielle sur le bord des solides en contact.

La formulation continue du contact donne directement accès à une estimation de pression de contact-frottement, tandis que les formulations discrètes nécessitent de l’approximer par les contraintes sur le bord.

Un exemple de mise en œuvre pour les deux formulations existe dans le cas-test SSNP154 [V6.03.154]. CALC_PRESSION [U4.81.43] fournit un CHAM_GD de pression de contact imprimable au format table par exemple.

La pression de contact s’écrit :

(4)\[\lambda = \transpose{\normal} \tensTwo{\sigma} \normal\]

où \(\normal\) est la normale à la surface de contact en configuration déformée et \(\tensTwo{\sigma}\) le tenseur des contraintes de Cauchy.

Le vecteur tangentiel de l’effort de contact s’écrit :

(5)\[\vector{s} = (\tensTwo{\sigma} - \lambda \tensTwoUnit).\normal\]

L’encadré ci-dessous montre comment on peut calculer la pression nodale de contact en utilisant CALC_PRESSION.

# calcul de la pression de contact: p_appr_F
p_appr_F=CALC_PRESSION(
    MAILLAGE=MESH,
    RESULTAT=RESU,
    GROUP_MA=('Bottom_C','Top_B',),
    INST=1.0,
)

Pour un calcul en grands déplacements, la normale doit être calculée sur la configuration déformée. Pour cela il faut renseigner le mot-clef GEOMETRIE='DEFORMEE'.

Dans l’exemple ci-dessus, on utilise la formule tirée de pour calculer explicitement la pression de contact. Dans le cas particulier où le bord sur lequel on extrait la pression est parallèle aux axes du repère, la pression est directement égale à une des composantes diagonales du tenseur des contraintes de Cauchy (SIXX, SIYY ou SIZZ). À l’heure actuelle, on ne peut pas utiliser CALC_PRESSION s’il y a des éléments de structures dans le modèle.

Cas de la formulation continue

En formulation continue, le champ DEPL contient une ou plusieurs inconnues supplémentaires:

• LAGS_C représente la densité surfacique d’effort de contact exprimée sur la configuration de référence.

• LAGS_F1 et LAGS_F2 représentent les coordonnées d’un vecteur directeur dans le plan tangent. Ce vecteur de norme inférieure ou égale à 1 indique la direction de glissement ou d’adhérence lorsque que l’on prend en compte le frottement.

Ces grandeurs sont définies en tout point de la surface esclave de contact. On peut donc facilement accéder à la pression de contact. On notera cependant qu’en grands déplacements, configuration initiale et finale n’étant plus confondues, le degré de liberté LAGS_Cn’a plus la signification d’une pression.

Pour accéder à la densité surfacique d’effort de frottement (en phase d’adhérence comme de glissement), il faut réaliser un calcul supplémentaire: la norme du vecteur directeur dans le plan tangent donne en effet l’amplitude par rapport au seuil de frottement.

Si on note \(\lambda\) la pression de contact alors la densité d’effort de frottement \(\tau\) s’écrit:

(6)\[\tau =\mu .\lambda .\sqrt{({\mathit{LAGS}}_{\mathit{F1}}^{2}+{\mathit{LAGS}}_{\mathit{F2}}^{2})}\]

En formulation pénalisée (ALGO_CONT=”PENALISATION”), les degrés de liberté de pression continuent d’exister, on peut donc appliquer ce qui précède.

Il arrive parfois que la pression de contact relevée par cette méthode présente des oscillations, en particulier pour des géométries courbes. Dans ce cas, il est préférable d’utiliser CALC_PRESSION qui calcule la pression de contact à partir du tenseur descontraintes de Cauchy.

Formulation discrète

En formulation discrète, aucun degré de liberté n’est rajouté aux inconnues principales. Le problème de contact étant formulé sur le système discret, les éventuels multiplicateurs de Lagrange utilisés n’ont même pas la dimension d’une pression mais celle de forces nodales.

Cette absence oblige à calculer le tenseur des contraintes de Cauchy sur le bord des surfaces en contact. On a une seule alternative donc: CALC_PRESSION.

Mouvements de corps rigide bloqués par le contact

Ce paragraphe ne s’applique qu’aux études en statique. En dynamique, les mouvements de corps rigide sont permis.

