r5.01.03 Paramètres modaux et norme des vecteurs propres#

Résumé :

Dans ce document, on décrit:

  • les différentes possibilités dans Code_Aster pour normer les modes propres,

  • les paramètres modaux importants associés aux modes propres.

Norme des modes propres du problème généralisé#

On suppose avoir calculé un couple \((\lambda ,\Phi )\) solution du problème [éq 1.2-1] : \(\lambda ` est la valeur propre associée au mode propre :math:\)Phi` . On considère pour l’instant seulement le cas du problème généralisé.

Dans Code_Aster , la commande NORM_MODE [U4.52.11] permet d’imposer un type de normalisation pour l’ensemble des modes.

Composantes d’un mode propre#

Soit un mode propre \(\Phi\) de composantes \({({\Phi}_{j})}_{j=1,n}\) .

Parmi ces composantes, on distingue :

  • les composantes ou degrés de liberté appelés « physiques » (ce sont par exemple les degrés de liberté de déplacement \((\mathrm{DX},\mathrm{DY},\mathrm{DZ})\) , les degrés de liberté de rotation \((\mathrm{DRX},\mathrm{DRY},\mathrm{DRZ})\) , le potentiel caractérisant un fluide irrotationnel \((\mathrm{PHI})\) , …),

  • les composantes de Lagrange (les paramètres de Lagrange sont des inconnues supplémentaires qui sont rajoutées au problème « physique » initial afin que les conditions aux limites soient vérifiées [R3.03.01]).

Dans Code_Aster , on dispose de trois familles de normes :

  • norme euclidienne,

  • norme : « plus grande composante à 1 » parmi un groupe de degrés de liberté défini,

  • norme masse ou rigidité généralisée unitaire.

On les décrit successivement.

Auparavant, on définit \(L\) une famille d’indices qui contient \(m\) termes :

\(L=\left\lbrace {l}_{k},k=1,m\text{avec}1\le {l}_{k}\le n\right\rbrace \text{et}1\le m\le n.\)

Norme euclidienne#

On définit la norme suivante : \({\parallel \Phi \parallel }_{2}={(\sum_{k=1}^{m}{({\Phi}_{{l}_{k}})}^{2})}^{1/2}\)

On obtient alors le vecteur normé \(\stackrel{ˆ}{\Phi}\) : \(\stackrel{ˆ}{\Phi}=\frac{1}{{\parallel \Phi \parallel }_{2}}\Phi (\stackrel{ˆ}{{\Phi}_{j}}=\frac{1}{{\parallel \Phi \parallel }_{2}}{\Phi}_{j}j=1,n).\)

Dans le Code_Aster , deux normes de cette famille sont disponibles :

  • NORME=”EUCL” : \(L\) correspond à l’ensemble des indices qui caractérisent un degré de liberté physique,

  • NORME=”EUCL_TRAN” : \(L\) correspond à l’ensemble des indices qui caractérisent un degré de liberté physique de déplacement en translation \((\mathrm{DX},\mathrm{DY},\mathrm{DZ})\) .

Norme « plus grande composante à 1 »#

On définit la norme suivante : \({\parallel \Phi \parallel }_{\infty}=\underset{k=1,m}{\max}\mid {\Phi}_{{l}_{k}}\mid\)

On obtient alors le vecteur normé \(\stackrel{ˆ}{\Phi}\) : \(\stackrel{ˆ}{\Phi}=\frac{1}{{\parallel \Phi \parallel }_{\infty}}\Phi (\stackrel{ˆ}{{\Phi}_{j}}=\frac{1}{{\parallel \Phi \parallel }_{\infty}}{\Phi}_{j}j=1,n).\)

Dans Code_Aster , cinq normes de cette famille sont disponibles :

  • NORME=”SANS_CMP=LAGR” : \(L\) correspond à l’ensemble des indices qui caractérisent un degré de liberté physique,

  • NORME=”TRAN” : \(L\) correspond à l’ensemble des indices qui caractérisent un degré de liberté physique de déplacement en translation \((\mathrm{DX},\mathrm{DY},\mathrm{DZ})\) ,

  • NORME=”TRAN_ROTA” : \(L\) correspond à l’ensemble des indices qui caractérisent un degré de liberté physique de déplacement en translation et en rotation \((\mathrm{DX},\mathrm{DY},\mathrm{DZ},\mathrm{DRX},\mathrm{DRY},\mathrm{DRZ})\) ,

