v7.02.100 HPLP100 - Calcul du taux de restitution de l’énergie d’une plaque fissurée en thermo-élasticité#
Résumé
Il s’agit d’un test en thermo-élasticité pour un problème bidimensionnel. On considère une plaque rectangulaire fissurée et on se place dans l’hypothèse des déformations planes.
Dans la modélisation A , le taux de restitution de l’énergie est calculé en post-traitement par deux méthodes différentes:
calcul classique par la méthode thêta,
calcul par la formule d’IRWIN à partir du coefficients d’intensité de contraintes \(\mathit{KI}\) .
Ces deux calculs sont réalisés sur 4 couronnes d’intégration différentes. Leur intérêt est de comparer les valeurs de \(G\) , de \(G(\mathrm{IRWIN})\) et \(\mathit{KI}\) par rapport à la solution de référence et de tester l’invariance des calculs par rapport aux différentes couronnes d’intégration.
Dans l a modélisation B , le taux de restitution de l’énergie est calculé en post-traitement d’un calcul classique par la méthode thêta. Ce calcul est réalisé pour plusieurs couronnes d’intégrations différentes, dans un formalisme de grandes transformations.
Solution de référence#
Méthode de calcul utilisée pour la solution de référence#
Modélisation A#
La solution de référence est issue de WILSON et YU [bib1]:
En déformations planes, la formule d’IRWIN donne :
soit numériquement :
Modélisation B#
La solution de référence pour le facteur d’intensité de contraintes du mode I \({K}_{I}\) s’exprime de la façon suivante [bib3]:
\({K}_{I}=\sigma \sqrt{\pi a}F\left(\frac{a}{W}\right)\)
avec \(F\left(\frac{a}{W}\right)=1,122-0,231\left(\frac{a}{W}\right)+10,550{\left(\frac{a}{W}\right)}^{2}-21,710{\left(\frac{a}{W}\right)}^{3}+30,382{\left(\frac{a}{W}\right)}^{4}\)
Le taux de restitution d’énergie \(G\) s’obtient grâce à la formule d’Irwin: \(G=\frac{\left(1-{\nu}^{2}\right)}{E}{K}_{I}^{2}\) .
Résultats de référence#
Modélisation A#
Les résultats de référence sont ceux issus de la solution de référence de WILSON et YU [bib1]:
Modélisation B#
Les résultats de référence sont ceux issus de la solution de référence de [bib3]: \(G=572,05J.{m}^{-2}\)
Références bibliographiques#
The Use of J-Integrals in thermal stress crack problems - International Journal of Fracture (1979) WILSON and YU.
Qualification complémentaire des codes INCA/MAYA en thermo-élasticité linéaire. Note technique DRE/STRE/LMA 84/598
Tada, P. Paris, G. Irwin, The stress analysis of cracks handbook, 3rdedition, 2000
Modélisation A#
Caractéristiques de la modélisation#
Il y a 4 couronnes définies par la commande CALC_G:
Couronne 1 : |
\(\mathrm{Rinf}=10.\) |
\(\text{Rsup}=40.\) |
Couronne 2 : |
\(\mathrm{Rinf}=15.\) |
\(\text{Rsup}=45.\) |
Couronne 3 : |
\(\mathrm{Rinf}=5.\) |
\(\text{Rsup}=47.\) |
Couronne 4 : |
\(\mathrm{Rinf}=3.\) |
\(\text{Rsup}=48.\) |
Le fond de fissure est défini par DEFI_FOND_FISS, et pour chaque couronne on effectue:
un calcul de \(G\) classique (option G_EPSI de CALC_G),
un calcul de \(G\) par la formule d’IRWIN à partir des coefficients d’intensité de contraintes
et
(option K de CALC_G).
un calcul de
à partir de \(G\) et de la formule d’IRWIN (option KJ_EPSI de CALC_G)
Caractéristiques du maillage#
Nombre de noeuds : 853
Nombre de mailles et types : 359 mailles TRIA6 et 27 mailles QUAD8
Valeurs testées et résultats de la modélisation A#
Les valeurs testées sont celles de \(G\) obtenues par la méthode classique et celle de \({G}_{\mathrm{IRWIN}}\) obtenues par la formule d’IRWIN à partir des coefficients d’intensité de contraintes:
Identification |
Référence |
Tolérance |
Couronne 1 \(G\) |
3.8535 10 –1 |
8.00% |
Couronne 1 \({G}_{\mathrm{IRWIN}}\) |
3.8535 10 –1 |
8.00% |
Couronne 1 \(\mathit{KJ}\) |
9.2029 10 1 |
8.00% |
Couronne 2 \(G\) |
3.8535 10 –1 |
8.00% |
Couronne 2 \({G}_{\mathit{IRWIN}}\) |
3.8535 10 –1 |
8.00% |
Couronne 2 \(\mathit{KJ}\) |
9.2029 10 1 |
8.00% |
Couronne 3 \(G\) |
3.8535 10 –1 |
8.00% |
Couronne 3 \({G}_{\mathit{IRWIN}}\) |
3.8535 10 –1 |
8,00% |
Couronne 3 \(\mathit{KJ}\) |
9.2029 10 1 |
8.00% |
Couronne 4 \(G\) |
3.8535 10 –1 |
8.00% |
Couronne 4 \({G}_{\mathit{IRWIN}}\) |
3.8535 10 –1 |
8.00% |
Couronne 4 \(\mathit{KJ}\) |
9.2029 10 1 |
8.00% |
Remarques#
Les valeurs numériques sont stables par rapport aux différentes couronnes d’intégration et quasiment identiques pour les deux méthodes de calcul. Néanmoins l’écart avec les valeurs de référence est de l’ordre de 6 à \(\text{7\%}\) , ce qui semble élevé.
Modélisation B#
Caractéristiques de la modélisation#
Il y a 3 couronnes définies pour la commande CALC_G(avec \(h=0,625\mathit{mm}\) ):
Couronne 1 : |
\(\mathit{Rinf}=2h\) |
\(\text{Rsup}=5h\) |
Couronne 2 : |
\(\mathit{Rinf}=h\) |
\(\text{Rsup}=3h\) |
Couronne 3 : |
\(\mathit{Rinf}=3h\) |
\(\text{Rsup}=6h\) |
Le fond de fissure est défini par DEFI_FOND_FISS, et pour chaque couronne on effectue:un calcul de \(G\) classique (option G de CALC_G).
Caractéristiques du maillage#
Nombre de noeuds : 2679
Nombre de mailles et types : 644 mailles TRIA6 et 424 mailles QUAD8
Valeurs testées et résultats de la modélisation B#
Les valeurs testées sont celles de \(G\) obtenues par la méthode classique et celle de \({G}_{\mathrm{IRWIN}}\) obtenues par la formule d’IRWIN à partir des coefficients d’intensité de contraintes:
Identification |
Référence \((J.{m}^{-2})\) |
Tolérance |
Couronne 1 \(G\) |
572,05 |
2.00% |
Couronne 2 \(G\) |
572,05 |
2.00% |
Couronne 3 \(G\) |
572,05 |
2.00% |
Synthèses des résultats#
Lors de la première modélisation , l’écart avec les valeurs de référence est de 6 à 7%. La validation indépendante du lot mécanique de la rupture devrait apporter des éléments de réponse sur la validité de \(G\) en thermo-élasticité.
Lors de la seconde modélisation en l’absence de thermique, l’écart à la solution de la référence inférieur à 2% permet de valider l’utilisateur de l’opérateur CALC_G en grandes transformations.