v7.22.122 HSNV122 - Thermo-plasticité et métallurgie en grandes déformations en traction simple#
Résumé:
On traite la détermination de l’évolution mécanique d’un barreau cylindrique soumis à des évolutions thermiques et métallurgiques connues et uniformes (la transformation métallurgique est de type bainitique) et à un chargement mécanique de traction.
La relation de comportement est un modèle de plasticité en grandes déformations (commande STAT_NON_LINE, mot–clé DEFORMATION: “SIMO_MIEHE”) avec écrouissage isotrope linéaire et plasticité de transformation.
La limite élastique et la pente de la courbe de traction dépendent de la température et de la composition métallurgique. Le coefficient de dilatation dépend de la composition métallurgique.
Le barreau est modélisé par des éléments axisymétriques.
Le chargement mécanique appliqué est une pression suiveuse.
Ce cas test est identique au cas test HSNV101 (modélisation B, [V7.22.101]) dans le sens où il s’agit du même matériau, du même chargement et des mêmes évolutions thermiques et métallurgiques mais dans une version en grandes déformations.
Solution de référence#
Calcul de la solution de référence (cf. bib [1] et [3])#
Pour un essai de traction suivant la direction \(x\) , les tenseurs de Kirchhoff \(\tau\) et de Cauchy \(\sigma\) sont de la forme:
et
avec
La variation de volume
est donnée par la résolution de
où
est la déformation thermique. Celle–ci vaut pour une transformation austénitique – bainitique:
Remarque:
Le coefficient K est le module de compression (à ne pas confondre avec les coefficients
relatifs à la loi de plasticité de transformation)
En charge plastique, pour un écrouissage isotrope
linéaire, tel que :
la déformation plastique cumulée
vaut
avec
Les tenseurs gradients de la transformation
et
et le tenseur de déformations plastiques
sont de la forme:
La loi d’évolution de la déformation plastique
s’écrit :
Pour
, on a
. Il n’y a pas de plasticité de transformation. On obtient alors:
Pour
, on a
.
Pour intégrer la loi d’évolution de la déformation plastique, il faut supposer que la contrainte de Kirchhoff \(\tau\) varie très peu, c’est-à-dire que la variation de volume
est très petite. Sous cette hypothèse, on obtient
La composante
du gradient de la transformation est donnée par la résolution de:
Enfin, le champ de déplacement \(u\) (dans la configuration initiale) est de la forme
. Les composantes sont données par:
Remarque#
Dans le cas test HSNV101 (modélisation B), les coefficients du matériau ont été choisis de telle manière à ne pas avoir de plasticité classique
pendant la transformation métallurgique qui a lieu entre les instants \(60\) et \(\mathrm{122s}\) . En effet si on écrit le critère de charge–décharge dans cet intervalle de temps, on obtient
avec
qui ne s’annule que pour une seule valeur de la déformation plastique cumulée
.
Pour la loi de comportement écrite en grandes déformations, le critère de charge–décharge s’écrit entre ces deux instants
avec
Dans ce cas, tant que la variable
reste inférieure à la valeur obtenue au temps \(t=\mathrm{60s}\) , on aura
. Or la valeur de
est fonction uniquement de la valeur de la déformation thermique (la contrainte \(\sigma\) est constante et le coefficient
est indépendant des phases métallurgiques et de la température).
Dans cet intervalle de temps, la déformation thermique
est donnée par l’équation suivante:
On trace ci–dessous la déformation thermique ainsi que la variation de volume
, solution de l’équation du 3ème degré, en fonction du temps.
Déformation thermique en fonction du temps
Variation du volume
en fonction du temps
On constate que la variable
diminue et augmente de la même manière que la déformation thermique. Dans ce cas, pour connaître l’instant à partir duquel la variable
est supérieure à la valeur obtenue au temps \(\mathrm{60s}\) , il suffit de connaître l’instant pour lequel la déformation thermique est identique à celle obtenue au temps \(t=\mathrm{60s}\) . On trouve par la résolution de l’équation ci–dessus \(t=\mathrm{84.46s}\) .
Incertitude sur la solution#
La solution est analytique. Deux erreurs sont commises sur cette solution. La première porte sur le calcul de la proportion de phase bainitique créée. Le calcul métallurgique préalable ne restitue pas exactement l’équation du [§1.2] donnant
en fonction du temps, c’est pourquoi les résultats de référence présentés ci–dessous sont calculés avec la proportion de phase bainitique calculée par Code_Aster .
La seconde erreur est l’hypothèse faite sur la contrainte de Kirchhoff \(\tau\) qui n’est pas constante sur l’intervalle de temps compris entre \(60\) et \(\mathrm{176s}\) . Ceci impactera le calcul du déplacement
et de la déformation plastique
.
Résultats de référence#
On adoptera comme résultats de référence le déplacement dans la direction du chargement de traction, la contrainte de Cauchy \(\sigma\) , l’indicateur booléen de plasticité \(\chi\) et la déformation plastique cumulée
. Les différents instants de calculs sont \(t=47,48,60,83,84,85\) et \(\mathrm{176s}\) . Pour le calcul du déplacement, la longueur initiale du barreau dans la direction de chargement est de \(\mathrm{0.2m}\) .
