v2.01.030 SDLD30 - Réponse sismique spectrale d’un système 2 masses et 3 ressorts multi-supporté#
Résumé:
Le problème consiste à calculer la réponse spectrale d’un système 2 masses - 3 ressorts soumis à une excitation sismique multiple.
On teste l’élément discret en traction, le calcul des modes propres, des modes statiques et de la réponse spectrale par superposition modale via l’opérateur COMB_SISM_MODAL. Différents cumuls sont testés lors du calcul des réponses d’appuis.
Les résultats obtenus sont en très bon accord avec les résultats analytiques de référence.
Solution de référence#
Méthode de calcul utilisée pour la solution de référence#
On calcule la réponse spectrale par superposition modale d’un système masse ressort soumis à deux excitations distinctes. On détermine le déplacement des masses et les réactions d’appui aux nœuds \(\mathit{NO1}\) et \(\mathit{NO4}\) suivant l’axe \(x\) .
On calcule analytiquement:
les fréquences propres \({f}_{i}\) ,
les vecteurs propres associés \({\varphi}_{\text{Ni}}\) normalisés par rapport à la masse modale,
les modes statiques d’appuis \({\psi}_{j}\) du système,
les facteurs de participation modale \({P}_{ij}\) relatif aux appuis,
\({\mathrm{Rm}}_{ij}\) le maximum de la réponse de chaque mode à partir des spectres d’excitation,
\({\text{Re}}_{j}\) la contribution du mouvement d’entraînement de chaque appui à partir des déplacements différentiels,
\({\mathrm{Rc}}_{j}\) le terme de correction statique,
les composantes primaires et secondaires de la réponse en fonction des régles de cumul adoptées.
Résultats de référence#
matrice de rigidité \(K\)
\(K=\left[\begin{array}{cccc}k& -k& 0& 0\\ -k& \mathrm{2k}& -k& 0\\ 0& -k& \mathrm{11k}& -\mathrm{10k}\\ 0& 0& -\mathrm{10k}& \mathrm{10k}\end{array}\right]\)
\({K}^{p}=\left[\begin{array}{cccc}\mathrm{2k}& -k& -k& 0\\ -k& \mathrm{11k}& 0& -\mathrm{10k}\\ -k& 0& k& 0\\ 0& -\mathrm{10k}& 0& \mathrm{10k}\end{array}\right]\)
matrice partitionnée degrés de liberté de structure 2, 3, degrés de liberté de support 1, 4
\({K}^{p}=\left[\begin{array}{cc}{k}_{xx}& {k}_{\mathit{xs}}\\ {k}_{\mathit{sx}}& {k}_{\mathit{ss}}\end{array}\right]\) \({k}_{xx}=\left[\begin{array}{cc}\mathrm{2k}& -k\\ -k& \mathrm{11k}\end{array}\right]\) \({k}_{\mathit{xs}}=\left[\begin{array}{cc}-k& 0\\ 0& -\mathrm{10k}\end{array}\right]\)
\({k}_{\mathit{sx}}=\left[\begin{array}{cc}-k& 0\\ 0& -\mathrm{10k}\end{array}\right]\) \({k}_{\mathit{ss}}=\left[\begin{array}{cc}k& 0\\ 0& \mathrm{10k}\end{array}\right]\)
matrice de masse \(M\)
\(M=\left[\begin{array}{cccc}0& 0& 0& 0\\ 0& m& 0& 0\\ 0& 0& m& 0\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right]\)
calcul modal en base encastrée
\({k}_{xx}=\left[\begin{array}{cc}\mathrm{2k}& -k\\ -k& \mathrm{11k}\end{array}\right]\)
