r7.10.04 Post-traitement selon la méthode Roche#

Résumé:

L’opérateur [POST_ROCHE] est un post-traitement de calculs purement linéaires élastiques, qui utilise la méthode Roche pour évaluer la réponse d’une ligne de tuyauteries sous comportement élasto-plastique.

Données d’entrée#

Les données d’entrée de l’opérateur [POST_ROCHE] sont :

Les données récupérées des résultats des calculs préalables :

  • la géométrie de la ligne de tuyauteries,

  • le champ de caractéristiques des éléments de poutres,

  • les caractéristiques élastiques du matériau,

  • les coefficients de flexibilité des coudes,

Les données spécifiques :

  • le champ de matériau CHAM_MATER : c’est la carte des matériaux affectés aux groupes de mailles du maillage par [AFFE_MATERIAU], dont les paramètres de la courbe de Ramberg-Osgood (\(K\) et \(n\) ) ainsi que d’autres paramètres dans le cas LIMITE_ADM=’OUI’, ces données sont fournies dans [DEFI_MATERIAU] (mot-clé POST_ROCHE ou POST_ROCHE_FO) ; si POST_ROCHE_FO, déclaration d’un champ de températures via le mot-clé AFFE_VARC de l’opérateur [AFFE_MATERIAU],

  • la courbe de traction du matériau, fonction définie sous TRAC_EPSI décrivant la déformation en fonction de la contrainte,

  • les orientations des repères locaux (dans [AFFE_CARA_ELEM], mot clé ORIENTATION) pour les parties coudées, permettant de séparer les moments de flexion dans le plan et hors plan (voir sdll157a),

  • les angles et rayons de courbure des coudes,

  • la pression interne \(P\) imposée aux groupes de mailles,

  • la liste des chargements mécaniques parmi : déplacements imposés non sismiques DINS, déplacements différentiels sismiques DDS, dilatation thermique, poids propre, séisme spectral inertiel,

  • les résultats des calculs pour chaque chargement mécanique : champ par éléments aux nœuds d’efforts généralisés (EFGE_ELNO).

Étapes de calcul#

Afin de déterminer les réversibilités et les facteurs d’effet de ressort, on utilise une loi de comportement plastique selon Ramberg-Osgood, préalablement calée sur la loi de traction monotone. La projection de la contrainte élastique linéaire s’effectue sur la courbe de traction monotone réelle du matériau.

Établissement de la courbe selon Ramberg-Osgood, représentative de la courbe de traction monotone du matériau#

Une courbe de Ramberg-Osgood doit être préalablement calée sur la courbe de traction réelle du matériau. Dans le but de minimiser l’exposant \({1/n}\), il est conseillé de le déterminer dans le domaine des faibles déformations (déformation plastique \({\strainCmp}_{M,p}\) inférieure à 0.2%) (RB 3643.31).

La courbe de Ramberg-Osgood est caractérisée par trois paramètres \(E\), \(K\) et \(n\) . La déformation s’écrit alors en fonction de la contrainte :

\[\strainCmp = \frac{\stressCmp}{E} + \varepsilon_{M,p}(\stressCmp)\]

où \(E\) est le module de Young et \({\strainCmp}_{M,p}\) la déformation plastique de la courbe moyenne de traction monotone, définie par la loi puissance :

\[{\strainCmp}_{M,p} = K{ \left( \frac{\stressCmp}{E} \right)}^{1/n}\]

Les paramètres matériau de cette loi sont donnés en utilisant le mot-clé POST_ROCHE (ou POST_ROCHE_FO) de left lbrace:ref:DEFI_MATERIAU <U4.43.01>right rbrace. \(K\) correspond au mot-clé RAMB_OSGO_FACT et \(n\) à RAMB_OSGO_EXPO. Ils servent dans le calcul des facteurs d’effet de ressort.

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Fig. 477 Exemple de loi Ramberg Osgood#

Récupération et classification des moments#

On classe les moments selon l’abscisse curviligne, pour chaque tronçon. Dans la variante RCC-MRX, la combinaison des moments est effectuée conformément au RCC-MRx CMS2 (RB 3645.82), pour le calcul de la contrainte équivalente abattue formule CODE. Une autre combinaison est proposée pour le calcul du moment abattu et de la contrainte équivalente abattue (variante RCC-MRX formule REFE_ELAS, et variante ASNR).

