v3.01.120 SSLL120 – Poutres calcul des efforts internes aux nœuds : EFGE_ELNO#

Résumé:

L’objectif de ce test est de vérifier le calcul des efforts internes aux nœuds des modélisations: pou_d_t, pou_d_e, pou_d_tg, pou_d_em, pou_d_tgm.

Les EFGE_ELNO sont toujours exprimés dans le repère local des éléments.

Solution de référence#

Efforts internes modélisation A#

Au nœud \(D\) le chargement est le torseur des efforts \({T}_{D}=({F}_{x},{F}_{y},{F}_{z},{M}_{x},{M}_{y},{M}_{z})\)

Les torseurs des efforts internes, exprimés dans le repère local des éléments, sont les suivants:

Pour la poutre 1 allant du nœud \(A\) au nœud \(B\) :

\({\mathit{Fa}}_{1}=[\mathit{Fx},\mathit{Fy},\mathit{Fz}]\)

\({\mathit{Ma}}_{1}=[{M}_{x}+3\ast {F}_{z}\ast L,{M}_{y}-2\ast {F}_{z}\ast L,{M}_{z}+2\ast {F}_{y}\ast L-3\ast {F}_{x}\ast L]\)

\({\mathit{Fb}}_{1}=[{F}_{x},{F}_{y},{F}_{z}]\)

\({\mathit{Mb}}_{1}=[{M}_{x}+3\ast {F}_{z}\ast L,{M}_{y}-{F}_{z}\ast L,{M}_{z}+{F}_{y}\ast L-3\ast {F}_{x}\ast L]\)

Pour la poutre 2 allant du nœud \(B\) au nœud \(C\) :

\({\mathit{Fb}}_{2}=[({F}_{y}+{F}_{x})/\sqrt{(2)},({F}_{y}-{F}_{x})/\sqrt{(2)},{F}_{z}]\)

\({\mathit{Mb}}_{2}=[({M}_{y}+{M}_{x}+2\ast {F}_{z}\ast L)/\sqrt{(2)},({M}_{y}-{M}_{x}-4\ast {F}_{z}\ast L)/\sqrt{(2)},({M}_{z}+{F}_{y}\ast L-3\ast {F}_{x}\ast L)]\)

\({\mathit{Fc}}_{2}=[({F}_{y}+{F}_{x})/\sqrt{(2)},({F}_{y}-{F}_{x})/\sqrt{(2)},{F}_{z}]\)

\({\mathit{Mc}}_{2}=[({M}_{y}+{M}_{x}+2\ast {F}_{z}\ast L)/\sqrt{(2)},({M}_{y}-{M}_{x}-2\ast {F}_{z}\ast L)/\sqrt{(2)},{M}_{z}-2\ast {F}_{x}\ast L]\)

Pour la poutre 3 allant du nœud \(C\) au nœud \(D\) :

\({\mathit{Fc}}_{3}=[{F}_{y},-{F}_{x},{F}_{z}]\)

\({\mathit{Mc}}_{3}=[{M}_{y},(-{M}_{x}-2\ast {F}_{z}\ast L),({M}_{z}-2\ast {F}_{x}\ast L)]\)

\({\mathit{Fd}}_{3}=[{F}_{y},-{F}_{x},{F}_{z}]\)

\({\mathit{Md}}_{3}=[{M}_{y},-{M}_{x},{M}_{z}]\)

Le repère local des éléments est celui par défaut: l’axe local \(X\) est porté par le SEG2, l’axe local \(Z\) est le \(Z\) global.

Efforts internes modélisation B#

Au nœud \(D\) le chargement est le torseur des efforts \({T}_{\mathit{Dr}}=({F}_{\mathit{xr}},{F}_{\mathit{yr}},{F}_{\mathit{zr}},{M}_{\mathit{xr}},{M}_{\mathit{yr}},{M}_{\mathit{zr}})\)

Le torseur \({T}_{\mathit{DR}}\) correspond au torseur \({T}_{D}\) auquel on applique les mêmes rotations que la géométrie.

\({F}_{\mathit{xr}}=(0.6942720440\ast {F}_{x})+(-0.6438648260\ast {F}_{y})+(-0.3215966648\ast {F}_{z})\)

\({F}_{\mathit{yr}}=(0.3237443710\ast {F}_{x})+(0.6784690681\ast {F}_{y})+(-0.6594462116\ast {F}_{z})\)

\({F}_{\mathit{zr}}=(0.6427876097\ast {F}_{x})+(0.3537199593\ast {F}_{y})+(0.6794897197\ast {F}_{z})\)

\({M}_{\mathit{xr}}=(0.6942720440\ast {M}_{x})+(-0.6438648260\ast {M}_{y})+(-0.3215966648\ast {M}_{z})\)

\({M}_{\mathit{yr}}=(0.3237443710\ast {M}_{x})+(0.6784690681\ast {M}_{y})+(-0.6594462116\ast {M}_{z})\)

\({M}_{\mathit{zr}}=(0.6427876097\ast {M}_{x})+(0.3537199593\ast {M}_{y})+(0.6794897197\ast {M}_{z})\)

Comme le torseur d’effort a été tourné, les efforts internes qui sont toujours exprimés dans le repère local des éléments sont les mêmes que ceux de la modélisation \(A\) . Par contre, il faut définir les axes locaux des éléments des poutres, qui ont également tournés, à l’aide de la commande affe_cara_elem mot clef orientation.

GROUP_MA	CARA	VALE
PAB	vECT_Y	(-0.6438648260, 0.6784690681, 0.3537199593)
PBC	vECT_Y	(-0.9462056549, 0.2508282388,-0.2044016958)
PCD	vECT_Y	(-0.6942720440,-0.3237443710,-0.6427876097)

Incertitudes sur la solution#

Aucune.

Modélisation A & B#

Caractéristiques de la modélisation#

Les modélisations POU_D_E, POU_D_T, POU_D_TG, POU_D_EM et POU_D_TGM sont affectées tour à tour sur le maillage.

La longueur est \(L=1.5m\) .

Les efforts généralisés ne dépendent que des efforts imposés, ils sont indépendant des caractéristiques géométriquesde la section et du matériau. La section choisie est circulaire d’un rayon de \(0.10m\) , d’une épaisseur de \(0.05m\) .

Pour la modélisation \(A\) , le torseur d’effort appliqué au nœud \(D\) , à les composantes suivantes:

\(\begin{array}{c}{F}_{x}=-1000N;{F}_{y}=5000N;{F}_{z}=10000N\\ {M}_{x}=830\mathit{Nm};{M}_{y}=1800\mathit{Nm};{M}_{z}=5300\mathit{Nm}\end{array}\)

Pour la modélisation \(B\) , les composantes du torseur d’effort appliqué au nœud \(D\) , sont issues des formules données au § 2.2 . Les formules sont écrites dans le fichier de commandes.

Caractéristiques du maillage#

Le maillage est constitué d’une seule maille SEG2par tronçon.

Grandeurs testées et résultats#

Les valeurs testées sont les mêmes quelque soit la modélisation de poutre et quelque soit la géométrie, car les efge_elno sont exprimés dans les repères locaux des éléments.

Les 36 valeurs des composantes des torseurs sont testées.

Les expressions analytiques, présentées au § 2.1 , sont dans le fichier de commandes et servent à tester toutes les valeurs calculées et toutes les valeurs de référence dans les TEST_RESU.

Synthèse des résultats#

Pour chaque modélisation traitée, les résultats correspondent à la solution analytique.