  • NORME=”AVEC_CMP” ou “SANS_CMP” : \(L\) est construit soit en prenant tous les indices qui correspondent à des types de composantes stipulés par l’utilisateur (par exemple le type déplacement suivant l’axe \(x\) : “DX”) (NORME=”AVEC_CMP”), soit en prenant le complémentaire de tous les indices qui correspondent à des types de composantes stipulés par l’utilisateur (NORME=”SANS_CMP”),

  • NORME=”NOEUD_CMP”: \(L\) correspond à un seul indice qui caractérise une composante d’un nœud du maillage. Le nom du nœud et de la composante sont spécifiés par l’utilisateur (mots‑clé NOM_CMP et NOEUD de la commande NORM_MODE [U4.52.11]).

Par défaut les modes sont normés avec la norme “SANS_CMP=LAGR”.

Norme masse ou rigidité généralisée unitaire#

Soit une matrice définie positive d’ordre \(n\) . On définit la norme suivante : \({\parallel \Phi \parallel }_{E}={({\Phi}^{T}E\Phi )}^{1/2}\)

On obtient alors le vecteur normé \(\stackrel{ˆ}{\Phi}\) : \(\stackrel{ˆ}{\Phi}=\frac{1}{{\parallel \Phi \parallel }_{E}}\Phi (\stackrel{ˆ}{{\Phi}_{j}}=\frac{1}{{\parallel \Phi \parallel }_{E}}{\Phi}_{j}j=1,n).\) .

Dans le Code_Aster , deux normes de cette famille sont disponibles :

  • NORME=”MASSE_GENE”: \(E=B\) . Dans un problème classique de vibration, \(B\) est la matrice de masse.

  • NORME=”RIGI_GENE” : \(E=A\) . Dans un problème classique de vibration, \(A\) est la matrice de rigidité.

Remarque :

Pour un mode \(\Phi\) de corps rigide, on a : \({\parallel \Phi \parallel }_{E}={\parallel \Phi \parallel }_{A}=0\)

Norme des modes propres du problème quadratique#

Normes euclidienne et « plus grande composante à 1 »#

Pour le problème quadratique, on dispose des mêmes normes que pour le problème généralisé. Les modes propres étant complexes, on travaille avec le produit hermitien. Les différentes normes « classiques » deviennent :

  • norme hermitienne : \({\mathrm{\parallel }\Phi \mathrm{\parallel }}_{2}={(\sum_{k=1}^{m}{\mid {\Phi}_{{l}_{k}}\mid }^{2})}^{1/2}={(\sum_{k=1}^{m}({\stackrel{ˉ}{\Phi}}_{{l}_{k}}{\Phi}_{{l}_{k}}))}^{1/2}\) où \(\stackrel{ˉ}{{\Phi}_{{l}_{k}}}\) est le conjugué de \({\Phi}_{{l}_{k}}\) (la valeur absolue dans le domaine réel devient le module dans le domaine complexe),

  • norme « plus grande composante à 1 » : \({\mathrm{\parallel }\Phi \mathrm{\parallel }}_{\infty}=\underset{k=1,m}{\max}\mid {\Phi}_{{l}_{k}}\mid =\underset{k=1,m}{\max}({({\stackrel{ˉ}{\Phi}}_{{l}_{k}}{\Phi}_{{l}_{k}})}^{1/2})\) .

Norme masse ou rigidité généralisée unitaire#

En ce qui concerne la norme « masse ou rigidité généralisée », dénomination par analogie avec le problème généralisé, on utilise comme matrice associée à la norme, celle qui intervient dans l’écriture du problème quadratique mis sous la forme réduite [éq 1.3-1].