Classement des moments selon RCC-MRx CSM2#

Les moments dépendants des forces (RB 3623.3) sont dus :

  • au poids ; ils sont notés \({M}_{\text{poids}}\).

  • au séisme, part inertielle quasi-statique, si la deuxième méthode de classement des moments sismiques CMS2 est appliquée; ils sont notés \({M}_{\text{SI}}\) .

  • aux sollicitations mécaniques appliquées (dont la pression).

Les moments dépendants des déplacements (RB 3623.4) sont dus :

  • aux dilatations thermiques ; ils sont notés \({m}_{\text{ther}}\).

  • aux déplacements imposés aux ancrages (déplacements imposés permanents DINS signés et déplacements différentiels sismiques DDS non signés) ; ils sont notés respectivement \({m}_{\text{DINS}}\) et \({m}_{\text{S}}\).

  • au séisme, part inertielle complément de la part quasi-statique, si la 2ème méthode de classement des moments sismiques CMS2 est appliquée. Ils sont notés \({m}_{\text{SI}}\) .

Combinaison des moments pour le calcul de la contrainte équivalente abattue selon RCC-MRx CMS2 (RB 3645.82) (variante RCC-MRX formule CODE)#

La combinaison des moments, pour le calcul de la contrainte équivalente abattue, est la suivante, conformément au RCC-MRx :

Les moments \({M}_{\text{SI}}\) sont combinés avec les autres moments «dépendant des forces» en ajoutant les valeurs absolues et en affectant à chaque composante le signe de la composante du moment dû aux chargements mécaniques permanents. Le résultat est noté \(M\).

\[M = {M}_\text{poids} + \sgn \left( {M}_\text{poids} \right) \vert {M}_{\text{SI}} \vert\]

Les moments \({m}_{\text{S}}\) sont combinés avec les autres moments «dépendant des déplacements» en leur attribuant, pour chaque composante, le signe de la somme de ces derniers. Le résultat est noté \(m\).

\[m = {m}_{\text{ther}} + {m}_{\text{DINS}} + \sgn \left( {M}_{\text{ther}}+{m}_{\text{DINS}} \right) \vert {m}_{S} \vert\]

Les moments signés sont sommés entre eux et les valeurs absolues des moments non signés sont sommées entre elles ; le signe de la somme des moments signés est affecté à la somme des valeurs absolues des moments non signés. Ces deux sommes sont ensuite additionnées.

Calcul des contraintes de référence#

La contrainte de référence est calculée pour chaque section. On distingue la contrainte de référence due aux déplacements imposés et dilatations thermiques et la contrainte de référence sismique inertielle. Pour chacune, une valeur est déterminée pour le calcul du moment abattu (variantes RCC-MRX) et le calcul de la contrainte équivalente abattue (variantes RCC-MRX et ASNR), et une autre valeur est déterminée spécifiquement pour le calcul du moment abattu (forme ASNR).

Pour le calcul du moment abattu (variante RCC-MRX) et le calcul de la contrainte équivalente abattue (variantes RCC-MRX et ASNR), le coefficient de contrainte \({B}_{2}\), intervenant dans la formule des contraintes de référence, est défini selon :

  • \({B}_{2}=1\) coefficient de contrainte (RB 3680) pour les tronçons de partie droite (tuyaux droits, réductions, té et piquages),

  • \({B}_{2}=\max \left( \frac{1.30}{{f}^{2/3}},1.0 \right)\) coefficient de contrainte (RB 3680) pour les coudes et les cintres, avec \(f={h}_{c}\frac{{R}_{c}}{{r}_{m}^{2}}\) où \({r}_{m}=\frac{{D}_{e}-{h}_{c}}{2}\). \({R}_{c}\) est le rayon de courbure, \({D}_{e}\) et \({h}_{c}\) correspondent respectivement au diamètre extérieur et à l’épaisseur du tuyau,

Pour le calcul du moment abattu (forme ASNR), le coefficient de contrainte \({B}_{2}\), intervenant dans la formule des contraintes de référence, est défini selon :

