v2.01.321 SDLD321 - Réponse dynamique transitoire d’un oscillateur harmonique avec amortissement variable#
Résumé :
Le système considéré est un oscillateur harmonique à 1 degré de liberté sous excitation harmonique à la résonance. Différents amortissements seront considérés :
amortissement critique,
amortissement moyen,
amortissement très faible.
Par l’intermédiaire de ce problème, on teste les différents algorithmes de la commande DYNA_TRAN_MODAL [U4.54.03] et leurs capacités à traiter des problèmes à amortissement extrême. Les résultats sont comparés aux solutions analytiques exactes.
Solution de référence#
Méthode de calcul utilisée pour la solution de référence#
L’oscillateur simple vérifie l’équation suivante :
\(m\ddot{u}+c\dot{u}+ku={F}_{0}\sin(\omega t)\)
avec \(u(0)=0\) et \(\dot{u}(0)=0\)
\(\omega\) : pulsation propre de l’oscillateur \(\omega =\sqrt{\frac{k}{m}}\)
L’amortissement critique est \({c}_{\mathit{critique}}=\mathrm{2m}\omega\) .
La solution pour \(c={c}_{\mathrm{critique}}\) est :
\(u(t)=\frac{{F}_{0}}{\mathrm{2k}}\left[{e}^{-\omega t}(1+\omega t)-\cos(\omega t)\right]\)
La solution pour un amortissement sous-critique tel que \(\frac{c}{{c}_{\mathit{critique}}}=\xi\) est :
\(u(t)={e}^{-\xi \omega t}(\frac{{F}_{0}}{2\xi k}\cos({\omega}_{D}t)+\frac{{F}_{0}\omega }{2k{\omega}_{D}}\sin({\omega}_{D}t))-\frac{{F}_{0}}{2\xi k}\cos(\omega t)\)
avec \({\omega}_{D}=\omega \sqrt{1-{\xi}^{2}}\)
Résultats de référence#
Déplacement et vitesse du point \(B\) .
Incertitude sur la solution#
Solution analytique exacte.
Modélisation A#
Caractéristiques de la modélisation#
Éléments discrets de rigidité, amortissement et masse.
Caractéristiques des éléments :
DISCRET: |
masse nodale |
M_T_D_N |
rigidité linéaire |
K_T_D_L |
|
amortissement linéaire |
A_T_D_L(\(c={c}_{\mathrm{critique}}\) ) |
Conditions aux limites : au nœud \(\mathit{N1}\) DDL_IMPO DX = DY = DZ = 0.
Noms des nœuds : \({P}_{1}=\mathrm{N1}\) , \({P}_{2}=\mathrm{N2}\) .
Méthodes de calcul :
Intégration sur la base modale avec Newmark (\(\alpha =0,25\) , \(\delta =0,5\) )
Pas de temps \(\Delta t={10}^{-3}s\)
Intégration sur la base modale avec Euler
Pas de temps \(\Delta t={10}^{-3}s\)
Durée d’observation : \(0,5s\) .
Caractéristiques du maillage#
Nombre de nœuds : 2
Nombre de mailles et type : 1 maille SEG2
Grandeurs testées et résultats#
Déplacement du point B
Déplacement |
Déplacement |
Déplacement |
|||
Temps |
Référence |
NEWMARK |
Tolérance |
EULER |
Tolérance |
(\(s\) ) |
(\(m\) ) |
Aster (\(m\) ) |
(%) |
Aster (\(m\) ) |
(%) |
0,06 |
1,18914 E–4 |
1,18886 E–4 |
0.5 % |
1,18886 E–4 |
0.5 % |
0,12 |
–9,42819 E–5 |
–9,42574 E–5 |
0.5 % |
–9,47822 E–5 |
0.6 % |
0,19 |
9,97958 E–5 |
9,97765 E–5 |
0.5 % |
9,96206 E–5 |
0.5 % |
0,25 |
–9,97748 E–5 |
–9,97526 E–5 |
0.5 % |
–9,99152 E–5 |
0.5 % |
0,31 |
9,78457 E–5 |
9,78210 E–5 |
0.5 % |
9,83436 E–5 |
0.6 % |
0,38 |
–9,88705 E–5 |
–9,88530 E–5 |
0.5 % |
–9,84730 E–5 |
0.5 % |
0,44 |
9,99961 E–5 |
9,99754 E–5 |
0.5 % |
9,99525 E–5 |
0.5 % |
Vitesse du point B
Vitesse |
Vitesse |
Vitesse |
|||
Temps |
Référence |
NEWMARK |
Tolérance |
EULER |
Tolérance |
(\(s\) ) |
(\({\mathrm{m.s}}^{-1}\) ) |
Aster (\({\mathrm{m.s}}^{-1}\) ) |
(%) |
Aster (\({\mathrm{m.s}}^{-1}\) ) |
(%) |
0,03 |
3,31400 E–3 |
3,31363 E–3 |
0.5 % |
3,32568 E–3 |
0.5 % |
0,09 |
–5,13760 E–3 |
–5,13729 E–3 |
0.5 % |
–5,13627 E–3 |
0.65% |
0,16 |
4,93337 E–3 |
4,93354 E–3 |
0.5 % |
4,93088 E–3 |
0.5 % |
0,22 |
–5,00087 E–3 |
–5,00087 E–3 |
0.5 % |
–5,00133 E–3 |
0.5 % |
0,28 |
4,95298 E–3 |
4,95284 E–3 |
0.5 % |
4,95297 E–3 |
0.5% |
0,35 |
–4,87813 E–3 |
–4,87836 E–3 |
0.5 % |
–4,87801 E–3 |
0.5 % |
0,41 |
4,98415 E–3 |
4,98423 E–3 |
0.5 % |
4,98409 E–3 |
0.5 % |
0,47 |
–4,99041 E–3 |
–4,99035 E–3 |
0.5 % |
–4,99043 E–3 |
0.5 % |
Remarques#
Les résultats sont testés au niveau des pics pour le grain d’observation retenu (10-2s) où les valeurs sont les plus significatives.