Il arrive dans les études que le contact permette de bloquer les mouvements de corps rigide de certains solides (et faire en sorte que ceux-ci se déforment). La non-prise en compte initiale de ce phénomène entraînera donc la singularité de la matrice de rigidité (et donc l’impossibilité de résoudre).

Les formulations discrètes ne sont pas adaptées à une prise en compte initiale du contact, la réalisation d’études avec des solides uniquement tenus par le contact va donc nécessiter dans ce cas un enrichissement de la modélisation.

La formulation continue permet de tenir naturellement compte d’un contact initial et à ce titre est donc bien adaptée à l’étude de mécanismes.

Pour des études en trois dimensions, il existe 6 mouvements de corps rigide possibles: 3 translations, 3 rotations. Pour des études en deux dimensions (modélisations D_PLAN, C_PLAN), il existe 3 mouvements de corps rigide: 2 translations et une rotation. La modélisation axisymétrique (AXIS) est particulière: il n’existe qu’un seul mouvement de corps rigide, la translation suivant l’axe \(\mathit{Oy}\) (axe de la symétrie cylindrique).

Lorsque l’on constate l’existence de mouvements de corps rigide dans sa modélisation, on commencera toujours par vérifier qu’il n’existe pas des symétries dans la structure et son chargement . Les conditions de symétrie permettent en effet de supprimer une grande partie des mouvements de corps rigide.

Un exemple de blocage de mouvements de corps rigide en formulation continue (par CONTACT_INIT) et en formulation discrète (par des ressorts) est disponible dans le cas-test SSNA122 [V6.01.122].

Formulation continue

En formulation continue, la prise en compte d’un contact initial est assurée zone par zone avec le mot-clé CONTACT_INIT. Par défaut au début d’un calcul toutes les liaisons à jeu nul (ou interpénétrées) sont activées (CONTACT_INIT=”INTERPENETRE”). La tolérance, pour déterminer si un jeu est nul ou interpénétré, est fixée en interne dans le programme à \({10}^{-6}\times {a}_{min}\) où \({a}_{min}\) représente la plus petite arête non nulle du maillage.

Il est possible de désactiver cette activation automatique (CONTACT_INIT=”NON”). Lorsque l’on fait des calculs non-linéaires avec reprise (c’est-à-dire avec le mot-clé ETAT_INIT de STAT_NON_LINE), il est indispensable d’utiliser la valeur par défaut (“INTERPENETRE”) afin d’assurer une reprise à partir du vrai état de contact (et non pas d’un état vierge).

Enfin, si l’on veut coller initialement toutes les surfaces de contact indépendamment du jeu initial, on pourra sélectionner CONTACT_INIT=”OUI” (cela peut être utile si les maillages ne sont pas parfaitement en contact).

Dans tous les cas de figure où un contact initial est déclaré, des efforts seront générés: il ne s’agit pas d’un simple repositionnement géométrique visant à coller les maillages.

L’activation d’un contact initial bloque les mouvements de corps rigide suivant la direction normale à la surface. Si l’on veut prendre en compte un état adhérent initial afin de bloquer la direction tangente, on pourra spécifier un seuil initial de contact non nul via SEUIL_INIT. Ce paramètre renseigne la valeur initiale de la pression de contact (homogène à une densité de force surfacique). Par défaut, si le calcul est issu d’une poursuite alors on reconstruit automatiquement la valeur du seuil initial en utilisant les valeurs de LAGS_C contenus dans ETAT_INIT/STAT_NON_LINE.

Il convient de noter que l’utilisation d’un contact initial en formulation continue permet aussi de s’affranchir de la non-convergence lorsque qu’une structure n’est soumise qu’à des déplacements. Par exemple, lorsque deux solides initialement en contact sont pressés l’un contre l’autre par des déplacements (il s’agit donc d’un mouvement de corps rigide).

Formulation discrète

En formulation discrète, on est obligé de bloquer manuellement les mouvements de corps rigide du solide incriminé par des ressorts de faible raideur. Par «faible» on entend suffisamment petite pour ne générer que des forces nodales négligeables devant les forces nodales mises en jeu dans le calcul.