  • \({B}_{2}=1\) partout

Contraintes de référence dues aux déplacements imposés et aux dilatations thermiques#

La contrainte de référence est calculée conformément au §RB 3643.31 (Combinaison selon la 2ème méthode de Classement des Moments dépendant des déplacements CMS2):

\[{\stressCmp}_{\text{ref}}^{2} = {\left(0.79{B}_{2} \frac{{m}_{R}^{\prime}}{Z}\right)}^{2}+{\left(0.87\frac{{m}_{1}}{Z}\right)}^{2}\]

où:

  • \({m}_{R}^{\prime}=\sqrt{{m}_{2}^{2}+{m}_{3}^{2}}\) est la norme du moment de flexion résultant dû aux déplacements imposés et aux dilatations thermiques (RB 3623.4),

  • \({m}_{1}\) est le moment de torsion dû aux déplacements imposés (RB 3623.4),

  • \(Z\) est le moment d’inertie, qui s’écrit pour les poutres circulaires \(Z=\frac{{I}_{y}}{R}\) , pour les réductions on prend le minimum du rapport sur l’élément tuyau \(Z=\min \left( \frac{{I}_{y}}{R} \right)\) .

Contraintes de référence sismiques inertielles#

La contrainte de référence sismique inertielle est calculée conformément au §RB 3643.31 (Combinaison selon la 2ème méthode de Classement des Moments Sismiques CMS2) :

\[{\stressCmp}_{\text{S2},\text{ref}}^{2} = {\left(0.79{B}_{2}\frac{{({M}_{\text{S2}})}_{R}^{\prime}}{Z}\right)}^{2} + {\left(0.87\frac{{M}_{S21}}{Z}\right)}^{2}\]

où:

  • \({({M}_{\text{S2}})}_{R}^{\prime}\) est le moment de flexion sismique inertiel résultant (RB 3645.7 et RB 3645.82),

  • \({M}_{S21}\) est le moment de torsion sismique inertiel (RB 3645.7 et RB 3645.82),

  • l’indice \(\text{S2}\) est relatif à la combinaison CMS2,

  • \({B}_{2}\) est définie comme dans Calcul des contraintes de référence.

Calcul des réversibilités locales et totales#

La réversibilité locale est calculée pour chaque section et la réversibilité totale pour chaque tronçon de ligne. Pour chacune, on distingue les réversibilités dues aux déplacements imposés et dilatations thermiques et les réversibilités sismiques inertielles. Pour chacune, une valeur est déterminée pour le calcul du moment abattu (formes RCC-MRX) et le calcul de la contrainte équivalente abattue (variantes RCC-MRX et ASNR), et une autre valeur est déterminée spécifiquement pour le calcul du moment abattu (forme ASNR).

Réversibilités locales \(t\) et \({t}_{S}\)#

La réversibilité locale est définie par le rapport déformation élastique sur déformation plastique, correspondant à la contrainte de référence.

En chaque section droite, la réversibilité locale liée aux contraintes de référence dues aux déplacements imposés et dilatations thermiques s’écrit:

\[\frac{1}{t} = \frac{{\strainCmp}_{M,p}({\stressCmp}_{\text{ref}})}{\frac{{\stressCmp}_{\text{ref}}}{E}}\]

La réversibilité locale liée aux contraintes de référence sismiques s’écrit:

\[\frac{1}{{t}_{S}} = \frac{{\strainCmp}_{M,p}({\stressCmp}_{\text{S2},\text{ref}})}{\frac{{\stressCmp}_{\text{S2},\text{ref}}}{E}}\]

Réversibilités totales \(T\) et \({T}_{S}\)#

La réversibilité totale est calculée sur chaque tronçon du système de tuyauterie présentant deux points fixes.