On a alors :

  • norme masse généralisée :

\({\parallel \Phi \parallel }_{\stackrel{ˆ}{B}}=(\lambda {\Phi}^{T},{\Phi}^{T})\stackrel{ˆ}{B}(\begin{array}{c}\lambda \Phi \\ \Phi \end{array})=(\lambda {\Phi}^{T},{\Phi}^{T})\left[\begin{array}{cc}0& B\\ B& C\end{array}\right](\begin{array}{c}\lambda \Phi \\ \Phi \end{array})=2\lambda {\Phi}^{T}B\Phi +{\Phi}^{T}C\Phi ,\)

\(\stackrel{ˆ}{\Phi}=\frac{1}{{\parallel \Phi \parallel }_{\stackrel{ˆ}{B}}}\Phi\) ,

  • norme rigidité généralisée :

\({\parallel \Phi \parallel }_{\stackrel{ˆ}{B}}=(\lambda {\Phi}^{T},{\Phi}^{T})\stackrel{ˆ}{A}(\begin{array}{c}\lambda \Phi \\ \Phi \end{array})=(\lambda {\Phi}^{T},{\Phi}^{T})\left[\begin{array}{cc}-B& 0\\ 0& A\end{array}\right](\begin{array}{c}\lambda \Phi \\ \Phi \end{array})=-{\lambda}^{2}{\Phi}^{T}B\Phi +{\Phi}^{T}A\Phi ,\)

\(\stackrel{ˆ}{\Phi}=\frac{1}{{\parallel \Phi \parallel }_{\stackrel{ˆ}{A}}}\Phi\) .

Paramètres modaux associés au problème généralisé#

On se place dans le cas d’un problème généralisé classique de vibration. On a :

  • \(\tensTwo{A}=\tensTwo{K}\) est la matrice de rigidité,

  • \(\tensTwo{B}=\tensTwo{M}\) est la matrice de masse.

Soit un couple \((\lambda, \vector{\Phi} )\) solution du problème :

(1713)#\[(-{\lambda}^{2}\tensTwo{M}+\tensTwo{K}) \vector{\Phi} = 0\]

Dans ce qui suit, on définit successivement les grandeurs suivantes :

  • grandeurs généralisées,

  • masse modale effective et masse modale effective unitaire,

  • facteur de participation.

Grandeurs généralisées#

Définition#

On définit deux grandeurs généralisées :

  • Masse généralisée du mode \(\vector{\Phi}\) : \({m}_{\Phi}=\transpose{\vector{\Phi}}\tensTwo{M}\vector{\Phi}\) ,

  • Rigidité généralisée du mode \(\vector{\Phi}\) : \({k}_{\Phi}=\transpose{\vector{\Phi}}\tensTwo{K}\vector{\Phi}\) .

Ces quantités dépendent de la normalisation de \(\vector{\Phi}\). Ces grandeurs sont accessibles dans le concept RESULTAT de type mode_meca sous les noms MASS_GENE et RIGI_GENE.

On a la relation suivante entre la pulsation (ou la fréquence) du mode et la masse et rigidité généralisées du mode :

\[{\lambda}^{2} = {\omega}^{2} = {(2\pi f)}^{2} = \frac{\transpose{\vector{\Phi}}\tensTwo{K}\vector{\Phi} }{\transpose{\vector{\Phi}}\tensTwo{M}\vector{\Phi} } = \frac{{k}_{\Phi}}{{m}_{\Phi}}\]

Du point de vue physique, la masse généralisée (qui est une valeur positive) peut s’interpréter comme la masse en mouvement :

\[{m}_{\Phi} = \transpose{\vector{\Phi}} \tensTwo{M} \vector{\Phi} = \int{\rho \vector{\Phi}}^{2}\]

où \(\rho\) est la densité de la structure.

L’énergie cinétique \(T\) de la structure vibrant selon le mode \(\vector{\Phi}\) est alors égale à

\[T = \frac{1}{2}{\omega}^{2}{m}_{\Phi} = \frac{1}{2}{\omega}^{2} \transpose{\vector{\Phi}} \tensTwo{M} \vector{\Phi}\]

et l’énergie potentielle de déformation \({E}_{p}\) associée au mode \(\vector{\Phi}\) est égale à

\[{E}_{p} = \frac{1}{2} {k}_{\Phi} = \frac{1}{2} \transpose{\vector{\Phi}} \tensTwo{K} \vector{\Phi}\]

Utilisation#

Lors d’un calcul par recombinaison modale [Réduction de modèle en dynamique linéaire et non-linéaire : Méthode de RITZ], on cherche à résoudre l’équation de la dynamique :

\[\tensTwo{M} \vector{\ddot{x}} + \tensTwo{C} \vector{\dot{x}} + \tensTwo{K} \vector{x} = \vector{f}(t)\]

sous la forme \(\vector{x}=\sum_{i=1,m}{\alpha}_{i}(t){\vector{\Phi}}_{i}\) où \({\vector{\Phi}}_{i}\) est le mode propre réel associé à la valeur propre \({\lambda}_{i}\), solution du problème généralisé (en général on a \(m \le n\) (\(n\) est le nombre de degrés de liberté) car on ne prend en compte qu’une partie de la base modale) :

\[\left( - \tensTwo{M} {\lambda}_{i}^{2} + \tensTwo{K} \right) {\vector{\Phi}}_{i} = \vectorZero\]