Le but des ressorts est de faire en sorte que le calcul sans contact soit capable de tourner en mécanique linéaire (c’est-à-dire dans l’opérateur MECA_STATIQUE ou bien dans STAT_NON_LINE une fois retiré les conditions de contact).

Il existe deux approches pour l’ajout de ressorts:

• rajouter un ressort de faible raideur en tout point de la structure

• ajouter des ressorts en des points bien choisis pour bloquer les mouvements de corps rigide de la structure

La première approche a l’avantage de la généricité mais peut parfois trop perturber la solution (quelle que soit la raideur des ressorts). En effet une telle approche revient à ajouter sur tous les termes diagonaux de la matrice un terme positif qui la rend inversible.

La seconde approche ne rajoute des ressorts que là où c’est nécessaire. Lorsqu’il existe des points de la structure qui seront amenés à avoir un déplacement faible (donc à ne générer qu’une force nodale faible dans le ressort), cette approche est plus adaptée.

Pour appliquer un ressort dans Code_Aster , il faut créer des mailles de type POI1 à partir de nœuds. Pour cela on utilise l’opérateur CREA_MAILLAGE/CREA_POI1. Pour utiliser la première approche on choisira de créer ce groupe de mailles sur toute la structure (TOUT=”OUI”), tandis que pour la seconde approche, on indiquera le groupe de nœuds souhaité. Le groupe de mailles nouvellement créé servira à affecter une modélisation de type “DIS_T” ou “2D_DIS_T” dans AFFE_MODELE.

La définition des caractéristiques du ressort s’effectue dans l’opérateur AFFE_CARA_ELEM. Par défaut, les raideurs sont entrées dans le repère global. Si par exemple on souhaite bloquer un mouvement de corps rigide dans une direction parallèle aux axes du repère global, on ne définira une raideur non nulle que suivant cette direction. Ci-dessous un exemple de définition d’une raideur pour un calcul 2D suivant la direction DY.

RESSORT=AFFE_CARA_ELEM(MODELE=model,

DISCRET_2D=_F(CARA=”K_T_D_N”,

GROUP_MA=”SPRING”,

VALE=(0.,1.0e-1,),),);

Dans les cas où la direction à bloquer n’est pas parallèle aux axes, deux alternatives sont possibles:

• définir une raideur suivant toutes les directions

• définir la raideur dans un repère local. Il faut alors définir l’orientation de ce repère (mot-clé ORIENTATION de AFFE_CARA_ELEM) ou bien utiliser des ressorts s’appuyant non plus sur des mailles POI1 mais SEG2.

Pour un exemple d’utilisation de ressorts, on consultera le cas-test ZZZZ237 et sa documentation [V1.01.237].

Grandes déformations, grands déplacements et contact

La prise en compte de conditions de contact-frottement est totalement découplée de la prise en compte de grands déplacements ou de grandes déformations. Plus généralement, toute non-linéarité quelle soit d’ordre matériau ou géométrique est a priori compatible avec l’utilisation du contact.

En pratique, on constate souvent des difficultés de convergence dans des études mêlant les trois non-linéarités. On donne dans la suite de cette section la démarche à adopter dans ce cas.

Des exemples de calcul mélangeant les trois non-linéarités sont disponibles dans les cas-tests SSNP155 [V6.03.155], SSNP157 [V6.03.157] et SDNV103 [V5.03.103].

Pour la méthode LAC, il est possible d’utiliser TYPE_JACOBIEN=”ACTUALISE” au lieu de “INITIALE” dans le cas de grandes transformations.

Découpler les non-linéarités

Lorsque qu’un tel calcul échoue, la première démarche est de revenir en arrière: en découplant les non-linéarités et en essayant d’appliquer les bonnes pratiques en non-linéaire ( cf. [U2.04.01]).

Cela signifie:

• réaliser un calcul élastique en petites perturbations avec le contact activé. Si ce calcul échoue, appliquez les conseils livrés dans la première partie de ce document (orientation des normales, choix des surfaces maîtres et esclaves, choix de l’algorithme de résolution, …)

• réaliser un calcul avec une loi de comportement non linéaire mais sans contact. Si celui-ci échoue, alors le problème vient de l’intégration du comportement. On se rapportera alors aux documentations [U2.04.02] et [U2.04.03].

