u4.81.24 Opérateur CALC_COUPURE#

Résumé:

On présente ici la commande qui permet de réaliser de calculer le torseur d’efforts résultants de l’action d’un groupe de mailles sur un groupe de nœuds en un point donné.

La commande peut également gérer la combinaison des torseurs modaux dans le cadre d’une analyse modale spectrale (avec ou sans signature, combinaison CQC des modes et combinaison quadratique ou de Newmark pour les directions).

Syntaxe#

Principesde fonctionnementde la commande#

La commande prend en entrée un groupe de mailles et un groupe de nœuds et calcule et intègre la réaction des nœuds issue des efforts provenant des mailles.

On réalise les opérations suivantes:

Calcul du champ des efforts nodaux sur un sous-domainevia la commande CALC_CHAMP et l’option FORC_NODA ou REAC_NODA . Comme indiqué dans [U4.81.04], on obtient ainsi la réaction d’un sous-ensemble sur le reste du modèle.
On extrait les réactions nodales issues du calcul précédent et l’on intègre ces réactions nodales pour les réduire à un torseur en un point donné via la commande POST_RELEVE_T et l’option EXTRACTION . Les efforts sont obtenus dans le repère global.
On effectue un changement de repère afin de placer le torseur d’effort dans le repère local renseigné par l’utilisateur via les mots-clés AXE_X , AXE_Y et AXE_Z . Par défaut, le repère global est utilisé.
Si l’utilisateur souhaite réaliser un calcul modal-spectral, les contributions des torseurs modaux sont alors calculés et combinés via la méthode CQC puis les contributions dans les 3 directions sont également combinées. La méthode repose largement sur les opérations décrites dans [U4.84.01] et [R4.05.03]

L’utilisateur doit porter une attention particulière aux groupes de mailles et de nœuds utilisés. En effet:

Pour avoir une réaction non nulle, les nœuds doivent être sur la frontière du domaine défini par les mailles renseignées,
Si un nœud est «au milieu» du domaine, les efforts internes s’annulent et la réaction calculée sera nulle.
Si un nœud est sur un bord libre du modèle (pas de conditions aux limites et pas d’effort externes appliqués sur ce nœud), la réaction calculée en ce nœud sera nulle.
Le torseur calculé avec un groupe de mailles renseigné comprenant des mailles qui ne sont pas au contact des nœuds donnés sera le même que le torseur calculé avec le groupe de mailles se limitant strictement aux mailles du groupe en contact avec les nœuds donné car les efforts internes dans le groupe se compensent. En terme de performance, il est cependant préférable de limiter la taille du groupe de mailles.

Format du tableau de sortie#

La commande renvoie un tableau. Les colonnes du tableau sont:

NOM : Le nom renseigné par l’utilisateur permettant d’identifier chaque coupure.
NUME_ORDRE , NOM_CAS , INST , NUME_MODE : Selon le type de résultat en entrée, permet d’identifier l’instant, le mode ou le numéro d’ordre concerné par la coupure. L’opérateur traite tous les numéros d’ordre présent dans le concept en entrée.
R1 , R2 , R3 , M1 , M2 , M3 : Les composantes du torseur calculé dans le repère local. «1» correspondant à l’axe X local, «2» à l’axe Y local et «3» à l’axe Z local.

Traitement des résultats modaux#

Dans ce cas, la commande prend en entrée les modes dynamiques de la structure (conceptmode_meca). Les opérations réalisées sont les suivantes :

Calcul des torseurs modaux.

Calcul des réponses mode par mode à partir des modes et des spectres.
Combinaison des réponses modales par la méthode CQC (signée ou non) : cela fournit la réponse maximale probable pour chaque direction de séisme \(X\) , \(Y\) , \(Z\) (dans le système global).

Si demandé, combinaisondes réponses direction par direction (Newmark ou combinaison quadratique)

L’opération 1 ) est réalisée comme décrit dans la section 4 , et ça mode par mode.

Les opérations 2 - 4 sont détaillées dans la suite.

