v7.31.147 WTNV147- Couplagehydromécanique dans une colonne poro-élastique et fracturée : utilisation de la méthodeXFEM#
Résumé:
Le but de ce test est de s’assurer du bon fonctionnement du couplage hydrodynamique entre l’interface cohésive et la matrice poreuse pour des éléments hydromécaniques couplés avec XFEM. Ce test est donc purement hydrodynamique, tous les degrés de liberté de déplacements sont bloqués à zéro. La modélisation A est bidimensionnelle tandis que la modélisation B est tridimensionnelle.
Solution de référence#
Méthode de calcul#
Il s’agit d’une solution analytique. La pression de fluide \({p}_{f}\) imposée dans l’interface cohésive est transmise à la pression de pore au niveau des lèvres de l’interface cohésive (cf Documentation [R7.02.18]). Compte tenu des conditions aux limites, tout se passe comme si un échelon de pression de pore était imposé à l’extrémité des deux sous colonnes formées par l’interface cohésive. Le problème est donc unidirectionnel. Ces deux sous colonnes sont figées car les déplacements sont bloqués. En négligeant la pesanteur, l’équation de conservation de la masse dans la matrice poreuse s’écrit de la manière suivante:
\(\frac{\partial {m}_{w}}{\partial t}+\nabla \cdot M=0\)
avec \({m}_{w}=\rho \varphi (1+{{\varepsilon}}_{v})\) les apports massiques dans la matrice poreuse et \(M=\frac{-\rho {K}^{int}}{{\mu}_{w}}\nabla p\) le flux de fluide Darcéen dans la matrice poreuse. Les déplacements étant bloqués, la déformation volumique \({{\varepsilon}}_{v}\) est nulle. Par ailleurs, \(d\varphi =(b-\varphi )(d{{\varepsilon}}_{v}+\frac{\mathit{dp}}{{K}_{s}})\) avec \({K}_{s}\) le module de compressibilité de la matrice solide. Or la matrice solide est supposée incompressible car nous avons pris \(b=1\) (et \(b=1-\frac{{K}_{m}}{{K}_{s}}\) avec \({K}_{S}\) le module de compressibilité du milieu poreux). Donc finalement \(d\varphi =0\) . Enfin \(\frac{d\rho }{\rho}=\frac{\mathit{dp}}{{K}_{w}}\) . L’équation de conservation de la masse se réécrit donc:
\(\frac{\rho \varphi }{{K}_{w}}\frac{\partial p}{\partial t}-\frac{{K}^{int}}{{\mu}_{w}}[\nabla p\cdot \nabla \rho +\rho \Delta p]=0\)
En négligeant le terme du deuxième ordre :math:`nabla pcdot nabla rho ` , il vient:
\(\frac{\varphi {\mu}_{w}}{{K}_{w}{K}^{int}}\frac{\partial p}{\partial t}=\Delta p\)
Il s’agit d’une équation de diffusion. Le coefficient \(\frac{\varphi {\mu}_{w}}{{K}_{w}{K}^{int}}\) à la dimension d’un temps sur une longueur au carré. Dans notre problème, la dimension caractéristique pour la diffusion est \(\frac{\mathit{LZ}}{2}\) . On en déduit un temps caractéristique de diffusion \(\tau =\frac{\varphi {\mu}_{w}}{{K}_{w}{K}^{int}}\ast {(\frac{\mathit{LZ}}{2})}^{2}\) . Ce temps caractéristique vaut \(\tau =0,459842s\) . Au bout de \(t=10s\) , la diffusion est donc achevée, la pression de pore dans la matrice poreuse vérifie alors \(\Delta p=0\) .
D’après les conditions au limites, en dessous de l’interface:
la pression de pore vaut \(p(y)=\frac{2y}{\mathit{LZ}}{p}_{f}\) et le flux de fluide dans la matrice vaut \(M=\frac{-2\rho {K}^{int}{p}_{f}}{\mathit{LZ}{\mu}_{w}}\) .
Et au dessus de l’interface:
la pression de pore vaut \(p(y)=(1-\frac{y}{\mathit{LZ}})2{p}_{f}\) et le flux de fluide dans la matrice vaut \(M=\frac{2\rho {K}^{int}{p}_{f}}{\mathit{LZ}{\mu}_{w}}\) .
Grandeurs et résultats de référence#
On teste la valeur des flux sortants de l’interface cohésive vers les parties inférieures et supérieures de de la colonne poreuse ainsi que la valeur de la pression de pore en \(z=4m\) et \(z=6m\) .