Le régime devient quasi-permanent après la première période, c’est ce que l’on doit observer en menant une analyse transitoire.
Modélisation B#
Caractéristiques de la modélisation#
Éléments discrets de rigidité, amortissement et masse.
Caractéristiques des éléments :
DISCRET: |
masse nodale |
M_T_D_N |
rigidité linéaire |
K_T_D_L |
|
amortissement linéaire |
A_T_D_L(\(c=0,01{c}_{\mathit{critique}}\) ) |
Conditions aux limites : au nœud \(\mathrm{N1}\) DDL_IMPO DX = DY = DZ = 0.
Noms des nœuds : \({P}_{1}=\mathrm{N1}\) , \({P}_{2}=\mathrm{N2}\) .
Méthodes de calcul :
Intégration sur la base modale avec Fu-Devogelaere
Pas de temps \(\Delta t={10}^{-3}s\)
Intégration sur la base modale avec \(\Delta t\) adaptatif d’ordre 2
Pas de temps initial \(\Delta t={10}^{-5}s\)
Pas maximale \(\Delta t={10}^{-3}s\)
Durée d’observation : \(5s\) .
Caractéristiques du maillage#
Nombre de nœuds : 2
Nombre de mailles et type : 1 maille SEG2
Grandeurs testées et résultats#
Déplacement du point \(B\)
Déplacement |
Déplacement |
Déplacement |
|||
Temps |
Référence |
DEVOG |
Tolérance |
ADAPT_ORDRE2 |
Tolérance |
(\(s\) ) |
(\(m\) ) |
Aster (\(m\) ) |
(%) |
Aster (\(m\) ) |
(%) |
0,06 |
3,06503 E–4 |
3,06503 E–4 |
0.5 % |
3,06521 E–4 |
0.5 % |
0,13 |
–5,93807 E–4 |
–5,93807 E–4 |
0.5 % |
–5,93729 E–4 |
0.5 % |
0,25 |
–1,17872 E–3 |
–1,17872 E–3 |
0.5 % |
–1,17890 E–3 |
0.5 % |
0,69 |
2,91788 E–3 |
2,91788 E–3 |
0.5 % |
2,91744 E–3 |
0.5 % |
1,01 |
–3,83901 E–3 |
–3,83901 E–3 |
0.5 % |
–3,83567 E–3 |
0.5 % |
2,32 |
6,68206 E–3 |
6,68206 E–3 |
0.5 % |
6,68656 E–3 |
0.5 % |
3,64 |
–8,19821 E–3 |
–8,19821 E–3 |
0.5 % |
–8,204 E–3 |
0.5 % |
4,96 |
9,00847 E–3 |
9,00847 E–3 |
0.5 % |
9,0143 E–3 |
0.5 % |
Déplacement |
Déplacement |
Déplacement |
|||
Temps |
Référence |
RUNGE_KUTTA_54 |
Tolérance |
RUNGE_KUTTA_32 |
Tolérance |
(\(s\) ) |
(\(m\) ) |
Aster (\(m\) ) |
(%) |
Aster (\(m\) ) |
(%) |
0,06 |
3,06503 E–4 |
3.06420E-04 |
0.5 % |
3.06443E-04 |
0.5 % |
0,13 |
–5,93807 E–4 |
-5.93619E-04 |
0.5 % |
-5.93713E-04 |
0.5 % |
0,25 |
–1,17872 E–3 |
-1.178373E–3 |
0.5 % |
-1.17845E–3 |
0.5 % |
0,69 |
2,91788 E–3 |
2.91701E–3 |
0.5 % |
2.91706E–3 |
0.5 % |
1,01 |
–3,83901 E–3 |
-3.83786E–3 |
0.5 % |
-3.83772E–3 |
0.5 % |
2,32 |
6,68206 E–3 |
6.68009E–3 |
0.5 % |
6.67939E–3 |
0.5 % |
3,64 |
–8,19821 E–3 |
-8.19578E–3 |
