v3.02.306 SSLP306 - Plaque encastrée soumise à une charge transverse polynomiale#

Résumé:

Le test a pour but de valider l’élément créé automatiquement à partir de Fenicsx basé sur la théorie de Reissner-Mindlin et la procédure MITC (en anglais, Mixed Interpolation of Tensorial Component).

La solution de référence est analytique.

À titre de comparaison, 3 types de modélisations sont présentés : PLAQ_MITC, DKT, DST.

Solution de référence#

Méthode de calcul utilisée pour la solution de référence#

La valeur du déplacement vertical et les valeurs des rotations autour des axes \(X\) et \(Y\) sont données par:

\[\begin{split}\begin{align} w(x, y) &= \frac{1}{3} x^{3} (x - 1)^{3} y^{3} (y - 1)^{3} - \frac{2 t^{2}}{5 (1 - \nu)} \Big[ y^{3} (y - 1)^{3} x (x - 1) (5 x^{2} - 5 x + 1) \\ & \quad + x^{3} (x - 1)^{3} y (y - 1) (5 y^{2} - 5 y + 1) \Big] \\ \theta_x(x, y) &= x^{3} (x - 1)^{3} y^{2} (y - 1)^{2} (2 y - 1) \\ \theta_y(x, y) &= -y^{3} (y - 1)^{3} x^{2} (x - 1)^{2} (2 x - 1) \end{align}\end{split}\]

Résultats de référence#

Déplacement au point \((0.5,\,0.5)\) avec \(t = 0.1\) \({w} = 9.254092261904761\cdot{10}^{-5} \mathrm{m}\) »
Déplacement au point \((0.5,\,0.5)\) avec \(t = 0.001\) \({w} = 8.13813244047619\cdot{10}^{-5} \mathrm{m}\) »

Incertitude sur la solution#

Solution analytique.

Références bibliographiques#

Hale JS, Brunetti M, Bordas SP, Maurini C. Simple and extensible plate and shell finite element models through automatic code generation tools. Computers & Structures. 2018 Oct 15;209:163-81.
Chinosi C, Lovadina C. Numerical analysis of some mixed finite element methods for Reissner-Mindlin plates. Computational Mechanics. 1995 Apr;16(1):36-44.

Modélisation A#

Caractéristiques de la modélisation#

C’est une modélisation PLAQ_MITC fait via fenicsx.

Le maillage de \(\Omega=[0,1]^2\) est directement construit par:

mesh = CA.Mesh.buildSquare(refine=FINE_REFINEMENT)

Conditions limites:

sur les bords \({0, 1}\times[0, 1] \cup [0, 1]\times{0, 1}\):

MECA_IMPO=_F(DZ=0, DRX=0, DRY=0, GROUP_MA=("LEFT", "RIGHT", "TOP", "BOTTOM"))

Remarque:: A présent, PLAQ_MITC ne considère que la mouvement de type COQUE et on n’impose donc pas le déplacements DX, DY, DRZ.

Chargement:

PRES_REP=_F(GROUP_MA="SURFACE", PRES=PRES)

où PRES est une FORMULE qui représente l’équation dans le problème de référence.

Caractéristiques du maillage#

Nombre de nœuds : 16641

Nombre de mailles et types : 4352, 256 SEG3, 4096 QUAD9

Valeurs testées#

Localisation	Épaisseur	Type de valeur	Référence	Aster	% différence
Point \((0.5, 0.5)\)	0.1	DZ	\(9.254092261904761\cdot{10}^{-5}\)	\(9.225572268464905\cdot{10}^{-5}\)	< 1
Point \((0.5, 0.5)\)	0.001	DZ	\(8.13813244047619\cdot{10}^{-5}\)	\(8.113126374037738\cdot{10}^{-5}\)	< 1

Modélisation B#

Caractéristiques de la modélisation#

C’est une modélisation DST.

Conditions limites:

sur les bords \({0, 1}\times[0, 1] \cup [0, 1]\times{0, 1}\):

MECA_IMPO=_F(DX=0, DY=0, DZ=0, DRX=0, DRY=0, DRZ=0, GROUP_MA=("LEFT", "RIGHT", "TOP", "BOTTOM"))

Chargement:

FORCE_COQUE=_F(GROUP_MA="SURFACE", PRES=PRES)

où PRES est une FORMULE qui représente l’équation dans le problème de référence.

Caractéristiques du maillage#

Nombre de nœuds : 4225

Nombre de mailles et types : 4352, 256 SEG2, 4096 QUAD4

Valeurs testées#

Localisation	Épaisseur	Type de valeur	Référence	Aster	% différence
Point \((0.5, 0.5)\)	0.1	DZ	\(9.254092261904761\cdot{10}^{-5}\)	\(9.220016849373356\cdot{10}^{-5}\)	< 1
Point \((0.5, 0.5)\)	0.001	DZ	\(8.13813244047619\cdot{10}^{-5}\)	\(8.10641555340742\cdot{10}^{-5}\)	< 1

Modélisation C#

Caractéristiques de la modélisation#

C’est une modélisation DKT.

Conditions limites:

Idem que modélisation B.

Chargement:

Idem que modélisation B.

Caractéristiques du maillage#

Idem que modélisation B.

Valeurs testées#

Localisation	Épaisseur	Type de valeur	Référence	Aster	% différence
Point \((0.5, 0.5)\)	0.1	DZ	\(9.254092261904761\cdot{10}^{-5}\)	\(8.106306974024127\cdot{10}^{-5}\)	< 20
Point \((0.5, 0.5)\)	0.001	DZ	\(8.13813244047619\cdot{10}^{-5}\)	\(8.106306973545047\cdot{10}^{-5}\)	< 1

Remarque:: Le modèle DKT fonctionne moins bien lorsque l’épaisseur de la plaque augmente. Une erreur importante est attendue pour le cas \(t=0,1\).

Synthèse des résultats#

Les trois modélisations: PLAQ_MITC, DST et DKT ont de bons résultats pour des plaques minces (à faibles épaisseurs par rapport aux autres dimensions). Le modèle DKT fonctionne moins bien lorsque l’épaisseur de la plaque augmente. Ce comportement attendu s’explique à cause des déformations en cisaillement plus importantes qui DKT n’arrive pas à modéliser. A noter que l’erreur accroît lors que l’on discrétisa davantage (voir figure ci-dessous).

../../../../_images/mitc_erreur_mince.svg

../../../../_images/mitc_erreur_epais.svg

Fig. Évolution de l’erreur de DZ en fonction du niveau de discrétisation pour une plaque mince, \(t=0.001\), (à gauche) et épaisse, \(t=0.1\) (à droite).