v3.02.317 SSLP317- Validation de la macro-commande RAFF_XFEM sur une plaque multi-fissurée#
Résumé:
Ce document a pour but de valider la macro commande RAFF_XFEM [U7.03.51] qui permet d’obtenir un champ «d’erreur» a priori afin d’alimenter un processus de raffinement de maillage.
Solution de référence#
Méthode de calcul utilisée pour la solution de référence#
Modélisation A#
Le test porte sur la valeur de l’indicateur d’erreur en sortie de RAFF_XFEM. On note \(I(M)\) la valeur de cet indicateur au point \(M\) quelconque.
Au point \({P}_{1}\) en bas à gauche de la structure, l’indicateur vaut l’opposée de la distance au point de l’entaille le plus proche, soit \(I({P}_{1})=-({\mathit{CP}}_{1}-{R}_{e})\) .
Au point \({P}_{2}\) en bas à droite de la structure, l’indicateur vaut l’opposée de la distance au point de l’entaille le plus proche, soit \(I({P}_{2})=-({\mathit{DP}}_{2}-{R}_{e})\) .
Au point \({P}_{3}\) en haut à droite de la structure, l’indicateur vaut l’opposée de la distance à l’extrémité droite de la fissure la plus à droite, soit \(I({P}_{3})=-A'{P}_{3}\) où \(A'=A+\frac{{L}_{A}}{2}\overrightarrow{x}\) .
Au point \({P}_{4}\) en haut à gauche de la structure, l’indicateur vaut l’opposée de la distance à l’extrémité gauche de la fissure la plus à gauche, soit \(I({P}_{4})=-B'{P}_{4}\) où \(B'=B-\frac{{L}_{B}}{2}\overrightarrow{x}\) .
Modélisations B et C#
Le test porte sur la valeur du diamètre de la plus petit maille. Si \({h}_{0}\) est la taille initiale des mailles, \({h}_{c}\) la taille cible des mailles après raffinement, alors le nombre minimal d’appel à Homard pour atteindre \({h}_{c}\) est \(\text{nb\_raff}=E(n)+1\) , avec \(n=\frac{\ln({h}_{0})-\ln({h}_{c})}{\ln(2)}\) . Après raffinement, la taille des mailles les plus raffinées est \(h=\frac{{h}_{0}}{{2}^{\text{nb\_raff}}}\) .
Résultats de référence#
Modélisation A#
Avec les valeurs numériques utilisées dans le test, on trouve:
\(\begin{array}{c}I({P}_{1})=-(\sqrt{{0,25}^{2}+{0,2}^{2}}-0,05)\approx -0,27015621187164246\\ I({P}_{2})=-(\sqrt{{0,25}^{2}+{0,2}^{2}}-0,05)\approx -0,27015621187164246\\ I({P}_{3})=-\sqrt{{0,25}^{2}+{0,1}^{2}}\approx -0,26925824035672524\\ I({P}_{4})=-\sqrt{{0,25}^{2}+{0,2}^{2}}\approx -0,32015621187164245\end{array}\)
Modélisations B et C#
Avec \({h}_{0}=\frac{\sqrt{(2)}}{20}\) et \({h}_{c}=\frac{{h}_{0}}{10}\) , on trouve \(h=0,0044194\) .
Modélisation A#
Caractéristiques de la modélisation#
Les interfaces et les fissures sont définies par des level sets.
Le maillage initial est raffiné 3 fois de suite, à l’aide de l’indicateur en distance fourni par RAFF_XFEM. À chaque fois, on raffine 20% des mailles les plus entachées d”«erreur».
Caractéristiques du maillage#
Le maillage initial est sain: il est constitué de \(20\times 20\) quadrangles linéaires.
Figure 3.2-1 : maillage sain initial
Grandeurs testées et résultats#
On teste la valeur de l’indicateur d’erreur en sortie de RAFF_XFEM aux points \({P}_{1}\) , \({P}_{2}\) , \({P}_{3}\) et \({P}_{4}\) , pour chaque maillage raffiné.