0.5 % |
-8.19318E–3 |
0.5 % |
4,96 |
9,00847 E–3 |
9.00579E–3 |
0.5 % |
9.00479E–3 |
0.5 % |
Vitesse du point B
Vitesse |
Vitesse |
Vitesse |
|||
Temps |
Référence |
DEVOG |
Tolérance |
ADAPT_ORDRE2 |
Tolérance |
(\(s\) ) |
(\({\mathit{m.s}}^{-1}\) ) |
Aster (\({\mathit{m.s}}^{-1}\) ) |
(%) |
Aster (\({\mathit{m.s}}^{-1}\) ) |
(%) |
0,04 |
8,95997 E–3 |
8,95997 E–3 |
0.5 % |
8,9722 E–3 |
0.5 % |
0,10 |
–2,33271 E–2 |
–2,33271 E–2 |
0.5 % |
–2,33499 E–2 |
0.5 % |
0,22 |
–5,20590 E–2 |
–5,20590 E–2 |
0.5 % |
–5,2113 E–2 |
0.5 % |
0,66 |
1,40500 E–1 |
1,40500 E–1 |
0.5 % |
1,40591 E–1 |
0.5 % |
1,04 |
1,99889 E–1 |
1,99889 E–1 |
0.5 % |
1,99933 E–1 |
0.5 % |
2,36 |
–3,39933 E–1 |
–3,39933 E–1 |
0.5 % |
–3,39725 E–1 |
0.5 % |
3,68 |
4,10585 E–1 |
4,10585 E–1 |
0.5 % |
4,10008 E–1 |
0.5 % |
5,00 |
–4,4531 E–1 |
–4,45308 E–1 |
0.5 % |
–4,44429 E–1 |
0.5 % |
Vitesse |
Vitesse |
Vitesse |
|||
Temps |
Référence |
RUNGE_KUTTA_54 |
Tolérance |
RUNGE_KUTTA_32 |
Tolérance |
(\(s\) ) |
(\({\mathrm{m.s}}^{-1}\) ) |
Aster (\({\mathrm{m.s}}^{-1}\) ) |
(%) |
Aster (\({\mathrm{m.s}}^{-1}\) ) |
(%) |
0,04 |
8,95997 E–3 |
8.89561E–3 |
0.5 % |
8,95719E–3 |
0.5 % |
0,10 |
–2,33271 E–2 |
-2,33194E–2 |
0.5 % |
-2,33211E–2 |
0.5 % |
0,22 |
–5,20590 E–2 |
-5,20435E–2 |
0.5 % |
-5,20573E–2 |
0.5 % |
0,66 |
1,40500 E–1 |
1,40458E–1 |
0.5 % |
1,40475E–1 |
0.5 % |
1,04 |
1,99889 E–1 |
1,99829E–1 |
0.5 % |
1,99809E–1 |
0.5 % |
2,36 |
–3,39933 E–1 |
-3,39832E–1 |
0.5 % |
-3,39767E–1 |
0.5 % |
3,68 |
4,10585 E–1 |
4,10463E–1 |
0.5 % |
4,10403E–1 |
0.5 % |
5,00 |
–4,4531 E–1 |
-4,45308E–1 |
0.5 % |
-4,45145E–1 |
0.5 % |
Remarques#
Les résultats sont testés au niveau des pics où les valeurs sont les plus significatives.
La durée d’observation choisie permet de voir l’effet de l’amortissement. Cependant, dans cet intervalle, la réponse du point \(B\) reste toujours transitoire mais on est proche du régime permanent dont l’amplitude en déplacement est \({10}^{-2}m\) .
Modélisation C#
Caractéristiques de la modélisation#
Éléments discrets de rigidité, amortissement et masse.
Caractéristiques des éléments :
DISCRET: |
masse nodale |
M_T_D_N |
rigidité linéaire |
K_T_D_L |
|
amortissement linéaire |
A_T_D_L(\(c={10}^{-5}{c}_{\mathrm{critique}}\) ) |
Conditions aux limites : au nœud \(\mathrm{N1}\) DDL_IMPO DX = DY = DZ = 0.
