v3.04.111 SSLV111 - Estimateur d’erreur sur une plaque trouée en élasticité linéaire

Résumé:

Ce test valide et compare les 2versions de l’estimateur d’erreur de Zhu-Zienkiewicz (version1 de 1987, notée \(\mathrm{ZZ1}\) , et version2 de 1992, notée \(\mathrm{ZZ2}\) ) appliquées au système de l’élasticité linéaire, en statique.

Il comporte 5modélisations en contraintes planes, correspondant chacune à un type d’élément fini (TRIA3, QUAD4, TRIA6, QUAD8, QUAD9).

La solution analytique est connue et permet de comparer les erreurs estimées avec l’erreur exacte.

Ce test valide également la version 1 de l’estimateur d’erreur de Zhu-Zienkiewicz appliquée sur 2 modélisations en 3D. La première modélisation comporte les éléments finis HEXA8, PYRAM5 et TETRA4 et la deuxième, des éléments finis PENTA6. La solution ne dépend pas de la valeur suivant l’axe z. Les résultats sont donc comparés aux valeurs analytiques utilisées en 2D.

L’intérêt du test réside:

• dans la comparaison entre les contraintes lissées avec \(\mathrm{ZZ1}\) (lissage global continu) et \(\mathrm{ZZ2}\) (lissage local à des patchs d’éléments),

• dans la comparaison des estimateurs entre eux,

• dans l’analyse qualitative et quantitative des résultats (erreurs relatives globale et locale)

• dans la validation de l’estimateur en lissage de Zhu-Zienkiewicz version 1 au 3D.

Le test met en évidence le bon comportement de \(\mathrm{ZZ2}\) sur tous les types d’éléments et les mauvais résultats de \(\mathrm{ZZ1}\) sur des éléments quadratiques lorsque la solution ne présente pas de forte singularité, ce qui est le cas.

Mod_lisation_F Mod_lisation_G

Solution de référence

Méthode de calcul utilisée pour la solution de référence

On considère une portion d’une plaque infinie avec un trou central circulaire, soumise à un chargement unitaire unidirectionnel dans la direction \(\mathit{Ox}\sigma =1{e}_{x}\otimes {e}_{x}\) .

La solution analytique de ce problème est [bib1]:

où:

• \(a\) est le rayon du trou,

• \((r,\theta )\) les coordonnées polaires.

Incertitude sur la solution

Solution analytique.

Références bibliographiques

1. Zhu-Zienkiewicz: The superconvergent patch recovery and a posteriori error estimates- Part1: the recovery technique (Int. J. for Num. Methods in Engineering vol.33, p.1355 (mai1992)).

Modélisation A

Caractéristiques de la modélisation

Caractéristiques du maillage

Nombre de nœuds: 357.

Nombre de mailles et types: 640 TRIA3.

Valeurs testées

Identification	Référence	Aster	% différence	tolérance
A ZZ1		2.823	–5.91	0.1
ZZ2		2.884	–3.85	0.1
ZZ1		0.261		0.3
ZZ2		0.207		0.3
ZZ1		–7.4 10–3		0.1
ZZ2		–6.1 10–2		0.1
P ZZ1	1.15625	1.152	–0.37	0.1
ZZ2	1.15625	1.145	–0.98	0.1
ZZ1	–0.15625	–0.150	–3.81	0.1
ZZ2	–0.15625	–0.145	–7.00	0.1
ZZ1	–0.125	–0.117	–6.11	0.1
ZZ2	–0.125	–0.124	–0.68	0.1
Maille M1 ZZ1		1.33 10–4		1.10–3
ZZ2		8.13 10–5		1.10–3
ZZ1		6.63%		0.1
ZZ2		4.05%		0.1
ZZ1	0.445 10–2	0.424 10–2	–4.76
ZZ2	0.445 10–2	0.451 10–2	+1.31
ZZ1	3.44%	3.28%
ZZ2	3.44%	3.49%
ZZ1		0.952
ZZ2		1.013

Remarques

est l’indice d’effectivité de l’estimateur.