On considère des spectres en mono-appui : les appuis voient tous le même déplacement imposé.

Calcul de la réponse d’oscillateur#

Rappels de calcul transitoire sur base modale#

La structure étudiée est représentée par son spectre de modes propres réels à basse fréquence \(\mathrm{\phi }\) en base encastrée, solution de \(\left(K-M{\omega}^{2}\right)\mathrm{\phi }=0\) .

Dans l’équation dynamique du système on peut introduire une nouvelle transformation \(x=\mathrm{\phi }q\) , le système s’écrit alors, en utilisant la matrice de facteurs de participation modaux \(P\) :

(184)#\[\ddot{q}+\frac{{\mathrm{\phi }}^{T}C\mathrm{\phi }}{{\mathrm{\phi }}^{T}M\mathrm{\phi }}\dot{q}+{\omega}^{2}q=-\frac{{\mathrm{\phi }}^{T}MO}{{\mathrm{\phi }}^{T}M\mathrm{\phi }}\ddot{s}=-P\ddot{s}\]

où \(\mathrm{O}\) sont les modes de corps rigide.

On suppose aussi que pour des études industrielles relevant de l’analyse sismique par méthode spectrale, on se limite au cas de l’amortissement proportionnel, dit de Rayleigh, pour lequel on peut diagonaliser le terme \(\frac{{\mathrm{\phi }}^{T}C\mathrm{\phi }}{{\mathrm{\phi }}^{T}M\mathrm{\phi }}=2\xi \omega ` . L'amortissement est alors représenté par un amortissement modal :math:`{\xi}_{i}\) éventuellement différent pour chaque mode propre.

Avec ces hypothèses, le système d’équations () est composé d’équations indépendantes, chacune relative à un mode propre de pulsation \({\omega}_{i}\) . Chaque équation décrit le comportement d’un oscillateur simple de paramètres \(({\omega}_{i},{\xi}_{i})\) dont le comportement est représenté en mono-appui par :

(185)#\[\ddot{{q}_{i}}+2{\xi}_{i}{\omega}_{i}\dot{{q}_{i}}+{\omega}^{2}{q}_{i}=-{p}_{i}\ddot{s}\]

où \(\ddot{s}\) estl’accélération d’entraînement et \({p}_{i}\) le facteur de participation modal du mode \(i\) :

(186)#\[{p}_{i}=\frac{{\mathrm{\phi }}_{i}^{T}MO}{{\mathrm{\phi }}_{i}^{T}M{\mathrm{\phi }}_{i}}=\frac{{{\mathrm{\phi }}_{i}}^{T}MO}{{\mu}_{i}}\]

où \({\mu}_{i}\) est la masse modale généralisée, qui dépend de la normalisation du mode propre.

Supposonsque le séisme agit seulementdans une des trois directions du repère global \(X,Y,Z\) : si par exemple on le prend dans la direction \(X\) , le vecteur \(O\) aura des \(1\) pour les degrés de liberté DX et et \(0\) pour les autres. Toujours par exemple dans la direction \(X\) on aura alors:

(187)#\[{p}_{\mathit{iX}}=\frac{{\mathrm{\phi }}_{i}^{T}MO}{{\mathrm{\phi }}_{i}^{T}M{\mathrm{\phi }}_{i}}=\frac{{{\mathrm{\phi }}_{i}}^{T}M{O}_{X}}{{\mu}_{i}}\]

\({p}_{\mathit{iX}}\) étant appelé facteur de participation modal en direction \(X\) . Pour plus de détails sur l’analyse transitoire sur base modale voir la documentation R4.05.01.