Le vecteur généralisé \(\vector{\alpha}={({\alpha}_{i})}_{i=1,m}\) est la solution de :

\[\tilde{\tensTwo{M}} \vector{\ddot{\alpha}} + \tilde{\tensTwo{C}} \vector{\dot{\alpha}} + \tilde{\tensTwo{K}} \vector{\alpha} = \vector{\tilde{f}}\]

Il s’agit d’un problème d’ordre \(m\) avec :

\[\tilde{\tensTwo{M}} \rightarrow \left( \tilde{\tensTwo{M}} \right)_{ij} = \transpose{\vector{\Phi}_i} \tensTwo{M} {\vector{\vector{\varphi}_i}}\]
\[\tilde{\tensTwo{C}} \rightarrow \left( \tilde{\tensTwo{C}} \right)_{ij} = \transpose{\vector{\Phi}_i} \tensTwo{C} {\vector{\vector{\varphi}_i}}\]
\[\tilde{\tensTwo{K}} \rightarrow \left( \tilde{\tensTwo{K}} \right)_{ij} = \transpose{\vector{\Phi}_i} \tensTwo{K} {\vector{\vector{\varphi}_i}}\]

et

\[\vector{\tilde{f}} \rightarrow \left( \vector{\tilde{f}} \right)_{i} = \transpose{\vector{\Phi}_i} \vector{f}\]

Les modes de vibration du problème généralisé sont orthogonaux par rapport aux matrices \(\tensTwo{K}\) et \(\tensTwo{M}\) [Solveurs modaux et résolution du problème généralisé (GEP)]. Les matrices \(\tilde{\tensTwo{M}}\) et \(\tilde{\tensTwo{K}}\) sont alors diagonales et sont constituées des rigidités et masses généralisées de chaque mode. La matrice \(\tilde{\tensTwo{C}}\) est habituellement pleine si on ne fait pas d’hypothèses supplémentaires sur \(\tensTwo{C}\) [Modélisation de l’amortissement en dynamique linéaire].

Masses modales effectives et masses modales effectives unitaires#

Masses modales effectives#

Soit \(\vector{U}_d\) un vecteur unitaire dans la direction \(d\) . En chaque nœud du vecteur \(\vector{U}_d\) ayant les composantes de déplacement \((\text{DX},\text{DY},\text{DZ})\) on a :

\[\begin{split}\left\lbrace \begin{array}{l} \text{DX}={x}_{d} \\ \text{DY}={y}_{d} \\ \text{DZ}={z}_{d} \end{array}\right .\end{split}\]

où \(\left( {x}_{d},{y}_{d},{z}_{d} \right)\) sont les cosinus directeurs de la direction \(d\) (on a donc : \({x}_{d}^{2}+{y}_{d}^{2}+{z}_{d}^{2}=1\) ).

Par exemple, si \(d\) est la direction X, le vecteur \(\vector{U}_d\) a toutes ses composantes \(\text{DX}\) égales à 1 et ses autres composantes égales à 0.

On définit les masses modales effectives dans la direction \(d\) par :

(1714)#\[{m}_{\Phi ,d} = \frac{{(\transpose{\vector{\Phi}}\tensTwo{M}\vector{U}_d)}^{2}} {(\transpose{\vector{\Phi}}\tensTwo{M}\vector{\Phi})}\]

Propriété#

La somme des masses modales effectives dans une direction \(d\) est égale à la masse de la structure suivant cette direction. Cela s’écrit :

\[\sum_{i=1,n} \frac{{\left( \transpose{\vector{\Phi}}_i \tensTwo{M} \vector{U}_d\right)}^{2}} {\left( \transpose{\vector{\Phi}}_i \tensTwo{M} \vector{\Phi}_{i} \right)} = \sum_{i=1,n} {m}_{{\vector{\Phi}}_{i}, d} = \transpose{\vector{U}_d} \tensTwo{M} \vector{U}_d = {m}_{\text{totale}, d}\]

où \(n\) est le nombre total de modes associés au problème (1713).