Contenu du fichiers résultats:

• erreurs absolues et relatives globales par les 2méthodes,

• valeurs maximales et minimales des contraintes et des erreurs,

• listes des mailles où l’erreur relative est supérieure à 10%.

Modélisation B

Caractéristiques de la modélisation

Caractéristiques du maillage

Nombre de nœuds: 357.

Nombre de mailles et types: 320 QUAD4.

Valeurs testées

Identification	Référence	Aster	% différence	tolérance
A ZZ1		3.017	0.57	0.1
ZZ2		2.971	0.95	0.1
ZZ1		0.17		0.3
ZZ2		0.136		0.3
ZZ1		2.8 10–3		0.1
ZZ2		–1.04 10–2		0.1
P ZZ1	1.15625	1.168	0.98	0.1
ZZ2	1.15625	1.153	–0.26	0.1
ZZ1	–0.15625	–0.158	1.28	0.1
ZZ2	–0.15625	–0.152	–2.83	0.1
ZZ1	–0.125	–0.121	–2.99	0.1
ZZ2	–0.125	–0.124	–0.94	0.1
Maille M1 ZZ1		1.57 10–4		1.10–3
ZZ2		2.40 10–4		1.10–3
ZZ1		5.79%		0.1
ZZ2		8.83%		0.1
ZZ1	0.320 10–2	0.294 10–2	–8.1
ZZ2	0.320 10–2	0.307 10–2	–4.2
ZZ1	2.48%	2.28%
ZZ2	2.48%	2.37%
ZZ1		0.919
ZZ2		0.958

Remarques

est l’indice d’effectivité de l’estimateur.

Contenu du fichiers résultats:

• erreurs absolues et relatives globales par les 2méthodes,

• valeurs maximales et minimales des contraintes et des erreurs,

• listes des mailles où l’erreur relative est supérieure à 10%.

Modélisation C

Caractéristiques de la modélisation

Caractéristiques du maillage

Nombre de nœuds: 357.

Nombre de mailles et types: 160 TRIA6.

Valeurs testées

Identification	Référence	Aster	% différence	tolérance
A ZZ1		2.975	–0.83	0.1
ZZ2		2.957	–1.43	0.1
ZZ1		6.86 10–2		0.3
ZZ2		7.52 10–2		0.3
ZZ1		–3.12 10–2		0.3
ZZ2		–0.155		0.3
P ZZ1	1.15625	1.166	0.85	0.1
ZZ2	1.15625	1.153	–0.25	0.1
ZZ1	–0.15625	–0.167	6.92	0.1
ZZ2	–0.15625	–0.153	–1.87	0.1
ZZ1	–0.125	–0.127	1.52	0.1
ZZ2	–0.125	–0.124	–0.58	0.1
Maille M1 ZZ1		1.81 10–4		1.10–3
ZZ2		2.92 10–4		1.10–3
ZZ1		4.69%		0.1
ZZ2		7.56%		0.1
ZZ1	0.152 10–2	0.123 10–2	–19
ZZ2	0.152 10–2	0.167 10–2	+9.9
ZZ1	1.17%	0.95%
ZZ2	1.17%	1.29%
ZZ1		0.810
ZZ2		1.099

Remarques

est l’indice d’effectivité de l’estimateur.

Contenu du fichiers résultats:

• erreurs absolues et relatives globales par les 2méthodes,

• valeurs maximales et minimales des contraintes et des erreurs,

• listes des mailles où l’erreur relative est supérieure à 10%.

Modélisation D

Caractéristiques de la modélisation

Caractéristiques du maillage

Nombre de nœuds: 277.

Nombre de mailles et types: 80 QUAD8.