• si nécessaire réaliser un calcul en grands déplacements mais sans contact et sans non-linéarité matériau. Si ce calcul ne fonctionne pas, essayez d’utiliser un autre modèle parmi ceux de grands déplacements disponibles dans Code_Aster (“SIMO_MIEHE”, “GDEF_LOG”, “PETIT_REAC”).

Bien paramétrer l’algorithme de Newton

Si le calcul complet (mêlant toutes les non-linéarités) ne converge pas malgré l’application des conseils précédents alors on peut essayer de jouer sur les paramètres de l’algorithme de Newton. Cela part du constat suivant:

Lorsque l’on couple contact et non-linéarité matériau par exemple, il est possible (par la correction «brusque» du contact) de déclencher dans la loi de comportement des mécanismes (sortie du domaine élastique, décharge) qui ne devraient pas être actifs dans la solution finale et qui risquent de dégrader la matrice tangente (jusqu’à la rendre non inversible). Cela rend alors toute convergence impossible.

On propose donc d’utiliser les réglages suivants dans l’algorithme de Newton (opérateur STAT_NON_LINE ou DYNA_NON_LINE):

• réactualisation de la matrice tangente à chaque itération (REAC_ITER=1)

• utilisation d’une prédiction élastique (PREDICTION=”ELASTIQUE”)

• en grandes déformations (DEFORMATION=”SIMO_MIEHE”), la matrice tangente est non symétrique, il faut donc bien veiller à renseigner SYME=”NON” dans le mot-clé SOLVEUR.

Lorsque le calcul a encore du mal à converger, il faut revenir à la modélisation:

• est-ce que mon calcul provoque des problèmes d’incompressibilité? Dans ce cas, consultez les documentations [U2.04.01][U2.04.02] et essayez d’utiliser des éléments finis adaptés (sous-intégrés, à formulation mixte).

• est-ce que le comportement que j’utilise dispose d’une matrice tangente cohérente? Si ce n’est pas le cas, on peut essayer en dernier recours d’utiliser une matrice “ELASTIQUE” et augmenter le nombre d’itérations de Newton.

• Cas plasticité+contact+grandes transformations: si la solution initiale est loin de la solution recherchée alors Newton échoue. Dans certains cas, il peut être nécessaire de faire un premier calcul prédictif (contact remplacé par exemple par LIAISON_MAIL) puis d’injecter le résultat issu de ce calcul prédictif dans le calcul que l’on souhaite réaliser.

• Privilégier le mode tout PENALISATION en réglant la pénétration maximum autorisée est également une alternative: PENE_MAXI.

Résolution d’un problème quasi-statique en dynamique lente

En dernier recours, pour les problèmes quasi-statiques, réaliser un calcul dynamique en temps long peut apporter une solution. La matrice de masse a pour effet de stabiliser la structure, il faut toutefois s’assurer que les forces d’inertie restent alors faibles devant les forces internes du système.

On conseille pour ce type de modélisation d’affecter à la structure sa vraie masse volumique (c’est de toute manière obligatoire en présence de chargement de pesanteur) et de réaliser le calcul en utilisant de grands pas de temps.

Un exemple de mise en œuvre est disponible dans le cas-test SSNP155 [V6.03.155].

Surface rigide et contact

On souhaite parfois modéliser dans les études des solides rigides qui entrent en contact avec des solides déformables. Dans cette section, on explique comment optimiser de telles études.

Afin de ne pas alourdir la modélisation les solides rigides ne seront pas modélisés entièrement: seul leur bord portera des degrés de liberté . Afin de faciliter l’orientation des normales de ce solide rigide le maillage comportera cependant le solide complet.

Après avoir orienté les normales, on affectera donc dans AFFE_MODELE uniquement des éléments de bord à la peau du solide rigide: comme les éléments de bord ne portent pas de rigidité, une alarme est émise pour prévenir du risque de matrice de rigidité non inversible. Cette alarme est normale dans ce cas et peut être ignorée.

Pour empêcher que la matrice de rigidité soit singulière, il faut imposer le déplacement de tous les degrés de liberté portés par le bord rigide . Cela est fait avec les commandes:

• AFFE_CHAR_CINE/MECA_IMPO dont l’avantage est d’éliminer les inconnues

• AFFE_CHAR_MECA/DDL_IMPO qui ajoute des inconnues supplémentaires au problème.