Noms des nœuds : \({P}_{1}=\mathrm{N1}\) , \({P}_{2}=\mathrm{N2}\) .
Méthodes de calcul :
Intégration sur la base modale avec Newmark (\(\alpha =0,25\) , \(\delta =0,5\) )
Pas de temps \(\Delta t={10}^{-\mathrm{3s}}\)
Intégration sur la base modale avec Euler
Pas de temps \(\Delta t={10}^{-\mathrm{3s}}\)
Durée d’observation : \(5s\) .
Caractéristiques du maillage#
Nombre de nœuds : 2
Nombre de mailles et type : 1 maille SEG2
Grandeurs testées et résultats#
Déplacement du point B
Déplacement |
Déplacement |
Déplacement |
|||
Temps |
Référence |
NEWMARK |
Tolérance |
EULER |
Tolérance |
(\(s\) ) |
(\(m\) ) |
Aster (\(m\) ) |
(%) |
Aster (\(m\) ) |
(%) |
0,06 |
3,11105 E–4 |
3,10936 E–4 |
0.5 % |
3,11181 E–4 |
0.5 % |
0,13 |
–6,13250 E–4 |
–6,13016 E–4 |
0.5 % |
–6,13380 E–4 |
0.5 % |
0,25 |
–1,25380 E–3 |
–1,25304 E–3 |
0.5 % |
–1,25418 E–3 |
0.5 % |
0,69 |
3,44945 E–3 |
3,44691 E–3 |
0.5 % |
3,45069 E–3 |
0.5 % |
1,01 |
–4,88729 E–3 |
–4,89081 E–3 |
0.5 % |
–4,88547 E–3 |
0.5 % |
2,32 |
1,12876 E–2 |
1,12475 E–2 |
0.5 % |
1,13069 E–2 |
0.5 % |
3,64 |
–1,77960 E–2 |
–1,77100 E–2 |
0.5 % |
–1,78360 E–2 |
0.5 % |
4,96 |
2,43613 E–2 |
2,42198 E–2 |
0.5 % |
2,44242 E–2 |
0.5 % |
Vitesse du point B
Vitesse |
Vitesse |
Vitesse |
|||
Temps |
Référence |
NEWMARK |
Tolérance |
EULER |
Tolérance |
(\(s\) ) |
(\({\mathrm{m.s}}^{-1}\) ) |
Aster (\({\mathrm{m.s}}^{-1}\) ) |
(%) |
Aster (\({\mathrm{m.s}}^{-1}\) ) |
(%) |
0,04 |
9,09284 E–3 |
9,08897 E–3 |
0.5 % |
9,08230 E–3 |
0.5 % |
0,10 |
–2,39724 E–2 |
–2,39637 E–2 |
0.5 % |
–2,40269 E–2 |
0.5 % |
0,22 |
–5,49964 E–2 |
–5,49680 E–2 |
0.5 % |
–5,48752 E–2 |
0.5 % |
0,66 |
1,64958 E–1 |
1,64879 E–1 |
0.5 % |
1,64882 E–1 |
0.5 % |
1,04 |
2,56456 E–1 |
2,56547 E–1 |
0.5 % |
2,57280 E–1 |
0.5 % |
2,36 |
–5,79010 E–1 |
–5,80019 E–1 |
0.5 % |
–5,81033 E–1 |
0.5 % |
3,68 |
8,97631 E–1 |
9,00729 E–1 |
0.5 % |
9,00668 E–1 |
0.5 % |
5,00 |
–1,21164 |
–1,21829 |
0.5 % |
–1,21531 |
0.5 % |
Remarques#
Les résultats sont testés au niveau des pics où les valeurs sont les plus significatives.
Dans l’intervalle d’observation, on reste très en dessous du régime permanent en résonance dont l’amplitude de déplacement est \(10m\) .
Synthèse des résultats#
Pour la modélisation A, les résultats obtenus aussi bien en déplacement qu’en vitesse ont une erreur absolue largement inférieure à \(\text{1 \%}\) par rapport à la solution analytique.
Le schéma d’intégration de Newmark se montre plus précis que le schéma d’Euler.
A \(\text{1 \%}\) de l’amortissement critique (modélisation B), le schéma d’intégration Fu-Devogelaere est d’une redoutable précision (pas d’erreur par rapport à la solution de référence).
Le schéma à pas de temps adaptatif d’ordre 2 donne également des résultats à très faible pourcentage d’erreur.
Pour les très faibles amortissements (modélisation C), on notera une meilleure précision pour le schéma d’intégration de type Euler que pour un schéma de type Newmark. Pour ce dernier, l’erreur augmente en fonction du temps mais reste tout de même inférieure à \(\text{1 \%}\) .