v4.22.100 TTNL100 - Source thermique non-linéaire, solution homogène en espace#
Résumé:
Ce test vérifie le calcul thermique en présence d’un chargement de source non-linéaire, dépendant de la température.
La solution de référence est analytique. La pièce considérée dans les modélisations est constituée d’un seul élément dont les dimensionsn’importent pas sur la solution.
On vérifie les mailles suivantes :
Modélisation A:
TRIA3, TRIA6, QUAD4, QUAD8 et QUAD9 pour la modélisation PLAN,
TRIA3,QUAD4 pour la modélisation PLAN_DIAG,
Modélisation B: PENTA6 pour la modélisation 3D
La température étant homogène dans l’élément, le calcul peut être considéré comme 0D.
Solution de référence#
Méthode de calcul utilisée pour la solution de référence#
Dans ce problème, les conditions aux limites sont adiabatiques, la température initiale est constante égale à \({T}_{0}\) et le chargement est réduit à la source de chaleur fonction de la température \(r(T)={r}_{0}-{r}_{1}T\) où \({r}_{1}\) est positif pour des questions de stabilité thermique. Ces conditions assurent bien une solution homogène en espace. L’équation de la chaleur se réduit à:
\(\rho {C}_{p}\dot{T}={r}_{0}-{r}_{1}T\) ; \(T(0)={T}_{0}\) [éq1]
Par normalisation, on peut se ramener sans perte de généralité à l’équation suivante:
\(\dot{u}=1-\omega u\) ; \(u(0)=0\) [éq2]
La solution de cette équation différentielle du premier ordre est alors:
\(u(t)=\frac{1}{\omega}(1-{e}^{-\omega t})\)
Plutôt que de remonter de \(u\) solution de [éq2] à \(T\) solution de [éq1], on préfère adopter le jeu de paramètres suivants, sans prêter garde aux unités, qui conduit à \(T=u\) : \({T}_{0}=0\) , \({r}_{0}=\rho C\) et \({r}_{1}=\omega {r}_{0}\) .
Résultats de référence#
Le cas-test est mené avec \(\omega =2\) et on examine la température à \(t=1\) en un nœud quelconque de l’élément. Les données sont les suivantes:
Conductivité thermique |
LAMBDA |
|
Capacité calorifique volumique |
RHO_CP |
|
Température initiale |
\({T}_{0}\) |
|
Source de chaleur |
\({r}_{0}\) \({r}_{1}\) |
2. 4. |
Grandeur testée |
\(T\) (\(t=1\) ) |
Valeur de référence |
\(0.432332\) |
Modélisation A#
Caractéristiques de la modélisation#
On utilise une modélisation PLANpuis PLAN_DIAG.
Caractéristiques du maillage#
Le maillage est constitué d’une seule maille pour chacun des types suivant.
Modélisations |
Mailles |
PLAN |
TRIA3 TRIA6 QUAD4 QUAD8 QUAD9 |
PLAN_DIAG |
TRIA3 QUAD4 |
Grandeurs testées et résultats#
On teste la température à \(t=1\) en un nœud quelconque de l’élément.
La solution est conforme à la valeur analytique à moins de 0.1%.
Modélisation B#
Caractéristiques de la modélisation#
On utilise une modélisation 3D.
Caractéristiques du maillage#
Le maillage est constitué d’une seule maille de type PENTA6.
Grandeurs testées et résultats#
On teste la température à \(t=1\) en un nœud quelconque de l’élément.
La solution est conforme à la valeur analytique à moins de 0.1%.
Synthèse des résultats#
Les résultats sont conformes à la solution analytique.