\(({k}_{xx}-{\lambda}_{i}{m}_{xx}{\varphi}_{i})=0\) \({\lambda}_{i}={\omega}_{i}^{2}\)
soit :math:`` \({\lambda}_{2}=\frac{k}{\mathrm{2m}}(13+\sqrt{85})\)
fréquences propres:
soit :math:`` \({f}_{2}=\frac{{\omega}_{2}}{2\pi }\)
modes propres non normés:
soit \({\varphi}_{1}=(\begin{array}{c}0\\ 1\\ (-9+\sqrt{85})/2\\ 0\end{array})\) \({\varphi}_{2}=(\begin{array}{c}0\\ -1\\ (9+\sqrt{85})/2\\ 0\end{array})\)
masses modales généralisées \({\mu}_{i}={}^{T}\varphi _{i}M{\varphi}_{i}\) :
soit :math:`` \({\mu}_{2}=\frac{m}{4}(170+18\sqrt{85})\)
modes propres normés à la masse modale généralisée unitaire \({\varphi}_{\text{Ni}}\) :
soit \({\varphi}_{\mathrm{N1}}=\frac{{\varphi}_{1}}{\sqrt{{\mu}_{1}}}\) \({\varphi}_{\mathrm{N2}}=\frac{{\varphi}_{2}}{\sqrt{{\mu}_{2}}}\)
réactions modales \({\mathrm{Fm}}_{i}\) :
\({r}_{i}={k}_{\mathrm{sx}}{\varphi}_{\mathrm{Nis}}\) \({\varphi}_{\text{Ni}}^{p}=(\begin{array}{c}{\varphi}_{\text{Nix}}\\ {\varphi}_{\text{Nis}}\end{array})\) \({\mathrm{Fm}}_{i}^{p}=(\begin{array}{c}0\\ {r}_{i}\end{array})\)
soit \({\mathrm{Fm}}_{1}=\frac{k}{\sqrt{{\mu}_{1}}}(\begin{array}{c}-1\\ 0\\ 0\\ 5(9-\sqrt{85})\end{array})\) \({\mathit{Fm}}_{2}=\frac{k}{\sqrt{{\mu}_{2}}}(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\\ -5(9+\sqrt{85})\end{array})\)
facteurs de participation modale \({P}_{ij}={}^{T}\varphi _{i}M{\psi}_{j}\) :
contribution du mode dynamique 1 au mouvement imposé au nœud \(\mathit{NO1}\) :
\({P}_{11}={}^{T}\varphi _{1}M{\psi}_{1}=\frac{m}{42\sqrt{{\mu}_{1}}}(13+\sqrt{85})\)
contribution du mode dynamique 1 au mouvement imposé au nœud \(\mathit{NO4}\) :
\({P}_{12}={}^{T}\varphi _{1}M{\psi}_{2}=\frac{10m}{21\sqrt{{\mu}_{1}}}(-8+\sqrt{85})\)
contribution du mode dynamique 2 au mouvement imposé au nœud \(\mathit{NO1}\) :
\({P}_{21}={}^{T}\varphi _{2}M{\psi}_{1}=\frac{m}{42\sqrt{{\mu}_{2}}}(-13+\sqrt{85})\)
contribution du mode dynamique 2 au mouvement imposé au nœud \(\mathit{NO4}\) :
\({P}_{22}={}^{T}\varphi _{2}M{\psi}_{2}=\frac{10m}{21\sqrt{{\mu}_{2}}}(8+\sqrt{85})\)
facteur de participation du mode dynamique 1 dans la direction \(X\) :
\({P}_{\mathrm{1X}}={P}_{11}+{P}_{12}\)
facteur de participation du mode dynamique 2 dans la direction \(X\) :
\({P}_{\mathrm{2X}}={P}_{21}+{P}_{22}\)
modes statiques d’appuis \({\psi}_{j}\)
solution statique à un déplacement unitaire du nœud \(\mathit{NO1}\) :
déplacements: \({\psi}_{1}=\frac{1}{21}(\begin{array}{c}21\\ 11\\ 1\\ 0\end{array})\) réactions nodales: \({F}_{1}=K{\psi}_{1}=\frac{10}{21}k(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\\ -1\end{array})\)
solution statique à un déplacement unitaire du nœud \(\mathit{NO4}\) :
déplacements: \({\psi}_{2}=\frac{1}{21}(\begin{array}{c}0\\ 10\\ 20\\ 21\end{array})\) réactions nodales: \({\mathit{Fs}}_{2}=K{\psi}_{2}=\frac{10}{21}k(\begin{array}{c}-1\\ 0\\ 0\\ 1\end{array})\)