Remarque

Dans la majorité des cas, la masse est isotrope. La relation précédente se met alors sous la forme suivante:

\[\sum_{i=1,n}\frac{{\left( \transpose{\vector{\Phi}_i} \tensTwo{M} \vector{U}_d \right)}^{2}} {\left( \transpose{\vector{\Phi}_i} \tensTwo{M} {\vector{\Phi}}_{i} \right)} = \sum_{i=1,n} {m}_{{\vector{\Phi}}_{i}, d} = {m}_{\text{totale}, d} = {m}_{\text{totale}}\]

où \({m}_{\text{totale}}\) est la masse de la structure.

Masses modales effectives unitaires#

En utilisant la propriété précédente, on définit les masses modales effectives unitaires dans la direction \(d\) :

(1715)#\[\tilde{m}_{{\vector{\Phi}}_{i},d} = \frac{{m}_{{\vector{\Phi}}_{i},d}}{{m}_{\text{totale}, d}}\]

On a alors :

\[\sum_{i=1,n} {\tilde{m}}_{{\vector{\Phi}}_{i},d} = 1\]

Les masses modales \({\tilde{m}}_{{\vector{\Phi}}_{i},d}\) et \({m}_{{\vector{\Phi}}_{i},d}\) sont indépendantes de la normalisation du mode \({\vector{\Phi}}_{i}\) de vibration.

Utilisation#

Relation « empirique » :

Lors d’une étude de type sollicitation sismique d’une structure dans une direction \(d\) par une méthode de recombinaison modale, on doit conserver les modes de vibration qui ont une masse effective unitaire importante et il est d’usage en France de considérer qu’on a une bonne représentation modale si pour l’ensemble des modes conservés on a :

\[\sum_{i=1,n} {\tilde{m}}_{{\vector{\Phi}}_{i},d} \ge 0,9\]

Cette relation empirique est, par exemple, énoncée dans le RCC-G (Règles de conception et de construction applicables au Génie Civil).

Remarque

La somme des masses modales effectives vaut en fait la masse totale qui travaille sur la base modale choisie. Autrement dit, cette masse totale travaillante vaut la masse totale moins les contributions en masse qui sont portées par des degrés de liberté encastrés (qui ne travaillent donc pas sur la base modale). Ainsi, par exemple, sur un système à un degré de liberté masse-ressort avec une masse \(\text{M1}\) au sommet et une autre masse \(\text{M2}\) au niveau du radier, alors la masse travaillante vaudra \(\text{M1}\) et la masse totale \(\text{M1}+\text{M2}\). Par suite, la masse modale effective unitaire pour le seul mode du système vaudra \(\frac{\text{M1}}{\text{M1}+\text{M2}}\). Le cumul total aura donc la même valeur et, suivant le ratio en \(\text{M1}\) et \(\text{M2}\), on ne pourra donc pas forcément atteindre 90 % de la masse totale* \((\text{M1}+\text{M2})\), même en considérant tous les modes (on n’a qu’un seul mode sur cet exemple). En pratique, plus le modèle aux éléments finis sera fin et réaliste, plus l’écart entre la masse travaillante et la masse totale sera faible.

Directions privilégiées#

On dispose de trois directions qui sont celles du repère de définition du maillage:

  • \(d\) = direction \(X\) ,

  • \(d\) = direction \(Y\) ,

  • \(d\) = direction \(Z\) .

Les masses modales effectives et les masses modales effectives unitaires sont accessibles dans le concept RESULTAT de type mode_meca sous les noms MASS_EFFE_DX, MASS_EFFE_DY, MASS_EFFE_DZ, MASS_EFFE_UN_DX, MASS_EFFE_UN_DY et MASS_EFFE_UN_DZ.

Facteurs de participation#

Définition#

On définit d’autres paramètres appelés facteurs de participation :

\[{p}_{\Phi_i, d} = \frac{\transpose{\vector{\Phi}_i}\tensTwo{M} \vector{U}_d} {\transpose{\vector{\Phi}_i}\tensTwo{M} {\vector{\Phi}}_{i}}\]

Ce paramètre dépend de la normalisation du mode de vibration \({\vector{\Phi}}_{i}\) .