Dans tous les cas, on a
\(\mathrm{3K}=500000\mathit{MPa}\) (module de compression) \(\mu =76923.077\mathit{MPa}\)
Au temps \(t=\mathrm{47s}\) , on a
,
,
Au temps \(t=\mathrm{48s}\) , on a
,
,
Au temps \(t=\mathrm{60s}\) , on a
,
,
Au temps \(t=\mathrm{83s}\) , on a
,
,
Au temps \(t=84\) s , on a
,
,
Au temps \(t=\mathrm{85s}\) , on a
,
,
Au temps \(t=\mathrm{176s}\) , on a
,
,
Références bibliographiques#
On pourra se référer à :
CANO, E. LORENTZ: Introduction dans le Code_Aster d’un modèle de comportement en grandes déformations élastoplastique avec écrouissage isotrope – Note interne EDF DER HI‑74/98/006/0
A.M. DONORE, F. WAECKEL: Influence des transformations structurales dans les lois de comportement élasto–plastiques Note HI–74/93/024
WAECKEL, V. CANO: Loi de comportement grandes déformations élasto(visco)plastique avec transformations métallurgiques [R4.04.03]
Modélisation A#
Caractéristiques de la modélisation#
\(A=\mathit{N4}\) , \(B=\mathit{N5}\) , \(C=\mathit{N13}\) , \(D=\mathit{N12}\) .
Charge: le nombre total d’incréments est de 102 (4 incréments de 0 à 46s, 2 incréments de \(46\) à \(\mathrm{48s}\) , 6 incréments de \(48\) à \(\mathrm{60s}\) , 26 de \(60\) à \(\mathrm{112s}\) , 4 de \(112\) à \(\mathrm{116s}\) et 60 incréments jusqu’à \(\mathrm{176s}\) ). La convergence est réalisée si le résidu (RESI_GLOB_RELA) est inférieur ou égal à 10–6.
Caractéristiques du maillage#
Nombre de nœuds: 13
Nombre de mailles et types: 2 mailles QUAD8, 6mailles SEG3
Valeurs testées#
Identification |
Référence |
\(t=47\) Déplacement \(\mathit{DY}\) \((\mathit{N13})\) |
–8.4347 10–4 m |
\(t=47\) Variable
|
|
\(t=47\) \(\chi\) \(\mathit{VARI}\) \((\mathit{M1},\mathit{PG1})\) |
0 |
\(t=47\) Contrainte \(\mathit{SIGYY}\) \((\mathit{M1},\mathit{PG1})\) |
|
\(t=48\) Déplacement \(\mathit{DY}\) \((\mathit{N13})\) |
–5.9639 10–4m |
\(t=48\) Variable
|
1.3260 10–3 |
\(t=48\) \(\chi\) \(\mathit{VARI}\) \((\mathit{M1},\mathit{PG1})\) |
1 |
\(t=48\) Contrainte \(\mathit{SIGYY}\) \((\mathit{M1},\mathit{PG1})\) |
|
\(t=60\) Déplacement \(\mathit{DY}\) \((\mathit{N13})\) |
6.476 10–3m |
\(t=60\) Variable
|
3.7295 10–2 |
\(t=60\) \(\chi\) \(\mathit{VARI}\) \((\mathit{M1},\mathit{PG1})\) |
1 |
\(t=60\) Contrainte \(\mathit{SIGYY}\) \((\mathit{M1},\mathit{PG1})\) |
|
\(t=83\) Déplacement \(\mathit{DY}\) \((\mathit{N13})\) |
1.1544 10–2m |
\(t=83\) Variable
|
3.7295 10–2 |
\(t=83\) \(\chi\) \(\mathit{VARI}\) \((\mathit{M1},\mathit{PG1})\) |
0 |
\(t=83\) Contrainte \(\mathit{SIGYY}\) (M1,PG1) |
|
\(t=84\) Déplacement \(\mathit{DY}\) \((\mathit{N13})\) |
1.1705 10–2m |
\(t=84\) Variable
|
3.7296 10–2 |
\(t=84\) \(\chi\) \(\mathit{VARI}\) \((\mathit{M1},\mathit{PG1})\) |
1 |
\(t=84\) Contrainte \(\mathit{SIGYY}\) \((\mathit{M1},\mathit{PG1})\) |
|
\(t=85\) Déplacement \(\mathit{DY}\) \((\mathit{N13})\) |
1.1864 10–2m |
\(t=85\) Variable
|
3.7304 10–2 |
\(t=85\) \(\chi\) \(\mathit{VARI}\) \((\mathit{M1},\mathit{PG1})\) |
1 |
\(t=85\) Contrainte \(\mathit{SIGYY}\) (M1,PG1) |
|
\(t=176\) Déplacement \(\mathit{DY}\) \((\mathit{N13})\) |
1.7743 10–2m |
\(t=176\) Variable
|
5.943 10–2 |
\(t=176\) \(\chi\) \(\mathit{VARI}\) \((\mathit{M1},\mathit{PG1})\) |
1 |
\(t=176\) Contrainte \(\mathit{SIGYY}\) \((\mathit{M1},\mathit{PG1})\) |
|
Synthèse des résultats#
Les résultats trouvés avec Code_Aster sont très satisfaisants avec des pourcentages d’erreur inférieurs à 0.9%, sachant que la solution analytique de référence fait l’impasse sur certains aspects que prend en compte justement la solution de Code_Aster . Ceci peut expliquer les différences observées.