v3.04.120 SSLV120 - Étirement d’un parallélépipède orthotrope sous son propre poids#
Résumé:
Ce test de mécanique des structures permet l’évaluation des déplacements et des contraintes d’un parallélépipède se déformant sous son propre poids. Le matériau est élastique linéaire orthotrope. La modélisation est tridimensionnelle. Le modèle est similaire au test VPCS SSLV07 (mais dans ce cas le matériau est isotrope) et au test SSLV121 (dans ce cas le matériau est isotrope transverse).
Les écarts des résultats obtenus par Aster se situent entre 0,00 et 0,5% de la référence calculée analytiquement.
Solution de référence#
Méthode de calcul utilisée pour la solution de référence#
La solution de référence est issue de celle donnée dans la fiche SSLV07/89 du guide VPCS (en considérant en plus une matrice élastique orthotrope). L’expression analytique de la solution est la suivante :
Déplacements :
\(u=-\frac{{\nu}_{\text{NL}}\rho gxz}{{E}_{N}}\)
\(v=-\frac{{\nu}_{\text{NT}}\rho gyz}{{E}_{N}}\)
\(w=\frac{\rho g{z}^{2}}{2{E}_{N}}+\frac{\rho g}{2{E}_{N}}({\nu}_{\text{NL}}{x}^{2}+{\nu}_{\text{NT}}{y}^{2})-\frac{\rho g{L}^{2}}{2{E}_{N}}\)
Contraintes :
\({\sigma}_{zz}=\rho gz\) \({\sigma}_{zz}={\sigma}_{yy}={\sigma}_{xy}={\sigma}_{yz}={\sigma}_{\mathrm{zx}}=0\)
Résultats de référence#
Déplacement des points \(B\) , \(C\) , \(D\) , \(E\) et \(X\) .
Contraintes \({\sigma}_{zz}\) en \(A\) et \(E\)
Incertitude sur la solution#
Résultats analytiques exacts.
Références bibliographiques#
TIMOSHENKO (S.P) Théorie de l’élasticité - Paris - Librairie Polytechnique Ch. Béranger , p.279 à 282 (1961)
S.W. TSAI, H.T. HAHN - Introduction to composite materials. Technomic Publishing Company (1980).
Modélisation A#
Caractéristiques de la modélisation#
3D mailles hexa20
Découpage :
3 éléments en hauteur
2 éléments en largeur et épaisseur
Conditions limites:
sur l’axe \(\mathrm{AB}\) |
DDL_IMPO: ( GROUP_NO:ABsansA DX=0., DY=0. ) |
en \(A\) et \(D\) |
( NOEUD:A DX=0., DY=0., DZ=0. ) ( NOEUD:D DY=0.) |
Noms des nœuds: |
\(A=\mathrm{N59}\) |
\(B=\mathrm{N53}\) |
\(C=\mathrm{N12}\) |
\(D=\mathrm{N18}\) |
\(E=\mathrm{N56}\) |
\(X=\mathrm{N70}\) |
Caractéristiques du maillage#
Nombre de nœuds: 111
Nombre de mailles et types: 12 HEXA20
Valeurs testées#
Identification |
Référence |
\({U}_{B}\) |
|
\({V}_{B}\) |
|
\({W}_{B}\) |
-1.721655 E-6 |
\({U}_{C}\) |
|
\({V}_{C}\) |
|
\({W}_{C}\) |
-1.715916 E-6 |
\({U}_{D}\) |
-6.88662 E-08 |
\({V}_{D}\) |
|
\({W}_{D}\) |
5.73885 E-9 |
\({U}_{E}\) |
|
\({V}_{E}\) |
|
\({W}_{E}\) |
-1.29124125 E-06 |
\((\mathrm{Pa})\) |
|
\({\sigma}_{zz}\) \((A)\) |
2.29554 105 |
\({\sigma}_{zz}\) \((E)\) |
1.14777 105 |
\({\sigma}_{zz}\) \((X)\) |
2.29554 105 |
\({U}_{X}\) |
|
\({V}_{X}\) |
–-2.29554 E-8 |
\({W}_{X}\) |
1.91295 E-9 |
Remarques#
La modélisation en HEXA20 est tout à fait acceptable pour ce maillage grossier.
Synthèse des résultats#
Les résultats concernant les déplacements et les contraintes sont très proches de la solution analytique avec la modélisation adoptée (< 0.2% pour les déplacements, < 0.5% pour les contraintes).
Les coefficients élastiques dans les 3 directions d’orthotropie ont été choisis de manière à obtenir les mêmes valeurs des déplacements aux points \(B\) , \(C\) , \(D\) et \(E\) que celles calculées pour un matériau isotrope (test SSLV007) ou isotrope transverse (test SSLV121). Numériquement, ces valeurs sont très proches de celles de ces tests aux points considérés (de l’ordre de \({10}^{-6}\) ) la différence résultant du mode de construction des matrices de rigidité dans les différents cas. Au point \(X\) , ces valeurs diffèrent mais correspondent bien à la solution de référence.