La réversibilité totale liée aux contraintes de référence dues aux déplacements imposés et dilatations thermiques s’écrit:

\[\frac{1}{T}\int_{0}^{l}{\stressCmp}_{\text{ref}}^{2}\, A \, ds = \int_{0}^{l}\frac{1}{t}{\stressCmp}_{\text{ref}}^{2}\, A \, ds\]

et la réversibilité totale liée aux contraintes de référence sismiques s’écrit:

\[\frac{1}{{T}_{S}}\int_{0}^{l}{\stressCmp}_{\text{S2},\text{ref}}^{2}\, A \, ds = \int_{0}^{l}\frac{1}{{t}_{S}}{\stressCmp}_{\text{S2},\text{ref}}^{2}\, A \, ds\]

où:

  • \(l\) est la longueur du tronçon de l’abscisse curviligne,

  • \(A\) est l’aire de la section droite le long de l’abscisse curviligne.

Calcul des facteurs d’effet de ressort#

Le facteur d’effet de ressort est calculé pour chaque section, leurs maxima sont calculés sur chaque tronçon. On distingue le facteur d’effet de ressort dû aux déplacements imposés et dilatations thermiques et le facteur d’effet de ressort sismique inertiel. Pour chacun, une valeur est déterminée pour le calcul du moment abattu (variante RCC-MRX) et le calcul de la contrainte équivalente abattue (variantes RCC-MRX et ASNR), et une autre valeur est déterminée spécifiquement pour le calcul du moment abattu (variante ASNR).

Facteur d’effet de ressort monotone#

Le facteur d’effet de ressort monotone \({r}_{M}\) quantifie l’effet de ressort monotone. Il est calculé sur chaque plus petite partie du système de tuyauterie présentant deux points fixes.

Ce facteur caractérise la différence entre les contraintes et déformations \({\stressCmp}_{\text{élas}}\) et \({\strainCmp}_{\text{élas}}\) calculés en admettant un comportement élastique et les valeurs vraies \(\stressCmp\) et \(\strainCmp\), reliées par la courbe de traction monotone:

\[{r}_{M} = -E \left( \frac{\strainCmp-{\strainCmp}_{\text{élas}}}{\stressCmp-{\stressCmp}_{\text{élas}}} \right)\]

Ce facteur \({r}_{M}\) est:

  • nul lorsque l’effet de ressort est nul et que la contrainte est purement secondaire (la déformation est celle calculée élastiquement)

  • infini lorsque la contrainte est purement primaire (la contrainte est celle calculée élastiquement)

Il y a un facteur \({r}_{M}\) en chaque section droite de tuyauterie:

\[{r}_{M} = \max \left( \frac{T}{t}-1;0 \right)\]

Facteur d’effet de ressort sismique#

Le facteur d’effet de ressort sismique \({r}_{s}\) quantifie l’effet de ressort sismique:

\[{r}_{s} = \frac{{T}_{s}}{{t}_{s}}-1\]

Calcul des coefficients d’abattement pour chaque tronçon#

La contrainte élastique est supposée être la somme linéaire de la contrainte de référence \({\stressCmp}_{R}\) et de la contrainte de pression \({\stressCmp}_{P}\)

\[{\stressCmp}_{\text{élas}} = {\stressCmp}_{R}+{\stressCmp}_{P}\]

Pour le cas monotone, on a \({\stressCmp}_{R}={\stressCmp}_{\text{ref}}\) et pour le cas sismique, on a \({\stressCmp}_{R}={\stressCmp}_{\text{S2},\text{ref}}\).

Les coefficients d’abattement \(g\) et \({g}_{S}\) relient la contrainte de référence calculée linéairement à la contrainte «vraie», issue de la projection de la contrainte élastique sur la courbe de traction monotone selon la droite de pente \(-\frac{E}{r}\). Ils sont calculés pour chaque section de chaque tronçon de tuyauterie (option SIGM_LIM ='NON').

Selon les cas monotone ou sismique, on a \(r={r}_{M}\) ou \(r={r}_{S}\) respectivement.