Comme pour les masses effectives, on dispose de trois directions \(d\) qui sont celles du repère de définition du maillage.

Les facteurs de participation sont accessibles dans le concept RESULTAT de type mode_meca sous les noms FACT_PARTICI_DX, FACT_PARTICI_DY et FACT_PARTICI_DZ.

Propriété#

Les facteurs de participation associés à une direction \(d\) vérifient la relation suivante :

\[{m}_{\text{totale}} = \sum_{i=1,n} \frac{{(\transpose{\vector{\Phi}_i}\tensTwo{M}\vector{U}_d)}^{2}}{(\transpose{\vector{\Phi}_i}\tensTwo{M}{\vector{\Phi}}_{i})} = \sum_{i=1,n} {\left( \frac{\transpose{\vector{\Phi}_i}\tensTwo{M}\vector{U}_d} {\transpose{\vector{\Phi}_i}\tensTwo{M}{\vector{\Phi}}_{i}} \right)}^{2} \left( \transpose{\vector{\Phi}_i}\tensTwo{M}{\vector{\Phi}}_{i} \right) = \sum_{i=1,n} {({p}_{{\vector{\Phi}}_{i},d})}^{2} \, {m}_{{\vector{\Phi}}_{i}}\]

où \(n\) est le nombre total de modes associés au problème (1713).

Ce résultat s’obtient facilement en exprimant le facteur de participation en fonction de la masse modale effective et en utilisant le résultat énoncé à la section Masses modales effectives unitaires.

Utilisation#

Ces paramètres sont utilisés en particulier pour calculer la réponse d’une structure soumise à un séisme par la méthode spectrale. On renvoie le lecteur au document [Réponse sismique par méthode spectrale].

Inerties modales effectives et inerties modales effectives unitaires#

Vecteur déplacement unitaire#

Dans ce qui précède, on a considéré un vecteur de déplacement unitaire \(\vector{U}_d\) qui ne concerne que les degrés de liberté de translation \((\text{DX},\text{DY},\text{DZ})\) . Cette notion peut être étendue aux rotations en considérant la définition suivante. On définit une matrice \(U\) de dimension \((n\times 6)\) . Si tous les nœuds du maillage supportent trois degrés de liberté de translation et trois autres de rotation, la matrice \(\tensTwo{U}\) est formée de l’empilement des matrices \({\tensTwo{u}}_{\text{tran}, d}^{k}(6\times 6)\) suivantes ( l’indice \(k\) correspond au nœud de numéro \(k\) ):

\[\begin{split}{\tensTwo{u}}_{\text{tran}, d}^{k} = \left[\begin{array}{cccccc} 1& 0& 0& 0& ({z}_{k}-{z}_{c})& -({y}_{k}-{y}_{c})\\ 0& 1& 0& -({z}_{k}-{z}_{c})& 0& ({x}_{k}-{x}_{c})\\ 0& 0& 1& ({y}_{k}-{y}_{c})& -({x}_{k}-{x}_{c})& 0\\ 0& 0& 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0& 1 \end{array}\right]\end{split}\]

où \(({x}_{k},{y}_{k},{z}_{k})\) sont les coordonnées du nœud et \(({x}_{c},{y}_{c},{z}_{c})\) sont les coordonnées du centre instantané de rotation (le centre de gravité \(G\) en pratique).

Les trois premières colonnes de \(\tensTwo{U}\) correspondent aux trois vecteurs unitaires permettant de définir les masses modales effectives dans les trois directions privilégiées.

On peut donc définir des masses (ou inerties) modales effectives, des facteurs de participation associés à des degrés de liberté de rotation (autour des directions privilégiées) en utilisant les vecteurs unitaires définis dans les colonnes 4 à 6 de \(\tensTwo{U}\).

Inerties modales effectives#

On choisit le terme d’inerties modales effectives pour nommer les masses modales effectives en rotation.

En notant respectivement \(\vector{U}_{GX}\), \(\vector{U}_{GY}\) et \(\vector{U}_{GZ}\), les quatrième, cinquième et sixième colonnes de \(\tensTwo{U}\), les expressions des inerties modales effectives selon les trois directions privilégiées s’obtiennent en remplaçant \(\vector{U}_{d}\) par \(\vector{U}_{GX}\), \(\vector{U}_{GY}\) et \(\vector{U}_{GZ}\) dans (1714). Il en va de même pour les inerties effectives unitaires avec (1715).

