v7.22.120 HSNV120 - Traction hyperélastique d’un barreau sous chargement thermique#
Résumé:
Ce test thermomécanique quasi-statique consiste à chauffer uniformément un barreau parallélépipédique, le soumettre à une traction importante pour finalement le laisser revenir dans un état déchargé. On valide ainsi la cinématique des grandes déformations hyperélastiques (commande STAT_NON_LINE, mot-clé COMPORTEMENT) pour une relation dec comportement élastique non-linéaire (ELAS_VMIS_LINE et ELAS_VMIS_TRAC) avec chargement thermique.
Le barreau est modélisé par un élément volumique (HEXA20, modélisationA).
Les résultats obtenus par Aster ne diffèrent pas de la solution théorique.
Solution de référence#
Méthode de calcul utilisée pour la solution de référence#
On cherche le champ de déplacement \(U\) sous la forme:
Le gradient de la transformation, la déformation et sa part mécanique sont alors:
avec:
Remarque:
\({({E}^{m})}_{\text{eq}}=\mid a-b\mid =a-b\) (on suppose que \(a>b\) )
La relation de comportement s’écrit:
avec:
Pour déterminer
en tenant compte de l’écrouissage linéaire, on introduit:
le module de cisaillement:
le module d’écrouissage:
,
La « pseudo variable interne »
vaut alors:
Finalement,
s’écrit:
En tenant compte des conditions aux limites:
Le système à résoudre s’écrit:
Il s’écrit aussi:
A
fixé, il s’agit donc d’un système non linéaire en
et
, puisque
est quadratique en
et
quadratique en
.
Néanmoins, on peut choisir de fixer
(donc
) et résoudre un système linéaire en
et
(duquel on déduit
et
):
Il reste alors à exprimer la contrainte de Cauchy:
Soit ici:
Quant à la force exercée sur la face [3,4], du fait de l’hypothèse de charges mortes, elle s’écrit simplement:
Résultats de référence#
On adoptera comme résultats de référence les déplacements, la contrainte de Cauchy et la force exercée sur la face \([3,4]\) (en \(\mathrm{3D}\) seulement):
Au temps \(t=\mathrm{2 }s\) ( \(\Delta T=100°C\) , traction
)
En fait, on cherche
tel que l’allongement:
\(K=166\mathrm{666 }\mathit{MPa}\) \(\mu =\mathrm{76 923 }\mathit{MPa}\) \(R'=\mathrm{2 020 }\mathit{MPa}\)
\(a=0.095\)
Au temps \(t=\mathrm{3 }s\)
Le barreau est revenu dans son état initial:
Incertitude sur la solution#
La solution est analytique. Aux erreurs d’arrondis près, on peut la considérer exacte.
Références bibliographiques#
On pourra se référer à :
LORENTZ : Une relation de comportement hyperélastique non linéaire - Note interne EDF DER HI-74/95/011/0
Modélisation A#
Caractéristiques de la modélisation#
Modélisation volumique: |
1 maille HEXA20 1 maille QUAD8 |
Conditions aux limites:
|
|
\(\mathit{N9}\) , \(\mathit{N13}\) , \(\mathit{N14}\) , \(\mathit{N5}\) , \(\mathit{N17}\) : |
Charge: Traction sur la face \([348711161915]\)
Caractéristiques du maillage#
Nombre de nœuds: 20
Nombre de mailles: 2
1 HEXA20
1 QUAD8
Grandeurs testées et résultats#
Identification |
Référence |
\(t=2\) Déplacement \(\mathit{DX}\) (\(\mathit{N8}\) ) |
100 |
\(t=2\) Déplacement \(\mathit{DY}\) (\(\mathit{N8}\) ) |
–37 |
\(t=2\) Déplacement \(\mathit{DZ}\) (\(\mathit{N8}\) ) |
–37 |
\(t=2\) Contraintes \(\mathit{SIGXX}\) (\(\mathit{PG1}\) ) |
1399.66 |
\(t=2\) Contraintes \(\mathit{SIGYY}\) (\(\mathit{PG1}\) ) |
11013.986 |
\(t=2\) Contraintes \(\mathit{SIGXY}\) (\(\mathit{PG1}\) ) |
0 |
\(t=2\) Contraintes \(\mathit{SIGYZ}\) (\(\mathit{PG1}\) ) |
0 |
\(t=2\) Variable 
\(\mathit{VARI}\) (\(\mathit{PG1}\) ) |
8.9110–2 |
\(t=3\) Déplacement \(\mathit{DY}\) (\(\mathit{N8}\) ) |
0 |
\(t=3\) Contraintes \(\mathit{SIGXX}\) (\(\mathit{PG1}\) ) |
0 |
\(t=3\) Contraintes \(\mathit{SIGZZ}\) (\(\mathit{PG1}\) ) |
0 |
\(t=3\) Contraintes \(\mathit{SIGXZ}\) (\(\mathit{PG1}\) ) |
0 |
\(t=3\) Variable 
\(\mathit{VARI}\) (\(\mathit{PG1}\) ) |
0 |
\(t=2\) Force nodale \(\mathit{DX}\) (\(\mathit{N8}\) ) |
–1.0817108 |
\(t=2\) Force nodale \(\mathit{DZ}\) (\(\mathit{N8}\) ) |
0 |
Remarques#
Calcul de la force nodale:
La force appliquée sur la face \([3,4]\) ,
, se répartit entre les différents nœuds suivant la pondération suivante:
nœuds sommets:
nœuds milieux:
Synthèse des résultats#
Les résultats numériques et analytiques coïncident remarquablement.