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Fig. 478 Abattement de la contrainte linéaire élastique \({\stressCmp}_{\text{élas}}\) sur la courbe de traction monotone#

Deux formulations du coefficient d’abattement existent, selon les variantes RCC-MRX et ASNR, respectivement :

  • Pour la variante RCC-MRX :

\[{g}_{\text{opti}} = \frac{\stressCmp -{\stressCmp}_{P}}{{\stressCmp}_{\text{ref}}}\]

  • Pour la variante ASNR :

\[{g}_{\text{opti}} = \frac\stressCmp{{\stressCmp}_{\text{ref}}+{\stressCmp}_{P}}\]

Coefficient d’abattement monotone optimisé#

Le coefficient d’abattement monotone optimisé \({g}_{\text{opti}}\) est calculé à partir du maximum du facteur d’effet de ressort monotone selon l’abscisse curviligne \({\underset{s}{\max}} \left( {r}_{M} \right)\), dépendant du tronçon.

La contrainte vraie \(\stressCmp\) et la déformation vraie \(\strainCmp\) sont alors solutions du système d’équations suivant :

\[{\underset{s}{\max}} \left( {r}_{M} \right) = -E \left( \frac{ \strainCmp-\frac{{\stressCmp}_{\text{ref}}}{E} - {\strainCmp}_{trac}({\stressCmp}_{P}) } {\stressCmp -{\stressCmp}_{\text{ref}}-{\stressCmp}_{P}} \right)\]

et

\[\strainCmp={\strainCmp}_{trac}(\stressCmp)\]

où \({\stressCmp}_{P}\) correspond à la contrainte induite par la pression interne du tuyau, d’expression :

\[{\stressCmp}_{P} = 0,87 \, P \frac{{D}_{i}}{2{h}_{c}}\]

avec \(P\) la pression interne, \({D}_{i}\) le diamètre intérieur et \({h}_{c}\) l’épaisseur du tuyau.

L’inégalité \({\stressCmp}_{P}<\stressCmp\) doit être vérifiée pour garantir le calcul correct de \({g}_{\text{opti}}\).

Coefficient d’abattement sismique optimisé#

Le coefficient d’abattement sismique optimisé \({g}_{\text{Sopti}}\) est calculé à partir du maximum du facteur d’effet de ressort sismique selon l’abscisse curviligne \({\underset{s}{\max}} \left( {r}_{M} \right)\), dépendant du tronçon.

La contrainte vraie \(\stressCmp\) et la déformation vraie \(\strainCmp\) sont alors solutions du système d’équations suivant :

\[{\underset{s}{\max}} \left( {r}_{M} \right) = -E \left( \frac{\strainCmp-\frac{{\stressCmp}_{\text{ref}}}{E}-{\strainCmp}_{trac}({\stressCmp}_{P})} {\stressCmp-{\stressCmp}_{\text{ref}}-{\stressCmp}_{P}} \right)\]

et

\[\strainCmp={\strainCmp}_{trac}(\stressCmp)\]

L’inégalité \({\stressCmp}_{P}<\stressCmp\) doit être vérifiée pour garantir le calcul correct de \({g}_{\text{Sopti}}\).

Calcul des coefficients d’abattement pour chaque tronçon pour la variante RCC-MRX#

Les coefficients d’abattement sont calculés pour chaque section de chaque tronçon de tuyauterie (option SIGM_LIM ='OUI').

Dans ce cas de figure, on considère que la contrainte vraie n’est plus une inconnue du système de deux équations, mais une constante dépendant d’une contrainte admissible définie à partir de la donnée de la contrainte minimale de rupture et de la contrainte minimale à 0,2% de déformation du matériau ; le coefficient d’abattement peut alors se calculer directement sans résolution du système, par une formule analytique codifiée dans le RCC-MRx.

Calcul de la contrainte vraie à partir d’une contrainte admissible#

La contrainte admissible \({S}^{\star}\) est définie par :

\[{S}^{\star} = \alpha \left \lbrace 0,426{({R}_{p0,2})}_{\text{min}}({\theta}_{m}) + 0,032{({R}_{m})}_{\text{min}}({\theta}_{m}) \right \rbrace\]

où:

  • \(\alpha\) est un coefficient adimensionnel supérieur ou égal à 1, il correspond au mot-clé COEF du matériau POST_ROCHE

  • \({({R}_{p0,2})}_{\text{min}}({\theta}_{m})\) est la limite conventionnelle d’élasticité minimale à 0,2% de déformation, pour la température moyenne \({\theta}_{m}\) dans l’épaisseur durant le chargement étudié, il correspond à l’opérande RP02_MIN du matériau POST_ROCHE

