v3.04.113 SSLV113 - Estimateur d’erreur sur un cylindre creux bi-matériaux#
Résumé:
Ce test valide l’estimateur d’erreur en résidu pur, appliqué à l’élasticité linéaire 2D, en statique. On considère un cylindre creux constitué de deux matériaux et soumis à des pressions internes et externes.
Les 2modélisations sont axisymétriques, sur des quadrangles à 8nœuds.
L’intérêt du test réside dans la comparaison entre les contraintes exactes et calculées, d’une part, l’erreur estimée et l’erreur exacte, d’autre part. Ce test permet également de montrer la validité de l’estimateur en résidu sur une structure bimatériau, contrairement à l’estimateur de Zhu-Zienkiewicz qui n’est pas appliquable sur des structures présentant des discontinuités dans le champ de contraintes (ici à l’interface matériau).
Solution de référence#
Méthode de calcul utilisée pour la solution de référence#
\(\begin{array}{ccc}{\mu}_{i}& =& \frac{{E}_{i}}{2(1+\nu )}\\ {\lambda}_{i}& =& \frac{\nu {E}_{i}}{(1-2\nu )(1+\nu )}\end{array}\)
Pour le matériau \(i\) , on a:
\(\begin{array}{ccc}{u}_{r}& =& {a}_{i}r+\frac{{b}_{i}}{r}\\ {u}_{z}& =& A\end{array}\)
\(\lbrace \begin{array}{ccc}{\sigma}_{\mathrm{rr}}& =& {\lambda}_{i}(2{a}_{i}+A)+2{\mu}_{i}({a}_{i}-\frac{{b}_{i}}{{r}^{2}})\\ {\sigma}_{\mathrm{rr}}& =& {\lambda}_{i}(2{a}_{i}+A)+2{\mu}_{i}({a}_{i}+\frac{{b}_{i}}{{r}^{2}})\\ {\sigma}_{\mathrm{rr}}& =& 2{\lambda}_{i}{a}_{i}+({\lambda}_{i}+2{\mu}_{i})A\end{array}\)
Incertitude sur la solution#
Solution analytique.
Modélisation A#
Caractéristiques de la modélisation#
Caractéristiques du maillage#
Nombre de noeuds: 23.
Nombre de mailles et types: 4 QUAD8.
Résultats et grandeurs testées#
Identification |
Référence |
Aster |
% différence |
tolérance |
\(A\) \({\sigma}_{\mathrm{rr}}\) |
–1.00003 |
–1.06833 |
6.83 |
7.0 |
\({\sigma}_{\theta \theta }\) |
–4.43821 |
–4.46731 |
0.66 |
2.0 |
\({\sigma}_{zz}\) |
0.19518 |
0.16596 |
14.9 |
15.0 |
\({e}_{\mathrm{rel}}\) |
2.37% |
5.0 |
||
\(E\) mat. 1 \({\sigma}_{\mathrm{rr}}\) |
–1.95508 |
–1.97893 |
1.22 |
2.0 |
\({\sigma}_{\theta \theta }\) |
–3.48316 |
–3.49330 |
0.29 |
2.0 |
\({\sigma}_{zz}\) |
0.19518 |
0.18498 |
5.22 |
6.0 |
\({e}_{\mathrm{rel}}\) |
1.05% |
5.0 |
||
\(E\) mat. 2 \({\sigma}_{\mathrm{rr}}\) |
–1.95508 |
–1.98398 |
1.48 |
2.0 |
\({\sigma}_{\theta \theta }\) |
–2.16049 |
–2.13394 |
1.23 |
2.0 |
\({\sigma}_{zz}\) |
–0.32135 |
–0.32204 |
0.22 |
2.0 |
\({e}_{\mathrm{rel}}\) |
0.152% |
5.0 |
||
\(B\) \({\sigma}_{\mathrm{rr}}\) |
–1.99999 |
–2.00095 |
0.048 |
2.0 |
\({\sigma}_{\theta \theta }\) |
–2.11555 |
–2.11595 |
0.012 |
2.0 |
\({\sigma}_{zz}\) |
–0.32135 |
–0.32174 |
0.12 |
2.0 |
\({e}_{\mathrm{rel}}\) |
0.057% |
5.0 |
Remarques#
Le maillage étant grossier (4 éléments suivant \(\text{Or}\) ), certaines contraintes près de l’axe d’axisymétrie sont mal approximées. Le saut de \({\sigma}_{\theta \theta }\) et \({\sigma}_{zz}\) à l’interface des 2 matériaux est par contre bien décelé.
Remarques#
Erreur relative estimée globale= 1.40%.
Modélisation B#
Caractéristiques de la modélisation#
Caractéristiques du maillage#
Nombre de noeuds:
Nombre de mailles et types: 20 QUAD8.
Résultats et grandeurs testées#
Identification |
Référence |
Aster |
% différence |
tolérance |
\(A\) \({\sigma}_{\mathrm{rr}}\) |
–1.00003 |
–1.00351 |
0.35 |
0.5 |
\({\sigma}_{\theta \theta }\) |
–4.43821 |
–4.43970 |
0.034 |
0.05 |
\({\sigma}_{zz}\) |
0.19518 |
0.19369 |
0.76 |
0.8 |
\({e}_{\mathrm{rel}}\) |
0.57% |
0.6 |
||
\(E\) mat. 1 \({\sigma}_{\mathrm{rr}}\) |
–1.95508 |
–1.95583 |
0.039 |
0.05 |
\({\sigma}_{\theta \theta }\) |
–3.48316 |
–3.48347 |
0.009 |
0.01 |
\({\sigma}_{zz}\) |
0.19518 |
0.19486 |
0.16 |
0.2 |
\({e}_{\mathrm{rel}}\) |
0.14% |
0.2 |
||
\(E\) mat. 2 \({\sigma}_{\mathrm{rr}}\) |
–1.95508 |
–1.96166 |
0.34 |
0.5 |
\({\sigma}_{\theta \theta }\) |
–2.16049 |
–2.15403 |
0.299 |
0.5 |
\({\sigma}_{zz}\) |
–0.32135 |
–0.32138 |
0.009 |
0.01 |
\({e}_{\mathrm{rel}}\) |
0.027% |
0.03 |
||
\(B\) \({\sigma}_{\mathrm{rr}}\) |
–1.99999 |
–2.00003 |
0.002 |
0.01 |
\({\sigma}_{\theta \theta }\) |
–2.11555 |
–2.11558 |
0.001 |
0.01 |
\({\sigma}_{zz}\) |
–0.32135 |
–0.32135 |
0.002 |
0.01 |
\({e}_{\mathrm{rel}}\) |
0.0084% |
0.01 |
Remarque#
Erreur relative estimée globale= 0.24%.
Synthèse des résultats#
L’estimateur d’erreur en résidu ERRE_ELEM_SIGM donne de bons résultats sur les problèmes en bi-matériaux.
Remarque:
L’estimateur d’erreur de Zhu-Zienkiewicz ne donne pas des résultats corrects. En effet, à l’interface il détecte une forte erreur car il effectue un lissage continu des contraintes alors qu’il existe un saut pour \({\sigma}_{zz}\) et \({\sigma}_{\theta \theta }\) .