On conseille donc d’éliminer les inconnues (AFFE_CHAR_CINE).

La surface rigide sera déclarée comme surface maître dans DEFI_CONTACT comme expliqué au § 2.2.1 .

On pourra se reporter au cas-test SSNV506 [V6.04.506] pour un exemple de contact avec surface rigide.

Redondance entre conditions de contact-frottement et conditions aux limites (symétrie) : méthodes autre que LAC

En présence de symétries dans la structure étudiée, il est courant que les conditions de frottement entrent en conflit avec les conditions aux limites de symétrie. La montre l’exemple de deux cubes en contact-frottement, la partie hachurée représente les faces des cubes soumis à une condition de symétrie (DX=0).

Dans cet exemple, l’arête du cube supérieur en trait épais appartient à la surface esclave et porte également la condition de symétrie. Cette condition entre en conflit avec la condition de frottement écrite dans le plan tangent (ici le plan \(\mathit{xOz}\) ). En pratique le calcul s’arrêtera une fois le contact établi car la matrice tangente sera singulière.

Mécaniquement on voit que la condition de symétrie implique que l’adhérence ou bien le glissement ne se produira que suivant la direction DZ (vecteur tangent vert). Pour éliminer la redondance il faut donc exclure la direction de frottement suivant DX (vecteur tangent rouge).

Pour cela on utilisera le mot-clé SANS_GROUP_NO_FR pour désigner la liste de nœuds de l’arête esclave puis on renseignera (dans le repère global) DIRE_EXCL_FROT=(1,0,0) soit la direction DX à exclure.

Le cas-test ZZZZ292 met en œuvre la fonctionnalité SANS_GROUP_NO_FR.

Figure 4.7-1: Élimination de directions de frottement

Mesurer l’interpénétration sans résoudre le contact : méthodes autre que LAC

La résolution d’un problème de contact pouvant parfois coûter cher il peut être avantageux de remplacer l’imposition des conditions de contact par une simple vérification de l’interpénétration. C’est d’autant plus intéressant dans les cas où l’on souhaite simplement vérifier que des solides ne vont pas entrer en contact.

Pour chacune des zones de contact définies dans l’opérateur DEFI_CONTACT, il est possible de choisir si on souhaite y faire respecter le contact (RESOLUTION=”OUI”) ou non (RESOLUTION=”NON”).

L’intérêt d’une telle approche est de ne pas alourdir un calcul: lorsque qu’un calcul mené sans résolution sur l’intégralité des zones de contact montre qu’il n’y a pas d’interpénétration alors on peut ignorer la modélisation du contact.

Attention cependant: si au moins une des zones de contact est «résolue» et une autre «non résolue» alors l’existence d’une interpénétration ne préjuge pas de la solution d’un calcul complet avec contact (à cause des interactions possibles entre zones de contact).

Enfin cette technique peut aussi servir à mesurer le taux d’interpénétration au niveau des zones de contact pour calibrer un critère comme le coefficient de pénalisation ou l’interpénétration maximum tolérée dans la méthode de résolution “GCP”.

Visualiser les résultats d’un calcul de contact

Lorsque l’on visualise les résultats d’un calcul de contact-frottement dans un logiciel de post-traitement, il faut prendre garde à plusieurs choses:

• pour l’affichage des déformées, un facteur d’amplification différent de 1 peut conduire à visualiser des interpénétrations non réelles

• pour les calculs 2D en formulation “CONTINUE”, on fera attention lors de l’affichage de déformées aux logiciels de post-traitement qui considèrent les trois premières composantes d’un champ comme les composantes suivant \(X\) , \(Y\) et \(Z\) du déplacement. En 2D, la troisième composante correspond à LAGS_C et doit donc être ignorée

• cas méthode standard/pénalisé: lors de la visualisation du champ de post-traitement du contact (CONT_NOEU) et plus particulièrement de la composante CONT qui indique l’état du contact, on fera attention à l’interpolation des champs aux nœuds réalisée parfois automatiquement. En effet cette composante prend les valeurs 0 (pas de contact), 1 (contact adhérent) ou 2 (contact glissant). L’état adhérent n’est possible qu’en présence de frottement: si on visualise une telle valeur pour un calcul de contact sans frottement c’est qu’il y a interpolation du champ.