  • \({({R}_{m})}_{\text{min}}({\theta}_{m})\) est la résistance à la traction minimale, pour la température moyenne \({\theta}_{m}\) dans l’épaisseur durant le chargement étudié, il correspond à l’opérande RM_MIN du matériau POST_ROCHE

La contrainte vraie \(\stressCmp\) est alors définie par :

\[\stressCmp = 2{S}^{\star} \frac{{({R}_{p0,2})}_{\text{moy}}({\theta}_{m})} {{({R}_{p0,2})}_{min}({\theta}_{m})}\]

avec:

  • \({({R}_{p0,2})}_{\text{moy}}({\theta}_{m})\) la limite conventionnelle d’élasticité moyenne à 0,2% de déformation, pour la température moyenne \({\theta}_{m}\) dans l’épaisseur durant le chargement étudié

Calcul des coefficients d’abattement monotones et sismiques#

D’après la codification RCC-MRx (RB 3651.1132 et RB 3651.1142) les coefficients d’abattement monotones \({g}_{\text{RX}}\) et sismiques \({g}_{\text{SRX}}\) sont alors les suivants :

\[{g}_{\text{RX}} = \frac{(\stressCmp-{\stressCmp}_{P}) \left( 1+{\underset{s}{\max}} \left( {r}_{M} \right) \right )} { E \left \lbrace {\strainCmp}_{M,p}(\stressCmp)-{\strainCmp}_{M,p}({\stressCmp}_{P}) \right \rbrace + \left ( \stressCmp -{\stressCmp}_{P} \right) \left( 1+{\underset{s}{\max}} \left( {r}_{M} \right) \right) }\]

et

\[{g}_{\text{SRX}} = \frac{(\stressCmp -{\stressCmp}_{P}) \left( 1+{\underset{s}{\max}} \left( {r}_{S} \right) \right )} { E\left \lbrace {\strainCmp}_{M,p}(\stressCmp)-{\strainCmp}_{M,p}({\stressCmp}_{P}) \right \rbrace + \left ( \stressCmp -{\stressCmp}_{P} \right) \left( 1+{\underset{s}{\max}} \left( {r}_{S} \right) \right) }\]

A noter que ces coefficients monotone et sismique sont calculés à partir des facteurs d’effet de ressort monotone et sismique maximaux sur les abscisses curvilignes, respectivement.

Dans la suite, le traitement est le même quelle que soit la valeur de SIGM_LIM. \({g}_{\text{RX}}\) correspondra donc à \({g}_{\text{opti}}\) et \({g}_{\text{SRX}}\) à \({g}_{\text{Sopti}}\) .

Calcul des moments abattus (composantes et norme)#

Le calcul des moments abattus n’est pas explicitement prévu dans le RCC-MRX ; il est néanmoins disponible dans la variante RCC-MRX. Il est disponible dans la variante ASNR. Les moments abattus se déclinent en deux catégories : permanents et sismiques (ou non-permanents). Ils sont différentiés car les premiers sont signés (relatifs) alors que les seconds sont non-signés (absolus). Ils sont aussi additionnnés en valeur absolue, composantes par composantes, pour former les moments abattus complets (utilisés pour le calcul des contraintes équivalentes abattues).

Moments permanents abattus#

\[\begin{split}{M}_{\text{abat_perm}, k} = &{M}_{\text{poids}, k} +{g}_{\text{opti}}{m}_{{\text{ther},k}} +{g}_{\text{opti}}{m}_{{\text{DINS},k}} \\\end{split}\]

Avec \(k\) qui vaut 1 torsion pour la torsion, 2 pour la flexion dans le plan du coude et 3 pour la flexion hors du plan du coude.

La résultante s’écrit

\[{M}_{\text{abat_perm}} = \sqrt{ {M}_{\text{abat_perm},1}^{2} + {M}_{\text{abat_perm},2}^{2} + {M}_{\text{abat_perm},3}^{2} }\]

Ces 4 valeurs sont fournies à l’utilisateur dans le champs de sortie principal.

