v5.02.100 SDNL100 - Pendule simple en grande oscillation#
Résumé:
L’objet de ce test est de calculer le mouvement d’une barre pesante articulée à un point fixe par l’une de ses extrémités, libre ailleurs et oscillant avec grande amplitude dans un plan vertical.
Intérêt : tester l’élément de câble à deux nœuds - qui est en fait un élément de barre - en dynamique et son fonctionnement dans l’opérateur DYNA_NON_LINE.
Solution de référence#
Méthode de calcul utilisée pour la solution de référence#
La période \(T\) d’un pendule mobile sans frottement autour du point fixe \(O\) , dont la masse est concentrée au centre de gravité \(G\) (\(\mathrm{OG}=l\) ) et dont l’amplitude angulaire maximale est \({\theta}_{0}\) est donnée par la série [bib1]:
\(T=2\pi \sqrt{\frac{l}{g}}\left[1+\underset{n=1}{\overset{\infty}{\Sigma}}{a}_{n}^{2}{(\sin\frac{{\theta}_{0}}{2})}^{\mathrm{2n}}\right]\)
avec
\({a}_{n}=\frac{\mathrm{2n}-1}{\mathrm{2n}}\)
Résultats de référence#
Pour \(l=0.5m\) , \(g=9.81m/{s}^{2}\) et \({\theta}_{0}=\pi /2\) , on trouve : \(T=1.6744s\)
Incertitude sur la solution#
On a sommé les termes de la série jusqu’à \(n=12\) inclusivement, le dernier terme pris en compte étant inférieur à \({10}^{-5}\) fois la somme calculée.
Références bibliographiques#
HAAG, « Les mouvements vibratoires », P.U.F. (1952).
Modélisation A#
Caractéristiques de la modélisation#
Le pendule est modélisé par un élément de câble à 2 noeuds, identique à un élément de barre de section constante.
Discrétisations :
spatiale : un élément de câble MECABL2
temporelle : analyse du mouvement sur une période complète \(T\) par pas de temps égaux à \(T/40\) .
Caractéristiques du maillage#
Nombre de nœuds: |
2 |
Nombre de mailles et types : |
1 maille SEG2 |
Résultats de la modélisation A#
Valeurs testées#
Identification |
Référence |
Tolérance |
DXsur noeud \(P\) à \(t=0,4186\) |
-1.000000 |
2,5 % (relatif) |
DZsur noeud \(P\) à \(t=0,4186\) |
-1.000000 |
0,05 % (relatif) |
DXsur noeud \(P\) à \(t=0,8372\) |
-2.000000 |
0,01 % (relatif) |
DZsur noeud \(P\) à \(t=0,8372\) |
0.000000 |
7,0E-4 % (absolu) |
DXsur noeud \(P\) à \(t=1,2558\) |
-1.000000 |
7,5 % (relatif) |
DZsur noeud \(P\) à \(t=1,2558\) |
-1.000000 |
0,3 % (relatif) |
DXsur noeud \(P\) à \(t=1,6744\) |
0.000000 |
1,0E-6 % (absolu) |
DZsur noeud \(P\) à \(t=1,6744\) |
0.000000 |
1,5E-3 % (absolu) |
On teste également les paramètres de la structure de données résultats:
Identification |
Référence |
Tolérance |
INSTpour NUME_ORDRE=10 |
0.418600 |
0,10 % |
ITER_GLOB pour NUME_ORDRE=10 |
9.000000 |
0.00% |
INSTpour NUME_ORDRE=15 |
0.837200 |
0,10 % |
ITER_GLOB pour NUME_ORDRE=15 |
5.000000 |
0.00% |
INSTpour NUME_ORDRE=19 |
1.674400 |
0,10 % |
ITER_GLOB pour NUME_ORDRE=19 |
6.000000 |
0.00% |
Remarques#
L’intégration temporelle se fait par la méthode de NEWMARK (règle du trapèze),
A chaque pas de temps, la convergence est atteinte en moins de 9 itérations.
Synthèse des résultats#
On voit sur ce cas-test que l’intégration temporelle par la « règle du trapèze » de Newmark ne modifie que très légèrement la fréquence et n’apporte pas d’amortissement parasite, puisqu’au bout d’une période on revient à très peu près à la position initiale.