réponse du mode \(i\) au mouvement de l’appui \(j\)
\({\mathit{Rm}}_{ij}={r}_{i}{P}_{ij}\frac{{A}_{ij}}{{\omega}_{i}^{2}}\) avec \({r}_{i}={\varphi}_{\text{Ni}}\) ou \({\mathit{Fm}}_{i}\)
correction statique
modes statiques \({u}_{j}\) solution de \(K{u}_{j}=M{\psi}_{j}\) :
déplacements: \({u}_{1}=\frac{m}{441k}(\begin{array}{c}0\\ 122\\ 13\\ 0\end{array})\) réactions nodales: \(F{u}_{1}=\frac{m}{441}(\begin{array}{c}-122\\ 231\\ 21\\ -130\end{array})\)
déplacements: \({u}_{2}=\frac{m}{441k}(\begin{array}{c}0\\ 130\\ 50\\ 0\end{array})\) réactions nodales: \(F{u}_{2}=\frac{m}{441}(\begin{array}{c}-130\\ 210\\ 420\\ -500\end{array})\)
correction statique relative au mouvement de l’appui \(j\) si le mode 2 n’est pas retenu:
\({\mathrm{Rc}}_{j}=({\mathrm{ru}}_{j}-\frac{{P}_{\mathrm{1j}}{r}_{1}}{{\omega}_{1}^{2}}){A}_{\mathrm{1j}}\) avec: \({\mathrm{ru}}_{j}={u}_{j}\mathrm{ou}{\mathrm{Fu}}_{j}\) et \({r}_{1}={\varphi}_{\mathrm{N1}}\mathrm{ou}{\mathrm{Fm}}_{1}\)
contribution de l’appui \(j\) au mouvement d’entraînement
\(R{e}_{j}={r}_{j}{D}_{j}\) avec \({r}_{j}={\psi}_{j}\mathrm{ou}{\mathrm{Fs}}_{j}\)
Ces calculs analytiques sont décrits dans le fichier Matlab sdld30a.55.
Incertitude sur la solution#
Aucune (solution analytique exacte).
Modélisation A#
Caractéristiques de la modélisation#
Le système est modélisé par:
3 éléments discrets K_T_D_L,
2 éléments discrets M_T_D_N.
Caractéristiques du maillage#
Le maillage est constitué de 3 mailles SEG2.
Résultats de la modélisation A#
Fréquences propres#
MODE |
Référence |
\(1\) |
2,18815E+00 |
\(2\) |
5,30484E+00 |
Réponse globale sur base modale complète#
Les modes 1 et 2 sont pris en compte. Les composantes inertielle (primaire) et statique (secondaire) de la réponse sont directement cumulées au niveau des appuis.
calcul n°1
COMB_MODE=’SRSS’
réponse de l’appui \(j=1\) (nœud \(\mathit{NO1}\) ): \({R}_{1}=\sqrt{{\mathrm{Rm}}_{1}^{2}+{\text{Re}}_{1}^{2}}\) avec \({\mathrm{Rm}}_{1}=\sqrt{{\mathrm{Rm}}_{11}^{2}+{\mathrm{Rm}}_{21}^{2}}\) (cumul sur les modes)
réponse de l’appui \(j=2\) (nœud \(\mathit{NO4}\) ): \({R}_{2}=\sqrt{{\mathrm{Rm}}_{2}^{2}+{\text{Re}}_{2}^{2}}\) avec \({\mathit{Rm}}_{2}=\sqrt{{\mathit{Rm}}_{12}^{2}+{\mathit{Rm}}_{22}^{2}}\)
réponse globale: \(R=\sqrt{{R}_{1}^{2}+{R}_{2}^{2}}\) (cumul sur les appuis)
déplacements absolus: DEPL
NOEUD |
Référence |
\(\mathit{NO1}\) |
4,00000E-02 |
\(\mathit{NO2}\) |
5,43820E-02 |
\(\mathit{NO3}\) |
5,75544E-02 |
\(\mathit{NO4}\) |
6,00000E-02 |
réactions nodales : REAC_NODA
NOEUD |
Référence |
\(\mathit{NO1}\) |
5,36769E+01 |
\(\mathit{NO4}\) |
7,44120E+01 |
Réponse globale sur base modale incomplète sans correction statique#
Seul le mode 1 est pris en compte. Les composantes inertielle (primaire) et statique (secondaire) de la réponse sont directement cumulées au niveau des appuis.