Moments sismiques abattus#

\[{M}_{\text{abat_sism}, k} = \left \lvert M_{SI,k} \right \rvert + {g}_{\text{opti}} \left \lvert m_{S,k} \right \rvert + {g}_{\text{Sopti}}\left \lvert m_{SI,k} \right \rvert\]

La résultante s’écrit de même :

\[{M}_{\text{abat_sism}} = \sqrt{ {M}_{\text{abat_sism},1}^{2} + {M}_{\text{abat_sism},2}^{2} + {M}_{\text{abat_sism},3}^{2} }\]

Ces 4 valeurs sont également fournies à l’utilisateur dans le champs de sortie principal.

Moments abattus#

\[{M}_{\text{abat}, k} = \left \lvert {M}_{\text{abat_perm}, k}\right \rvert + \left \lvert{M}_{\text{abat_sism}, k}\right \rvert\]

Ces trois valeurs sont utilisées dans le calcul des contraintes équivalents abattues dans le cas VARIANTE = 'ASNR' ainsi que dans le cas SIGM_ABAT = 'REFE_ELAS' de VARIANTE = 'RCC_MRX'.

Calcul des contraintes abattues équivalentes#

Formule codifiée#

La formule codifiée correspond à SIGM_ABAT = 'CODE' et n’est valable que pour la variante RCC-MRX.

Cas général#

La contrainte abattue équivalente optimisée est obtenue par combinaison des moments obtenus au §:ref:r7.10.04-sections-classementMomentsRCCMRX pondérée par les coefficients d’abattement.

On utilise alors les coefficients \({g}_{\text{opti}}\) et \({g}_{\text{Sopti}}\) pour obtenir la contrainte équivalente optimisée (cette valeur n’est pas calculée dans le cas RCCM_RX=’OUI’)

\[\stressCmp_{\text{equi,opti}} = \sqrt{ \left( D_1 \frac{P \, D_i}{2 h_c} \right)^2 + \left( \left \langle \frac{D_2}{Z} ,\, \vert M \vert + g_{\text{opti}} \vert m \vert + g_{\text{Sopti}} \vert m_{\text{SI}} \vert \right \rangle \right)^2 }\]

où:

  • \(\left \lvert M \right \rvert = \left(\begin{array}{c}\left \lvert {M}_{1} \right \rvert\\ \left \lvert {M}_{2} \right \rvert\\ \left \lvert {M}_{3} \right \rvert\end{array}\right)\) est la somme \({M}_{\text{forc}}\) signée des moments dépendant des forces, comprenant la contribution des chargements primaires (poids…), plus la valeur absolue de la partie quasi-statique du séisme inertiel (pseudo-mode), assortie du signe de \({M}_{\text{forc}}\),

  • \(\left \lvert m \right \rvert = \left(\begin{array}{c}\left \lvert {m}_{1} \right \rvert\\ \left \lvert {m}_{2} \right \rvert\\ \left \lvert {m}_{3} \right \rvert\end{array}\right)\) est la somme \({M}_{\text{depl}}\) signée des moments dépendant des déplacements (dilatation thermique, déplacements imposés non sismiques), plus la valeur absolue des moments non signés dus aux déplacements différentiels sismiques, assortie du signe de \({M}_{\text{depl}}\)

  • \(\left \lvert {m}_{\text{SI}} \right \rvert = \left(\begin{array}{c}\left \lvert {{m}_{\text{SI}}}_{1} \right \rvert\\ \left \lvert {{m}_{\text{SI}}}_{2} \right \rvert\\ \left \lvert {{m}_{\text{SI}}}_{3} \right \rvert\end{array}\right)\) est le moment correspondant à la partie dynamique du séisme inertiel, classés comme dépendant des déplacements, pris en valeur absolue,

  • \(P\) est la pression imposée à l’intérieur du tuyau,

  • \({D}_{i}\) et \({h}_{c}\) correspondent respectivement au diamètre intérieur et à l’épaisseur du tuyau,

  • \(Z\) est le moment d’inertie (qui s’écrit pour les poutres circulaires \(Z=\frac{{I}_{y}}{R}\) ),

  • \({D}_{1}\) est le coefficient de contrainte associé à la pression interne,

  • \({D}_{2}=\left(\begin{array}{c}{D}_{21}\\ {D}_{22}\\ {D}_{23}\end{array}\right)\) sont les coefficients de contraintes associés aux moments en torsion (\({D}_{21}\)) et en flexion (\({D}_{22}\) et \({D}_{23}\)),

  • \(\left \langle \cdot , \cdot \right \rangle\) est le produit scalaire.