Rappels de la méthode spectrale#

La réponse maximale en déplacement relatif de l’oscillateur de paramètres \(({\omega}_{i},{\xi}_{i})\) pour une direction \(X\) est déterminée en lisant sur un spectre d’oscillateur de pseudo-accélération absolue \(\mathit{SRO}(\ddot{{x}_{X}}({\xi}_{i},{\omega}_{i}))\) la valeur \({a}_{\mathit{iX}}\) qui correspond aux coupes \(({\omega}_{i},{\xi}_{i})\) et en divisant par \({\omega}_{i}^{2}\) , d’où :

(188)#\[{q}_{\mathit{iXmax}}={p}_{\mathit{iX}}\frac{\mathit{SRO}({\ddot{x}}_{X}({\xi}_{i},{\omega}_{i}))}{{\omega}_{i}^{2}}={p}_{\mathit{iX}}\frac{{a}_{\mathit{iX}}}{{\omega}_{i}^{2}}\]

On rappelle qu’on posé \(x=\mathrm{\phi }q\) donc \({x}_{i}={q}_{i}{\mathrm{\phi }}_{i}\) si on considère un seul mode. La contribution \({x}_{\mathit{iXmax}}\) de cet oscillateur au déplacement relatif de la structure pour un séisme en direction \(X\) dépend du facteur de participation et de la déformée modale \({\mathrm{\phi }}_{i}\) dans l’espace physique:

(189)#\[{x}_{\mathit{iXmax}}={\mathrm{\phi }}_{i}{q}_{\mathit{iXmax}}={\mathrm{\phi }}_{i}{p}_{\mathit{iX}}\frac{{a}_{\mathit{iX}}}{{\omega}_{i}^{2}}\]

Supposons d’avoir \({r}_{i}\) , une quantité (champ ou variable scalaire) dérivée par une application linéaire des modes \({\mathrm{\phi }}_{i}\) , par exemple une composanted’efforts sur un nœud. La contribution \({r}_{\mathit{iXmax}}\) où \({R}_{\mathit{iX}}\) de cet oscillateur à la réponse de la structure pour un séisme s’écrit également:

(190)#\[{R}_{\mathit{iX}}={r}_{\mathit{iXmax}}={r}_{i}{q}_{\mathit{iXmax}}={r}_{i}{p}_{\mathit{iX}}\frac{{a}_{\mathit{iX}}}{{\omega}_{i}^{2}}\]

Dans le cas de la commande CALC_COUPURE, les composantes \({r}_{i}\) sont:

les composantes d’effort de coque \(\mathit{NXX}\) , \(\mathit{NYY}\) , \(\mathit{NXY}\) , etc. sur un point de la ligne de coupe AB
les résultantes / moments résultants sur la ligne de coupe AB, détaillées dans la section Error: Reference source not found

Pour plus de détails voir la documentation R4.05.03.

Combinaison des modes pour une direction#

La première combinaison modale réalisée produit la réponse maximale probable dans les directions \(X,Y,Z\) pour lesquelles on aura fourni les spectres en entrée de la commande.

La méthode utilisée est la Combinaison Quadratique Complète signée (ou CQC signée), en mono-appui. Les efforts \({R}_{\mathit{iX}}\) (composante scalaire sur un nœud ou sur une résultante) se combinent donc de la manière suivante pour donner la réponse \({R}_{\mathit{mX}}\) :

(191)#\[{R}_{\mathit{mX}}=\frac{{R}_{\mathit{kX}}}{\left|{R}_{\mathit{kX}}\right|}\sqrt{{\sum}_{j}{\sum}_{j}{\rho}_{ij}{R}_{\mathit{iX}}{R}_{\mathit{jX}}}\]

Les sommes se réalisent sur les \(N\) modes considérés. On définit le coefficient de corrélation entre modes \({\rho}_{ij}\) :

(192)#\[{\rho}_{ij}=\frac{8\sqrt{{\xi}_{i}{\xi}_{j}{\omega}_{i}{\omega}_{j}}({\xi}_{i}{\omega}_{i}+{\xi}_{j}{\omega}_{j}){\omega}_{i}{\omega}_{j}}{{({\omega}_{i}^{2}-{\omega}_{j}^{2})}^{2}+4{\xi}_{i}{\xi}_{j}{\omega}_{i}{\omega}_{j}({\omega}_{i}^{2}+{\omega}_{j}^{2})+4({\xi}_{i}^{2}+{\xi}_{j}^{2}){\omega}_{i}^{2}{\omega}_{j}^{2}}\]

ou, en introduisant le rapport de pulsation ou de fréquences entre deux modes \(\eta ={\omega}_{j}/{\omega}_{i}\) :