calcul n° 2
COMB_MODE=’SRSS’
réponse de l’appui \(j=1\) (nœud \(\mathit{NO1}\) ): \({R}_{1}=\sqrt{{\mathrm{Rm}}_{1}^{2}+{\text{Re}}_{1}^{2}}\) avec \({\mathrm{Rm}}_{1}={\mathrm{Rm}}_{11}\)
réponse de l’appui \(j=2\) (nœud \(\mathit{NO4}\) ): \({R}_{2}=\sqrt{{\mathrm{Rm}}_{2}^{2}+{\text{Re}}_{2}^{2}}\) avec \({\mathrm{Rm}}_{2}={\mathrm{Rm}}_{12}\)
réponse globale: \(R=\sqrt{{R}_{1}^{2}+{R}_{2}^{2}}\)
déplacements absolus: DEPL
NOEUD |
Référence |
\(\mathit{NO1}\) |
4,00000E-02 |
\(\mathit{NO2}\) |
5,43794E-02 |
\(\mathit{NO3}\) |
5,73536E-02 |
\(\mathit{NO4}\) |
6,00000E-02 |
réactions nodales : REAC_NODA
NOEUD |
Référence |
\(\mathit{NO1}\) |
5,36743E+01 |
\(\mathit{NO4}\) |
5,68312E+01 |
Réponse globale sur base modale incomplète avec correction statique#
Seul le mode 1 intervient dans le calcul de la réponse. La contribution statique du mode 2 négligé est prise en compte.
calcul n° 3
COMB_MODE=’SRSS’
réponse de l’appui \(j=1\) (nœud \(\mathit{NO1}\) ): \({R}_{1}=\sqrt{{\mathrm{Rm}}_{1}^{2}+{\mathrm{Rc}}_{1}^{2}+{\text{Re}}_{1}^{2}}\) avec \({\mathrm{Rm}}_{1}={\mathrm{Rm}}_{11}\)
réponse de l’appui \(j=2\) (nœud \(\mathit{NO4}\) ): \({R}_{2}=\sqrt{{\mathrm{Rm}}_{2}^{2}+{\mathrm{Rc}}_{2}^{2}+{\text{Re}}_{2}^{2}}\) avec \({\mathrm{Rm}}_{2}={\mathrm{Rm}}_{12}\)
réponse globale: \(R=\sqrt{{R}_{1}^{2}+{R}_{2}^{2}}\)
déplacements absolus: DEPL
NOEUD |
Référence |
Tolérance |
\(\mathit{NO1}\) |
4,00000E-02 |
0.001 |
\(\mathit{NO2}\) |
0.054389658 |
0.001 |
\(\mathit{NO3}\) |
0.058152653 |
0.001 |
\(\mathit{NO4}\) |
6,00000E-02 |
0.001 |
réactions nodales : REAC_NODA
NOEUD |
Référence |
Tolérance |
\(\mathit{NO1}\) |
53.6846755 |
0.001 |
\(\mathit{NO4}\) |
111.6190600 |
0.001 |
Partition des composantes primaire et secondaire de la réponse#
Les composantes inertielle (primaire) et statique (secondaire) sont traitées séparément.
calcul n° 4
réponse primaire sur base modale complète (modes 1 et 2)
COMB_MODE=’SRSS’
réponse de l’appui \(j=1\) (nœud \(\mathit{NO1}\) ): \({\mathrm{RI}}_{1}=\sqrt{{\mathrm{Rm}}_{11}^{2}+{\mathrm{Rm}}_{21}^{2}}\) (cumul sur modes)
réponse de l’appui \(j=2\) (nœud \(\mathit{NO4}\) ): \({\mathrm{RI}}_{2}=\sqrt{{\mathrm{Rm}}_{12}^{2}+{\mathrm{Rm}}_{22}^{2}}\)
réponse primaire: \(\mathrm{RI}=\sqrt{{\mathrm{RI}}_{1}^{2}+{\mathrm{RI}}_{2}^{2}}\)
déplacements relatifs: DEPL
NOEUD |
Référence |
NO1 |
0,00000E+00 |
NO2 |
4,12562E-02 |
NO3 |
6,60152E-03 |
NO4 |
0,00000E+00 |
réactions nodales : REAC_NODA
NOEUD |
Référence |
NO1 |
4,12562E+01 |
NO4 |
6,60152E+01 |
réponse secondaire
réponse secondaire: \(\mathrm{RII}=\sqrt{{\text{Re}}_{1}^{2}+{\text{Re}}_{2}^{2}}\)
déplacements d’entraînement: DEPL
NOEUD |
Référence |
NO1 |
4,00000E-02 |
NO2 |
3,54306E-02 |
NO3 |
5,71746E-02 |
NO4 |
6,00000E-02 |
réactions nodales : REAC_NODA
NOEUD |
Référence |
NO1 |
3,43386E+01 |
NO4 |
3,43386E+01 |
Synthèse des résultats#
Les résultats obtenus avec Code_Aster sont conformes aux résultats analytiques de référence.