v6.02.112 SSNL112 - Barre soumise a un chargement thermique cyclique#
Résumé :
Ce cas test entre dans le cadre de la validation des relations de comportement en élastoplasticité des éléments barre pour la mécanique quasi-statique des structures.
Une barre encastrée a ces deux extrémités subit un chargement thermique cyclique induisant des efforts de traction-compression.
Chaque modélisation permet de valider une des relations de comportement non-linéaires introduites : écrouissage isotrope linéaire avec critère de von Mises (modélisation A), écrouissage cinématique linéaire avec critère de von Mises (modélisation B).
Solutions de référence#
Méthode de calcul utilisée pour les solutions de référence#
Écrouissages linéaires#
Écrouissage isotrope
Pour une traction uniaxiale, le critère de plasticité s’écrit :
\(∣{\sigma}_{L}∣-R(p)\le 0\),
où \(p\) est la déformation plastique cumulée. L’expression de \(R(p)\) est donnée par la relation :
\(R(p)=R'p+{\sigma}^{y}\) et \(R'=\frac{E{E}_{1}}{E-{E}_{1}}\).
Le critère s’écrit alors :
\(∣{\sigma}_{L}∣-R'p-{\sigma}^{y}\le 0\).
Le tenseur des contraintes s’obtient par :
\(\sigma =A.(\varepsilon (u)-{\varepsilon}^{p})-\mathrm{3K}\alpha (T-{T}^{\mathrm{ref}})\mathrm{Id}\).
On en déduit donc l’expression de \({\sigma}_{L}\) :
\({\sigma}_{L}=E(\varepsilon -\alpha T)-E{\varepsilon}^{p}\). \(({T}^{\mathrm{ref}}=0)\).
Dans notre cas, \(\varepsilon =0\) donc :
\({\sigma}_{L}=E{\varepsilon}_{L}-E{\varepsilon}^{p}\) , avec \({\varepsilon}_{L}=-\alpha T\).
Donc :
Si \(∣{\sigma}_{L}∣-R(p)<0\) : p=0 et \({\sigma}_{L}=E{\varepsilon}_{L}\),
Si \(∣{\sigma}_{L}∣-R(p)=0\) : \(p=(\frac{∣\sigma ∣-{\sigma}^{y}}{R'})\) et \({\sigma}_{L}=E{\varepsilon}_{L}-E{\varepsilon}^{p}\).
Application au trajet de chargement
Instant 1 :
\(\sigma =E\varepsilon =\mathrm{200MPa}\) et \(R(p)=R'p+{\sigma}^{y}=\mathrm{100MPa}\), car p=0.
On a bien \({\sigma}_{L}-R(p)\le 0\).
Le critère n’est pas franchi, l’évolution est élastique : \({\sigma}_{L}=\mathrm{100MPa}\) et \(N=\mathrm{100kN}\).
Instant 2 :
Le critère est atteint :
\({\sigma}_{L}=\frac{E}{E+R'}(R'{\varepsilon}_{L}+{\sigma}^{y})=\frac{2\cdot {10}^{11}}{2\cdot {10}^{11}+2.02\cdot \mathrm{10⁹}}(2.02\cdot \mathrm{10⁹}\times 3.5\cdot {10}^{-3}+2\cdot \mathrm{10⁸})=\mathrm{205MPa}\).
Avec \(N=\mathrm{102.5kN}\) , et \(p=2.475\cdot {10}^{-3}\).
Instant 3 :
On décharge élastiquement :
\({\sigma}_{L}=E{\varepsilon}_{L}-E{\varepsilon}^{p}=2\cdot {10}^{11}(1.5\cdot {10}^{-3}-2.475\cdot {10}^{-3})=-195\mathrm{MPa}\).
Avec \(N=-97.5\mathrm{kN}\).
Instant 4 :
On plastifie à nouveau :
Le critère s’écrit : \(\mid \sigma \mid -R'p-{\sigma}^{y}=0\) avec \(p={p}_{1}+{p}_{2}\) où \({p}_{1}=2.475\cdot {10}^{-3}\)
On obtient donc :
\({p}_{2}=\frac{\mid \sigma \mid -{\sigma}^{y}}{R'}-{p}_{1}\),
\(\sigma =-E{\varepsilon}^{p}=-E({p}_{1}-{p}_{2})\),
\(\sigma =(\frac{R'}{R'+E})(-2E{p}_{1}-\frac{E{\sigma}^{y}}{R'})=-\mathrm{207.9MPa}\),
Et donc \(N=-\mathrm{103.95kN}\).
Instant 5 :
On décharge élastiquement :
\({\sigma}_{L}=E{\varepsilon}_{L}-E{\varepsilon}^{p}=2\cdot {10}^{11}(2\cdot {10}^{-3}-1.0395\cdot {10}^{-3})=192.1\mathrm{MPa}\),
et \(N=96.05\mathrm{kN}\).
Instants 6 et 7 :
Le raisonnement est identique. On trouve :
\({N}_{(\mathrm{inst.6})}=\mathrm{105.87kN}\),
\({N}_{(\mathrm{inst.7})}=-\mathrm{44.13kN}\).