(193)#\[{\rho}_{ij}=\frac{8\eta \sqrt{{\xi}_{i}{\xi}_{j}\eta }({\xi}_{i}+{\xi}_{j}\eta )}{{(1-{\eta}^{2})}^{2}+4\eta {\xi}_{i}{\xi}_{j}(1+{\eta}^{2})+4{\eta}^{2}({\xi}_{i}^{2}+{\xi}_{j}^{2})}\]

Pour plus de détails voir la documentation R4.05.03.

Combinaison des directions#

Combinaisons de Newmark#

Pour chacune des directions \(X,Y,Z\) , on choisit une direction principale et on calcule les huit valeurs suivantes. Par exemple, pour la \(X\) :

(194)#\[{R}_{l}=\pm {R}_{\mathit{mX}}\pm 0,4{R}_{\mathit{mY}}\pm 0,4{R}_{\mathit{mZ}}\]

On obtient alors 24 combinaisons. Ces combinaisons sont identifiées dans le tableau en sortie de la commande.

Combinaison quadratique#

On calcule la combinaison quadratique des contributions de chaque direction:

(195)#\[R=\sqrt{{R}_{\mathit{mX}}^{2}+{R}_{\mathit{mY}}^{2}+{R}_{\mathit{mZ}}^{2}}\]

Le tableau en sortie contient 4 numéro d’ordre: 1, 2 et 3 correspondant aux contributions du séisme dans les direction X, Y et Z, respectivement. Le numéro d’ordre 4 correspond quant à lui à la combinaison quadratique des contributions des 3 directions.

{R}_{m}=max({R}_{l})

Opérandes#

Opérande RESULTAT#

♦RESULTAT = resu

Nom d’un concept résultat de type [evol_elas, evol_noli, mult_elas, mode_meca].

OpérandeFORCE#

◊ FORCE = / “REAC_NODA” [DEFAUT]

/ “FORC_NODA”

Nom du champ à post-traiter pour extraire les réactions nodales. Voir documentation [U4.81.04].

OpérandeMODAL_SPECTRAL#

◊ MODAL_SPECTRAL = / “NON” [DEFAUT]

/ “OUI”

Permet d’activer le calcul modal-spectral.

Opérandes AMOR_REDUIT / MODE_CORR / SPEC_OSCI / ECHELLE / MODE_SIGNE / COMB_DIRECTION#

Ces opérandes ne sont utilisés que dans le cas d’un calcul modal-spectral, c’est-à-dire quand MODAL_SPECTRAL = “OUI”.

Opérande AMOR_REDUIT#

♦ AMOR_REDUIT = amor [l_R]

Cet opérande permet de fournir la liste des amortissements réduits sous forme d’une liste de réels (l_R). Si l’utilisateur ne fournir qu’une seule valeur, celle-ci est retenue pour l’ensemble des modes.

Opérande MODE_CORR#

La base modale est en général incomplète. L’évaluation du majorant de la réponse à une excitation sismique nécessite de ce fait une correction par un terme représentant la contribution statique des modes propres négligés dans chaque direction du séisme.

Pour chaque direction du séisme, on réalise cette correction, en ajoutant à la base modale, un pseudo‑mode \(\Psi\) obtenu à partir d’un mode statique \(\varphi\) , champ de déplacements des nœuds de la structure soumise à une accélération uniforme dans la direction considérée défini par:

\(K\varphi =M\delta\)

\(K\) matrice de rigidité de la structure
\(M\) matrice de masse de la structure
\(\delta\) champ unitaire dans la direction du séisme

Le pseudo-mode \(\Psi\) est obtenu en soustrayant les contributions statiques des modes pris en compte:

\(\Psi =\varphi -\sum_{r=1}^{\mathrm{nmod}}\frac{{p}_{r}}{{\omega}_{r}^{2}}{\Phi}_{r}\) avec:

\({\Phi}_{r}\) mode propre d’indice \(r\)
\({p}_{r}\) facteur de participation dans la direction \(\delta\)

Dans cette direction \(\delta\) , pour chaque grandeur, la contribution des modes négligés est donnée par:

\({R}_{t}={R}_{s}-\sum_{r=1}^{\mathrm{nmod}}{R}_{r}\)

\({R}_{s}\) est la grandeur associée au mode statique

◊ MODE_CORR = mode_corr [mode_meca]

Ce mot clé permet de fournir le(s) champ(s) de déplacements \(\varphi\) des nœuds de la structure soumise à une accélération uniforme dans une (ou plusieurs) direction(s), champ(s) calculé(s) par l’opérateur MODE_STATIQUE avec le mot clé PSEUDO_MODE [U4.52.14].

L’accélération du pseudo-mode retenue correspond à l’accélération lue sur le spectre à la fréquence du dernier mode de la base modale au plus petit amortissement modal.

Opérandes SPEC_OSCI et ECHELLE#

♦ SPEC_OSCI= ( spe1, spe2, spe3 ) [l_fonction]

L’opérande SPEC_OSCIattend trois nappes de spectres d’oscillateurs (spectres d’oscillateur dépendant de la valeur de l’amortissement réduit) où (spe1, spe2, spe3)est la liste des nappes à utiliser dans es trois directions:math:X, \(Y\), \(Z\).

◊ ECHELLE = ( ech1, ech2, ech3 ) [l_R]

L’opérande ECHELLEpermet de définir trois facteurs d’échelle (ech1, ech2, ech3)à appliquer indépendamment à tous les points de chacun des spectres .

Opérande MODE_SIGNE#

◊ MODE_SIGNE = / “NON” [DEFAUT]

/ “OUI”

Cette opérande permet de définir si les torseurs CQC doivent être signés. Si c’est le cas, on récupère le signe des torseurs obtenus sous accélération unitaire (issue du concept renseigné dans MODE_CORR ) et l’on applique ces signes aux composantes du torseur CQC.

Opérande COMB_DIRECTION#

◊ COMB_DIRECTION = / “QUAD” [DEFAUT]

/ “NEWMARK”

Cette opérande permet de définir la manière de combiner les contributions des 3 directions. Deux choix sont possibles, définis au paragraphe 5.1.4 ,

Mot clé-facteur COUPURE#

Mot clé répétable permettant de définir une ou plusieurs coupures.

OpérandeNOM#

♦ NOM= nom, [Kn]

Cette opérande permet de définir un nom pour la coupure pour permettre de la repérer dans le tableau en sortie.

Opérande GROUP_MA etTOUT#

♦ / TOUT = “OUI” [Kn]

/ GROUP_MA = gma [group_ma]

Cette opérande permet de définir la partie du modèle dont on cherche à évaluer la réaction sur le groupe de nœuds.

Opérande GROUP_NO#

♦ GROUP_NO = gno , [group_no]

Cette opérande permet de définir le groupe de nœuds où l’on souhaite extraire la réaction.

Opérande POINT#

♦ POINT = (x1, y1, z1), [l_R]

Cette opérande permet de définir la position géométrique du point où le torseur sera calculé. Cette opérande influe notamment sur les valeurs des moments calculés (les réactions étant invariantes).

OpérandesAXE_X, AXE_Y, AXE_Z etVERI_ORTHO#

◊ AXE_X = / (1, 0, 0), [DEFAUT]

/ (x1, y1, z1), [l_R]

◊ AXE_Y = / (0, 1, 0), [DEFAUT]

/ (x1, y1, z1), [l_R]

◊ AXE_Z = / (0, 0, 1), [DEFAUT]

/ (x1, y1, z1), [l_R]

Ces opérandes permettent de définir le repère local dans lequel sera exprimé le torseur.

L’opérande VERI_ORTHOpermet d’activer ou non la vérification de l’orthogonalité du système d’axes renseigné.