Les inerties modales effectives et les inerties modales effectives unitaires sont accessibles dans le concept RESULTAT de type mode_meca sous les noms INER_EFFE_DX, INER_EFFE_DY, INER_EFFE_DZ, INER_EFFE_UN_DX, INER_EFFE_UN_DY et INER_EFFE_UN_DZ.

Facteurs de participation#

Les facteurs de participation correspondant à ces directions de rotation pourraient être calculés sur le même principe. Ils ne sont cependant pas disponibles dans le concept RESULTAT de type mode_meca.

Cas particulier des facteurs de participation sur des modes eux-mêmes exprimés en coordonnées généralisées#

Il existe des cas où les modes sont exprimés en fonction d’une première base modale. Un exemple est le calcul des masses ajoutées fluides sur une base modale en air. Si on veut alors calculer les paramètres tels que les facteurs de participation modale ou les masses modales effectives, utiles en particulier pour les calculs sismiques, on n’a alors pas accès aux vecteurs de déplacement unitaire. Les facteurs de participation modale de la base modale initiale jouent alors le rôle des vecteurs de déplacement unitaire. Cette démarche est expliquée dans le présent paragraphe.

Énergie cinétique#

L’énergie cinétique s’écrit :

\[T = \frac{1}{2} \left( \transpose{\vector{V}} \tensTwo{M} \vector{V} \right)\]

où \(\vector{V}\) est la vitesse des points de la structure et \(\tensTwo{M}\) la matrice de masse de la structure.

Le mouvement est décomposé sur la base des modes de la structure

\[\vector{V} = \sum_{i} \dot{{q}_{i}} \vector{\Phi}_{i}\]

Pour un calcul en mouvement relatif par rapport au sol, on écrit :

\[\vector{V} = \sum_{i} \dot{{q}_{i}} \vector{\Phi}_{i} + \dot{s} \vector{D}\]

où \(s\) est la position du sol et \(\vector{D}\) la direction du séisme.

D’où l’énergie cinétique de la structure exprimée dans le repère du sol:

\[T = \frac{1}{2} \left( \transpose{\vector{V}} \tensTwo{M} \vector{V} \right) = \frac{1}{2} \sum_{ij} {{m}_{ij} \dot{{q}_{i}} \dot{{q}_{j}}} + \dot{s} \sum_{i} \dot{{q}_{i}} \transpose{\vector{\Phi}}_{i} \tensTwo{M} \vector{D}\]

en utilisant la symétrie de \(\tensTwo{M}\).

La contribution de l’énergie cinétique aux équations d’Euler-Lagrange s’écrit

\[\frac{d}{dt} \left( \frac{\partial T}{\partial \dot{{q}_{i}}}\right) = {m}_{i} \ddot{{q}_{i}} + \ddot{s} \transpose{\vector{\Phi}}_{i} \tensTwo{M} \vector{D}\]

On en déduit l’expression du facteur de participation modale:

\[{d}_{i} = \frac{\transpose{\vector{\Phi}}_{i} \tensTwo{M} \vector{D}}{{m}_{i}}\]

Par définition, la masse modale est donnée par:

\[{me}_{i} = {m}_{i}{d}_{i}^{2}\]

Cas du mouvement décrit sur une base de modes généralisés#

On peut écrire la vitesse de la structure sur la nouvelle base:

\[\vector{V} = \sum_{i}\dot{{Q}_{i}}{\vector{\varphi}}_{i}\]

avec des modes généralisés \({\vector{\varphi}}_{i}\) définis sur la première base modale tels que

\[{\vector{\varphi}}_{i} = \sum_{k} {\psi}_{ik} \vector{\Phi}_{k}\]

Ces modes peuvent décrire une déformée modale différente des modes initiaux. \(\tilde{\tensTwo{M}}\) est la matrice de masse généralisée exprimée sur \({\vector{\varphi}}_{i}\) mais elle n’est pas systématiquement la projection de \(\tensTwo{M}\). Par exemple, dans le cas d’un système avec masse ajoutée:

\[\tilde{\tensTwo{M}} = \tensTwo{M} + {\tensTwo{M}}_{\text{ajou}}\]

On ajoute la contribution du mouvement d’entraînement aux équations d’Euler-Lagrange:

\[\ddot{s} \transpose{\vector{\varphi}}_{i} \tilde{\tensTwo{M}} \vector{D} = \ddot{s} \left( \sum_{k} {\psi}_{ik} \transpose{\vector{\Phi}_{k}} \right) \tilde{\tensTwo{M}} \vector{D}\]

Or \(\vector{D}=\sum_{j}{\vector{d}_j} \vector{\varphi}_{j}\), où \(\vector{d}\) est le vecteur des facteurs de participation de la base modale \(\vector{\varphi}\).

