v6.04.177 SSNV177 - Test de Willam avec la loi ENDO_ORTH_BETON#

Résumé:

On présente ici le test de Willam appliqué à la loi de comportement anisotrope unilatéral dédiée au comportement du béton ENDO_ORTH_BETON (cf. [R7.01.09]) développée dans [Bib 1]. Il s’agit d’un test de traction-cisaillement qui permet d’observer la rotation du repère propre de l’endommagement dans le cas d’un chargement non proportionnel.

Problème de référence#

Géométrie et conditions aux limites#

L’élément utilisé est un tétraèdre à un point de gauss. Il n’y a donc pas de problème d’homogénéité des champs dans l’élément.

Les conditions de blocages et les relations linéaires entre les nœuds qu’il faut appliquer sont résumées sur la [Figure 3]. Les arêtes \(\mathit{N0N1}\) , \(\mathit{N0N2}\) et \(\mathit{N0N3}\) sont de longueur 1.

Compte tenu de la géométrie de l’élément, des conditions de blocages et des relations linéaires, la déformation est directement reliée aux déplacements des nœuds:

\({\varepsilon}_{xx}=\mathit{DX}(\mathit{N1})\)

\({\varepsilon}_{yy}=\mathrm{DY}(\mathrm{N2})\)

\({\varepsilon}_{zz}=\mathrm{DZ}(\mathrm{N3})\)

\({\varepsilon}_{xy}=\mathrm{DX}(\mathrm{N2})=\mathrm{DY}(\mathrm{N1})\)

\({\varepsilon}_{xz}=\mathrm{DX}(\mathrm{N3})=\mathrm{DZ}(\mathrm{N1})\)

\({\varepsilon}_{yz}=\mathrm{DY}(\mathrm{N3})=\mathrm{DZ}(\mathrm{N2})\)

A déformation imposée, il suffit donc d’imposer les déplacements aux nœuds adéquats.

Blocages : \(\mathit{N0}\) : \(\mathit{DX}=\mathit{DY}=\mathit{DZ}=0\) Relations linéaires : \(\mathit{DY}(\mathit{N1})=\mathit{DX}(\mathit{N2})\) \(\mathit{DZ}(\mathit{N1})=\mathit{DX}(\mathit{N3})\) \(\mathit{DZ}(\mathit{N2})=\mathit{DY}(\mathit{N3})\)

Chargements : Phase 1: Traction en déplacement imposé \(\mathit{DX}={F}^{\mathit{trac}}\) imposé sur \(\mathit{N1}\) Phase 2: Traction/Cisaillement en déplacement imposé \(\mathit{DX}=\mathit{DY}=0.5\mathrm{\ast }{F}^{\mathit{cisa}}\) imposés sur \(\mathit{N1}\) \(\mathit{DY}=0.75\mathrm{\ast }{F}^{\mathit{cisa}}\) imposé sur \(\mathit{N2}\) Où \({F}^{\mathit{trac}}\) et \({F}^{\mathit{cisa}}\) sont des fonctions affines croissantes du temps

Figure 2.1-a Géométrie, conditions aux limites et chargements du test de Willam

Propriétés de matériaux#

Les caractéristiques matériaux sont identiques pour les 5 tests qui sont présentés.

Les caractéristiques élastiques du matériaux sont les suivantes:

On utilise le jeu de paramètres suivant pour la loi de comportement:

\(\mathit{ALPHA}\)	\(\mathit{K0}\) (\(\mathit{Mpa}\) )	\(\mathit{ECROB}\) (\(\mathit{MJ}/{m}^{3}\) )	\(\mathit{ECROD}\) (\(\mathit{MJ}/{m}^{3}\) )	\({K}_{1}\) (\(\mathit{Mpa}\) )	\({K}_{2}\)
0.87	2.634e-4	0	0.06	10.5	6.e-4

Solution de référence#

Ce test est un test de non régression.

Références bibliographiques#

1. GODARD: Modélisation de l’endommagement anisotrope du béton avec prise en compte de l’effet unilatéral: Application à la simulation numérique des enceintes de confinement. Thèse de l’Université Paris VI, 2005.
1. WILLAM, E. PRAMONO, S. STURE : Fundamental issues of smeared crack models. Proc. Of the SEM-RILEM Int. Conf. On Fracture of Concrete and Rock, Shah S.P., Schwartz S.E. (eds), Society of Engineering Mechanics, p. 193-207, 1987.
1. CAROL : Anisotropic damage evolution using a pseudo-logarithmic tensor rate. Mécanique des matériaux hétérogènes, Grenoble, 1999.

Modélisation A#

Caractéristiques de la modélisation#

Modélisation 3D

Elément MECA_TETRA4.

Caractéristiques du maillage#

Nombre de nœuds : 4

Nombre de mailles et types : 1 TETRA4

Trajet de chargement#

Le chargement se décompose en deux phases:

- - Phase 1: Traction en déplacement imposé

\(\mathit{DX}={F}^{\mathit{trac}}\) imposé sur \(\mathit{N1}\)

- - Phase 2: Traction/Cisaillement en déplacement imposé

\(\mathit{DX}=\mathit{DY}=0.5\mathrm{\ast }{F}^{\mathit{cisa}}\) imposés sur \(\mathit{N1}\)

\(\mathit{DY}=0.75\mathrm{\ast }{F}^{\mathit{cisa}}\) imposé sur \(\mathit{N2}\)

où \({F}^{\mathit{trac}}\) et \({F}^{\mathit{cisa}}\) sont des fonctions affines croissantes du temps

Grandeurs testées et résultats#

Le test de non régression est réalisé sur la valeur des angles de rotation des repères propres de la déformation et du tenseur d’endommagement.

Pour cela, on extrait les champs de déformation (EPSI_ELGA) et d’endommagement (VARI_ELGA) à l’instant 2, et on crée les matrices (en python) correspondant aux tenseurs de déformation et d’endommagement. Ensuite, on utilise la bibliothèque LinearAlgebra de python pour calculer les vecteurs propres des matrices associées aux tenseurs de déformation et d’endommagement. Enfin, on calcule l’angle de rotation de ces vecteurs propres par rapport au repère initial.

Instant	Nom du champ	Composante	Lieu	Aster
2	EPSI_ELGA	Angle de rotation du repère propre	\(\mathit{VOLUME}\) , point 1	45.7160
2	VARI_ELGA	Angle de rotation du repère propre	\(\mathit{VOLUME}\) , point 1	23.0825

Synthèse des résultats#

Le test de Willam est un test simple permettant de comparer l’influence de la description de l’anisotropie de l’endommagement de la loi ENDO_ORTH_BETON sur la réponse du matériau par rapport aux modèles isotropes. Il permet en outre d’observer la réponse du modèle lorsque le repère propre du chargement tourne. On remarque ainsi sur les valeurs testées, que l’endommagement ne tourne pas de la même manière que le tenseur de déformation. De plus, l’angle de rotation du tenseur d’endommagement atteint un plateau lorsque l’endommagement est complet dans une direction, ce qu’on peut associer à la création d’une macro-fissure.