Écrouissage cinématique
La méthode de calcul est identique, mais dans ce cas, le critère de plasticité s’écrit :
\(\sigma -{X}_{\mathrm{eq}}-{\sigma}^{y}\le 0\) avec \({X}_{\mathrm{eq}}=C{({\varepsilon}^{p})}_{\mathrm{eq}}=\frac{3}{2}C{\varepsilon}^{p}=\frac{E{E}_{t}}{E-{E}_{t}}{\varepsilon}^{p}\).
Avec les notations précédentes, le critère s’écrit :
\(∣{\sigma}_{L}-R'{\varepsilon}^{p}∣-{\sigma}^{y}\le 0\) d’où \({\sigma}_{L}=R'{\varepsilon}^{p}\pm {\sigma}^{y}\) (suivant le sens de l’écoulement).
Application au trajet de chargement
Instant 1 :
Le critère n’est pas franchi, l’évolution est élastique : \({\sigma}_{L}=\mathrm{100MPa}\) et \(N=\mathrm{100kN}\).
Instant 2 :
Le critère est atteint : \(\mid {\sigma}_{L}-R'{\varepsilon}^{p}\mid -{\sigma}^{y}=0\).
\({\sigma}_{L}=R'{\varepsilon}^{p}+{\sigma}^{y}=2.02\cdot \mathrm{10⁹}\times 2.475\cdot {10}^{-3}+2\cdot \mathrm{10⁸}=\mathrm{205MPa}\).
Instant 3 :
On décharge élastiquement :
\({\sigma}_{L}=E{\varepsilon}_{L}-E{\varepsilon}^{p}=2\cdot {10}^{11}(1.5\cdot {10}^{-3}-2.475\cdot {10}^{-3})=-\mathrm{195MPa}\),
avec \(N=-\mathrm{97.5kN}\).
Instant 4 :
\(\mid \sigma -R'{\varepsilon}^{p}\mid -{\sigma}^{y}=0\) , avec \({p}_{1}=2.475\cdot {10}^{-3}\).
\({\varepsilon}^{p}={p}_{1}-{p}_{2}\),
\(\ {p}_{2}={p}_{1}-\frac{\mid \sigma +{\sigma}^{y}\mid }{R'}\),
\(\sigma =-E{\varepsilon}^{p}=-E({p}_{1}-{p}_{2}) =-E(\frac{\mid \sigma +{\sigma}^{y}\mid }{R'})=-\mathrm{198MPa}\),
avec \(N=-\mathrm{99kN}\).
Instant 5 :
On décharge élastiquement :
\({\sigma}_{L}=E{\varepsilon}_{L}-E{\varepsilon}^{p}=2\cdot {10}^{11}(2\cdot {10}^{-3}-9.9\cdot {10}^{-4})=202\mathrm{MPa}\),
et \(N=\mathrm{101kN}\).
Instants 6 et 7 :
Le raisonnement est identique. On trouve :
\({N}_{(\mathrm{inst.6})}=\mathrm{103kN}\),
\({N}_{(\mathrm{inst.7})}=-\mathrm{47kN}\).
Résultats de référence#
Effort normal \(N\) constant sur la barre.
Incertitude sur la solution#
Aucune, la solution est analytique.
Références bibliographiques#
[1] Manuel de référence du Code_Aster [R5.03.09].
[2] S. ANDRIEUX: TD 1 Trois barres thermoélastoplastiques von Mises parfait. In «Initiation à la thermoplasticité dans le Code_Aster », HI-74/96/013 novembre 1996 (manuel de référence du cours).
Modélisation A#
Caractéristiques de la modélisation#
Le modèle est composé d‘un élément de barre (BARRE).
Loi de comportement: élastoplasticité avec écrouissage isotrope linéaire - Critère de Von Mises
Caractéristiques du maillage#
2 nœuds.
1 maille SEG2
Grandeurs testées et résultats#
Identification |
Instants |
Référence |
Écart ( \(\text{\%}\) ) |
effort normal N |
1 |
1.0000E+05 |
0 |
effort normal N |
2 |
1.0250E+05 |
0 |
effort normal N |
3 |
–9.7500E+04 |
0 |
effort normal N |
4 |
–1.0395E+05 |
0 |
effort normal N |
5 |
9.6050E+04 |
0 |
effort normal N |
6 |
1.0587E+05 |
0 |
effort normal N |
7 |
–4.4129E+04 |
0 |
Modélisation B#
Caractéristiques de la modélisation#
Le modèle est composé d‘un élément de barre (BARRE).
Loi de comportement: élastoplasticité avec écrouissage cinématique linéaire - Critère de Von Mises
Caractéristiques du maillage#
2 nœuds.
1 maille SEG2
Grandeurs testées et résultats#
Identification |
Instants |
Référence |
Écart ( \(\text{\%}\) ) |
effort normal N |
1 |
1.0000E+05 |
0 |
effort normal N |
2 |
1.0250E+05 |
0 |
effort normal N |
3 |
–9.7500E+04 |
0 |
effort normal N |
4 |
–9.9000E+04 |
0 |
effort normal N |
5 |
1.0100E+05 |
0 |
effort normal N |
6 |
1.0300E+05 |
0 |
effort normal N |
7 |
–4.7000E+04 |
0 |
Synthèse des résultats#
Les résultats calculés par Code_Aster sont en excellent accord avec les solutions analytiques.