v6.08.103 SSND103 - Validation d’une loi de comportement bilinéaire sur un élément discret (application aux assemblages boulonnés)#
Résumé:
L’objectif de ce cas-test est de valider une loi de comportement bilinéaire portant sur un élément discret.
Cette loi de comportement a été développée dans le cadre d’une étude dans laquelle le comportement de la vis d’un assemblage boulonné est modélisé par un élément discret affecté du même comportement.
La loi de comportement DIS_BILI_ELAS demande en arguments les deux raideurs apparentes de la vis (éléments de l’assemblage en contact ou non) ainsi que la valeur de l’effort de pré-serrage imposé à la vis.
On vérifie, pour différentes températures et différentes directions de sollicitation, que les pentes des courbes de charge obtenues, lorsque l’on sollicite le discret, correspondent aux raideurs apparentes et que la rupture de pente correspond à l’effort de pré-serrage imposé.
Solution de référence#
On affecte à l’élément discret, via la loi de comportement bilinéaire, deux raideurs \({K}_{1}\) et \({K}_{2}\) fonctions de la température de la forme \({K}_{i}={\alpha}_{i}-{\beta}_{i}\dot{T}\) .
On fixe arbitrairement ici:
\({\alpha}_{1}=2\dot{{\alpha}_{2}}={2.10}^{8}{\mathrm{N.m}}^{-1}\)
\({\beta}_{1}=2\dot{{\beta}_{2}}={4.10}^{6}{\mathrm{N.m}}^{-1}\)
On vérifie que, quelque soit le déplacement \(U\) ou l’effort de contrainte \({F}_{P}\) que l’on impose, on obtient une réaction nodale \(F\) du discret vérifiant la loi élastique \(\Delta F={K}_{i}.\Delta U\) , où \(i=1\) si \(F\le {F}_{P}\) et \(i=2\) si \(F>{F}_{P}\) .
On relève les réactions nodales du discret pour des déplacements (\({U}_{1}<{U}_{2}\) ) situés de part et d’autre de la rupture de pente.
La rupture de pente ayant lieu pour \({U}_{P}={F}_{P}/{K}_{1}\) , on obtient directement les solutions de référence:
\({F}_{1}={K}_{1}.{U}_{1}\) et \({F}_{2}={F}_{P}+{K}_{2}.({U}_{2}-{U}_{P})\)
soit \({F}_{2}={F}_{P}.(1-{K}_{2}/{K}_{1})+{K}_{2}.{U}_{2}\)
Modélisation A#
Caractéristiques de la modélisation#
On sollicite l’élément discret de manière uni-axiale. On lui impose:
une température constante \(T=0°C\) ,
un effort de précontrainte \({F}_{P}={5.10}^{4}N\) et
un déplacement d’axe \((\mathrm{0x})\) \({U}_{\mathrm{tot}}={10}^{-3}\mathrm{mm}\) .
Caractéristiques du maillage#
Le maillage est constitué de deux nœuds reliés par un élément SEG2 d’axe \(\mathit{Ox}\) .
Grandeurs testées et résultats#
On choisit \({U}_{1}={2.10}^{-4}\mathrm{mm}\) et \({U}_{2}={8.10}^{-4}\mathrm{mm}\) .
Après application numérique, les solutions de référence sont :
\({F}_{1}={4.10}^{4}N\)
\({F}_{2}=1,05{.10}^{5}N\)
Nœuds |
\(U\) |
Référence |
\(\mathrm{N1}\) |
\({2.10}^{-4}\mathrm{mm}\) |
\(-{4.10}^{4}N\) |
\(\mathrm{N2}\) |
\({2.10}^{-4}\mathrm{mm}\) |
\({4.10}^{4}N\) |
\(\mathrm{N1}\) |
\({8.10}^{-4}\mathrm{mm}\) |
\(-1,05{.10}^{5}N\) |
\(\mathrm{N2}\) |
\({8.10}^{-4}\mathrm{mm}\) |
\(1,05{.10}^{5}N\) |
Modélisation B#
Caractéristiques de la modélisation#
La modélisation B est en tous points la même que A sauf la température prise constante égale à \(25°C\)
Caractéristiques du maillage#
Le maillage est constitué de deux nœuds reliés par un élément SEG2 d’axe \(\mathit{Ox}\) .
Grandeurs testées et résultats#
On choisit \({U}_{1}={2.10}^{-4}\mathrm{mm}\) et \({U}_{2}={8.10}^{-4}\mathrm{mm}\) .
Après application numérique, les solutions de référence sont :
\({F}_{1}={2.10}^{4}N\)
\({F}_{2}=6,5{.10}^{4}N\)
Nœuds |
\(U\) |
Référence |
\(\mathrm{N1}\) |
\({2.10}^{-4}\mathrm{mm}\) |
\(-{2.10}^{4}N\) |
\(\mathrm{N2}\) |
\({2.10}^{-4}\mathrm{mm}\) |
\({2.10}^{4}N\) |
\(\mathrm{N1}\) |
\({8.10}^{-4}\mathrm{mm}\) |
\(-6,5{.10}^{4}N\) |
\(\mathrm{N2}\) |
\({8.10}^{-4}\mathrm{mm}\) |
\(6,5{.10}^{4}N\) |
Modélisation C#
Caractéristiques de la modélisation#
La modélisation C est en tous points la même que A sauf s’agissant du sens de la sollicitation.
On ne sollicite plus le discret uniquement suivant son axe, mais dans la direction de la première trisectrice.
On choisit, par ailleurs, \({K}_{\mathrm{ix}}={K}_{\mathrm{iy}}=2.{K}_{\mathrm{iz}}={K}_{i}\) , où \({K}_{i}\) est donné au §2.
Caractéristiques du maillage#
Le maillage est constitué de deux nœuds reliés par un élément SEG2 d’axe \(\mathit{Ox}\) .
Grandeurs testées et résultats#
On choisit \({U}_{1}={2.10}^{-4}\mathrm{mm}\) et \({U}_{2}={8.10}^{-4}\mathrm{mm}\) .
Après application numérique, les solutions de référence sont :
\({F}_{\mathrm{1x}}={4.10}^{4}N\)
\({F}_{\mathrm{1y}}={4.10}^{4}N\)
\({F}_{\mathrm{1z}}={2.10}^{4}N\)
\({F}_{\mathrm{2x}}=10,5{.10}^{4}N\)
\({F}_{\mathrm{2y}}=10,5{.10}^{4}N\)
\({F}_{\mathrm{2z}}=6,5{.10}^{4}N\)
Nœud |
\(U\) |
Composantes |
Référence |
\(\mathrm{N2}\) |
\({2.10}^{-4}\mathrm{mm}\) |
\({F}_{\mathrm{1x}}\) |
\({4.10}^{4}N\) |
\({F}_{\mathrm{1y}}\) |
\({4.10}^{4}N\) |
||
\({F}_{\mathrm{1z}}\) |
\({2.10}^{4}N\) |
||
\(\mathrm{N2}\) |
\({8.10}^{-4}\mathrm{mm}\) |
\({F}_{\mathrm{2x}}\) |
\({\mathrm{10,5.10}}^{4}N\) |
\({F}_{\mathrm{2y}}\) |
\({\mathrm{10,5.10}}^{4}N\) |
||
\({F}_{\mathrm{2z}}\) |
\({\mathrm{6,5.10}}^{4}N\) |
Synthèse des résultats#
La loi de comportement DIS_BILI_ELAS donne des résultats parfaitement conformes à ceux issus des expressions analytiques, que la raideur soit fonction de la température ou différenciée selon les directions de l’espace.