Grandeurs testées |
Valeur |
LAG_FLI (Flux sortant de l’interface vers la partie inférieure de la colonne) |
4,07748 kg·m²/s |
LAG_FLS (Flux sortant de l’interface vers la partie supérieure de la colonne) |
4,07748 kg·m²/s |
PRE1 (à Z=4m) |
8Mpa |
PRE1 (à Z=6m) |
8Mpa |
Incertitudes sur la solution#
La solution de référence est analytique.
Références bibliographiques#
Documentation de référence R7.02.18 (Éléments hydromécaniques couplés avec la méthode des Éléments Finis Étendue).
Modélisation A#
Caractéristiques de la modélisation#
Il s’agit d’une modélisation D_PLAN_HM utilisant des éléments HM-XFEM quadratiques. Le barreau sur lequel on effectue la modélisation est divisé en 5 QUAD8. L’interface est non maillée et coupe l’élément central. Ainsi on a 3 éléments HM-XFEM et 2 éléments HM classiques. Comme indiqué sur la Figure , les 3 éléments XFEM subissent un sous découpage en sous triangles (pour effectuer l’intégration de Gauss-Legendre de part et d’autre des lèvres de l’interface, mais ces sous-éléments triangulaires ne sont pas des éléments du maillage).
Figure 3.1-a : Caractéristiques de la modélisation
Caractéristiques du maillage#
Le maillage est constitué de 5 mailles quadrangles quadratiques (QUAD8).
Grandeurs testées et résultats#
Les résultats (résolution avec STAT_NON_LINE) sont synthétisés dans le tableau ci-dessous. Pour tester tous les nœuds du barreau en même temps, on calcule le MIN et le MAX.
Grandeurs testées |
Type de référence |
Valeur de référence |
Tolérance (%) |
PRE1(Y=4mand Y=6m) MIN |
“ANALYTIQUE” |
8 MPa |
0,001 |
PRE1(Y=4mand Y=6m) MAX |
“ANALYTIQUE” |
8 MPa |
0,001 |
LAG_FLI(au dessous) MIN |
“ANALYTIQUE” |
4.07748 kg.m²/s |
0,01 |
LAG_FLS(au dessus) MAX |
“ANALYTIQUE” |
4.07748 kg.m²/s |
0,01 |
On peut constater (à partir de la Figure ) une discontinuité franche de la dérivée première du champ champ de pression de pore dans l’élément central au niveau de l’interface cohésive. Cela suggère la bonne prise en compte de l’enrichissement dans l’approximation du champ de pression de pore par la fonction Heaviside. Par ailleurs, la pression de fluide dans l’interface \({p}_{f}\) est bien «transmise» à la matrice poreuse, de part et d’autre de l’interface cohésive.
Figure 3.3-a : Champ de pression de pore à t=10s
Modélisation B#
Caractéristiques de la modélisation#
Il s’agit d’une modélisation 3D_HM utilisant des éléments HM-XFEM quadratiques. La colonne sur laquelle on effectue la modélisation est divisée en 5 HEXA20. L’interface est non maillée et coupe l’élément central. Ainsi on a 3 éléments HM-XFEM et 2 éléments HM classiques (les deux hexaèdres qui forment les extrémités de la colonne). Comme indiqué sur la Figure , les 3 éléments XFEM subissent un sous découpage en sous tétraèdres (pour effectuer l’intégration de Gauss-Legendre de part et d’autre des lèvres de l’interface, mais ces sous-éléments tétraèdres ne sont pas des éléments du maillage).
Figure 4.1-a : Caractéristiques de la modélisation
Caractéristiques du maillage#
Le maillage est constitué de 5 mailles hexaédriques quadratiques (HEXA20).
Grandeurs testées et résultats#
Les résultats (résolution avec STAT_NON_LINE) sont synthétisés dans le tableau ci-dessous. Pour tester tous les nœuds du barreau en même temps, on calcule le MIN et le MAX.
Grandeurs testées |
Type de référence |
Valeur de référence |
Tolérance (%) |
PRE1(Z=4mand Z=6m) MIN |
“ANALYTIQUE” |
8 MPa |
0,001 |
PRE1(Z=4mand Z=6m) MAX |
“ANALYTIQUE” |
8 MPa |
0,001 |
LAG_FLI(au dessous) MIN |
“ANALYTIQUE” |
4.07748 kg.m²/s |
0,01 |
LAG_FLS(au dessus) MAX |
“ANALYTIQUE” |
4.07748 kg.m²/s |
0,01 |
Synthèse des résultats#
Ce test permet de valider le couplage hydrodynamique entre l’interface cohésive et la matrice poreuse pour les éléments cohésifs HM-XFEM, en particulier via les flux sortants de l’interface cohésive LAG_FLI etLAG_FLS. On valide aussi la bonne prise en compte de l’enrichissement dans l’approximation du champ de pression de porepar la fonction Heaviside.