v2.03.004 SDLS04 - Sous-structuration cyclique : Plaque mince annulaire encastrée en son moyeu#
Résumé:
Le domaine d’application de ce test concerne la dynamique des structures, et plus particulièrement le calcul modal par sous-structuration dynamique cyclique.
Il s’agit de calculer les modes propres d’une structure axisymétrique (plaque mince annulaire encastrée en son moyeu) en la considérant comme une structure à répétitivité cyclique.
Le modèle est constitué d’un secteur angulaire de \(\text{20°}\) de l’anneau, maillé en triangles auxquels sont affectés des éléments de type plaque: DKT. Deux méthodes de calcul sont testées:
Sous-structuration dynamique cyclique de Craig-Bampton
Sous-structuration dynamique cyclique de Mac Neal
Les résultats de référence sont issus d’un calcul analytique. Ils valident les outils de calcul modal par sous‑structuration dynamique cyclique implémentés dans Code_Aster .
Solution de référence#
Méthode de calcul utilisée pour la solution de référence#
La solution de référence est celle donnée dans la fiche SDLS04/89 du guide VPCS qui présente la solution analytique de la façon suivante:
La solution du déterminant des fréquences établie à partir des fonctions de Bessel conduit à la formule:
\({f}_{ij}=\frac{1}{2\pi {R}_{e}^{2}}{\lambda}_{ij}^{2}\sqrt{\frac{E{t}^{2}}{12\rho (1-{\nu}^{2})}}\)
Avec:
\(i\) = nombre de diamètres nodaux
\(j\) = nombre de cercles nodaux
et \({\lambda}_{ij}^{2}\) tels que:
i j |
0 |
1 |
2 |
3 |
0 |
13.0 |
13.3 |
14.7 |
18.5 |
1 |
85.1 |
86.7 |
91.7 |
Mode de flexion à 2 diamètres nodaux et 1 cercle nodal : \({f}_{2,1}=559,09\mathrm{Hz}\)
Résultats de référence#
8 modes propres.
Incertitude sur la solution#
Solution analytique.
Références bibliographiques#
A.W. LEISSA, Vibration of plates, Document NASA SP160, 1969, p. 19-30.
Modélisation A#
Caractéristiques de la modélisation#
Cette structure à répétitivité cyclique est étudiée à l’aide de la méthode de sous-structuration dynamique cyclique de CRAIG-BAMPTON.
Un secteur de base, constitué par un secteur angulaire de \(\text{20°}\) , est maillé en triangles auxquels sont affectés des éléments de plaque DKT.
La base modale utilisée pour le secteur est composée de 20 modes propres et des modes contraints associés aux interfaces.
Caractéristiques du maillage#
Nombre de nœuds : 66.
Nombre de mailles et types : 100 triangles à 3 nœuds DKT
Grandeurs testées et résultats#
Nombre de |
Nombre de |
||||
Numéro d’ordre |
diamètres nodaux \(i\) |
cercles nodaux \(j\) |
Référence |
Aster |
% différence |
1 |
0 |
0 |
79.26 |
79.58 |
0.4 |
8 |
0 |
1 |
518.85 |
519.54 |
0.1 |
2.3 |
1 |
0 |
81.09 |
81.18 |
0.1 |
9.10 |
1 |
1 |
528.61 |
529.50 |
0.2 |
4.5 |
2 |
0 |
89.63 |
89.72 |
0.1 |
11.12 |
2 |
1 |
559.09 |
559.48 |
0.07 |
6.7 |
3 |
0 |
112.79 |
113.16 |
0.3 |
13.14 |
3 |
1 |
609.70 |
609.75 |
0.01 |
Remarques#
Les modes avec plus de 1 diamètre modal sont des modes doubles.
Modélisation B#
Caractéristiques de la modélisation#
Cette structure à répétitivité cyclique est étudiée à l’aide de la méthode de sous-structuration dynamique cyclique de MAC-NEAL.
Un secteur de base, constitué par un secteur angulaire de \(\text{20°}\) , est maillé en triangles auxquels sont affectés des éléments de plaque DKT.
La base modale utilisée pour le secteur est composée de 20 modes propres et des modes d’attache associés aux interfaces.
Caractéristiques du maillage#
Nombre de nœuds : 66.
Nombre de mailles et types : 100 triangles à 3 nœuds DKT
Grandeurs testées et résultats#
Nombre de |
Nombre de |
||||
Numéro d’ordre |
diamètre nodaux \(i\) |
cercles nodaux \(j\) |
Référence |
Aster |
% différence |
1 |
0 |
0 |
79.26 |
79.58 |
0.4 |
8 |
0 |
1 |
518.85 |
519.53 |
0.1 |
2.3 |
1 |
0 |
81.09 |
81.18 |
0.1 |
9.10 |
1 |
1 |
528.61 |
529.50 |
0.2 |
4.5 |
2 |
0 |
89.63 |
89.72 |
0.1 |
11.12 |
2 |
1 |
559.09 |
559.48 |
0.07 |
6.7 |
3 |
0 |
112.79 |
113.16 |
0.3 |
13.14 |
3 |
1 |
609.70 |
609.76 |
0.01 |
Remarques#
Les modes avec plus de 1 diamètre modal sont des modes doubles.
Synthèse des résultats#
Les fréquences calculées par sous-structuration cyclique, que ce soit par la méthode de Craig-Bampton ou par la méthode de Mac Neal, différent du calcul modal direct de moins de \(\text{1 \%}\) .
Ce test valide les deux méthodes de sous-structuration.