Identification |
Référence |
Type de référence |
\(\text{\%}\) tolérance |
\(I({P}_{1})\) |
-0.270156 |
“ANALYTIQUE” |
0.1% |
\(I({P}_{2})\) |
-0.270156 |
“ANALYTIQUE” |
0.1% |
\(I({P}_{3})\) |
-0.269258 |
“ANALYTIQUE” |
0.1% |
\(I({P}_{4})\) |
-0.320156 |
“ANALYTIQUE” |
0.1% |
Pour information, le maillage obtenu après raffinement est présenté sur la . On constate que pour les interfaces, ce ne sont pas seulement les mailles proches des interfaces qui sont raffinées, mais toutes les mailles contenus dans l’inclusion. Cela est dû à la manière dont Homard gère le raccord par conformité des quadrangles découpés. Ce phénomène n’apparait pas avec des triangles. C’est pourquoi dans la suite des modélisations, on préfèrera partir d’un maillage initial de triangles.
Figure 3.3-1: maillage sain raffiné
Modélisation B#
Caractéristiques de la modélisation#
Les interfaces et les fissures sont définies par des level sets.
L’indicateur en distance fourni par RAFF_XFEM est utilisé.
L’intérêt de cette modélisation est de présenter une méthodologie plus optimale que celle utilisée dans la modélisation A. L’idée est de mieux maîtriser le nombres de mailles à raffiner et la taille des mailles en fin du processus de raffinement.
Connaissant la taille initiale des mailles, et en se fixant une taille cible, on va raffiner autant de fois que nécessaire afin d’obtenir dans les zones d’intérêt des mailles de taille adéquat.
Caractéristiques du maillage#
Le maillage initial est sain: il est constitué de \(20\times 20\) quadrangles linéaires, que l’on coupent en deux afin d’obtenir des triangles (voir explication au § 3.3 ). Ce maillage est présenté sur la .
Figure 4.2-1: maillage sain initial
On applique la procédure de raffinement telle que décrite dans [U2.05.02] pour l’indicateur en distance. Cette procédure permet de mieux contrôler la taille et le nombre de maille avec raffinement. Après raffinement, on obtient le maillage présenté sur la . Il est intéressant de noter que les mailles strictement incluses dans la zone d’intérêt (par exemple autour du fond n°1 de la fissure centrée en A) n’ont pas toutes la même taille (voir ).
Figure 4.2-2: maillage sain raffiné
Figure 4.2-3: maillage sain raffiné - zoom autour du fond de fissure n°1 de la fissure centrée en A et carte de tailles dans la zone d’intérêt
Grandeurs testées et résultats#
On teste la valeur de la taille minimale des mailles.
Identification |
Référence |
Type de référence |
\(\text{\%}\) tolérance |
\(min(h)\) |
0.004419 |
“ANALYTIQUE” |
0.1% |
Ce test sera amélioré lorsque l’on pourra mieux tester les cartes.
Modélisation C#
Caractéristiques de la modélisation#
Les interfaces et les fissures sont définies par des level sets.
L’indicateur par zone fourni par RAFF_XFEM est utilisé.
L’intérêt de cette modélisation est de présenter la méthodologie la pus aboutie, qui utilise l’indicateur par zone.
Caractéristiques du maillage#
Le maillage initial est le même que celui de la modélisation B. Après raffinement, on obtient le maillage raffiné présenté sur la . Il est intéressant de noter la bonne régularité de la tailles des mailles dans la zone d’intérêt (voir ).
Figure 5.2-1: maillage sain raffiné
Figure 5.2-2: maillage sain raffiné - zoom autour du fond de fissure n°1 de la fissure centrée en A et carte de tailles dans la zone d’intérêt
Grandeurs testées et résultats#
On teste la valeur de la taille minimale des mailles.
Identification |
Référence |
Type de référence |
\(\text{\%}\) tolérance |
\(min(h)\) |
0.004419 |
“ANALYTIQUE” |
0.1% |
Ce test sera amélioré lorsque l’on pourra mieux tester les cartes.
Synthèse des résultats#
Ce test a permis de valider la macro-commande RAFF_XFEM.
Cette commande est également validée pour des interfaces.