• Cas méthode LAC: le champ CONT_ELEM est fourni en post-traitement. Les composantes sont décrits en détail dans la doc U4.44.11page 34.

Contact ponctuel avec des éléments discrets (ressorts)

Les éléments discrets (ou ressorts) 2D_DIS_T* ou DIS_T* associés à la loi de comportement DIS_CHOC [R5.03.17] permettent de rendre compte d’un contact ponctuel dans une direction fixée. Ils sont bien adaptés à la modélisation de chocs et sont à ce titre souvent utilisés en dynamique sur base modale [U4.53.21] et en dynamique explicite [U4.53.01].

Les ressorts peuvent s’appuyer indifféremment sur une maille ponctuelle ou un segment. Dans tous les cas, il est nécessaire d’orienter correctement chaque élément avec la commande AFFE_CARA_ELEM [U4.42.01].

Le contact comme le frottement sont résolus par pénalisation (cf. § 3.2.2 ). Les raideurs de pénalisation, le coefficient de frottement ainsi que les jeux initiaux sont précisés dans le matériau DIS_CONTACT (commande DEFI_MATERIAU, [U4.43.01]).

Ce type d’élément n’est pas utilisable en grands déplacements car la direction de contact est fixe et donnée par l’orientation initiale de l’élément discret.

Les cas-tests SSNL130A et SDND100C mettent en œuvre des ressorts de contact.

Éléments de joints (hydro-)mécaniques avec contact et frottement

Les éléments de joints (hydro-)mécaniques PLAN_JOINT(_HYME) et 3D_JOINT(_HYME) permettent de modéliser l’ouverture d’une fissure sous la pression d’un fluide et le frottement sur les bords de la fissure fermée avec la loi JOINT_MECA_FROT [R7.01.25]. Il est possible de coupler l’ouverture de la fissure et la propagation du fluide avec les modélisations *_HYME.

La formulation du contact-frottement est pénalisée et les paramètres afférents sont renseignés sous le mot-clé JOINT_MECA_FROT de la commande DEFI_MATERIAU [U4.43.01].

Les cas-tests SSNP142C et SSNP142D fournissent un exemple d’application de tels éléments sur la modélisation d’un barrage.

Utilisation des méthodes adaptatives

Cas 1 : Les statuts ont du mal à se stabiliser en formulation continue (tous algorithmes), utiliser ADAPTATION=”CYCLAGE”.

Cas 2 : ALGO_CONT=”STANDARD” échoue et je veux utiliser le mode PENALISATION mais je ne sais pas comment régler le coefficient de pénalisation, utiliser le mode ALGO_CONT=”PENALISATION” et ADAPTATION=”ADAPT_COEF”. Par défaut, il y a un mot-clef qui s’active PENE_MAXI qui est égal à 1.E-2 fois la plus petite arête de maille dans la zone de contact. PENE_MAXI peut être assez facilement estimé par l’utilisateur car il est directement raccordé à la dimension d’une maille de contact.

Cas 3 : si le cas 2 échoue utiliser ADAPTATION=”TOUT”.

Autres cas : si l’on utilise la formulation continue et ALGO_CONT=”STANDARD”/”PENALISATION” alorspar défaut la méthode d’adaptation “CYCLAGE” est active. On conseille, si la convergence le permet, d’utiliser la réactualisation automatique géométrique REAC_GEOM=”AUTOMATIQUE” (paramétrage par défaut).

Bibliographie

1. 13. ABBAS. “Formulation discrète du contact-frottement”. Documentation de référence de Code_Aster . [R5.03.50].

2. 13. ABBAS. “Éléments de contact dérivés d’une formulation hybride continue”. Documentation de référence de Code_Aster . [R5.03.52].

3. 20. DE SOZA. «Opérateur DEFI_CONTACT». Documentation d’utilisation de Code_Aster . [U4.44.11].

4. 1. KONTER. «Advanced Finite Element Contact Benchmarks». NAFEMS, 2006.

5. 1. KONTER. «How to undertake a contact and friction analysis». NAFEMS, 2000.