Valeurs testées

Identification	Référence	Aster	% différence	tolérance
A ZZ1		3.063	2.11	0.1
ZZ2		3.037	1.24	0.1
ZZ1		0.101		0.3
ZZ2		2.47 10–2		0.3
ZZ1		–5.8 10–3		0.3
ZZ2		–2.41 10–2		0.3
P ZZ1	1.15625	1.170	1.19	0.1
ZZ2	1.15625	1.153	–0.29	0.1
ZZ1	–0.15625	–0.162	3.54	0.1
ZZ2	–0.15625	–0.153	–1.87	0.1
ZZ1	–0.125	–0.124	–1.09	0.1
ZZ2	–0.125	–0.124	–0.84	0.1
Maille M1 ZZ1		6.1 10–5		1.10–3
ZZ2		2.1 10–4		1.10–3
ZZ1		1.45%		0.1
ZZ2		5.01%		0.1
ZZ1	9.01 10–4	2.90 10–4	+67.9 (!)
ZZ2	9.01 10–4	8.88 10–4	–1.5
ZZ1	0.697%	0.22%
ZZ2	0.697%	0.687%
ZZ1		0.321
ZZ2		0.985

Remarques

est l’indice d’effectivité de l’estimateur

Contenu du fichiers résultats:

• erreurs absolues et relatives globales par les 2méthodes,

• valeurs maximales et minimales des contraintes et des erreurs,

• listes des mailles où l’erreur relative est supérieure à 10%.

Modélisation E

Caractéristiques de la modélisation

Caractéristiques du maillage

Nombre de nœuds: 357.

Nombre de mailles et types: 80 QUAD9.

Valeurs testées

Identification	Référence	Aster	% différence	tolérance
A ZZ1		3.070	2.33	0.1
ZZ2		3.004	0.14	0.1
ZZ1		0.113		0.3
ZZ2		0.04		0.3
ZZ1		–1.4 10–3		0.1
ZZ2		1.89 10–2		0.1
P ZZ1	1.15625	1.170	1.19	0.1
ZZ2	1.15625	1.152	–0.33	0.1
ZZ1	–0.15625	–0.162	3.44	0.1
ZZ2	–0.15625	–0.153	–2.11	0.1
ZZ1	– 0.125	–0.124	–1.06	0.1
ZZ2	–0.125	–0.124	–0.94	0.1
Maille M1 ZZ1		6.1 10–5		1.10–3
ZZ2		2.1 10–4		1.10–3
ZZ1		1.45%		0.1
ZZ2		5.01%		0.1
ZZ1	8.99 10–4	2.75 10–4	+69.4 (!)
ZZ2	8.99 10–4	8.55 10–4	–4.9
ZZ1	0.695%	0.21%
ZZ2	0.695%	0.66%
ZZ1		0.306
ZZ2		0.951

Remarques

est l’indice d’effectivité de l’estimateur

Contenu du fichiers résultats:

• erreurs absolues et relatives globales par les 2méthodes,

• valeurs maximales et minimales des contraintes et des erreurs,

• listes des mailles où l’erreur relative est supérieure à 10%.

Synthèse des résultats en 2D

		TRIA3	QUAD4	TRIA6	QUAD8	QUAD9
	exacte	3.44%	2.48%	1.17%	0.697%	0.695%
		3.28%	2.28%	0.95%	0.22%	0.21%
		3.49%	2.37%	1.29%	0.687%	0.66%
		0.952	0.919	0.810	0.321	0.306
		1.013	0.958	1.099	0.985	0.951

Les contraintes aux nœuds sont, dans l’ensemble, mieux approximées avec \(\mathrm{ZZ2}\) , surtout pour les éléments d’ordre2. Si on fait tendre

vers 0, les taux de convergence avec \(h\) de

sont supérieurs par la méthode \(\mathrm{ZZ2}\) pour tous les types d’éléments à ceux de la méthode \(\mathrm{ZZ1}\) (

est la contrainte lissée).

L’estimateur \(\mathrm{ZZ1}\) n’est pas fiable pour les éléments d’ordre2, les contraintes nodales restent correctes. On peut vérifier dans ce cas particulier que

quand

, ce qui montre que le lissage global continu s’avère insuffisant pour estimer l’erreur dans le cas d’une solution sans singularité (cas de ce test).

\(\mathrm{ZZ2}\) est par contre fiable et asymptotiquement exact (

quand

).