Donc

\[\ddot{s}\transpose{\vector{\varphi}_i} \tilde{\tensTwo{M}} \vector{D} = \ddot{s} \left( \sum_{k} {\psi}_{ik} \transpose{\vector{\Phi}_{k}} \tilde{\tensTwo{M}} \sum_{j} {\vector{d}_j} \right) {\vector{\varphi}_i} = \ddot{s} \sum_{kj} {\psi}_{ik} \transpose{\vector{\varphi}_k} \tilde{\tensTwo{M}} {\vector{\varphi}_i} {\vector{d}_j} = \ddot{s} \transpose{\vector{\varphi}_i} \left( \transpose{\vector{\varphi}}\tilde{\tensTwo{M}} \vector{\varphi} \right) \vector{d}\]

Par identification, on obtient le facteur de participation du mode généralisé \({\vector{\Phi}}_{i}\) :

\[\tilde{d}_{i} = \frac{\transpose{\vector{\varphi}_i} \left( \transpose{\vector{\varphi}}\tilde{\tensTwo{M}} \vector{\varphi} \right) \vector{d}} {\tilde{m}_{i}}\]

où \({\tilde{m}_{i}}\) est la masse modale du mode généralisé.

Paramètres modaux associés pour le problème quadratique#

On écrit le problème quadratique sous la forme : \(({\lambda}^{2}M+\lambda C+K)\Phi =0\) .

Pour le problème quadratique, on ne calcule que trois paramètres qui correspondent aux grandeurs généralisées suivantes :

  • masse généralisée (quantité réelle) :

\({m}_{\Phi}={\stackrel{ˉ}{\Phi}}^{T}M\Phi\) ,

  • rigidité généralisée (quantité réelle) :

\({k}_{\Phi}={\stackrel{ˉ}{\Phi}}^{T}K\Phi\) ,

  • amortissement généralisé (quantité réelle) :

\({c}_{\Phi}={\stackrel{ˉ}{\Phi}}^{T}C\Phi\) .

Attention, si on norme le mode propre avec la norme « masse généralisée », on n’a pas dans le cas quadratique : \({m}_{\Phi}=1\) . On peut faire la même remarque concernant la rigidité généralisée.

En utilisant les relations d’orthogonalité et le fait que les éléments propres apparaissent par paires conjuguées, on peut écrire les relations suivantes :

\(\begin{array}{}\frac{{\stackrel{ˉ}{\Phi}}^{T}C\Phi }{{\stackrel{ˉ}{\Phi}}^{T}M\Phi }=\frac{{c}_{\Phi}}{{m}_{\Phi}}=2\text{Re}(\lambda )\text{=-}\frac{2\xi \omega }{\sqrt{1-{\xi}^{2}}}\text{=-}\frac{\mathrm{2x}(2\pi f)}{\sqrt{1-{\xi}^{2}}},\\ \frac{{\stackrel{ˉ}{\Phi}}^{T}K\Phi }{{\stackrel{ˉ}{\Phi}}^{T}M\Phi }=\frac{{k}_{\Phi}}{{m}_{\Phi}}={\mid \lambda \mid }^{2}=\frac{{\omega}^{2}}{1-{\xi}^{2}}=\frac{{(2\pi f)}^{2}}{1-{\xi}^{2}}.\end{array}\)

Bibliographie#

  1. J.R. LEVESQUE, L. VIVAN, Fe WAECKEL: Réponse sismique par méthode spectrale [R4.05.03].

    1. SELIGMANN, B. QUINNEZ: Algorithmes de résolution pour le problème généralisé [R5.01.01].

    1. SELIGMANN, R. MICHEL: Algorithmes de résolution pour le problème quadratique [R5.01.02].

  4. Opérateur NORM_MODE [U4.52.11].

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04/01/00

B. QUINNEZ J.R. LEVESQUE (EDF/IMA/MMN)

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