Cas des tuyaux droits#

Dans le cas des tuyaux droits, on pose:

  • \({D}_{1}=0\) ,

  • \({D}_{21}=0,712\) ,

  • \({D}_{22}={D}_{23}=0,429 \left( \frac{{D}_{e}}{{h}_{c}} \right)^{0,16}\) ,

où \({D}_{e}\) est le diamètre extérieur du tuyau.

Cas des réductions#

Dans le cas des réductions, on pose:

  • \(Z=\min \left( \frac{{I}_{y}}{R} \right)\)

  • \({D}_{1}=0\) ,

  • \({D}_{21}=0,712\) ,

  • \({D}_{22}={D}_{23}=0,429 \left( \max \left( \frac{{D}_{e}}{{h}_{c}} \right) \right)^{0,16}\) ,

où \(\min \left( \frac{{I}_{y}}{R} \right)\) est le minimum du rapport et \(\max \left( \frac{{D}_{e}}{{h}_{c}} \right)\) est le maximum du rapport sur l’élément de tuyau.

Cas des tuyaux cintrés et des coudes#

Dans le cas des coudes, on pose:

  • \({D}_{1}=0,87\) ,

  • \({D}_{21}=0,712\) ,

  • \({D}_{22}=\max \left( 1,07 \left(\frac{\pi}{{\psi}_{c}}\right)^{-0.4} \, {f}^{-2/3} \left( 1+0,142 \frac{P \, D_{i}} {2 \, {h}_{c} \, {S}_{y} \, {f}^{1,45}} \right)^{-1} , 1,02 \right )\) ,

  • \({D}_{23}=\max \left( 0,809 \, {f}^{-0,44} {\left( 1 + 0,142\frac{ P \, {D}_{i}}{2 \, {h}_{c} \, {S}_{y} \, {f}^{1,45}} \right)^{-1}, 1,02 \right)\) ,

  • \(f={h}_{c}\frac{{R}_{c}}{{r}_{m}^{2}}\) où \({r}_{m}=\frac{{D}_{e}-{h}_{c}}{2}\) ,

  • \({D}_{i}\), \({D}_{e}\) et \({h}_{c}\) correspondent respectivement aux diamètres intérieur, extérieur et à l’épaisseur du tuyau.

  • \({S}_{y}\) est la limite conventionnelle d’élasticité minimale à 0,2% de déformation (donnée par l’utilisateur),

  • \({R}_{c}\) est le rayon de courbure (donné par l’utilisateur),

  • \({\psi}_{c}\) est l’angle d’ouverture du coude (donné par l’utilisateur).

Formule modifiée#

Une autre formulation de la contrainte abattue équivalente optimisée est disponible, basée sur la formule de la contrainte élastique de référence. Elle est sélectionnée par SIGM_ABAT = 'REFE_ELAS'. Elle est proposée au choix dans la variante RCC-MRX ; elle est intégrée, sans choix possible, à la variante ASNR.

\[\stressCmp_{\text{equi,opti}} = \left( D_1 \frac{P \, D_i}{2 \, h_c} \right) + \sqrt{ \left( 0,79 \, {B}_{2} \frac{{M}_{\text{abat},R}^{\prime}}{Z} \right)^2 + \left( 0,87 \, \frac{{M}_{\text{abat},1}}{Z} \right)^{2} }\]

où \({M}_{\text{abat},R}^{\prime}\) est la norme du moment de flexion abattu optimisé :

\[{M}_{\text{abat},R}^{\prime} = \sqrt{ {M}_{\text{abat},2}^{2} + {M}_{\text{abat},3}^{2} }\]

A noter que le cumul de la contrainte de pression avec la contrainte relative aux autres chargements est algébrique, et non quadratique comme dans la formule RCC-MRX, pour des raisons de conservatisme.